장음표시 사용
121쪽
cupit, me eum proximis hisce diebus co in municauit. P E T R. V S quidem Nonius Lusitanus summo ingenio Mathematicus ad
hanc rem in libello de crepusculis propos. 3. partis sectindς tale excogitauit a stifici uiri . Descriptis ex A , centro quadrantis B C , intra eundem diu adrantem Congru- alijs quadraginta quatuor quadrantibus minoribus , quomodocunq; inter se distantibus,ut in uniuersum fuit s. diuidit eum, qui quadrariti B C, proximus dea adest, & in 9 o. gradus distributus, ita 89.partes aequales, sequentcm in 88. alium ui altitudi-87. atq; ita deinceps , ut partes sequentis semper sint Vna pauciores, quam par- astro tes proxime praecedentis quadrantis ; adeo ut ultimus , dc omnium minimus eum 'ob contineat o. partes aequales . Plures quadrantes non est opus describere,
quia eorum partes essent duplae partium quadrantum iam descriptorum. Vt eae i siti pars una quadrantis in s . partes dixit si contineret duos gradus quadran- imis. tis maximi in 9o. gradus distributi : pars vero una quadrantis in q. partes distincti complecteretur . quadrantis in 88. partes diuisi : & una pars quadrantis d1ui si in partes 43. includeret quadranti Sin 86. partes distributi;&c. Hac ratione in primo quadrante in 9 o. gradus distrrbuti asti-
ad -y- . Nam Vlius gradus primi quadrantis est 'u' . Vna autem pars secundi quadrantis est - - . Vna tertij, - r. atque ita deinceps Vsque ad quadran. tem qui 1ia 6. partes distributus est , cuius pars Vna continet ra- . ita ut beneficio s. quadrantum habeamus omnes parte S a Vsque ad - - . Deinde quoniam quaelibet res diuisa in quo tuis partes numero pares diuisa etiam est in partes, quae illarum medietatem constituunt, Nam linea secta in Ir. partes v. g. diuisa est etiam iii 6. cum - . emciant &c. fit ut - primi quadrantis exhibeant nobis ra . & τά- . quadraulis in 8 8. partes distribi ii, quinti quadranti S. distributi. in 86. partes, . . atque ita deinceps progrediendo per quadrantes partium numero parium usque ad quadrantem partium 46. cuius osserent nobis V . bunt---. & α,. praebebunt-& sic deinceps usq; ad quae exhibebunt . Rursus - .dabunt . dabunt --π.& 1ta deinceps Vsq; ad quae osterent - . Praeterea π - . dabunt & - . dabunt αexhibebunt Ac tandem offerent - .HAEC est co11structio quadrantis , quam Petrus Nonius nobis reliquit, sdifficilis illa quidem , cum vix quadrans in partes , quarum num Crus primus est, Vtin 89. 87.& c. a quoquam, etiam si omnem adhibeat diligentiam, sine errore diuidi possit: Usus autem perfacilis est . Nam obseruaturus interdiu altitudinem Solis, aut nocte serena altitudinem alicuius stellae , notet diligenter , in cuius quadrantis integram aliquam partem filium perpendicul1, aut linea fiduci ς incidat: Vix autem , aut perraro contingct, ut filum non cadat in par tem aliquam iutegram alicuius quadrantis, propter multitudinem quadrantum,& partium diuersarum in Deinde fiat, ut numerus Omnium partium illius quadrantis , in cuius partem aliquam integram filum cecidit, ad numerum partium a filo abscissarum , ita numerus graduum 9 o. in quos idcm quadrans diuisus este concipiendus est, ad aliud ; produceturq; numerus graduum dictis partibus abscissis respondentium . Et si quid in Diuisione fuerit residui, illud per 6o. multiplicatum . atq; in eundem diuisorem , hoc est , in numerum om nium partium dicti quadrantis diuisum , dabit Minuta graduum : Et si adhuc quidpiam remanserit in hac Diuisione , illud eodem modo per 6o. multiplica tum , & in eundem diuisorem diuisum exhibebit Secunda. Atq; hoc modo progrediendo reperieutur Tertia Quarta , dcc. donec nihil in Diuisione supersit:
Sed satis est d Secunda usq; progredi . Exempli gratia. Ponatur quadrans D E.
122쪽
structi. 3 3 sextib II. quinti.
diuisus in 7 o. partes,& filum perpendiculi A F, abscidisse ex eo partes 3 o. in G.
Fiat ergo, Vt 7 o. ad 3 o. ita 9 o. ad aliud, hoc est, multiplicentur 3U. Per 9O. M productUS numerus 27oo. per Io. diuidatur:producenturii; Grad. 3 8. Sed quia1n diuisione supersunt o. multiplicabimus ea in 6o. Sc numerum productum a Co. per TO. rursas partiemur, Ut prodeant Min. 3 4. Quoiatam autem adhuc supersunt in diuisione et O. multipi cabimus ea in clo. de procreatum numerum 12oo. per eadem To. diuidemus, ut producantur Sec. 17. Rursus quia iterum supersunt Io. quae multiplicata in 6o. gignunt fico. quo numero per To. distri buto,producentur Ter. 8. Sc. Demonstratio huius operationis perspicua est. Quoniam enim est, ut angulus D Α Ε, ad angulum G Α Ε,Rita arcus D E , ad arcum G Ε: Et Vt idem angulus D Α Ε, vel B A C, ad eundem angulum G A E, vel FAC, ita arcus B C, ad arcum F C, erit ut arcus D E, hoc est, quadrans in partes 7oc diuisu S, ad arcsem G Ε, partium 3 o. bita arcus B C,id est, quadrans in 9 o. gra ius distributus , ad arcum F C , continentem numerum determInatum graduum, Mιnutorum, S c. Aut certe,quia est, ut quadrans D E, quatenus 7 O. partes continet, ad arcum G E, earundem partium 3 o. ita idem quadrans D E, quatenus gradus 9 o. cQmplectitur, ad eundem arcum G Ε, respectu dicti quadrantis in sto. grad distributi, ex i)s,quae ad finem propos. 9. nostrorum Sinuum demonstrauimas'. Quare si fiat, ut quadrans D Ε, partium 7 o. ad arcum G partium 3 o. ita quadrans B C,graduum 9 o. ad aliud, reperietur arcus F C, gra duum 3 8. & ex numero , qui in diuisione superest , reperientur Min. 3 &c. Vt
constat ex iJs , CUM in quaestione I. Regulae trium;& cap. 7. nostrae Arithmeti cete practicae scripsimuS . ψ l l
SED quoniam, ut diximus, factu perdifficile est, ut di isti quadrantes in eius modi partes se centur, adhibuit supra dictus D. Iacobus Curtius tale remedium Descriptis ex A, quo libet quadrantibus, producantur singuli ultra semidiametrum A B, proximus quidem extremo quadranti usq; ad gradum 9Ι. hoc est, usque ad lineam ex A, ad grad. 91. ductam : sequens deinde usq; ad grad 92.&insequens usque ad grad. 93. & sic deinceps usque ad alios atque alIOS gradus. In figura exemplum habes in quadrantibus usq; ad grad. 96. IOO. IOq- IIO 12 O. 3c Ι28. t autum productis, ne multitudo , si ad ungulos gradus essent producti, confusionem pareret. Deinde unusquisq; arcus 1ta productus secetur in 9 o. partes aequales : quae diuisio longe facilior est illa superiore , eum quilibet horum arcuum non difficilius in 'o. partes aequales distribui possit,quam qua drans In 9O. gradus. V S V S idem est , qui superioris co11structionis. Nam cadente filo perpen diculi in partem aliquam integram alicuius quadrantis , quod fere semper ac cidet, propter diuersitatem partium in tanta quadrantum multitudine) si fiat, Vt 9O. nempe Vt numerus partium , in quas quilibet arcus productus diuisus est , ad numerum partium , quas filum abscidit, ita numerus graduum in illo arcta contentorum , in cuius partem al1quam integram filum cecidit, ad aliud, repeIietur numerus graduum dictis partibuέ abscissis respondentium, &c. 'tprius. Exempli gratia. Ponatur arcus H I, usq; ad grad. 11 o. productus in par tes 9 O. aequales esse diuisus, filumq; perpend1culi A Κ , ex eo abscidisse partes 4O. in L. Fiat igitur ut 9 o. a O. ita II o. ad aliud. &c. reperienturq; arcui I L, deberi grad. 48. Min. s 3. Sec. ΣΟ. Demonstratio eadem est, si loco quadrantum accipiantur arcus IH I, C Do . Nam cum sit, ut angulus H Α I, ad angulum L A I,' ita tam arcus H I, ad arcum L I, quam arcus o o C, ad arcum K C, erit quoque V Vt arcus HI, ad arcum L I, 1 ta arcus o o C, ad arcum K C , &c. Vel quia est, ut arcus HI, quatenus continet 9 o. partes, ad arcum L I, earun dem partium qo. Ita idem arcus HI, quatenus grad. Do. complectiv x, Rd
124쪽
eundem arcum L I, respectu dicti arcus IH I, in grad. I Io. distributi, ut adnem propos. 9. nostrorum Sinuum oste11dimus .
EST ergo , ut vides, constritistio haec quadrantis multo facilior illa , quam Petrus Nonius nobis praescripsit. Et quoniam facile est ut vulgo dici solet , iuuentis addere, em ciemus constria ectionem adhuc faciliorem , si eosdem arcus productos usq; ad grad. 91. 92. 93. dcc. secemus in partes I 28. aequale S : qua diuisio omnium est facillima, cum quilibet arcus secetur primum bifariam,& quaelibet pars rursus bifariam, & rursus quaelibet bifariam , & ita deinceps, donec septem diuisiones peractae sint. Proximus autem quadrans quadranti B C, non productus diuidendus quoq; est in 128. partes . Quod si quadrantes ultra semidiametrum A B, produci commode non possint, ob spati) angustias, instituenda ei fit diuisio hoc modo . Diuidatur numerus graduum, quem quilibet arcus productus continere deberet, bifariam in extremo quadrante ,& ex Α, ad partem mediam linea occulta ducatur. Haec enim secabit quadrantem propositum in puncto , ubi arcus prodi ictus prima diuisione bifariam secaretur. Quare si arcus inter hoc pune tu , & semidiametrum A C, comprehendens 64. partes e X illis 128. totius arcus producendi, secetur bifariam continue sex diuisionibus , partesq; illius in arcum inter idem puninum , & semidiametrum A B, transserantur, habebuntur in dato quadrante omnes partes , quae ex illis 128. in quas totus arcus productus diuideretur, in quadrantem cadunt. Vt si diuidendus sit quadrans M N, Vs hie ad gradum Io . producendus, ducemus ad gradum s 1. nempe ad medietatem graduum I O . rectam , quae secet quadrantem M N, in o. Nam si arcus O N, continens parte S 6 .e X 1llis Ia 8. totius arcus producti, secetur continue bifaria sex diuisionibus, partesq; eius in arcum O M, transferantur . habebuntur omnes partes in quadrante M N, cadentes nosecus, ac si totus arcus productus in I 28. partes distributus esset. Sic etia, si quadrans ad gradum 11 s. producendus diuidendus sit, ducenda erit linea ad gradii 62ψ. nempe ad medietatem graduum Iets. 5 c. Quod artificium adhiberi etiam potest in pr cedenti diuisione , qua D. Iacobus Curtius uti solet. Nam V. g. in quadrante M N, Vsq; ad grad. Io . producendo recta A O , ad grad. s r. ducta aufert arcum ON, partium 4 s. ex illis ' o. in quas totus arcus proditinus diuidi deberet. Quare si arcus O N, secetur in tres parte S qu stles,& qu libet ha- Iu partium rursilm in 3 . partes, ac demum singulae harum in s. diuisus erit arcus O N, in s. partes, ex quibus si in arcum O M, transferantur, quotquot postulat, diuisus erit quadrans MN, non secus, ac si totus arcus pIO ductus in 9o. Partes aequales suis et distributus. V S V S quadrantis ita constructi a superiori usu uon differt. Cadente namque filo perpeia diculi in partem aliquam integram alicuius quadrantis,l quod plerunq; in tanta partium diriersitate, & quadrantum multitudine continget si stat, ut 128. nimirum ut numerus partium , in quas quilibet arcus productus diuiditur, ad partes a filo abscissas, ita numerus graduum in toto ar cu producto comprehenso tum , tu cuius partem aliquam integram filum incidit, ad aliud, reperietur numerus graduit in arcu abscisso contentorum, &c. t supra. Exepli gratia. Ponatur quadrans P Q , sq; ad grad. Io o. productus, flumq perpendiculi ex eo abscidisse partes 2 o. ex illis I 28. in quas totus arcus prodii eius distributus est. Fiat ergo, ut I 28. ad ro. ita Ioo. ad aliud , iumenien turq; grad. I s. supereruntq; in diuisione 8 o. quae ducta in 6o. faciunt 48o . quae diuisa per Iz 8. davi Min. 37. & supersunt adhuc 64. quae si ducantur in 6o.& productius numerus 38 o. diuidatur per I 28. prodibunt Sec. 3O. Arcus ergo et O. Vel arcus quadrantis BC, inter C,& filum perpendiculi includit grad.
126쪽
Constructio tabula quo modo san
ducto filum perpendiculi abscidisse partes 96 ex illis 1 28 quae in toto arcu producto continentur. Fiat ergo, ut I 28. ad 96. ita 96. ad aliud, reperienturq; grad. 72. praecise arcui abscisso conuenire. Demonstratio huiusce rei eadem est, quae Iupra, cum semper ita sit quilibet arcus productus,quatenus in I 28. partes sectus est, ad arcum abscistum respectu earundem partium, Ut idem arcu S totuS productus,quatenus coprehendit numerum graduum, ad quos usq; arcus ille productus est , ad arcum eundem abscissum respectu eorundem graduum, ex ijs , quae ad finem scholij propos. 9. nostrorum Sinuum demonitra
HISCE quadrantibus ita diuisis duplices numeri ascribendi sunt, prope
semidiametruin quidem A C , numeri quadrantum, Vt I. prope eXtremum, a. iuxta sequentem,& 3.iuxta alium, &c. Ita Vides quadrati, qui usq; ad grad. 96. productus es , appositum esse numerum 8. cum is octauus sit ; Primus enim est qua lias B C; secundus, qui sequitur, 9 o. graduum; tertius graduum 9Ι. qua tus graduum 92; quintus graduum 93 ; sextus graduum 9 ; septimus graduum 9s. & octauus graduum 96. Quadranti vero usq; ad grad. Io o. producto cerniSascriptum esse numerum 12.&c. At vero iuxta semidiametrum A B, numeri graduum scribendi sunt, ad quos usq; quilibet quadrans extenditur,ut in exemplo vides . Ita enim cadente filo perpendiculi in partem aliquam integram alicuius quadrantis , illico iuxta semidiametrum A B, appatebit, ad quem gradum usq; quadrans ille productus fuit:qui quidem numerus graduum in regu la trium tertium occupat locum,Vt ex dictis constat. PORRO ut studiosum hoc labore supputandi leuaremus, composita est a nobis tabula, quam ad calcem huius cap. reperies, in qua confestim apparet, quot gradus, Miu.& Sec. cuilibet parti cuiusuis quadrantis respondeant.Nam si in latere tabulae sinistro sumatur numerus illius quadrantis, in cuius partem aliquam integram filum perpendiculi cecidit, numerus, inquam, iuxta semi diametrum Α C, illi quadranti appositus, in vertice vero eiusdem tabulae accipiatur numerus partium a filo abscisi arum, reperientur in angulo coinmuni Gradus,M111.& Sec. arcus abscissi. Exemplum. Ceciderit filum in partem 3 o. quadrantis 16. qui usq; ad grad Io . productas fuit. Si ergo in vertice tabulae uimatur numerus 3 o. & in sinistro latere 16. deprehendentur in communi a gulo grad. 2 . Min. 22. Sec. 3 o. atq; ita de caeteris . Constructio tabulae ex dictis obscura non est. Nam si fiat, ut I 28. ad I. ad a. ad 3. ad . S ita deinceps Vsque ad I 28. ita numerus graduum cuiuslibet arcus totius producti ad aliud, reperientur grad. Min. & Sec. pro partibus cuiusque quadrantis . Continentur autem in tabula tantummodo o. quadrantes, quod hi satis esse videantur: si quis tamen plures describere velit, facile tabulam extendere poterit secundu doctrinam traditam hoc loco ad quotuis quadrantes. In eadem tabula, quando in tertia operatione Iegulae aureae,qua Secunda inquiruntur, numerus reliquus fuit maior, quam 5 . maior nimirum dimidio Diuisoris 128. asthmpsimus
IN gratiam quoq; studiosorum placuit hic tabellam inserere, in qua ex
residuo primae operationis regulae aureae, qua gradus eliciuntur, mox apparet, quot Minuta, ac Secunda illi residuo respondeant, ita ut opus sit semel tantum regulam auream adhibere: quae res mirificum compendium construendae ta
127쪽
TABELLA INDICANS, QUOT MI NV-ta ac Secunda residuo primς OperationiS regulς aureae, qua gradus in stipra nonninailae tabulae constructione eruuntur, respondeant. l
M. S. t M. S. M. Ss7. II 's 7 39 8. 7M. S. t M. S.
UT autem usum huiusce tabellet facilius intelligas, apponemuS Vnum exemplum . Cadat V. g. filum perpendiculi in partem: 29. quadranti S usoue ad gradum 13 I. producta. Fiat igitur , ut Ι28. ad 29. ita 13 Ι. ad aliud, producenturq; grad. 29. Quia vero in diuisione supersunt 87. Sub quo numero in prae cedenti tabella ponuntur hi duo numeri qo. 47. Prioi ergo dat Minuta, & posterior
128쪽
sterior Secunda : ita ut arcus a filo abscissus complectatur Grad. Miti. o. Sec. 47. atq; ita de reliquis. Nam semper superior numerus est ille, qui tu Diuisione rem au fit, inferiorum autem numerorum prior ad Minuta, & posterior ad Secunda spectat. Modus NOLO praeterire hoc loco modum pulcherrimum , quo solo circini be- pulcherri' neficio cognoscere possimus, quot Minuta, Secunda, Tertia, dcc. in quavis da
mui cogno ta gradus particula contineantur : cuius quidem inuentorem D. Iacobus Cur
scendi be' titis , de quo supra, dc a quo eum accepi, facit Fabricium Mordentium Impeneficio cir raro cis Rodulphi quondam Mathematicum . Modus bic est. Sit data parti- 'ini, quot cula T V, in gradu ΣΟ. Sumatur ea beneficio circini, & a principio quadrantis MiPuta, incipiendo, eadem apertura circini accipiantur iso. aequales particula: usq; ad Secunia , punctum X, ita ut arcus C X , sexage cuplus sit arcus T V. -t enim gradus Terti integri in hoc arcu sexage cupio C X, continentur, tot Minuta Integra comple etc. tu quo istetur particula data T V. Et si ultra gradus integros in arcu C X, supersit ali rati propor qua particula, accipiatur ea sexagies quoque, initio facto a C. Nam quot gra-st gra' clus integri in hoc arcu sexage cupio comprehenduntur , tot secunda Vltra Midui parti nuta inuenta continebuntur in data particula T V. Quod si adhuc aliquid sucula coliti persit, reperientur eodem modo Tertia, S c. Itaq; cum in arcu C X, qui sexage Iearatur . cuplius est particulae T V, contineantur o. gradus integri, comprehendet par ti cula T V, quadraginta Minuta , & insuper tot secunda, quod gradus continentur in arcu , qui sexage cuplus sit particulae ultra o. gradus in arcu CX, contentae, &c. dita demonstro. Quam proportionem habet arcus 6 .graduiam ad i. gradum, eam habet arcus C X, ad particulam T V, cum Ytrobique proportio sit sexage cupia. Igitur permutando quoq; erit, Fi arcu S 6O. graduum ad arcum C X, ita I. gradus ad particulam T V: ac proinde quot partes sexagesimae arcus 6O .graduum, hoc est, quot gradus, in arcu CX, continentur, tot sexa
gesimae partes unius gradus, id est, tot Minuta, in particula T V, existent. Item
quam proportionem habet arcus 6o. Minutorum ad I. Minutum , eam habet arcus sexage cuplus particulae,quae ultra gradus integros Vsq; ad X, superest, ad hanc ipsam particulam. Permutando igitur erit quoque, ut arcus 6o. Min Utora ad arcum sexagecuplum dictet particulae reliquae, ita 1. Minutum ad dictam particulam reliquam . Quare quot partes sexagesimae arcus 6o. Minutorum,
hoc est, quot Minuta, in arcu dictae particulae reliquae sexage cupio l sumendo nunc gradus quadrantis B C, pro Minuti si continentur, tot partes sexagesimae unius Manuti, id est , tot Secunda, in reliqua illa particula includentur : dc sic deinceps , si opus sit, de Tert ijs , Quartis,&c. intelligatur. Sed satis meo iudicio est, si Minuta diligenter inquirantur; Et si quidem particula remane HS ma ior fuerit drmidiato gradu, illis adhuc 1. Minutum a iij ciatur, quod tunc in illa particula contineantur plura Secunda, quam 3 o si vero eadem pari licula dimidiato gradu fuerit minor, nihil Minutis ramentis addatur, quod tunc in illa particula pauciora Secunda includatur, quam 3 o. Quod si particula dicta praecise dimidiato gradui fuerit aequalis, liberum sit addere Minutis inuentis vinum Mi
V I A vero facile error comitti potest , si circino particulam dictam gra'. dus , vel Minuti sexagies sumere velimus, rectius feceris , si illam primo loco quincuples , deinde hunc arcum quincuplum duples , tertio hunc arcum du- plum triples, ac tandem quarto hunc arcum triplum iterum duples . Vltimus enim hic arcus erit datae particular sexage cupius. Vel l de commodius fortasse si datam particulam primum quadruples , deinde hunc arcum quadruplum duples, Vt habeas 8. particulas; tertio arcum hunc iterum duples, ut facias particulas, quarto hunc arcum rursus duples, ut fiat arcu ψ3 2. par-