장음표시 사용
131쪽
ticularum , ae quinto laudem arcus hic dupletur, Vt habeatur arcus 64. particularum, qualis in figura est arcus C Y, respectu particulae T V: a quo arcu si auferatur arcus YX, quatuor particularum, continebit teliquus arcus C X,6o. particulas .
O D si data particula dimidiato gradu minor sit, ita ut vix circino prς-cise comprehendi possit, nisi gradus valde magni sitit, accipienda erit altera particula eiuste gradus dimidiato gradu maior, atq; ita uestigandum, quot Minuta& Secunda in ea contineantur. Haec enim ablata ex e o .MIuutis relinquent MI-
nuta ac Secuda propositae particulae dimidiato gradu minoris. Vel quod magis probo accipiendus erit arcus ex uno gradu, data particula dimidiato gradu
minore compositus, & huius arcus sumendus arcus sexage cupius , eo ordine, ut paulo ante dunum est. Nam reiecti ζ 6o. gradibus huius arcus sexage cupii, numerus reliquorum graduum integrorum dabit numerum integrorum Minatorum in data particula contentorum , &c. Immo hoc artificio uti licebit ire Omni particula gradus data, siue ea minor sit, siue maior dimidiato gradu, hoc diligenter obseruato in particula maiore; ut postquam arcus ex uno gradu &particula maiore compositus quater sumptus fuerit, & hic arcus quadruplus
bis , & hic iterum bis,& sic deinceps , donec ad arcum peruentum sit, in quo
contineantur 3 2. arcu S compositi ex vito gradu , dc particula maiore data, ito 'tetur quam diligetitissime, quo modo ultimus gradus huius arcus sectus sit. Nasi aliquis ex primis gradibus quadrantis similiter secetur, squod facile fiet, si arcui composito ex uno , duobusve gradibus , Sc particula gradus illius ultimi abscindatur beneficio circini in principio quadrantis arcus aequalis j atque ex hoc sectionis puncto transferatur in quadrantem dictus ille arcus cotinens 3 a. arcus e X uno gradu , & data particula malo ne compositos , quod in quadrantem post priorem illum arcum continentem 3 a. dictos arcus trafferri nequeat ac tandem ex siue huius arcus translati auferatur quadruplum arcus compositi ex uno gradu, & data particula; considerandi sui it gradus integri, qui tu illo arca continente dictos 3 2. arcus , & in hoc translato continente etiam huiusmodi 3 2. arcu S, minuS quadruplo arcus ex uno gradu ,& data particula compositi, continentur, addito insuper Vno grada, illo nimirum , qut componitur ex particula post: vltimum gradum integrum prioris arcus continentis dictos 3 2. arcus, & ex particula ante primum gradum integrum arcus pos erioris, a qua nimirum arcus posterior hic translatus incipit. Numerus enim ille graduum s abiectis prius 6o. J iudicabit numerum Minutorum in data particula maiore dimidiato gradu contentorum . Cum particula autem, quae superest, si qua tamen supersiti inuestigabuntur eodem modo Secunda, &c. Exemplo res clarior euadet. Quadruplum arcas Z V, ex uno gradu, & data particula T V, maiore dimid1ato gradu compositi est arcus C a . Arcti autem C a, duplato continuo, cadet arcus continen S 3 2. arcus aequales arcui Z V, in b, arcusq; C b, continebit s r. gradus, & amplius. Si igitur arcui ex 3. gradibus v. g. & insuper e X particula usque ad b, compCsito abscindatur aequasis arcus C c,& e X c, in quadrantem transferatur arcus C b, Vsque ad d, ac tandem auferatur arcus d e, aequalis arcui C a, qui quadruplus est arcus ex uno gradu , & data particula compC siti; reperiemus in arcu C b, integros gradus f 2. & in arcu c e , 7. additoq; I .gra du, qui componitur ex ultima particula arcus C b, ex prima particula arcusce, fient gradus Io o. Ablatis autem 6o. remanent 4o. Tot ergo M 1 nuta in data particula T V, includuntur, & insuper particula quaedam gradus usque ad e, ex qua eodem modo Secunda explorabimus, &c. Sed praestat accipere reliqua particulam gradus minorem una cum gradu sequenti,& per hunc arcum com- PQ situm e plorare, quot in ea particula contineantur Minuta, ac Secunda. Haec
132쪽
namque ex iso. Min. ablata relinquent Minuta, & Secunda maioris particu, lae datae. Ita enim non opus est accipere duo S arcus in quadrante, quales in prom imo exemplo fueriint C b, c d.
VICISSIM ex quovis gradu auferemus nos particulam quotquot Mi Modus ab nuta quis voluerit, Secunda, Tertia, &c. continentem , hoc modo . AccipiatUrscindendi in quadrante arcu S tot graduum , quot Minutorum particula abscindenda cst ex quouis ex gradu. Diuiso enim eo arcu in 6O. partes aequales, diuidendo eum primi irragradu par bifariam, & quamlibet medietatem rursus bifariam , de quamlibet harum mericulam dietatum in tres partos , ac tandem quamlibet harum partium in quinque j da- continen - bit parS sexagesima tot Minuta cuius lila et gradus , quot gradus in assumpto artem quot- cu comprehenduntur . Vt si quis velit ex aliquo gradu detrahere particulam libet Mi o. Minuta continentem, diuidendus erit arcus graduum s o. in εο . parte S , Ut nuta , Se- dictum est , &c. Quod si quis desideret ex gradu aliquo detrahere particulam csida, Ter continentem quo triis Minuta, ac Secunda, accipiendus erit arcus tot gradaUm, tia, O c. quot Secunda dc siderantur.Nam sexagesima pars illius arcus complectetur Sc-cunda quaesita. Deinde illa pars sexagesima apponenda erit arcui tot graduum, quot Minuta quaeruntur. Pars enim sexagesima huius arcus compositi dabit Minuta & Secunda quaesita; Eodemq; modo, si Tertia quoque desiderentur, incipiendum erit a Terti js , dcc. Sed satis fuer1t auferre tantum Minuta, addendo, . unum Minutum prius , si1 quaesita Secunda sint plura , quam 3 o. Si enim pauciora sint, omitti post int. Vt si quis detrahere cupiat ex gradu aliquo Min. o.
Sec. 48. auferenda erunt Min. 41. &c. Exemplo unico in figura rem declare mus . Sit auferenda particula continens Min. 4 3. Sec. 8. Diuisse arcu 8. gra
duum quot secunda volumus J Iia 6o. partes, addatur pars sexagesima arcui AO. graduum quot Minuta desiderantur j & totus arcus compositus C X , in 6O. partes secetur . Sexagesima enim pars T V, exhibebit Min. o. Sec. 48. Veritas huius operationis malaifesta est, si operatio superi pr contrario modo instituatur. Nam si quis scire vellet, quot Minuta, ac Secunda in particula T V, contineantur , acciperet arcum T V , sexagies, incideretq; in punctum X, haberetq; iam 4o. Minuta in arcu C X. Et si particulam reliquam sexagies sumeret, incideret in gradum 48. atq; ita haberet adhuc 48. Secunda . Quod tamen eodem modo, ut supra, de mons rari potest. Qu*niam enim esto, ut arcu S 6Ο. Minutorum sumendo nunc gradus quadrantis pro Minutis j ad 1. Minutum, ita
arcus q8. Minutorum ad sexagesimam partem eiusdem arcus : & permutando Vt arcUS 6O. Min. ad arcum 48. Min. ita I. Minutum ad dictam partem sexagesimam; efiicitur, Ut quemadmodu arcus 48. Minutoru cotinet 8. sexagesimas parte S arcus 6o. Minutorum, ita dicta illa particula sexagesima comprehendat 8 partes sexagesimas unius; Minuti, hoc est, 48. Secunda. Item quia est, Vt arcu S6O. graduum ad I. gradum, ita arcus C X, ad particulam T V, quae est eius pars sexagesima, quemadmodum & I .gradus sexagesima pars est arcus 6O .graduu:& permutando, Vt arcus 6O. graduum ad arcum C X, ita I. grad. ad particula T V, fit, Vt quemadmodum arcus CX, comprehendit o. grad. iii super VIiam particulam , quae continet 48. sexagesimas partes unius gradus squatenus nimirum I. gradus sumebatur pro I. Minuto J ita quoque particula T V, comple ctatur. o. Minuta, & insuper 48. sexagesimas partes unius Minuti, nempe 48. Secunda. Sic etiam , si solum so . Minuta sint detrahenda, quoniam est , Vt arcu S i o. grad. ad I. grad. ita arcus so. grad. in 6o. partes diuisus ad eius partem sexagesimam:& permutando, ut arcus 6o. grad. ad arcum ueo, grad. ita I. grad. ad illam partem sexagesimam; sit, ut sicut arcus so. grad. continet so. se age simas partes arcus 6o. graduum,ita sexagesima illa particula complectatur so-
partes sexagesimas vitius gradus, id est, s O. MHauta .
133쪽
H C res felicius in magnis quadrantibus succedit, quam in paruis , quda
facilius circino comprehendi possint particulae maiorum graduum, quam minorum , siue errore. Quare si gradus perpusilli sint, hortarer, ut ex eodem centro quadrantis maior quadrans in eodem plano describeretur quantum nimirum spatij amplitudo permitte tin& productis lineis ex centro per datos gradus,& particulas minoris quadrantis usque ad maiore quadrantem, operatio fieretia maiore quadrante. Vt si velimus scire, quot Minuta, & Secunda in particu la T V, includantur, ita agemus. Descripto maiore quadrante fg, & ductis excentro A, per T, V, rectis occultis arcum fg, secantibus inli, i, accipiemus par
ticulam h i, sexagies ab f, usq; ad g, & auis emus gh, quadruplum particulaeli i. Ducta enim ex A, per Κ, recta occulta secante quadrantem B C, in X, re pertemus In arcu C X, o. gradus . Tot ergo Minuta integra in particula T V,
QV A D R A N T haec omnia etiam in lineas rectas , & in quascunque fra- moetiones . Qiuc res, incredibile est, quantam utilitatem cum alijs rebus Geome- cto benesiatricis , tum Vero maxime dimensionibus , quae per scalam alti metram fieri so- cio circi-lent, afferat. Sit enim recta linea A B, ut prope quadrantem vides, se ista in I 2. ni reperia partes aequale S, in quot nimirum tam umbra recta, quam Versa scalae alti me- tur fratrae distribuitur : propositumq; sit, quot decimas partes Eligo autem in rectis cliones culineis partes decimas unius partium , in quas recta diuisa est, & decimas Vnius i q; par- decim , nempe centesimas, S decimas unius decim , alterius decimae, puta mil ticula mlesimas,&c. propter facilitatem operationis , ut mox constabit: quemadmo parte qua dum in gradibus asthmuntur sexagesimae unius gradus , nempe Minuta, se uis linea xagesimae unius sexagesimae, puta Secunda , & sexagesimae unius sexagesimae recta malterius sexagesimae , Vtpote Tertia, &c.ὶ contineat particula C D, partis quar' quotlibestiae. Beneficio circini sumpta particula C D , decupletur ab A , Vsque ad E . Et partes di-.quoniam in A Ε, continentur 6. partes totius lineae, continebit propterea parti stributa.
cula C D, U. Vnius partis . Quia vero superest adhuc particula F E , si haec
decupletur Iterum ab Α, usque ad G, reperientur in A G, 8. partes totius lineae. Continet ergo particula C D, vltra vii 1us partis adhuc Oς. Vni US de cimae, nempe - . Vnius partis. Et quoniam adhuc superest particula H G, si ea rursum decupletur ab A, versus B, incidemus in D, continenturq; in A D, tres partes totius lineae. Quare particula data C D, vltra - 5-. Vnius partis, unius decimae complectitur adhuc unius decim ς unius decimae. hoc est unius partis: atque ita progredi licebit ad decimas unius decimae unius decimae Unius decimae, nempe ad fractiones a ioooo. denomina
tas , &c. sed mihi satis videtur ad millesimas peruenire . Hae autem fractiones in . 'προς τοῦ . efficiunt - . filum perpendiculi, aut linea fiduciae in scala alti metra secaret latus Α Β , in D , abscinderentur partes 3 π U U U . Vmbra A B. Habet autem in hoc negotio praeclarum usu prior regula insitionis , quam in nostra arithmetica practica tradidimus . Nam positis tribus fractionibus inuent1s ordine, incipiendo ab ultima , hoc modo Vla.
-pla . si inserantur secundum priorem regulam instrionis , hoc est, si
multiplicetur numerator vltimae fractionis in denominatorem Io. penulti mae fractionis , & producto numero 6o. addatur numerator 8. eiusdem penul timae fractionis , compostusq; numerus 68. ducatur in denominatorem IO. primae fractionis, ac producto 68 o. ad ij ciatur numerator 3. eiusdem primae
fractioni S , componetur numerator 683, minutiae, quae conflatur ex additione π. Vnius decimae Unius decimae,& --b. unius decimae ad π-ib. De nominator autem erit 1 Ooo. productus ex multiplicatione denominatorum inter
se, ut in Arithmetica docuimus.Demonstratio hic eadem est, quae in gradibus. Eandem
134쪽
Fandem enim proportionem habet recta decem partium ad unam partem,qua habet recta Α E , ad particulam C D , cum utrobiq; sit proportio decupla : Et
permutando est, Vt recta decem partium ad rectam A E , ita una pars ad particulam C D. Quare sicut in Α Ε , continentur rectae decem partium , Scin super particula F E, respectu Vnius partis totius lineae, ita quoque in particula data C D, continebuntur - VniuS partis, dc insuper talis particula respectu unius decimae, qualis est F E, respectri unius partis totius lineae,&c. aeuo pacto H A C ratione, si usq; ad partes millesimas progrediamur,er1t totum Vnum in opera- latus scalae altimetrae distributum in partes Izo oo. cum quaelibet eius duodeci-tione sca- ma pars complectatur Io oo. partes. propter si in operatione fractiones Ia nitri- quae plerunq; magnam solent molestiam afferre ijs, qui parum in Aritii meti- metra vi- cis rebus sunt exercitati j vitare velimus,stauemus totum latus scalae alti metraeritur fA- in partes Iroo o. sectum esse : Deinde partibus millesimis supra inuentis adde-ctique , mus toties Iooo. partes,quot partes integrς ex umbra siue recta, siue versa a filo
perpendiculi abscisis fuerint. Vt in superiori ex eplo partes abscisi e 3
Continebunt partes 3683. qualium 11o oo. totum latus statuitur. Sie etiam, si quis adhuc progredi vellet usque ad partes decimas unius decim e Vnius decim et
Unius decimae, nempe ad partes a Io ooo.denominatas, iiiveniretq; abscissas esse partes 7 contineret totu latus partes Izoo oo .partes autem ab
scissae essent 72397. Toties enim Iooo c. addenda sunt partibus inuentis, &a IO OOO. denominatis , quot partes integrae ex scala abscisi e sunt. Q dsi praecise inuenirentur partes decimae ultra integras partes , ita Vt in prima operatione circini nil superfuerit, statuendum exit totum latus scalae partium Ieto. & singulae partes integrae partium Io Vnde si abscinderentur partes esset totum latus partium ΙΣΟ. partes autem abscisiae sorent 87. admdendo nimirum partibus decimis iuueritis toties Io. quot partes integrae sunt abscistae. Sic etiam si in secunda operatione repertat essent praecise partes decimae unius decim , nempe centesimae, ita Vt nihil superfuerit, ponendum esset totum latus scalae partium Iroo. & singulae partes integrae partium Ioo. Vt si iiiventς fuerint partes abscissae Σπ - .erit totum latus Iroo. & partes abscisse
sol 138. additis nimirum partibus centesimis 3 8. inuentis toties IOO. quot par
ITA QV E hoc artificio deprehendemus in toto latere scalae alti metrae parte S I 2 Ooo. Vel Ι2oooo. licet in I a. partes duntaxat diuisiam sit: quod sane ad miratione dignum est. modo RES aute est ad modii iucunda, Zc quide commodissima in hoc negotio par- solatur, tium decimarum, poste expeditissime cognosci ex decimis inuentis, & ex de-
quot par- cimis Vnius decimae, nempe ex centesimis , dc ex decimis unius decimae uniusti Has co decimae, hoc est , ex millesimis, quot millesimae coiistituantur, sine ulla operasituane tione fractiCnum Positis enim omnibus decimis eo ordine,Vt inuentae fuerunt, omnes par Numeratores OrdIne eodem scripti, ac si unum aliquem numerum exprimant, ii uia υl- dabunt Numeratorem. Denominator autem erit unitas cum tot cifriS,quot or-tra partes dines sunt decimarum , nempe Iooo. si sint tres ordines decimarum. Vt in su- integras periori e emplo, Vbi deprehensae fuerunt ν-. VLU- . parte S scalae in ueta , - integras, nempe π . & decim ,& π. unius decimae Unius dem ilia o- cimae,iuuenientur - - - - . quia tres illi Numeratores constituunt hunc nuperasione merum 683. Ita quoque si quatuor operationibus inuentae fuerint hae particule fractio . 'τ . - . est, ri . - . Vnius decimae, &decimae uniuS decimae ,& G. Vnius decimae unius decimae unius decimae, aequivalebunt eae omnes huic minutiae etiam si duabus tantum operationibus inuetuae fuerint hae reinutiae . tarnirum που.
135쪽
EA DEM haec res locum etiam habet ita partibus centeum is ,& In mille 'simis , S: denique in omnibus denominatis ab unitate curri al: quot cis Is , a
IOOOΟ. IO OO OO. Nam si haberentur hoc est .Vilius cete sim Sc Via Ius centessimae unius centesimae , dc - Vni HS centesimae unius cerclesimae uti ius centessimae, constituerentur ex his omnibus - Vς. Numeratores ordine componu Numeratore nterposita c1fra inter I .propterea quod Numerator 1 scribitur unica sigura: Id quod temper faciendum erit, quando Numerator alicuius minutiae unica habebit figuram ;De nominator autem habet post 1. tot binarios cistarum, quot Ordines centesimarum particularum adsunt. atque ita de reliquis : quae re S ualde expedita est, ut uides. AD maiorem quoque commoditatem peto inuestigandis partibus decimis ex particula abscissa quacunque construi poterit circinus duplicis aperturae, in quo scilicet crura producta se mutuo intersecent, ita ut una apertura alteri u S ut
1emper decupla,instar circini, Qua linea data in duas ςquales partes diuidi solet.
Ita enim fiet, ut accepta per minore apertura partIcula abscissa, maior apertura exhibeat eam particulam decies sumptam , ut non opus sit toties circinum circumducere , qua quidem in re facile error committi potest, qui illo circino, si recte fabricatus sit, facilius UitatUr. I A M vero sit Vicistim ex prima parte re hec A B, detrahenda particula continens - , eiusdem primς partis. Diuidatur portio rectae AB, septem partium, quot nim IIu duodecim' dessiderantur, in I a. partes , quot nimirum Vnitate S inde nominatore fractionis propositae comprehenduntur; primum quide in duas, deinde una harum partium iterum in duas, ac demum quaeq; harum partium iri tres. Nam duodecima pars A I, continebit optatas primae partis , &c. Eadem ratio est de ali)s fractionibus, Ut patet., POSTREMO non grauabor hoc loco proponere quadratum ab eodem Illustrissimo D. Iacobo Curtio excogitatum , quo exqu1sit11sime astronim altitudines deprehenduntur, modo adsit Sinuum, vel Tangentium tabula. Sit ergo quadratum A B C D, tantae magnitudinis, Ut commode singula latera recipere possint 216. partes quales . Qitam uis enim ipse latus quodlibet in zoo. partes secet, facilius tamen In χs6. diuidetur, cum primum bifariam secetur, deinde utraque medietas iterum bifariam, & quaelibet harum partium rursis bifaria, atq; ita deinceps usq; ad octauam diuisionem, qua singula latera in a. 6. partes diuisa erunt. A ccedit ad hanc diuisionis facilitatem haec etiam utilitas, quod plures particul in toto quadrato contineantur. Certum autem est, quo plure Spartes sunt, eo perfectius este instrumentum; adeo ut quadratum, qUOd rccipe re posit adhuc alias sub diuisiones , ut nimirum in singulis lateribus repexi antur parte S sI2. Vel Ioa . Videatur esse omnibus numeris absolutum : sed satis
nunc sit, singula latera in Es6. partes aequales distribuisse. In exemplo, Ob spatij angustias , secta sunt singulat 11 3 1. partes , ita ut quaelibet pars intelligatur sub diuisa adhuc in 8. particulas. Ordo siue numerus partium progreditur ab A, versus B, & D, & a B, & D, vel sus C, vi in figura apparet. Pumna porro diuisionum respodentia iungantur rectis lineis, quae omnes quadrati lateribus ' parallelae erunt: Hae tamen non omnes ad opposita usq; latera producantur, sed relinquant quadratum vacuum Α Ε F G , quod totius quadrati quarta pars sit. Ita enim fiet,ut quomodocunq; filiam perpendiculi,vel linea fiduci ex Α, egrediens cadat quasi semper in partem aliquam integram dictarum parallelarum, hoc est , transeat praecise per aliquem angulorum rectorum , qui ab intersectionibus illarum parallelarum efficiuntur, proPtςr earum Partium , angulQ
ti simul. Construm ctio qua drati, quo
136쪽
namve multitudine. Relictum est aute quadratum A E F G, vacuum, propterea quod omnes partes in eo contentae, si productae essent lineae, liabent alias parte duplas, aut quadruplas, aut Oct ' plas, &c. adeo ut filum perpendiculi in aliqua earum cadens cadat quoq; necessario in aliquam aliam illius duplam, vel quadrupla, Oct uplamue,&c. Vt nec est e non sit particulas illas in quadrato A E F G, expriinere. Verbi gratia. Si accipiatur in latere A D', portio continens o. partes, A filum perpendiculi A H, abscindat ex parallella a parte 4o. lateris A ad partem o. lateris B C, ducta partes 3 2. abscindet idem filum ex parallela a parte 16o. lateris A D, ad partem Iso. lateris B C, ducta partes 118. in V, quae quadruple sunt partium 3 2. quemadmodu- partes I 6o. quadruplae sunt par tium 4o. Sic quoq; idem filum A H, ex parallela a parte a 4o. lateris AD, ad partem et O. lateris B C, ducta auferet partes I92. in L quae partium 3 2. se X tu piae sunt, quemadmodum & partes et O. in latere A D, partium 4o. in eodem latere sextuplae sunt. Denique idem filum ex parallela a parte roo. lateri S A U, ad partem a oo. lateris BC, ducta abscindet partes Ioo. onae quintuplae sunt
137쪽
partium 32. sicut& partes 2op. lateris AD, partium 4o. eiusdem lateris quintuplae sunt. Eademque ratio est de caeteris . Ratio huius rei est, quod parallela a parte 4o. lateris Α D, ad filum A H, ducta constituit cum filo triangulum simile triangulo,quod cum eodem filo constituit parallela quae v. g. a parte I 6o. lateris A D,demittitur, &c. Potest ergo quadratum A E F G, excindi, ut instrumentum minus reddatur ponderosum .H AE C est quadrati constructio non solum , ut uides, facillima, sed cuius Vsus qua-
etiam usus immensus est tam in rebus Astronomicis, quam in Geometricis, Mari coκ ut ex ijs, quae sequuntur,liquido constabit. Exordiemur autem a rebus Astro- structi iuilo micis. Obseruaturus ergo quispiam altitudinem alicuius stellae notet diligeio rebus A ter, in quam partem linearum parallelarum praecise filum perpendiculi cadat. stronomi Ex hac enim altitudo stellae, hoc est, magnitudo anguli,quam filum cum latere A facit, eruenda est, hoc modo. Ceciderit filum in puncturn H, paralleleta parte I 6o. lateris A D, nempe ex M, ad partem Iso. lateris B C,ductae, & parallelae a parte 128. lateris Α Β , ad partem Iz8. lateris C D , ductae . Qtaniam igitur in triangulo rectilineo rectangulo A M H, duo latera circa rectum anguis
tum nota sunt, nempe A M, partium Iso. & M H, partium Ι28. quos nume ros iuxta parallelas per Η, traiectas scriptos este uides ; notus fiet, ex praxi nostroru triaing. rectit. angulus HAM,c5plementi altitudinis, hac ratione. Fiat, ut I .latus Α M, circa angulu rectum M , ad Iooooooo. sinu totum. Accuratior enim calculus in hoc negotio etiadet, si ex sinubus,& tangentibus i16 abij-ciantur du ae figurae , ut facere solemus, cum solis sinubus utimur. ὶ ita ΙΣ8.
latus M H, angulo quaesito H A M,oppositum ad aliud, inuenieturq; Tangens
8oooooo. anguli H A M, quaesiti, cui in tangentium tabula respondet arcus 'grad. 3 8. Min. o. pro complemento altitudinis stellae . Eandem Tangentem reperies ex lateribus A O, partium zoo. & Ο Κ , partium 16Ο. Item ex lateribus Α N, partium et O. & N I, partium 192. ut patet: ita ut, quando filum in Plu res partes plurium parallelarum praecise cadit, ut hic contingit in puctis H, Κ, I, assumi possit quaecunque illarum , sine ullo discrimine. Per solos sinus ex eadem praxi s. nostrorum triang. rectit. idem pIaedictus angulus H A M, elici potest,sed non tam facile. Nam si quadrata laterum A M,& M H, hoc est, quadrata partium I 6o.& Iet 8. simul addantur, &summae I98 . radix quadrata eruatur, dabit haec radix latus A H, recto angulo M , oppositum partium 2Ο Η π - P. fere. Qilare si fiat, ut ao πe 4 . latus A H,recto ansulo oppositu ad 1 oo oo. sinu totum,ita I 2 8.latus M H,qu sito angulo oppositu ad aliud, inuenietur sinus anguli H Α M, quaesiti 61 7 o. cxu in tabula sinitu respondent iterum grad. 3 8. Miri Ao. Ponamus rursus filum perpendiculi cec1disse in partem Σο8. parallelae a parte Iao. lateris Α D, ad partem Izo. lateris B C, ductae, nimirum in punctu L:quem numerum Ieto. in latere B C, solum inuenies, cum
minor sit, quam 128. atque adeo in latere Α D , non reperiatur. Sic etiam numerus minor, quam I 2 8. in solo latere C D, quaerendus est, ut ex figura patet. Si igitur rursum fiat, ut Iro. latus circa angulum rectum ad Iooooooo. sinum
totum, ita ΣΟ8. latus angulo quaesito L A D , oppositum ad aliud, producetur tangens quaesiti anguli I7333333. cui respolidet in tangentium tabula arcus grad 6o. Min. I. Vel si fiat, ut Σο8. latus A. P, circa angulum rectum P, ad Iooooooo. sinum totum, ita I 26 latus L P, angulo L Α Ρ,oppossitum ad aliud, inando enim filu in latus B C, cadit,assumemus triangulu ad latus Α Β , applicatum : quemadmodum eodem filo cadente in Litus C D , assumptum fuit triangulum ad latus A D. applicatum,sed tunc angulus iuuentus L A P, detrahendus no erit ex recto,ut reliquus fiat altitudinis angulus, sed ipsemet altitudinem indicabit . procreabitui tangens s 769 23 I. anguli L A P, cui tangenti. R respon
138쪽
construem tabula pro quadrato pra 'Ricto. respondet in tangentium tabula arcus grad. 19. Min V. Tantus ergo tunc est alt1tudinis angulus quς situs L A P,c5plementum scilicet gr. 6o. Min. I.Ut prius Cadente filo in punctum C, non opus est calculo, sed altitudo stellae comprehendet tunc grad. 4s. praeci se, propter angulum semirectum C A B . ii HAC uia supputari poterit Id quod libenter hic praestitissem , si per tempus licuisset tabula continens gradus & Minuta singulis particulis parallelarurespondentia, quemadmodum sequens tabula a nobis stipputata est pro singulis particulis quadrantum intra quadrantem principalem descriptorum . Satis ante m erit tabulam supputare pro particulis parallelarum a latere AB, BC,ductarum iu trapezio C B Ε F, comprehensis. Iidem namq; prorsus arcus respondebunt particulis trapeaei D G F, ut perspicuum est, cum eadem omnino triangula fiant ad latus A D,quae ad latus A B, constituuntur.Verum tunc, cum deprehensum fuerit, filum cecidisse in latus C D, sumendum erit complementum anguli in tabula inuenti pro altitudine quaesita : Id quod patuit in angulo H A cuius cum plena eluum H A B, angulus fuit altitudinis quaesitet . Este autem
139쪽
tem triangula ad latus Α D, applicata triangulis ad larus A B, applicatis omni
no aequalia, manifestum est in triangulis A. Q R, A L P, in quorum primo filum perpendiculi transit per partem thoi parallelae a parte et o 8. lateris A D, ad partem 2 8. lateris B nempe a puncto R, ductae; in secundo uero filum perpei diculi ducitur per partem 11 o. parallelae a parte Σο8. lateris A B , hoc est, a puncto P, ad patie et o 8 lateris C D, duci q. niam enim latera A R, R ,
partium ΣΟ8. Iro: aequalia sunt lateribus A P , P L , partium 2O8. I 2 o. angulosq; cotinent rectos, R erut triagula ipsa aqualia,& anguli R,L A P, aequa 'les. re cadente filo in parte leto. parallelae ex parte ΣΟ8. lateris A D, ductae, si in tabula constructa erutus fuerit per parte Iro. parallelae 2Ο8. angulus grad. s 9. dabit eius complementii grad. 6O. Min. I. angulum B , altit dinis quaesitae. Eademque ratio est de caeteris . In tabula porro ut hoc etiam studiosum moneamus in numerus parallelarum , incipiendo in ta ostro exemplo
a Ι28. progrediendoque usque ad 236. ponatur in uertice tabulae, numerus uero partium cuiusque parallelae ab I. usque ad Σ36. in sinistro latere eiusdem tabulae, in angulis denique' communibus scribantur gradus & Minuta EADEM ratione ex sola scala uti metra, cuius latus utrumq; sectum sit Sua ra- in I 2. partes aequales , inuestigabimus altitudines astrorum exquisitissime , si mone oae prius inquirantur partes millesimae abscissς ultra integras partes , ut supra do- partibus
cuimus . Nam cadente filo in umbram versam si fiat, ut Irooo. totum latus sala alti scalae ad Io oooooo. sinum totum , ita partes abscissae additis ad partes mille- metra al-simas inuentis toties Iooo. quot partes integrae abscistae fuerint, ut fractiones titudines Valentur, ut supra diximus .ad al1ud, inuenietur Tanges anguli altitudinis quae- astrorum . sitae, ex dicta praxi nostrorum triang rectit. Si autem filum cadat in latus eliciatur umbrae rectae, complementum anguli hoc modo iuue uti dabit altitudine quae- exquisitis sitam. Vt si ex umbra uersa abscissae sint partes 3. & - supra sme patuit, efiiciunt 3683. partes, qualium I 2O OO. totum latus statuitur : F1at, ut Izo oo. ad Iooooooo. sinum rotum , ita partes abscissae 3683. ad aliud, reperieturque Tangens 3 o 69I67. fere, cui respondent grad. Ι 7. Min. q. pro angulo altitudinis. Qi md si abic1ssae sint ex umbra recta partes dictae 3-nem pe 3683. qualium Ιχooo. totum latus ponitur, erit atritudΘ grad. 72. Min. 16. nempe complementum anguli inuenti grad. I 7. Min. 4. Idem assequemur, si partes abscissae pon sint millesimae , sed a Io oo O. denominatae, dummodo totum latus constituatur partium Izoooo. Quod si partes abscissae sint centesiime duntaxat, statuendum erit latus partium 12o O. Si uero decimae tantum , parritium Iro . eademque erit operatio.
HOC artificio, si ad millesimas usque partes progrediamur, obseruari po
terunt 2 ooo. altitudines diuersae , cum in utroque latere contineantur partes IrOOo. ut supra diximus. Si autem usque ad parte S a Ioooo. denominatas progredi uelimus, obseruabimus et Oooo. altitudines. quod sane ob operationis facilitatem incredibile uideri possit, cu nullae sub diuisiones in scala appareant. I A M uero in scala alti metra ut usum quoque dicti quadrati in rebus Geo- Vsus eius metricis explicemus i dici non potest , quam praestantem usum habeat idem dem qua- quadratum hactenus con1tructum: ubi latus C D, umbrae rectae,& B C, umbrς drati in uersis deputabitur, & omnis operatio uel per solam umbram rectam , quod rebus Geoperiucundum est , & huius instrumenti proprium luel per solam uersam sine metricis . alterius ad alteram reductione,& sine ulla fractionum molestia fieri comod1 si me poterit. Solum gnomon hic no est isse semper, sed alius atq; alius. Exempli gratia. Filo perpendiculi A , absci 1idente in Q , parte Iro. Umbrae rectae R erit gnomon Α R, partium Σο8. Qi d si idem punctum , ponatur Pertinere ad parte χο8.umbrae uersae,erit gnomon partium I 2 O. Et quoniam,ut
140쪽
in quadrato Geometrico de monst rauimus,est ut umbra recta ad gnomonem, ita distantia oculi a re, cuius altitu dinem mensuramus, ad ipsam altitudinem: Item ut gnomon ad umbram uersam,ita eadem distantia ad altitudinem fiat ut umbra recha Izo. ad gnomonem zo8. Vel, ut gnomon ΙΣΟ. ad umbram uersam Σο8.. ita distantia dicta ad aliud ,reperietur altitudo rei mensurandae.Sic etiam, cadente filo in punctum L , erit umbra recta partium zo8. & gnomon partium Lao. Vmbra autem uersa erit partium 1 2O. & gnomon partium zo8. atque ita de reliquis. Sed hac de re copiosius breui, Deo iuuante, in opusculo nothro de magnitudinum demensionibus scribemus.
paulo ante constructi, ubi singuli arcus producti distribuuntur in 128. partes aequales: in qua statim apparet, quot Gradus, Μinuta, ac Secunda singulis particulis cu