Werke Carl Friedrich Gauss 1

471쪽

cosinus multiplorum illius anguli formam similom. sinus autom uno signo radiculi plus habent. Magnopore sane ost mirandum . quod . quum tum Euclidis temporibus circuli divisibilitas geo in trica in tros et quinque partes nota suerit. nihil his inventis intervallo 2000 unnorum adiectum sit. Omnesquo geometrae tamquam certum pronuntiaverint. Praeter illas sectiones casque. quae sponte inde domanunt. puta sectiones tu i 5. a. 2μ, 5.2 . 15. 2' nec non in 2' partos, nullas alias per constructiones geometricas absolvi posse. Cotorum facito probatur. si numerus primus νι sit - 2 H- l. otium oX ponentem m nlios sectores primos quam numerum 2 implicaro non Posse, udomue Vel l vol - 2 vel altiori potestati numeri 2 ncquulum esse deboro: si onim in Dor ullum numerum imparum c unitate maiorona divisibilis esset utque m - ζη. foret 2 - - l divisibilis por2' - l, ad 'que necessurio compositus. Omnes itaque valores ipsius v. Pro quibus ad murus nequationes quadraticas dosorimur, sub forma 2 H- 1 conti non tur: ita quinque numeri 3. 5, 17, 257. 65537 prodeunt statuendo v - 0. l. 2. 3. 4sive m l. 2. 4. S. 16. Neutiquam vero pro omnibus numeris sub illa forma contentis sectio circuli momotrice perficitur . sed pro iis tantum . qui sunt numeri primi. Ferinatius quidem inducti otio decopius affirmit verut . Omnes numeros sub illa forma contentos neccsNurio primos Psso; ut ii l. Eulor hunc rogulum iam pro G Sivo m - 32 erronoam Osse . numero 2 - - l - 4294967297 factorem 64 l involvont . primus linimadvertit. Quoties autem v-l ullos factores primos praeter 2 implicat. semper adaequationcs nitiores deserimur: puta nil unam pluresve cubicas. quando a semel aut pluries inter factorcs primos ipsius n-l reperitur. ad nequatio nos quinti adus, quando n - l divisibilis est per 5 etc.. OMNINUE RIGORE DEHONSTRARE POSSU

M Us. HAR AEQUATIONER ELEVATAR NULLO MODO NEC EVITARI NEC AD IMERIORES REDUCI POME.

etsi Iimitos huius operis hunc demonstrationem hic tradere non Pati nutur. quod tumen monendum esse duximuη. ne qui S adhuc Mias sectiones pineter ons. quas theoria nostra suggerit. e. s. sectiones in T. ll. la, is utc. PariCS. ud constructi ne, geometricas perducere SP ret. tempusque inutiliter lorat.

472쪽

Si circulus in a' partes s andus ost, designante a numerum Primum. mn-nifesto hoc geometrice perficere licet, quando a - 2. neque Voro Pro ullo alio valore ipsius a. siquidem α l : tunc enim Praeter Pas aequationes. qua ad Scctionum in a partes requiruntur. necessario adhuc α- l alius a J gradus solvere oportet: etiam has nullo modo nec evitare nec deprimore licet. iradus ita tuo uo- quationum necessariarum o suctoribus primis numeri a - i a' ' generaliter scilicet pro cor quoque casu ubi α - 4ὶ cognosci possunt. Deniquo si circulus in N - . . . partes secandu8 est. doni tantibuη a, b, c etc. numeros PrimOS inauquales, sussicit. Noctioncs in M. O . cy etc. partos perfecisso sart. 336 ; quare ut gradus aequationum ad hunc finum ne ossarium

cognoscantur. factorcs primos numerorum

sive quod hic codem redit producti ex his numeris considerum Oporint. Obsorvetur, hoc P ductum cxprimere multitudinem numerorum ad N primorum ipsoque minorum art. 38 . Geometrice itaque Suctio tunc tantummodo ubsolvitur, quando hic numerus ost potestas binarii; quando vem factores Primos alios quam 2 Puta P p etc. implicat, aequationes gradus p p μ etc. nullo modo evitari Possunt. Hinc colligitur generuIiter. ut circulus geometrice in N partes dividi Possit. N esse debere vel 2 aut altiorem I tostatem ipsius 2. vel numorum primum formae 2 ' - l . rei productum c pluribus huiusmodi numeris Priinis . vel productum cx uno tali primo aut pluribus in 2 aut Potestatem altiorem ipsius 2: sivehrevius. requiritur. ut X ncque ullum suctorum primum imparem qui non est seruiae 2 -- l. implicet, neque etiam ullum iactorem primum formito 2 H lpluries Huiusmodi valorcs ipsius N infra 300 reporiuntur hi AS: 2. 3, 4, 5. 6. S. 10. 12, 15, 16. 17. 20, 24, 30, 32, 34. 40. 4 S. 5 l. 60. 64. 63. bu, , 5, 96. l02. 120. 128. 136i 160, l70. 192. 20M. 240. 255. 256, 257. 272 1

474쪽

ab ili. E.ul ro ut illic dicitus Sed inin n ge metra. 37'' saeculi Hach t. do Moχiri . celebri Diophanti editoro ut commentatore. Porsccta est . cui ili. I.a Grange hunc honorem vindicavit Add. a L Alyebre HEulor p. 525. ubi simul mothodi indolos indicula e t . nucli et involitum suum in oditione secunda libri P bUmes pluisu et delectabies qui se font mr les non bres. t 624. tradidit: in oditiorio prima a Lyon

isii 2 . iniuin solum mihi videre licuit. nondum oXΝlnt. vCrumtamen iam annuntiatur. Ad arti i5 l. 296. 2uT. Ill. IAE Gondro domonstrationem suum denuo Qx

posuit in opere praeclaro sui mune theorie des nombres P. 2l4 Νqq. . attamon ita. ut nihil ossentiato mutatum sit: quumObrem haec methodus Otiamnum omnibus obloctionibuq in art. 29 7 prolatis obnoxia manet. Theorema quidem cui una Rulinpositio iunititur . in quavi, progressione arithmetica L l - - 2 Ptc.. numeros primos reporiri. si h Ot i divisorem communem non buboant . fusius in hoe opero considorutum Est P. t 2 sqq.: sod rigori g motrico nondum sutiΝsuctum ess videtur. Attamen tunc quoque . quando hoc theoromu Piciae domonstratum erit: suppositio altera supercrit dari numoros primos fortuno i n 3. quorum non-residuum quadrati cuin sit Dumerus Primus datus formue t n --l positive sumtus , quite an risor e domoustrari possit. nisi theorema fundamontalo ipsum iam svRPOniatur. HEScio. Ceterum observare oportet, ili. Lo Gondro hunc posteri rem suppOSitionem non tacito assumsisse. sed ipsum quoque eam non diSSimulariSSo. P. 22 l.

475쪽

Ad arti. 2b8-293. De eodem argumento, quod hic tamquam upplicatio specialis thooriae formarum ternariarum exhibetur, et respectu rigoris ot generalitatis ita absolutum esse videtur, ut nihil amplius desidorari possit. ill . I,o ἰcndro in parto III operis sui P. 321-400 disquisitionem multo ampliorem instituit' . Principiis ot methodis usus Est a nostris prorsus diversis: attamen hac Vin compluribus dissimvlintibus implicatus ost. quae offecerunt, ut theoremata palmaria d monstratione rigorosa Nimi ire non licuerit. Has dissicultates ipse candide in dic vit: sed ni fallimur hac quidem facilius sorsan adferri poterunt, quam Oa, quod in allinc quoque disquisitione theorema modo memoratum In quavis progression arithmetica cis.ὶ suppositum est. p. 371 annot in fine M art. 306 VIII. In chiliade tertia determinantium negativorum reperti sunt 37 irregularcs. inter quos lS habent indicem irregularitatis 2. et is reliqui indicum a. Ad eundem X. Quaestionem hic' propositam Plene solvere nuper sueCossit. quam disquisitionem plures partes tum Arithmeticae sublimioris tum Analyseos mirifico illustrant m in continuatione huius operis trademus quam primum liccbit.

Eadem docuit. COOssicientem m in art. 304. esse se 'ret: - 2.3458847616. designante I eandem quantitatem ut in art. 302. et ' ut ibidem semicircumferentiam circuli. cuius radius i.

Vol nobis noti monentibus lectorea eavebunt. ne nostras sordias ternarias eum eo. quod sit. Le Gendre emo trina iro aetin nom/ro dixit. eonfundant. Settieet per hane expromionem indieavit deeompositionem numeri in tria quadrata.

477쪽

a I. 3

2. a. s

'. 3. I. r. i

Io In ri. 7. s. 33 2

2623. 9-31. 33. 4628. a. a. 39. 64S. . 33. 3 . 8

480쪽

DEDICATIO . . p. 3. PRAEFATIO . . p. 5. SE Tio PatMA. Do numerorum congruentia in genere p. 9. Numeri congrui, moduli. residua et non. regidua, nrt. 1 sq. Rogidua minima, 4. Propo itione' Hementares de congruis. 3. Quaedam applicationes, i I.

Theoremata praeliminaria de numeris primis, saetcrihua ete. , art. ia. Solutio eongruentiarum primi gradus, Id. De inveniendo numero aeeundum modulos datos residuis datis congruo. aa. Congruentiae lineares quae plures in gnitas implieant , 3Τ. uoremnia varia. 38.

SEcTIO TERTIA. De residuis potestatum . P. 38.

Residua terminorum progres ionis geometrieae ab unitate ineipientis Gnatituunt sortem periodieam, ari. 45. . Consid rantur primo moduli qui atine num ri primi. Ponendo modulum Σα p, multitudo terminorum in periodo metitur numerum p- . an. 4s. Fematii theorema, ιο. . Quot numoris respondeant petiodi, in quibus terminorum multitudo est divisor datus numeri p- 1. ari. II. Ramees primitivae, bases, indiem. 11. Algoriihmus indieum, ΛΝ. De indieibus congruentiae Θ ta A. Art. go. Noma inditam In a1Mematibus diversia, fis. Basea usibus peculiaribus ae mmodatae, I a. Methodus ramees primitivas assignandi, ra. Theoremata varia de periodia et radiethus primitivis. 35. Theorema Vilsonianum, et n).