장음표시 사용
451쪽
DE AEQUATIONIBUS CIRCULI SECTIONES DEFIMENTIBUS.
tum est ; tertio, quum omnos numeri Nin i, ν--I. Vini cis. infra limites 2 et v -l cxcl. contineantur. manifestum est. vel nullum aggregatum in IV ad . 0ὶ reduci adeoque esse α - 0. quando inter numeros N. N etc. non occurrat n - l, vel unum puta m. n), et Proin haberi α i. quando n- linter numeros N, N . iv etc. reperiatur. IIinc colligitur, in casu priori fieri α - 0. 6 - γ l m. in Posteriori α - l. 6 - γ - έ m- l . simul hinc sequitur, quum numeri 6 et I necessario fiant integri . casum priorem locum ii ber . sive n- 1 aut quod idem est - 1ὶ inter non-residua ipsius n non repo-riri, quando m sit par sive n formae 4 k - 4 : casum Posteriorem vero adesse. sive n-l aut -l inter non-residua ipsius n reperiri. quoties m sit impar
sive n sorinas 4k -3 j. ' Hinc productum quaesitum fit. propter m. 0 m. m. i)H- m. M - - i, in casu Priori - m. in laosteriori sm-Hi . ade que aequatio quaesita in illo casu aexH-X- l n- lὶ - 0. cuius radices sunt - , in I 01. in hoc vero X.ν -- X -- l n-1ὶ - ο, cuius radices in . 1 n. Quaecunque itaque radix ex pro sal adoptata est. difforentia intor summas ΣjθὶJ et Σ 'r . ubi pro N omnia residua, pro 't omnia non-reκidua quadrati ea positiva ipsius n infra n substituenda sunt, erit - - , n. Pro n i. et isei. pro v - 3 mod. 4 . Nec non hinc sacile soquitur. donotante k int grum quemcunque Per n non dirisibilom. fieri
) Hoe modo naeti sumus demonstrationem noxam theorematis, i exae reviduum omnium numer rum primorum formae 4 1 - - , non-ro iduum omnium formae 41 - - a. quod supra cari. Ios, lus, 2623 iam pluribus modi divomis eomprobatum fuit. Si magis a doti hoe thoorema supponers. non noeessaseum erit ad distinetionem duorum easuum diversorum eius eonditionis rationem habere. quod s. t iam per in fiunt integri.
452쪽
DIATRIBUTIO RADICUM u IN DUAS PERIODOR
- ivn. quac theoremata Propter elegantiam suam valde gunt memorabilia. C terum observamus. signa superiora semPer Valere. quando pro k accipiatur unitas aut generalius residuum quadraticum ipsius n. inseriora. quando pro h non-rosiduum assumatur . nec non haecce theoremata salva vel Potius aucta elegantia sua etiam ad valores quosvis compositos ipsius xi extendi posse: sed de his robus. quae altioris sunt indaginis. hoc loco tacere earumque considerationem ad aliam Occ sionem nobis reservare OPortet.
Demonstratio Meor maria in Mel. IV eomm morat .
Sive z-0. eritque a m jr. l . singulique reliqui codssicientes b etc. sub forma tali EH-E m. l)-HE m. ae comprehensi. ita ut S. E, E sint integri tart. 348ὶ; denotandoque per a functionem. in quam a transit, si pro m. lin ubique sui stituitur m. y . Pro m. s) vero λ. yyὶ sive quod idem est ij. radices a quationis r 0 crunt radices in m. 9ὶ contentae. productumque
Potest itaque a ad formam talum IR -S m. lὶ-- Τ m. y reduci, ubi R, S, Terunt functiones intcgrae ipsius x. quarum omnes codsticientos etiam integri erunt: quo facto habebitur
453쪽
DE AEQUATIONIBU8 CIRCULI SE IONES DEFINIENTIBUR.
signo superiori valente, quando n est somno 4 1: -- l. inferiori, q-ndo n formael kH-3. Hoc est in rema, cuius demonstrationem supra sart. I 24ὶ Polliciti sumus. Terminos duos summos sunctionis Y spmpor fieri 2 in -- a ' ): summum- quo sunctionis X. α' ' facile perspicietur; messicientes reliqui autem. qui mani- sto omnes crunt intcgri. variant pro diversa indole numeri n, nec formulae unalyticae generali subiici possunt. . Pro n - 17 aequatio. cuius radices sunt octo radices in S. ij contentae. Per Praecepta art. 3 18 eruitur
454쪽
DISTRIBUTIO RADICUM D IN TRES PERIODOR.
De aequatioris pro distributione radicum 2 in tres perinis .
358. Progredimur ad considorationem acquationum cubicarum, Per quas in eo casu. ubi n est formae 3 k H- i, tria aggregata P, - lj terminorum compleXumia conitionentiu determinantur. Sit y radix primitiva quincunquΘ pro modulo n.
atque i n- lὶ - m, qui erit integer par. Tunc tria Ugregula, e quibus u constat, erunt Μ, i), γ, yὶ, m. yy . Pro quibus resp. scribemus p. I .p . Patetque primum continere radicos flJ. IN J. ''J... tym J. secundum has lyt, s l. . . ,' l. tertium has byl 'AJ. . . De J. Supponendo, aequationem quaesitam esse
unde protinus habetur Α - - 1. Sint residua minima positiva numerorum s .s' . . . y seCundum modulum n ordine arbitrario haec S. T. E etc., utque stipsorum comPleXus Superadiecto numero 1; similiter sint A. et '. si etc. residua minima numerorum 9, 9 . yy ... y atque s ' illorum complexus: donique S . E , si' etc. residua minima ipsorum yy. yρ, μ' ... y et st eorum ComPleXus, unde omnes numeri in s. st , 9 diversi erunt et cum his 1. 2, 3 ... n- l convenient. Ante Omnia hic observandum est, numerum n- 1 nocessario in st x PerlrI. quIPPE qu m esse residuum ipsius y , facito perspicitur. Hinc facile quoque consequitur, duos numeros talas h. n - h sempor in eodem trium complexuum R. st'. 9 reperiri, si enim alter est rosiduum potestatis y , alter erit residuum potestatis ρλ' , . aut huius y T si x - . Denotemus hocce signo syll) multitudinem numerorum in serie l. 2. 3 ... n - l. qui tum ipsi tum Simul numeri proximi unitate maiores in M continentur: similitor sit syst) multitudo numerorum in eadem serie, qui ipsi in st proxime sequentos vero in st' continen
nendo enim. h. E. U. eis. Esse Omnes numeros Series l. 2. 3 ... n-1. qui iPsi in st proximo maiores h -i-1, 4 H- l . h -- l etc. autem in st' continentur . et quorum ideo multitudo in sy), manifestum est. Omnes numeros n--h-1,n-h - 1, n - Γ-l etc. in st' contineri, proxime maiores vero n-h, n - E etc.
455쪽
DE AEQUATIONIBUA CIRCULI 8E IONEA DEFINIENTIBUR.
in R; quam quum tales numeri omnino dentur si st). certo nequit esse sit st)ς 2st j. et perinde demonstratur. esse non posse in st) α a M. quocirca hi numeri necessario aequales crunt. Prorsus codem modo probatur 9 st st 2ὶ. 2 st' - 2 st j. Secundo. quum necessario quemvis nu murum Q. R. marimon - 1 Excepto. Sequi debeat proximo maior vel in v. vel in st' vel in si ' contentus. summa 29 - - 29 ὶ - - stst fiet acquulis multitudini omnium numerorum in v unitate deminutae puta m - 1. et simili ratione erit
tur primo B mi pip - - p ὶ - -m Secundo quum simili ratione. ut antea pρ ovolutum est. etiam ps ad 2 silp-- 2 st)ν-- si si V reducatur. atque haec expressio cum praecedente identica
456쪽
DIATRIBUTIO RADICUM u in TRES PERIODOS.
457쪽
DE AEQUATIONIBUS CIRCULI SECTIONES DEFINIENTIBΓ8.
generali formarum binariarum deduci potest, attamen satis mirum est. talem discerptionem cum valoribus ipsarum a. b. e cohaerere. At numerus 4n Semper unico tunium modo in quadratum et quadratum 27ρ'' discerpi potest . quod ita demonstramus j. Si supponatur a fieret primo secundo tertio 4n in t t - 27u u t t - - 27 ti,
ex a quatione tertia sequitur. ipsum n, quoniam est numerus Primus, Riterutrum numerorum su φ t u. tu' - t u moliri: e prima et secunda Vom patet . utrumque hunc numerum esSe minorem quam n: quare is. quem n metitur, necessario usso dobot -0, adeoque otiam uu'-uu - 0, unde v, - uti et i t' t t. i. e.
utque sic omnes co fficientes uinu. quaesitae inventi. Q. E. F. Haec formula'ὶ Magi diraete hae e proposito e principiis seel. V probari posset.') Manifesto M neqest esse sormae ae, alioquin enim 4n per a divisibilia evadoret. .- Ad ambiguitatem. utrum h-e atatui debeat in N. an in I . hie non opus est respicere, neque etiam per rei natu ram ullo modo auferri potest, quum ab flectione radieti primitivae s pendeat. ita ut pro aliis radicibu, primiti-xi differentia b e D iti a evadat, pro aliiη negativa.
458쪽
adhuc simplicior evadit. Si pro eius valor ex amu 3 k-2 -- 27 NN - 4 n- 12 m -- 4 substituitur. undo olicitur calculo secto
Idem valor etiam ad 3 k-2 NNH-ι - 2kkεk- km m roduci potest. quae expressio. ad usum quidem minus idonea. protinus monstrat, O ut Par os t. certo evadere integrum.. M. Pro n em tu, fit 4 n - 49 - 27 . unde 3 k - 2 - in T. k - 3. Γααι GH-57ὶ - 7 et aequatio quaesita - 6z- 7 0 ut supra art. abl). Simili modo pro n - 7, 13, 31, 37. 43. 61, 67 valor ipsius k eruiatur reSP. I, - 1, 2, - 3, - 2, 1, - i, unde l, - l. 8. -ll. - S. 9, - 5. Cmorum etsi problema in hoc art. solutum satis intricatum sit. tamen id supprimere noluimus. tum Propter solfitionis elegantiam, tum quod variis artificiis in usum vocandis Occasionem dedit, quae in aliis quoque quaestionibus insignicum fructu adhiberi poterunt ).
Aequationum pest quias mine .u inreniuntur reduetia ad puras.
359. Disquisitiuum Pra c. circa inventionem aequationum auxiliarium versabantur : iam de eari j xolutione phprietatum magnopero insignem explicabimus. Constat. omitu, uiumctum g metrarum labores, aequationum ordinem quartum superantium mSolutionem generalem. sive ut accuratius quid desideretur definiamὶ AFFECTARI M REDUCTIONEM AD PURA' inveniendi semper hactenus irritos fuisse. et vix dubium manci . quin tio e problema non tam malyseos hodierna vires superet quam potius aliquid impossibile proponat quae do hoc argumento annotavimus in Demonstr. nova etc. art. O . Nihilominus eertum est, innumeras nequati nes assectas cuiusque gradus dari, quae talem reductionem ad . puras admittant. Om trisque gratum lare Speramus, si nostras acquutiouos umiliares semper huc roserendas Esso tenderimus. sed propter amplum ambitum huius disquisitionis.
459쪽
DE AEQUATION BUR CIRCULI SECTIONER DEFINIENTIBUs.
Praecipua tantum momenta, qui e ad possibilitatem ostendondam nocessaria sunt. lioc loco tradimus, uberioremque tractationem, qua hoc argumentum Perdignum est, ad aliud tompus differimus. Praemittendae sunt quaedam observationes generales circa radices aeqv. X - l - 0. quae Dum quoquct Casum compi tantur. ubi e est numerus comPositus.
I. Exhibentur hac radices ut ex lib s clementaribus notum est) Per
eos in istit . ubi pro B accipicndI Sunt e numerI 0, 1, 2, 3 . . . e - l. aut quicunque alii his secundum modulum e congrui. Una radix, Pro k-0 nutgeneraliter pro P per e divisibili fit in l: cuivis alii valori ipsius k indis ab idivorsa resPondet. II. Quum sit scos set sin - Γ cos -- - SIn - , Patet. Si Rsit radix talis, quae respondeat valori ipsius k ad e primo, in pro ossione R. NE. R etc. terminum CR quid m esse se l. omnes antecedentes vero Lb l divorsos. Hinc statim sequitur, omnos e quantitates I. R. NE. R . . R' ' inaequales csso, et quum manifesto omnes aequutioni af-1 -υ satisfaciant. Oxhib bunt omnes radices huius aequationis. III. Donique in eadem suppositione aggregatum
pro quovis valore integro ipsius λ Per e non divisi dili; etcuim est -----, cuius fractionis numerator fit - 0. donominator vom non h. Quando vero λlier e divisibilis est, illud aggregatum manifesto fit - e.
Sit. ut X per in praecc. n numerus Primus. 9 radix primitiVn pro modulo n. n quo n-l productum e tribus intcgris positivis a. 6. 7: brevitatis caussa disquisitionem ita statim instituemus, ut etiam ad casus ubi a aut I l Pateat; quando I l. Pro aggregatus I, i , n, yὶ Din. rudicos fit. bl otc. accipere oportebit. Supponamus itaque, ex omnibus a aggregatis ἔν r ωrminorum cognitis sor. 1 . 6 r. yὶ 67. yy) . . . 67, 9' deducenda esse ninrogata I te minorum, quod nogotium supra ad acquationem affectam 6μ gradus reduximus. nunc vero Per purum aeque ultam stbsolvere docebimus. Ad abbrevianduin pro gregatis
460쪽
QUATIONUM PER QUAS RADICER u INVENIUNTUR REDU io AD PUR1s. 451 quae sub 6 r. lj contenta sunt. Scribonius a, b, c . . . m resp. Pro his
Porro patet. quum, sit u Ru . fore U E U quare propter I co dissicientcs correspondentes in V ct U acquulos erunt: denique, quum t et uin eo tantum disserant, quod a in t per unitatem, in v per Is multiplicatur. ει- cito intelligotur. omnes coefficientos correspondentos i. e. qui eadem aggregata . multiplicanti in T at V aequat s osso: et proin etiam omneκ coussicientes correspondentes in P et V . uiue tandem colligitur A in B in C etc. - M:b7 .