Werke Carl Friedrich Gauss 1

441쪽

Aut 3 omnia uocipiendus e t uum erues si qui Pro inodulo n sit radix primitiva, residuaque minimii potestutum ipsius y usque ad y Secundum modulum n ouenda. RusoIvatur n - l in factores. ut quidem. Si problema ad aequati nos gradus quam infimi reducPro lubet, in factores primos; sint hi ordino prorsus arbitrario) α, s. I. .. ζ. Ponaturque 67 - T . . . b. et . Distribuantur omnes radices V in o periodos a terminorum: line Singulae rursus in Ut periodos b terminorum: hae singulae denuo in I periodos ete. Quaeratur lyur. art. Praoc. uequutio αμ gradus A, cuius radicos sint illa α amrogata a te minorum, quorum itaque falares Por resolutioncm huius uequutionis innot scent. At hic difficultus oritur. quum incortum videatur. cuinam rudiei noquationis A quodvis aggregatum n vale statuendum Sit. Putn qua nam radix per a. l . quaeianua per a. M otc. duno turi debent: huic rei sequeuti modo remedium afforri poterit. Per a. IJ designari potost radix quaecunquc aequationis 1ὶ; quum nim quaevis radix huius no tu. sit a romtum a rudicum oX u. Omninoque arbitrarium sit . quaenapi xudix ex se per. si deuotctur. manifesto supponere licebit. aliquam ex iis Iudicibus . . e quibus mdix quaecumiue data Requ. AJ constat. lier

'l' exprimi. unde illa radix ac tu. Aj sot M. il: radix flJ vero hinς nondum

ponitus determinatur, scd otium num Prorηus urbitrarium seu indefinitum manot quamn Rin rudicum ex iis. quae p. l) constituunt. pro PlJ adoptare velimus. Simul ac vom 9. 1 detorminatam est. etinis omnia reliqua aggregam a terminorum rationaliter inde doduci poterunt sart. 346 . Hinc simul Putet . unicam tantuanimi ici rudicum Per huius resolutioncm druere olu ricro. POtost otium methodus A quens. minus directa. ad hunc finem uiliti bori. Accipiatur Pro l. radix dotorminnis. s. e. ponatur fit o cos--μi Eu . . intono h ud lubitum olocis. ita tam n ut por n non sit dirisibilis: quo facto etiam 2 3 J ote. radices dolo minatu K indicabunt, unde etiam aggregata a. lin. 9. y etc. quantitatos detormina- tau designabunt. Quibus e tabulis ianuum levi tantum calamo computatis, Putasea Praeci Sione. ut qnno maiora quaeve minora sint decidi possit. nullum dubium inpercsse Potorii, quibusnam signis aingvluo radices uoqui si ut distinguendae. Quando hoc modo omnia a aggregata a terminorum in , pnta frent. in vostigetur Per uri: Praoc. nequatio Ist 69 gradu8. cuius radices sint . si aggregata biormitiorum sub lu, lj contenta: codili tentos huius aequationis omnos crunt qua

442쪽

titates comitae. Quum adhuc arbitrarium sit: quaenam ex . a '- sib radicibus

exprimi Poterit. quia manifesto supponere licet, aliquam b rudieum, e quibus com-Iκisita est. per flJ denotari. Investi tur: itaque unu miliae quaecunque ne tu tionis B 'per eius resolutionc m. statuatur b. l . doriventurquo inde per uri. 346 omnia reliqua aggrogata b terminorum. Hoc modo si umb calculi confirma

tionem nanciscimur. quum s Per ea Vmogata b terminorum. qnae ad easdem Periodos a torminorum Porti noni. summas notas confic re deboant. In quibusdam casibus aeque expeditum esse Potest. α - 1 altas apquat nos 69 gradus eruero, quarum radicos sint resp. singula si Ggregata b torminorum in reliquis Poriodis a terminorum, M. cf. u. yyὶ etc. contenta. atque omnes radic η tum harum aequationum tum acquationis B I,er resolutionem investigare: tunc vero simili modo ut supra adiumento tabulae sinuum decidero oportobit, quibusnam Periodis b terminorum singuine radico hoc modo prodeuntes aequales statui dPh ant. Cotorum ad hocco iudicimia varia alia artificia adhiberi possunt. qtiae hoc loco completo explicare non Iicet; imum tamen. pro eo casu ubi V - 2, quod imprimis utile mi. Ru p r. exempla brevius quam per praecepta docta ruri poterit. in exemplis sequentibus cognoscere liccblu Postquam hoc modo valores Omnium a si a rogatorum b terminorum inventi sunt, prorsus simili modo hinc per aequationcs y gradus omnia αύν -- gregata e terminorum determinari poterunt. Scilicet rei unam aequationem γ' gradus. tutus indices sint I Rggregata e terminorum. sub tb. ii contentu. pc art. 350 ernere; por cius resolutio ueni unum radicem quamcunque olicere et e. lj statuere, tandemque hinc per uri. 346 omnia reliqua similia aggrogata deducere oporto bit: vel simili modo omnino ε16 ne quationus I Sradus evolVere, quarum radices Sint resp. 7 nraro tu e torminorum in singulis periodis b terminorum contenta. valores omnium radicum omnium harum aequutionum Per rosollationem ex

443쪽

habebuntur. Si magis placet, etiam omnes radices illius aequationis . per resolutionem erui, Praetereaque Per solutionem --l aliarum aequationum ' gradus. quin resp. omnes ζ radi s in singulis reliquiη periodis c terminorum contulitas exhibent. Omnes reliquae radices se inveniri imberunt. Ceterum Pawt, simulac Prima aequatio soluta sit . sive simulnc valoreκ mnium a agminatorum a torminorum habeantur. otiam resolutionem sunctionis X in a factores a dimensionum Per art. 348 sponte haberi; porroque Post KOIutionem aequ. B). Sive Postquam vallares omnium α6 aggregatorum b tormin rum inventi sint. singulos illos sectores iterum in g. si vo X in α 5 sectoros b dimensiourim resolvi otc.

Exemplum primum Imo n I9. Quum hic fiat n - 1 - 3.3.2, inventio radicum v ad solutionem duarum aequationum cubicarum uniusque quadraticae est roducenda. Hoc exemplum eo sacilius intelligetur quod Operationes Necessariae ad maximam partem in praecedentibus iam sunt contentac. Accipi nilo pro radice primitiva st numerum 2, residua minima eius potestatum hanc Prodeunt exponentes Potestatum in sorte prima residuis sunt suprascripti :0. l. 2. 3. 4. 1. 6. 7. 8. s. 10. ll. 12. 13. 14. ib. I G. 1 Tl. 2. 4. 8. 16. 13. 7 .l4. 9. 18. 17 . 15. 11. .3. 6. 32. 5. 10 ' Hinc per arti. 344, 345. facile deducitur distributio sequens omnium alicum v in tres Poriodos senorum . harum lus singularum in terna' hinorum termi

444쪽

Hinc X in tres factores si dimensionum resoluta erit. si hi valores in art. 34S

substituuntur.

cuius una radix elicitur - l. 354563l433, quum per 2. i) exprimemus. Per methodum uri. 346 autem inveniuntur u quationes sequontes, ubi brevitatis caussa

Commodius quum per Praecepta uri. 346 hae aequationes in casu Praesenti perr flexiones sequontes evolvi possunt. Supponendo

445쪽

Volores ipsorum a. 7ὶ, s 2 8 otiam cX noquationc D . cuius duae reliquae radices sunt. olici possunt. dubiumque. utra harum radicum fiat 2. 7ὶ et utra set . . . vel per cuiculum approximatum secundum formulas Prae C. Vol Per tabulas sinuum tolletur. quae obiter tantum consultae Ohtondunt, heri 2. lὶ - 2cos o ponendo to d. P undo fiori oportet

Cuius radices Sunt, invenire Ii t. incertitudoque, quaennui radices illis V e-gntis reu'. nequales Statu ndae sint, ProrSus eodem modo removebitur. ut ante:

i 2.2)J. hinc vulares numerici - - u. 67728 l . Tl6 -0.7357239107 i. Sedecim radices reliquae vel CX ovolutione Potestatum utriusvis harum radicum. vel o solutionc octo aliarum similium aequationum deduci possunt. ubi in methodo posteriori vel Per tabulas sinuum Vel lier artificium in ex. sq. explicundum decidi debebit. pro utra radico parti imaginariae signum positivum t pro utra ne tivum Praefigendum sit. Hoc modo inVenti sunLvia os Requentus. ubi siguum superius radici priori, inserius Posteriori respondere supponitur:

446쪽

SOLUTIO AEQUATIONIA X αα 0 P- n l T . ' . 4.37β54. Exemplum secundum pro n - 17. Hic liabetur n- 1 - 2.2.2.2. quamobrem. calculus radicum 2 ad quatuor noquationes quadraticas roducendus orit. Pro radice primitiva hic acci Hiemus numerum 3. cuius potestates residua minima sequentia secundum modulum 17 suppeditant: 0. l. 2. 3. 4 5. 6. 7. S. s. tu .ll. 12. 13. l 4. 151.3. 9. 10. t 3. 5.15.11.16.14. S. T. 4. 12. 2. S' Hinc emergunt distributiones sequentos compluxus u in periodos duas Octo-Horum, quatuor quaternorum. Octo binorum terminorum:

tribuitur . et Cuius valor num oricus est 2. 04948l l 777. . Statuemus . . ij. unde sponte ultera, ubi quantitas rudicalis nogativo sumitur oti cuius valor ost

447쪽

dona methodus etiam hanc formulam largitur i4,9 - - l - --- p . unde valor idein elicitur, quom te trudidimus: Secundo vero aggregata 4. 3).4. qu) 'etiam i,or resolutionOm aequationis, cuius radices Antit, detorminare licet. quae acquutio fit xz- 8. 3ὶ x- 1 - 0, unde eius radice8 sunt .l 8. a

lx l 2H- 4 S. l) -ba S. 3) J; dubium vero utram rudicem Per 4 3 et utram per 4. li j cxprimore oportent, Per artificium sequens, cuiua mentionem in stri. 352 iniecimus, tollotur. Evolvatur productum ex 4. 1ὶ - 4. 9ὶ in 4, 3 - 4. 10 .undo cincinoro invenietur 2 8.1ὶ - 2 8. 3 'ὶ: iam huius expressionis valor ninnisesto est positivus puta - - 2 V lT . Praetereaque etirem producti factor primus 4.3ὶ - 4 9ὶ positivus est puta ---V l2H-a s, i)--4 S, a J. quare necessario etiam alter factor sq. 3ὶ - lοὶ positivus csso debebit ct proin .aὶ radici niori, in qua signum Positivum radiculli pracsigitur, et 4. 10ὶ posteriori aequato

statui. Culcrum hinc iidem valoros numerici derivantur ut supru. Cunctis aggregatis quatuor terminorum involitis, Progredimur stit aggregata duorum terminorum. Aequatio C . . cuius radices sunt hae 2. l , 2. l3 . sub 4. 1 contentae, eruitur haec Xx- 4. 1ὶXH- 4. 3ὶ - 0; huius radices sunt

ubν quantitas radiculis positive sumitur et cuius valor reperitur se l. 86494 4 4588. statuimus 2 ij, unde 2. iri nequato fiet alteri . cuius valor 0.lS 45367189. Si aggregata riliqua duorum terminorum Per mothodum nrt. 346 in v stigare

vera indoles huius iniurii in eo e mi tit. quod a priori praevideri poterat. hoces produetum evolutum aggregata quatuor terminorum non continere sed per sola aggregata Delo torminorum exhiberi posse. euius rei rationem hie tirevitatis eaus a praetereundam periti facillime deprehendent.

448쪽

43s negativus esse debo bit. quocirca in expressione ante data signum superius ivisitivum pro 2. ib). pro 2.9ὶ inserius negativum adoptandum erit. Hinc computatur 2.9ὶ - - .s65946 1994', 2.lb)- l 4780l78344. Perinde quum ex volutions producti ex 2 1 - 2 13ὶ in 2. δ) - 2. bὶ prodeat 4.9) - 4.l0'. adeoque quantitas positi xu, suctorem 2, 3 - 2.5ὶ positivum esse concludimus: hinc simili calculo ut ante instituto invenitur

Denique per operationes omnino anulogas eruitur

Superest ut ad radices u ipsas doscendamus. Aequatio D . cuius radicos

perius pro D i J. in serius pro il6J adoptamus. Quatuordocim reliquae rudi es vel per potestatos ipsius ilJ ha buntur; Vol per resolutionem septem aequatiouum quadraticarum. quae singulac binas exhibent. ubi incertitudo de signis quantitatum radicalium per idem artificium tolli poterit ut in praecedentibus. Ita 4J et i latsunt odicos aequationis πι- 2.13 a'Φl - 0. . adeoque i 2. 13 in hi us 2- 2.9 J:

per ovolutionem producti ex D J - ibi nari J - 13J autem prodit 2.5ὶ - 2.3 . adeoque quantitas realis negativa. quam quum ii J- 16J sit in i V 2- 2. i5D.

i. e. Productum Ex imaginaria i in rcalem positivam. etiam f4J - l3J esse debet productum ex x in realem positivam Propter ii - - 1; hinc colligitur . pro i4l signum supcrius. Pro il3J inferius accipiendum esse. Simili modo pro radiei bus

perius. Pro si inserius accipere oportot. Computando Perinde radices reliquas. sequentes valores uumericos obtinemus . ubi radicibus prioribus signa superiora. posterioribus inferiora respondere subintelligendum est:

449쪽

. . - 0, 273 662990l F 0. 9618256432 i. . - u. 60 26346364 in o. 79S0i72273 i. . - 0 850 2171357 - 0. 52643 216 29 i. . - 0, 9 29730997 φ 0 18 37 495178iPoMunt quidem ea, quae in praeco. sunt tradita. ad solutionem nequationis .e -i - 0 adeoque ut iam . ad inventionem' sunctionum trigonometricarum arcubus cum Peripheria commen Surabilibus respondentium sufficere: ut tamen. PrOPterrei gravitarum, sitim huic disquisitioni imponere non P Sumus, quin rentea EX magna copia quum Obsorvationum hoc argumentum illustrantium tum liositionum ei affinium vel inde pendentium quaedam lite rennectamus. Inter quae talia poti Simum eligemus. quae Siue magno aliarum disquisitionum apparatu absolucro licet. aliterque ea considerreri nolimus quam ut specimina huius amplissimae doctrinae. in POSterum copiose Peris tundae.

450쪽

cuius terminorum multitudo par. semper esse quantitatem realem. Quodsi itaque in art. 352 inter factores I, 6. I etc. binariu8 ud ultimum tDCum reserentur. Omnes operationes. usquedum ad aggregata duorum terminorum laerveniatur. Per quantitates rontes absolvontur, imaginariaeque tunc demum introducentur. quando ab his aggregatis ad radices ipsas progredieris.

D. quatione. per quam distribtilio radi m u in duas perio a d finitum

a56. Summam attentionem merentur aequationes auxiliares, Per quas Pro quolibet Valore ipsius n aggregata complexum v constituontia determinantur. quae mirum in modum cum proprietatibus maxime reconditis numeri u connexae Sunt. Hoc vero loco disquisitionem ad duos casus sequentes restringemus: Primo de Re- quatione quadratica, cuius radices sunt aggregata ἡ n - Iὶ terminGrum. Secundo, Pro eo Casu, ubi n - l lactorum 3 implicat. de cubica, cuius radices sunt aggregata , n-lὶ terminorum, Mem .

Scribendo bruritatis caussa m pro ἔ n-l ct de ignando per st indicem Primitivam quamcunque pro modulo n. complexus u .e duabus Periodisi m. lin et m. yὶ constabit, continebitque prior radices flJ, Ny , , J. . . C J, posterior has , , s J, l l . . . s' l. Supponendo residua minima P08itiva numerorum

99, 9 . .. 9' Secundum modulum n esse. ordine arbitrario. N. R'i R etc. : nocnon residua horum s. f. yρ ... y haec N. N N etc., radices, e quibus m. lj constat convenient cum his l . R . R J. R l etc.. radicosque periodi m. 9ὶ cum his xl. etc. Iam patet. omnes numcros l. R. R'. R eis. ESSE reSidua quadratica numeri n. et quum omnes diversi i Psoque n minores sint Ipsoruinque multitudo in P n- adeoque multitudini cunctorum residuorum Positivorum ipsius n infra n aequalis . haec residua cum illis numeris omnino convenient. Hinc SPOnte sequitur. Omnes numeros AI, N . N etc.. qui tum inter So tum ab ipsis l. N. R' etc. diversi sunt. et cum his simul vium ti Omnes numeros l. l. 3. . . n - l DXhauriunt. Cum omnibus non-residuis quadraticis positivis ipsius n in-- n conVenire debere. Quodsi iam supponitur. aequutionem, cuius rudices sunt gregata m. 1 m. s . esSe