장음표시 사용
431쪽
Centroba caeli. I. 4. Sex Elem.
dam,BC,in dato seni circulo, BGC, ita axis, GA,ad, A D. Erit ergo, D, centrum grauitatis arcus, BGC,perabalijs ostensa. Sumatur ipsius, DA, , DP. Dico, P,esse centrugrauitatis semicirculi, B G C. Intelligamus arcu, BGC,tan qua appesu in libra,GA,eiusq;cetrogr. D,sic& reliquos arcus descriptibiles super centro,A, apprehendemus tanquam suspensos in punctis redis, DA, nempe in suis centris grauitatis. Insuper ducatur peli D,ipsa, LM,paralleIa, ipsi, BC,& iungantur, LA, AM; ac centro,A, interuallo quocunque minori,GV,vi, AP,describatur arcus, E PF,secans, LA, AM, in, Η, Κ,& iungatur, ΗΚ, dirimens, G A,in, I. Intelligamus rursus, LM, tanquam appensiam in libra, GA, suique centro grauitatis,D. Similiter ut,GA, vel, LA,ad, AD, idest arcus, BGC,ad, BC, vel, EPF,ad, EF, ita est, HA, vel, PA ad. Al. Unde, I,erit centrum gr. tam arcus, E PF,quam rectae,ΗΚ,in quo utrique suspensi concipiantur . Eodem modo quos cumq; aliorum arcus ipsi, BGC, similes, & rectam iungent εpuncta occursitum illius cum, LA, AM, intelligemus in eo. muni sui centro susipensa. Est autem ut arcus, B G C, ad , EPF,ita, LA ad, AH,&,LM,ad, ΗΚ, &subinde grauitas a cus, BG C, ad gr. EPF, ut gr. rectae, L M, ad gr. rectar, ΗΚ . Ergo semicirculus, BGC,& triangulum,LAM, sunt proporianaloga in grauitate. Habebunt ergo commune centrum
grauitatis. At illud in triangulo, LAM, est punctum, P,igitur, P, eris centrum gr. semicirculi, BG C. Hoc autem com cordat
432쪽
eordat eum Torricellio,&Guldino,qui lib. I. Centrobary-cε,pag. Ios.ait,si fiat visBGC,ad ἴ, BC, hoe est ut, G A, ad, AD, itaαGA,ad aliam sempiam in , AS ab,Α, eius ter. minum esse centrum gr. semicirculi, BGC. Sed tale est, P,
uniis raue. Quaeritur eius centrum grauitatis. Sit axis, G A, bifariam sectus in, D, intelligaturque unus, LAM, in basi circulo, LM, circulo, BC, parallelo,& vertice centro, A. BSimiliter super eodem, A,cen tro, radio minori , AG, describatur quaecunque superficies,sphaerica,EPF,que secet coni. L AM superficiem in periphaeria circuli, ΗΚ, qui a quidistabit ipsi L M, secet vero, G A,in, I. Punctum ergo, D,erit c&trum grauitatis superficiei siphaericae, BG C, quod nouissimerobauit Torricellius, unde hic amplius apparet Guldinum allucinatum fuisse dum lib. I. suae Centrobaricae, pag. I 27. putauit eentrum gr. perficiei sphaericae haemisphaerii idem esse cum centro gr. semicirculi, per axem illius transeuntis quod & nos reprobauimus in Exerc. 3. in fine Cap. sq.Idem vero, D,est centrum gr.circuli, LM. Insuper quia siuperficies, BGC,ad superficie, EPF, est ut quadratum,GA, vel, LA,ad
quadratum, ΑΗ est enim, B G C, dupla circuli, B C ,&.EPF, dupla circuli, E F, hoc est, ut circulus, Lin ad circulum, H Κ: cumq; sit,LA,ad,AD,vr,HA,ad,ΑΙ,&,LA, dupla, AD, erit&, ΗΑ, vel, PA , dupla, Aia quare, Lerit
433쪽
x. huius. s. huius. s. huius. xs. huius.
erit centrum gr. superficiei, Ere, ut est & circuli, ΗΚ, sunt superficies, BGC, Ere,& circuli, L M, ΗΚ, proporti nates , & subinde eorum grauitates pariter proportionales. Ergo haemispherium, BGC,& conus, LA M, erunt propor. anaIoga in grauitate. commune ergo habebunt centrum gr. quia in utroq; reperisur quoq; in axe, GA. Sed coni cenotrum gr. quod sit ex. gr. punctum, P, distata basi, L M, per ω ipsius, DA . Ergo, P, erit quoq; centrum gr. haemisphae-rh, BG C. Cum vero, GD, sit aequalis ipsi, DA,& DA . quadrupla, DP, erit, GD, quadrupla, DP, GP, qui tu pla, DP. Sed eiusdem, DP, tripla est, A P. Ergo, GP, ad , PA, est ut 3. ad 3. prout a nobis & ab alijs demorustratur. Inuentum est ergo centrum gr. haemisphaerij, quod
Semicircuit, oebaemisphaerii, orbicutiriter dissormiter gra
uium in prima specie, ac iuxta limitem ccuirum , cra-uιtutis centrum inuestigare. SIt semicirculus,BGC, orbiis
culariter dissor. grauis in prima specie, limite centro, A. oportet illius centrum grauitatis inuestigare. Supponam tur autem Omnia constructa vi in Schemate Prop. 33.superim ris, sit tamen triangululum,
LAM, difformiter graue in prima specie limite, A, eiusq; centrum gr. P, quod dico esse pariter centrum gr. semicirculi, BGC. Quod enim, D , sit centrum gr. commune re me, L M, & arcui, BGC ; &, I, commune rectar, HIC,& arcui, EPF, probabimus, ut factum est indicta Prop. 33. Ulterius grauitas arcus, BGC , ad grauitatem uniformem arcus, EPF, est ut, L A, ad , AH,
vel, DA, ad , At, hoc est, L M, ad , ΗΚ, & subinde ut gra
434쪽
uitas, L M, ad gr. uniformem, HK. Insuper grauitas uniformis arcus, E PF, hoc est gradus gr. in , EPF, vel, BG C, ad gr. difformem, seu gradum grauitatis eiusdem, EPp, est De i,. vi , LA, ad , Α Η, vel, D A, ad , AI, aut sicuti grauitas uniformis, HV, seu illius gradus gr. vel ipsius, LM, ad
gr. difformem,seu gradum gr. eiusdem, ΗΚ. Ergo ex aequo gr. arcus, BGC, ad M. difformem arcus, E PF, erit ut gr. LM, ad gr. ditarmem, HK. Eru nt ergo semicirculus, C, & triangulum, L AM, proportionaliter analoga ingrauitate, unde, P, erit quoq; centrum gr. semicirculi, BGC, x3. huius. distans a basi, L M, per ., A D. Cum ergo, GA, ad AD, sit proxime ut II. ad 7.&, AD, sexquitertia, AP, hoc est ut T. ad F., erit, GA, ad , AP, ut II. ad s.,& diuidendo, GP, ad , PA, ut 3 ad 3 ἶ, seu ut a 3. ada I. proxime. Dei eruiat nunc, BG C, pro haemisphaerio orb. dissor. graui limite centro, A, & in prima specie. Sint autem caetera constructa ut in Prop. ant. sed tamen conus, LAM, in prima specie difformiter grauis, limite, A, cuius sit centrum gr. P, idcirco distans a basi, LM, per ἰ ipsius DA. Quod ' huiu ergo, D, sit centrum gr. commune circulo, L M,& superuficiei, BG C, ut &, I, commune circulo, ΗΚ ,& superis ficiei, EPF, probabitur ut factum est in Prop. ant. Rursus grauitas superficiei, BG C, ad gr. uniformem superficiei, EPF, est ut ipsae se perficies, hoc est vi q. LA, ad q. AH, vel q. LM,adq. ΗΚ, vel circulus, L M, ad circulum, HK, vel gr. circuli, L M, ad gr. uniformem circulι, ΗΚ. Insuper gradus gr. uniformis, E PF, vel, BG C, ad gradum disso mem, EPF, est ex hypothesi ut, LA, ad, AH, vel, DA, ad, Desis. AI, hoc est ut gradus gr. vniff. ΗΚ, vel, L M, circuli ad gradu di Ormem circuli, ΗΚ . Ergo ex aequali gr. BGC, ad gr. difformem, EPF, erit ut gr. circuli , LM, ad gr. dis- formem circuli, HK. Igitur haemisphaerium, BG C,&eonus, LAM, erunt proportionaliter analoga in gr. & erit, s huius. P, illis commune centrum grauitatis. Cum ergo, GD, sit aequalis, DA , di , DA, sit s. qualium, PA ,q.erir, GA, Io. qualium, P.R , . & GP. 6. qualium, PA , . vel , GP, 3. qualium, PA , a. sicut etiam contingit in parabola uni f. graui, cuius vertex, G, basis, BC. Quod,&c.
435쪽
rum praecedentia- Prop. 3 3.W36. cum rostra Ν, attamen, quia non adeo clarie videtur his adaptari Defr a. de proportionabier anauras in grasutate, ut non relinquatare sudisse aliquis dubitan cus, cum arcus insemicirculo, ves perficies in hamisphaerio videantur esse musto plures. quam parasiela in triangulo, vel circuli in cono, LAM ,esqui et Agnatus arcus parallela, vel qualibet gnarasuperficies. δ circulus , haeant idem centrum gr. omnia', cadant in reis LM, DA: propterea non aliteν quam tamquam probabibat huiusce Propostionis inueta propono benigne ccctor,donec con gruentior modus vel mihι obueniat haec corra inueniendi . vel tibis modo circa haec orbiculariter Hormiter Paula, tum in prima, tum etiam in reliquιs di mitati peri/bus, volu ris laborare mihi enim in praerienti haec quoq; - fuiss peculanda e esse videtur.
Doctrinae de centro grauitatis ram uniformiter, quam difformiter grauium, adeo connectitur mensera grauitatis, ut una vicissim ex alia inseratur. Id cum in unis - grauibus notum sit, manifestum qu i hic euadet in dissor. miter grauibus. Propterea contentaneum duximus post centra grauitatis, nonnulla quoq; attingere circa ccmpa rationem grauitatis uniformis eiusdem figurae tam planae, quam solidae, cum grauitate difflarmi, cui sicquentes Proinpositiones, cum praecedentibus numero continuatas, denis
436쪽
M-Ind. in inis dissor. grauibus PROPOSITIO XXXVI. Si sit quaecunq; figura ptina circa diametrum primo unis
deinde de grauis ordinatim in I. 2.3. . upecie, 'ci iuxta limitem rectam mel tangentem in alterutro oppo torum merticum dicta figurae, mel isti quomodocunq; parallatim extra figuram ductum: grauitas informis eiusdem figurae adprimam grauitatem dissormem erit, ut diameter Orolatas opus sit usq; ad limitem ad imterceptam eiusdem partem inter limitem , , centrum grauitatis figurae inis grauis . Sic prima grauitas dise formis adsecundam diformem eiusdem figurae erit, eadem diameter soli1Mellige semper, prolata v sad limitim , s opus , fit ad eius partem interceptam im ter limitem, centrum grauitatis eiusdem figurae pri
mo distormis. Secuuda ad tertiam, erat mi eadem diameter ad interceptam inter limitem centrum grauist talis figurae secundo dissormis. Et sic deinceps eodem
seruato processu . Porro interceptam ivter limitem , o centrumgr. v vis grauis, dicemus centralempr mam; figurae merὸ primὸ dissormis , centralem secum
dum , s sic tertiam , quartam , lyc.
Sit figura plana quaecunq; circa diametrum, AB, cuius tamen dimidiam, tantum exponimus, ABC, in semi-hasi, BC, vertice, A, primo unis deinde diff. grauis ordinatim in I. a. 3. q. . specie&c. iuxta limitem, AD, tangentem in , A, in prima figura, vcl, λZ, parallelam ipsi, DA, in secunda figura cui incidat, BA, producta in , Y, sit insuper, S, centrum gr. duplae figurae, ABC, unif. grauis, T,
437쪽
primae difformis &c.& subinde, AS, vel, Ys, prima centralis, AT, vel YT, secunda centralis &c. Dico grauitatem uniformem figurae, ABC, ad eiusdem primam grauitatem difformem esse ut, AB, ad, AS, in prima figura, vel vi, BY, ad , YS, in secunda. Item primam grauitatem difformCm, ABC, ad secundam, ut, BA, ad , AT, vel, BY, ad , YT, &GFiat in angulo, DAB, ipsi, AB, applicatum parallelogram-mum, DABC,& in basibus, DABC, ABC, figuris fiant cylindrici, quorum latera eidem rectae sint parallela, nempe, HB, parallelcppipedum, &, GEFBAC, cylindricus. Extendatur insuper planum indefinitum per limitena, D A, in prima figura, vel, XZ, in secunda,ac per, GF, effciens in cylindrico, GEFBAC, figuram planam, AGF, vcl, VGF. Deniq; sumpto in, AB, quocunq; pumno, Q, peripstim exicndatur planum ipsi , CB, aequi distans, quod in , HB, sectat parallelograminum, KOQl, in cylindrico, GAB, parallelograminum, R PQ l,& in trunco, GFBAC, vel, CV FBAC, parallelogiamum, MPQN, quae omnia inter
438쪽
perius factum est, habere rationcm cc inpositam ex ratione
Sr. vnis CB, ad gr. dissor. O , scilicet cx ratione, h Α, ad , AQ, vel, BY, ad , Yχ& ex ratione gr. diffor. CQ, ad gr. distor. PQ, eiusdem gradus, ncmpe ex ratione. Ca, vel,
gr. diff. PQ, erit in ratione composita ex rationibus, CB. ad , PQ, & , FB, ad , N Q. Sed eard componunt rati ocin parallelogrammi, GB, ad parallelogrammum, Ni Q, quia sunt aequiangula, ergo gr. vni f. O Q, ad gr. difformem, , erit ut, GB, ait, id, seii ut grauitas unis G B, vcl, ΚΘ ad gr. unifMQ,& sic ubique. Ergo grauitates unis omnium linearum parallelogrammi, DB, ad gr. diis omni u linearum figurae, ABC, erunt ut gr. unis omnium planorum, HB, adgnuniis omnium planorum trunci,GFBAC,vel,CLV ALC. Et subinde grauitas unis parallelogramini, DB, ad gr. dissor mem figurae, ABC, erit ut gr. vni f. HB, ad gr. viris trunci, GFALC, vel, GFVABC. Est autem grauitas unis figurae, ABC, ad gr. vnis DB, ut, ABC, ad , DB, vel ut cylindricus, GEB, ad , HB, hoc est vi grauitas unis cylindrici, GEB, ad gr. viris bl B. Ergo ex aequali gr.vnis ABC, ad primam gr. difformem eiusdcm, ABC; crit ut gr. unifcylindrici, GEB, ad gr. unis trunci, GFABC, vel,χ, FVABC, nempe ut dicitus cylindricus ad dictum truncum. Cum vero ostensum sit duos truncos dicti c, lindrici esse in ratione reciproca partium dia inciri, AB, vcl. ΥΒ, a ccntro, S, diuisarum, patit componendo cyl:ndrici na, , EB. ad truncum in seriorem, GFABC, vel, C FU ABC, csse ut,BA, ad, AS, vel, BY, ad , YS. Ergo gr. vnis ABC , ad Pr. Primam dissor. eiu . dein, ABC, erit vi, BA, ad, AS, vel, BY, ad. YS. Sit nunc, ABC, diis grauis in sicunda specie, sed culindricus, GEB, in proxime antecedet i,hoc est in prima specie,&,HB, pariter unis graue, caeteris ut supra constructis. Grauitas ergo unis CB, vel, C Q, ad gr. diffor. secundam ipsius, PQ, ostendetur ut supra eslic in ratione compossita ex
ratione, CB, ad, PQ. Similiter gr. vnis. c, B, ad pr. primam difformem, M , probabitur ei se in ratione ccii posta eX Ffs a ratio-
439쪽
ratione gr. vnis. GB, ad gr. primam di rinem, KQ, hoc est ex ratione, BA, ad , AR, seu, BY, ad, Y , scilicet eκ rati ne, FB, ad, Nd, & ex ratione gr. liff. KQ, ad gr. difformem eiusdem gradus,MQ, hoc est ex ratione, KQ, ad , M., quae est composta ex rationibus, IQ, vel, PB, ad, NQ, &, OQ, vel, CB, ad , PQ. Duae rationes vero, FB, ad, di Q, componunt rationem q. FB, ad q. N Q. Ergo gr. vni f. O., ad gr. secundam difformem, P ,erit ut gr. vni f. CB, vel, KQ, ad gr. primam difformem, i Q,& sic ubiq,Ergo gr. vni f. DB , ad gr. secundam difformem, ABC, crit ut gr. Vni f. HB, ad gr. primam dis r. trunci, GFABC, vel, GVFBA C. Quoniam vero gr. vnis O Q, ad gr. primam difformem, P, est ut gr. vnis KQ, ad gr. primam difformem, RQ, & hoc ubiq: ideo conuertendo grauitas prima difformis, ABC, ad gr. vni L DB, erit ut gr. prima dissormis cy lindrici, GEB, ad gr. unis HB; sed grau. unis. DB, ad gr. secundam dii formem, ABC, ostensa est esse ut gr. unis HB, ad gr. primam diffori trunci, GFABC, vel G VFABC. Ergo ex aequali gr. prima diiser. ABC, ad gr. secundam dissor. eiusdem, ABC, Crit ut gr. prima diffor. cylindrici, GEB, ad gr. primam diff. trunci, GFABC, vel, GFVABC. At quia grauitates truncorum cylindrici, GEB, primo diff. grauis sunt in ratione reciproca partium, AB, vel, YB, factarum a centro gr. 4 ,figurae du
plae , ABC, primo diff. grauis, ideo componendo gr. prima
440쪽
dissor. cylindrici GAB, ad gr. primam difformem trunci, GFABC , ves G FV ABC, erit vi, BA, ad , AT, vel, BY, ad, YT . igitur gr. prima difformis, AB ad gr. secundam dissor. eiusdem, ABC, erit vi, BA, ad, AT, vel, BY, ad, YT, se
Simili ratione ostendemus gr. secundam difformem, ABC, ad tertiam esse, ut, BA, vel, BY , ad tertiam centralem, supponendo tunc cylindricum, GEB, suosq; truncos secunilo diff. graues, retinendoq; semper , HB, unis grave. Et sic deinceps in omnibus speciebus difformitatis simili processit incedemus. Ex quibus patet in integra quoq; figura circa diametrum, As, propositum verificari. Quod,&c. COROLLARIVM. Ex his colligitur pariter Irauitatem uniformem eiusdem figurae a quamuis informem comparatam se habere , τι
porcsatem diametri eiu em numeri cumgrauitate di ormi, is a Ium sub tot centralibus Oxdinatim a prima, quota sVanitas di seormis. Vt in superioribu chematibus grauitas unia formis. ALC, a primam Hormem es, ut, BA, vel, S , ad, AS, vel P S., primam centralem, vis batum est . Eadem gr. unis
ABC, a r. fecundam difformem, ABC, erit ut q. AB, vel TR ad actu tib duabus centralibus prima, O scinda, AS, AT, mel,TS, T T. Nam r. vnis ABC,a secundavi di . AEC, his.
bos ratiouem compositam ex ratione gr. vnis ABC , ad primam di ABC, nempe ex ratione, BA, ad, AS, vel, BT, ad TS, ct ex ratione primae Hormis a fecundam, hoc es ex ratione, BA,ad, AT,vel, RT, ad, T T. Dua rationes vero, BA, ad, AS, CT, EA,
a factum I bprima, TS,fecunda, T T, or tertia cent raci, O se deinceps.