장음표시 사용
101쪽
Ex quarto Exisposibe. ELEMENTA erit busi e d,Cr angulM e qualis angulo d Cr anagulus ab e, aequalis angulo acd. Item alios duos triangulos intelligo dbc, CT ecb: qui ostendunαtur esse aequi lateri, CT aequi anguli. Num latera b,dCr c d,trianguli b,d, c, sunt aequalia duobus lateriae bus e c,me,b, trianguli e b c Cr angulus Languloe:ergo per praecedentem,bos baLU reliqui anguli reliquis angulis. Quare anguluό d, b, c, est squam iis angulo ecb, quod fecundo loco fuerat demonae
fridum. uri enim fiunt sub bo lsoscitis positi. Iam
totus angulus a b e est aequalis ac de se ergo a toto auferamu3 aequales angulos e c b, CT d b c , qui fuispererut a b c, CTu c b,erunt Equales per tertia axiornu, qui sunt anguli ad bufm Isioscelis positi, quod
primo loco fuerat demonarandum.
non ratio sumpta b pol bobus, Cr constiis
tuta figuraimonstrat in primis triangulos ab e, ac dese aequiangulos Cr aequales in hiacmodu. Omni in triangulorum, quorri duo latera unius fuerint aequalia duobus lateribus alterim CT anguli aequilateribus contenti aequales, erit bos basi, G denis totus eriangulu3 toti aequalis. Sed in propositis ita res felle habet. Ergo totum triangulum toti par erit, er angulus a b e,aequalis angulo acii. Secunda ratio ostendit partem posteriorem an
102쪽
GEOMETRICA. SOOmnium triangulorum,quora duo latera tinim fuerint aequalia duobus lateribus alterius. σc. sed in propositis triangulis, latera d b, CT d c, trianis guli d b Maequalia sunt lateribra alterius e c,m e b er anguli d c aequales.
Ergo anguli, qui sunt sub bini I Ucesis e cb, πd b c erunt aequaleS. Tertia ratio concludit priorem partem, anguσlos a b c , Cr a c b, qui sunt ad balim Iboscetis patres O. Ex. r. axiosi ab aequalibus auferantur aequalia,quae relino riquuntur sunt aequalia. Sed totvi angulus eb a aequalis erat toti angulo Eae praecesd c a ta a b bis ablati sunt aequales anguli d b c Cr dentibus. e c b,qui sunt sub bacti. Ergo qui relinquuntur unguli ab c ,σ ac λerunt aequales,quod fuerat demonstraridum.
Theorema sextum. g. primi. Omnium triangulorum,qVstrum duo latera dinius, uerint aequalia eduobus lateribus alterius basis basi aequalis , qui coutinentur aequis
lateribus, anguis erunt aequales. sint duo trianguli a b c , d es, fis latus a cta θ aequale
103쪽
ELEMENTA aequale lateri d fCI b c, aequale es, π a b bos, ea quaist basi d e. Dico angulum c parem esse angulo sanguiu a, angulo d,Cr b, e. Nams triangulia unus alteri superponatur Cr accommodetur,certe Oportebit latera lateribuε congruere, CT basim basi, per octauum axioma. Et punctu3s cadet super c, aliοα qui linea non client pares,ut ex altera constat nura. cadet quoque d super a,ex e super b. Ita anguli omnes unius erunt pares angulis alterius,quod fuerat demon 'trandum.
Demonstratio unica huc ratione concludit propositum, angulos aequis lateribri contentos pares cse fcrd,a,e, b. Ex. 3. axio Quae fiunt aequalia, sibi inuicem congruunt, sed mate. latera unius trianguli aequalia sunt lateribus alteri Ex h poα ritu er buses basi the. Ergo δε alter alteri accommodetur, Cr latera congruent, er anguli angulis. mare necesse est angulos esse pares.
Theorema septimum. 9. primi. Datu angulum per aequalia se
Sit datus angulM, quem oportet diuidere a b G lineae ipsum continentes,stant aequales, ni a b c, o c.Et trahatur ι mea b c .super quam constituatur tria gul πε
104쪽
punctis a d linea recta iungantur a d. Dico illam diuidere angulum a in duo aequalia. Sunt enim duo trianguli, b a d π e a d: quorum latera unius sunt aequalia lateribus alterius,scilicet b a,Cr ad,σc a a d er basis b Lba' b c. Q nare per praecedentem anguli aequis lateribvi contenti bad, circa d, pares erunt. Ita constat totum ungulium b ac diuia sum esse in duo aequalia.
concludit demonstratio angulum b ac, per liunea a d, diuisum esse in duo aequalia unica ratione. morum trianguloru latera univi aequalia sunt Ex.s .axiolateribus alterim, Crbos basii, Anguli aequis lateis matriribus contenti sunt aequales,
Ergo anguli b a d, Cr c a d,aequis lateribia contenti, pares erunt. Quare totvi angulus b a si diuia μου eli is partes aquas.
Theorema octauum O. primi. D atam rectam liueam fer aequalia diuidere.
Sit linea diuiden a per aequalia a bsuper ipsam G iij conlita
105쪽
eonstratuum triangulum aequilaterum a b c , manae gulum c diuidam in partes aequus per prccedente, ducta luaeacd. Dico lineam e d,diuidere lineam a b per aequa. Ita. Sunt enim duo trianguli a cd, π b c d, e latera prioris ac, CT d c, sunt aequalia Iateribin alteririus b c, CT d c, CT angulus e uia tu par angssis c, alterius. Erit igitur per quartam bos a d, aequalis basi d b,quod demonstrandum erat.
Demonstratio unica ratione propositum corio cludit, lineam ab, a linea cd, in partes aequas esse diuisam, Orum triangulorum latera sunt aequalia, Cranguli aequis lateribu3 contenti pares,binis basest αqualis. sed duorum triangulorum acd,σbcd, laterara sunt aequalia,CT angulus e par angulo c. Ergo binis a L aequalis basiadb . Linea igitur ab in partes aequaS est divisa.
Data recta linea signo in ea uato prectam lineam ad rectos au
106쪽
GEOMETRIc A. Sasit data l:nea a bsignetur in ea punctus ca quost educenda perpendicular R. per. 3. constituam limneam b c aequalem lineae a c: Cr super totum a b, co lituo triangulum aequilaterum abd, ac tande exm traho ex puncto c,loneum c d, hanc dico esse per pudicularem ad lineum a b . Sunt enim duo triangulia cd σb c d G' quia duo latera ac, C cd unius, sunt aequalia lateribu4 cb, Cr c d alterius, tar basis a d, basia b d, erit per. 3. angulin a c d, qualis auris Iob c d. Quare uteri eorum erit rectu3. Crm enim recta linea super recta consiliens angulos utras parte aequales fecerit, uteri aequalium angulorum Tectus est, CT linea,quae super altera co stit, est perpendicatur8. Quare linea c d, ad limeam a b erit perpendicularia.
Demonstratio colligit lineam c d, esse perpetiodiculare, ungulos a c d , r b c d,esse rectos duciae bus rationitas. Prima concludit praefatos angulos se pares. Quorum triangulorum lutera sunt aequalia,Cr Ex. 3 pro. basis basii aequalis, anguli aequis lateribus contenti sunt aequales. Sed latera a c Cre d sunt aequalia lateribus c b Sunt hypoei cd,Crbosa d,bor bd. the. Ergo anglili u c d,σ bcd, erunt aequales: nam continentur aequis lateribus. Secunda concludit praedictos angulos esse reo
107쪽
cum recta linea super recta consistens utrobis angulos aequales fecerit, uteri illorum angulorum est rectus, CT I mea, quae super altera cadit est pera pendicularis. At linea e d, efficit aequales angulos. Ergo exper
'μμ Theorema decimum. I3. primi.ς Cum recta linea puper recta con e si flens, angulos fecerit, aut duos rectos,aut duobus rectis,tares efficiet
Super rectam c d, cadat linea a b, quae si fuerit perpendicularis, faciet duos angulos rectos per couersionem diffinitionis lineae perpendicularis. Si autem non fit perpendicularis, ducatur a puncto bperpendicularis, per. H. be, erunt duo angulie b GCr ebd recti per eandem conuersonem. Iam cum duo anguli dbu, CT ab e sint pares angulod be, si cum angulo c b e, erunt aequales duobus rectis. Quare tres anguli db , abGezcbe pares fiunt duobus recta. Sed angulu3 e b a, est aequalis duobus angulis c be, eb a, ergo duo anguli eb a,erab d, sunt equules duobus redis . Hinc si totum hyacium,
quod circlinstat punctum quod uis in superficie
108쪽
GEOMETRIc A. SI plona, quatuor rectis angulis esse aequale.
Demostrationis prior pars explicatione no eget Altera eim pura concludit ungulos c b a,tar d ba, esse pares duobus rectis his rationibM. Prima cotiligi ducta linea perpendiculari b e, angulos cbe, ω ebd esse rectos. cum recta super rectam con sistens, angulos femcerit ad sicem aequales, uteri siorum angulorudi rect s.
sed anguli propositisunt i linea b ea perpe,diculum ducta. Igitur u ut anguli recti. Altera colligit angulos rectos ebe, ebdpares esse ungulis tribus e ba, ab d, ebcm hunc modu. Si aequalibus addantur equalia,cut idem comae mune,quae reliquuntur sunt aequalia,
Sed anguli duo eba,ub d,aequales uni anguloe b denum partes aequales sunt toti, Ergo sit utri' addamia angulum communem ebe, duo anguli c b e, e bd, pares erunt tribus unis gulis e b a,a b d,e b c. Tertia ostedit angulos oba, ab d,aequales esse angulis cbe,eba, ab L aequales esse mili arguo
Si aequalibus addantur aequalia,aut idem comune, quae relinquuntur sunt aequalia, Sed angulu4 cba aequalis est ungulis obe,eba, G s totxm
109쪽
dentibus. ELEMENTA totum enim aequale est partibvi. Igitur δε utriss addamque commInem angulum a b d, anguli eba,abd aequales erunt tribus angui Rcb Geb a ab d. Quarta colligit quod demostrandum erat,ans gulos cba,ab d, se pares duobus rectis. One eidem sunt aequalia sunt inter se aequalia. Sed unguli cba, ab d , sunt pares tribus cbe, e b a d bd, Cres dem tribuη aequales sunt ungulic be eb d. Ergo anguli cba, abd, pares erunt angulis e be, eb d. Quare cambi recti sint, pares illi erutduobuη rectis.
Theorema undecim v. IS. primi. Omnium duarum linearum stinuicem secantium φmnes anguli corra sepositi sunt aequales.
puncto e, angulus deb par erit angulo a e c, Cr angulus cebangulo a e d. Erunt enim per. I 3. duo anguli a e c,Cr ceb aequales duobus rect . Itelns anmgulice b, CP deb erunt per eandem pares duobus rectis. Quare ci omnes anguli recti sint aequales,
priores posterioribgs pares erunt. Si igitur auferi
110쪽
ramus communem angulum c e b, erit angultis aecaequalis angulo d eb. Eodem modo relι qui oppositi ostendentur aequales.
Demonstratio cocludit angulos de b,σ aec, oppositos esse pares duabus rationibus. Prima coimiuit angulos a e c, Cr ceb, items angulos c eb,
CT de λ esse pares duobuη rectis, ac proinde inter se aequales ad hune modum. Recta linea super rectam con fles, angulos ese Ex I3. scit rectos, aut pares, ductim rectu, sed priores se . sunt ex linea e M super rectam a b cadente, posteae riores ex linea e b, super rectum d c, Ergo utris pares erunt duobus rectis,unde fetit sint priores posterioribus aequales,nam per poαι tulatum. 4. Omnes recti sunt aequales Secundu concludit quod propo tu est, hocpdα Ex. 3. axis eto: si ab aequalibus auferantur aequalia, uel idem matri commutre,quae relinquuntur seunt aequalia. Sed anguli aec, Er ce b, pares sunt angulis c Ex praeceae eb, te denti. Ergos ab ijs auferamul communem angulu c eb,qui relinquatur erunt aequales, aec,CT d eb. Siminili argumento ostendentur aequales ce b, a e d,