장음표시 사용
461쪽
452 DE AEQUATIONII 's QRCUM SECTIONES DEFIRAENTIBUS.
ubi singuli cosmcientes N. A. A' otc. sub sormam talem reducoro licet
ita ut p. p, F etc. sint numeri integri dati. II. Si pro N accipitur radix determinata aequationis X - 1 u cuius solutionem. iam haberi supponimus . et quidem talis, cuius nulla inserior Potestas quam G ' unitati aequalis Ost, otium T quantitas determinatu orit, ex qua t Peraequationem puram μ' - Τ 0 derivare licet. At quum haec Mqliatio radices habeat, quac crunt l. Et, R Iet . . . V t. dubium videri Potost, intumumrndicem adoptare oporteat. Hoc vero Prorsus αrbitrarium esse . ita facile appare-hit. Meminisse oportot. Postquam omnia BGrogata 5 I torminorum doterminata sint. radicem fit catenus tantum definitam esse, ut aliqua ex 6 r radicibus in br. lj contentis hoc signo denotari debent; et perin omnino arbitrarium e8so. quidnam ex εἰ aggrcgatis ipsum 67. 1ὶ constituentibus per a designaro velimus. Quodsi iam. aliquo aggregato determinato per a expresso supponatur fieri t r. sacile perspicietur . si postea aggregatum id, quod modo designabatur lier b. Pera donotaro lubeat, en quae antea oraui c. d. . . a. b. nunc fieri b, c . . m. a. nde
quo valorom ipsius t nunc T Ic . Simili modo si per a id aggregatum exprimere Placet. quod ab initio crat c. valor ipsius t fiet Tm . set ita
porro t cuicunque quantitatum a . T V . R otc. uoqualis censori imissi. i. e. . cuilibet radici nequ. X -Τ 0, prout aliud aliudve aggregatum sub 67. l)contentum. Per I. il expressum siqnvinatur. Q. E. D. 'III. Postquam qunntitas i hoc modo dcterminuta ost. 6 - l alius investigare oportet . quae OX t Prodeunt. si in eius expressione pro Ie successive Ie N. R . R . . . R substituuntur, putat' ain RRb ε R e . . . ΦΗ m. t' - a Nyb in R'c ... -HA m etc. Ultima quidem iam habetur. quum manifesto fiat M a H- b H- c . . . H- m - ί6I. li reliqua vom sequenti modo erui possunt. Si Per praeceptu uri. 315, si misi modo ut μ' antea in I. productum evolvitur. Probabitur Per methodum prae ostenti prorsus unalogum . quod inde prodeat ad formam talom
462쪽
reduci posse. ita ut N. S. N etc. sint functiones rationales integrae ipsius N. adeoque Τ' quantitas nota. unde habebitur t --. Prorsus Dodona modo. si ex evolutione producti l t prodire supponitur T'. haec exprcssio similem sormam habobit et Protu ex eius valore noto derivabitur t lier aequationcm
ι - - - : Perindo t' Per aequationem talem involitetur t ita ut T sit quantitas nota etc. Haec methodus non .soret applicabilis . si fieri possot i in v. unde Otium esse duberct T - IV - T' sic. - 0; sed probari potust. hoc lisse impossibile. etsi demonstrationem propter prolixitatem hoc loco suppriiuere oporteat Dan-
tur otiam artificia peculiuria. per quac fractiones γ. Ῥ- eis. in lanctiones ruti natos inteyras ipsiuη R convertere sicci: nec non methodi breviores Pro DO Cusu ubi α - 1 valores ipsarum t'. i' etc. eruendi. quae omnia hic si leuti O Ρrn tortio debemus. . . . IV. Denique simulac t. t . t otc. inventae sunt, habebitur statiin perobs. III art. praec. t - etc. - 6 a. unde valor ipsius a notus erit. Ex quo Per Rrt. 346 Valores omnium reliquorum aggremiorum I terminorum duri vari Imierunt. VHoros ipsorum b. e. d etc. etiam Per aequationes sequenteου elici Possunt. quarum ratio cuivis attendenti lacilo patebit:
6b - V it - - V in eis. 6e - Rre' t-R t in Ie est. 6d - etc. Pis. magno numero observationum ad disquisitionem Prum. Pertinentium hic unam tantum attingimus. Quod attinet ad solutionem acquillionis purae P -0. facile Patut T in plerisque casibus vulorum imaginarium PH-ι Qhaboro. unde illa solutio partim a soctione anguli cuius tangens Partim nsectione rationis funitatis ad V PP- - Q Q ) in s partes, ut constat. Pondebit. tibi valde mirabilo cst quod tamen sustus hic non insinuimuri. valorem ipsius Q Q sempor rationaliter per quantitatos iam notas exprimi Posse. Ita ut. Prnotor extractionem radicis quadratica . ad solutioncm sola sectio unguli requiratur. e. s. Pro 6 3 sola insectio anguli. . Tandem quum nihil obstet . quo minus statuamus a se l. I l aduoque
463쪽
6 - n-l: manifestum est. solution om nequationis x' -l 0 statim reduci possc ad Solutionem nequationis purae n-l ' gradus ' - 0. ubi T per rudicos a quationis .es 3 - 1-0 doterminabitur. I inle adiumento observati nis modo sactae colligitur. sectionem circuli integri in n Partes requirore 1 ' secti nem circuli integri in n - 1 partes. 2' sectionem alius arcus. qui illa sectione saeta construi Pinest. in n- l Partes. δ' extractionem .unials radicis quudraticae. et quidem ostendi Potest, hanc seni Per esse u.
361. Superest, ut nexum inter radices P tat ilio sanctionis trigonometricas angulorum . . ndhuc propius contemPlemur. Methodus, quam pro inveniendi κ radicibus 2 inposuimus, ita comparata os t. ut adhuc incortum relinquat nisi tabulae sinuum inter laborem ita ut supra disimus ῬnSubac morint . quod tamen minus directum foret , quaenam rudices sinsulis illis augulis respondeant
dem resp. cosinus habere ut illos, Sinus autem nDgati Vos ceterum magnitudine absoluta sinubus illorum nequales. Quare o radicibus u duao istas. quae harios reales maximus inter se nequales habent. rospondebunt ungulis et quidem priori ea. ubi quantitas imaginaria i per quantitatem positivam. Postcriorioa. ubi i per quantitatem negativam multiplicata t. Ex n -3 reliquis radicibus
istac rursus. quae maximas Partes reales habent. ungulisse . . respoudebuntot sic uirro. NimulaC. Ca radix Cui angulus -- respondet ngnita est, ehe quae
464쪽
APPLICATIO AD FUNCTIONES TM NOMETRICAS.
162. Quod vero attines ad reliquas lanctiones trigonometricas horum lingulorum. possunt cae quidem c c inubus et sinubus respondentibus per methodos vulgo notas facile derivari. Puta secantes ut tangentos. dividundo unitatem Pt sinus percosinus: nec non cosecantes et colangentes, dividendo unitatem in cosinus per sinus. Sod commodius plerumqJc idem obtinetur adiumento formularum Sequentium absque divisionibus per moras additioncs., Sit re, angulus quicunque ex his , - ... ---- utque COSω-ibi Sin to R. unde R erit aliqua e radicibus u.
465쪽
lv. Multiplicando valorem ipsius ii ita supra traditum per i -- Γ Γ ct
466쪽
Quemadmodum, Rupponendo n - l f, iunctio X in e lactores dimensionum resolvi potest. simulac valores Omnium e aggrcgatorum s terminorum innotuerunt 'ri. 34S : ita tunc otiam . si ponendo Z - 0 csse aequationemn - tW ordinis . cuius radices sint si uias aut quaelibet diliae lanctionEs trigonometricae angulorum - functio Z in e sectores s dimensionum resolvi I oterit. cuius rei praecipua momenta haec Sunt.
u , JJ etc. unguli au, . bio otc.. radicibus μ'J. ''J eto. unguli a se. Utis etc.. milicibus ta J. tb J etc. anguli a io, b octo. etc. : Perspicieturque facile. Omnes hos angulos simul sumtos cum angulis '. -- rospectu lanctionnm trigonometricarum 'in convenire. Quodsi itaque lanctio, de qua nitur. Per chamC-terem ' angulo praefixum denotetur: productum ex e factoribuκ
') Hoe respectu duo anguli eonveniunt, quorum differentia vel periphe lao integrae vel alicui eius multiplo aequalis est, quales aeeundum poripheriam eonyrtios vorare possemuκ, si eongruentiam sensu aliquantum latiori intelligore luberet
467쪽
roduci posse. quo secto manifesto omnos pro cognitis habendi orunt. Simul ac valores omnium aggregatorum s terminorum innotuerunt: licio sequenti modo om-
Praec. reliqum quoquo functiones trigonomotricue unguli is ad sortianin talem reduci possunt Sina' i J- fg ij in P etc.. nulloque negotio per8picietur. sunctionem anguli kω tunc fieri - 2I H- E E hJ -- T I H- etc. deuotauto k intcgrum quemcunque. Ium quum singuli codmcientes in Y sint functiones rationales intonae invariabiles ipsarum qio, Fau1, 7 bto PtC., Perspicuum est. Si pro hiri quantitatibus valores sui substituantur. singulos coefficientes fieri lancti nos rationales integras invariabiles ipsarum flJ. al. etc.; quamobrem perari. 347 nil formam l) H- C f. y -etc. ruduccutur. Et prorsus simili ratione etiam omnes cosissicientes in Y Γ' etc. ad formam similem reducem licebit. Q. E. D.
364. Circa problema uri. Prae . quasdam adhuc Observationes adiicimus.
I. Quum singuli cosemcientes in Y sint functioncs tales radicum in periodo P quam a) statuore licet contentarum, quales suuctiones radicum in P sunt cocssicionios respondeutes in V. ex art. 347 manifestum est. V ex Γ
etc. etc. Simulatque igitur lanctio I evoluta est, reliquao IV. I ' etc. nullo negotio indo sequuntur. II. Supponendo V - --αae ' - - 6.r Dic. cosissicientes u. 6 etc. erunt resp. 8umma radicum uoqu. V t. e. quantitatum Pin. P a ua. Fb eis etc., Summa Productorum o binis etc . At plerumque hi coem- cientes nudis commodius eruuntur per methodum ei. quae art. 349 traditu est. similem. computando Summam radicum Fω. P o, FbuγEtC., Summam quadratorum.
468쪽
APPLICATIO AD FUN IONES TRIGONUM TRICAR.
cuborum etc., utque hinc per theorema Nowtonianum illos co mciculos deducondo. Quoties * designat tangentem, se anni m. cottingentem aut cosecantem adhuc alia compendia dantur, quae tamen silontio hic praetorimus. III. Considorationem peculiarem meretur is casus. ubi s est numerus par. adeoque quac vis poriodus P. P . P otc. ox di periodis binorum terminorum composita: Constet P ex his 2 ij. 2. a . 2. 2. otc.. convenientque numeri l. a. b. e eis. atque n- l, n- a, n- b. n - cetc. Simul Sumti, cum his l. a. b. e etc. aut saltona quod hic eodem redit his secundum modulum n congrui erunt. Sed ost V n-l ω - 'F ο -- a ολ pati, etc.. signis superioribus Valentibus. quoties designat cosinum aut secantem, inserioribus, quando P exprimit sinum, tangento m. COtangentem aut c ccanter n. Hinc colligitur. in duobus casibus prioribus inter suctores, e quibus compositus Ost Γ, binos Semper aequu-l s. adeoque F quadratum esse. et quidem I v. si s ponatur aequalis Producto ex
nec non et ii functio Z quadratum erit cons supra art. 337 . ct radix producto ex y. ν, y' etc. nequalis, Ceterum facile perspicietur. y' y etc. Perinde Ox yderivari. ut 1 . IV etc. ex F sequi ante in I diximus; nec non singulos coeff- cientes in y quoque ad formam
reduci Posso. quum summae Singularum potestatum rad. aeqv. y 0 manifesto Sint semisses potestatum ac tu. Y 0. adeoque ad talem formam reducibiles. In quatuor casibus posterioribus autem 1 orit productum e sectoribus iideoque formacaeae-r Pu, '. aea - pato '. aeae - Fbua' etc.
Patetque cocilicientes λ, μ etc. e summis quadratorum, hi quadratori In etC. ru-58 ε
469쪽
Manifesto autem productum e tactore primo in secundum Erit y, Productum e te tio in quartum y . . II. Si, omnibus reliquis mancntibus. φ Siuum indicare Supponitur. ita ut Z - xi' UP - Vt 3 - M .ir ' in Ira τ' - l lx in Miba - τε sain duos factores S dimonsionum y. y' resolvere Oporteat, erit y Productum e
470쪽
y' derivatur ex y commutando , i). S. 3ὶ ita ut per substitutioncm valorum horum aggregatorum hineatur
Perinde Z in quatuor factorcs resolvi potest, quorum coenicientes Per Uxrmata quatuor terminorum exprimi Possunt. et quidem productum e duobus erit ν. Pr ductum e duobus reliquis y . ' .
365. Reduximus itaque . per disquisitiones praecedentes, sectionem circuli in nPartes, si n est numerus primus, ad solutionem tot aequationum . in quot saCω- S resolvere licet numerum n-l, quarum aequationum gradus Per magnitudinem factorum determinantur. Quoties itaque n-1 est potestas numeri 2. quod evenit pro Valoribus ipsius n his 3. 5. 17, 257, 65537 otc.. scctio circuli ad SO-lus nequationes quadraticas reducotur, functionesque trigonometricae angulorum
, - etc. Per radi es quadraticas Plus minusve complicatas pro magnitudine ipsiuου H exhiberi poterunt; quocirca in his casibus sectio circuli in n Partes. sive descriptio polygoni regularis n laterum manifesto per conStructiones geoliae