장음표시 사용
561쪽
ponendo erit, ΑΒ, ad, BD, vel,BC, vr,ΛE,ad, E nempe vr, ΛG,ad, ΕΗ, ob similitudinem triangulorum, AGE, CHE, Sed ut,AB,ad,BC, ita est, GF,ad, FH,ergo,AG,ad, CH, eritvr,GF,ad, FH, & permutando, AG, ad, GF, erit ur,CH, a H F. Cum ergo circa aequales angulos, AGF, CH F, sunt enim relabsint latera proportionalia,triangula,AGRCHRerunt similia. Igitur, AF,a FC,erit ut, GF, ad, FH, nempe
Vt, AB, ad, BG Detur nunc quodvis punctum, Κ, extra dictam periphaeriam,&iungantur, ΚΑ, ΚΒ, KC. Dico non esse, ΑΚ, ariΚC,vt,AB, ad, BC. Sit enim si fieri potest, & duba indemnita, EΚN, demittantur ab, A, C, super, EN, perpendiculares, AI, CL. Quoniam ergo, ΑΚ, ad, KC, est ut, AB, ad , BC, nempe vi, AE,ad, EC,vcl,AI,ad, CL; triangula, AI Κ, CL Κ, erunt similia, igitur,l Κ,ad,ΚL,erit vi,a Κ, ad, KC, nc-pe vr,AB, ad, BC. Erit ergC, ΚΒ, parallela ipsis, IA, CL,&subinde anguliis,BΚE,eriticeius, unde, Κ, crit in periphsria dc scripti circuli contra suppositum, qilodest absurdiim . Idem. probabitur dc quouis puncto intra periphaeriam assumpto.
Quod si altera ipsarum, A Κ, ΚC, ut, AK, esset ipsi, E N.
perpendicularis, ut contingere potest, csset, ΑΚ, ad, KC, ut AB, ad, BC, hoc est ut, A E, ad, EC, vel, ΑΚ, ad, CL, unde, A C, CL,esis ni aequales, quod est absurdum, propter angulum rectum ,CLA . Possent quo qu e ab, A, C, cadentes perpendiculares, ut super, EN, cist ambae ad alteram partem . dati puncti quod sit ex. gr. Ο, & tunc, iunctis, Α, OC, ost deremus ut supra triangula, AIO, CLO, csse similia,& subinde angulum, AOl, aequari angulo, COL, partem tmti, quod est absurdum. Ad nullum aliud ergopu n dium extra periphaeriam, BFE, ab, A, C, inflexae se habent ut, ΑΒ, ad , BC, veluti sunt quaecunque ad puncta dictae periphaeris incli
562쪽
De magnitudinum incommemsurabilitate.
Dasis duabus quini fiunque magnitudinibus ineommenseta rabit bufo bile ea ab asterutra ipsarum auferre comis
mensurabitim reliquae, sta πιι residuum sit tmnus quacunqueproposita magnitudine. SInt datae magnitudines incomme
surabiles, A, BI. Dico ab earum alterutra, ut a, Bl , auferri posse magnitudinem ipsi,Α,commensurabilem, quae deficiata, B I, quantitate minori oblata quacunque,ut minori ipsa,GLSecetur,BI,bifariam in.E,& ab,A,auferatur ipsius dimidium, ac a residuo dimidium , sicque semper fiat, donec deuenianatur ad magnitudinem ipsa, BEminorem,hoc enim fieri potest,cui aequetur, BC. Rursus multiplicetur, BC, donec fiat primo maior, BE, sitq; facta BF a qua si dematur,DF.s qualis ipsi BC,no sit reliquatD, maior, BE. Dico autem punctum, F,cadere inter, E, I, si enim caderet in , I, vel ultra, I, esset. DF, non minor, EI, ω subinde, C B, ipsi, D F. aequalis, esset non minor, B E, contra cono structionem . quod est absurduitia. Cadit ergo, F, inter, E, I, quare per , BF, aufertur a , BI , plusquam ipsitas ,
563쪽
De Pro Hionibus Miscessianeu . 3 27 CD, DF, aequalibus inter se, eidem , A, ut est i psa, BC,
commenturabilis. Eodem modo ex reliqua, FI, suae erit ipsi, Α, incommensurabilis,auferemus plut quam di midium, ips, Λ, commemsurata Ie,&sic semper donec relinquatur minus , GI, hoc enim fieri potest; sitque taIis magnitudo, FH, relinques, HI, minus,GI. Ergo cum utraeque , BF, FH, sint ipsi, Λ, commensurabiles,erunt quoque inter se commensurabiles,& t ta , BH, erit singulis partibus, AF, FH, commensurabilis. Sunt itaque, A, commensurabilis ipsi, BF, &, ΗΒ, pat iter e
dem, BF, commensurabilis: unde crunt, BH Α, inter se commensurabiIcs. Sed, ΒΗ, deficita, BI, magnitudine, HI, minori oblata, GI. Ergo possibile est ab alterutra data sum magnitudinum in commensurabilium auferre reliquae commensurabilcm, quae ab ipsa deficiat magnitudine qua cunque oblata minori. Quod ostendere opus erat. S C N O L I U M. HAnc Propositionem apponere volui , mirabile enim mihi
videtur illud, quod ab alterutrae V νῶ magnitudinum gncommensurabIlium a crendum es , H remaneant reliquae commensurabiles , omni assignabili magnitndine minus esse posse. Non tamen illud dicenaum est esse nihil quod inter duas magnitudines constituit incommensurabilitatem ined erit at quid,ut minus quacunque oblara magnitudine,altoqνin essent incommensurabiles,ut comensurabiles. Fim iis igitur quoddam mihi videtur hic contingere ei, quod circa h perbolam , or Ur totosos enim in infinitum producantur, a e fas ' prius accedunt , ct ad interuallum perueniunt minus quisbet dato interuallo, nec tamen ideo concurrunt. Hac sunt Geom tria admiνanda , qua etsi in infiniti abaetis recessibus lateant, Udem tamen vim, se essicaciam non effugiunt.
564쪽
Si Derlut magnitudines, DE, AB, tuumerus ad nume- quot inιtatessent in numero alterutrius, ιο-ιies reliqua multiplicetur: sient ex miraque multiplica.tione aequales magnitudines . Et si sint dua aequales magnituriaes, it, Ac, PF, singula in quotcunque aequales partes diuisae, ita mi pars, FD ,s,, D E, s pari ,
quidem secundum unitates numeri, FAB,&, A B, secundum unitates numeri, D E, faetaeque sint, D F, AC, quas dico aequales esse. Quoniam ergo ut numerus ipsius, AB, ad unitatem,ita est num rus partium in, F D, aequalium, DEAEd v-nitatem,idco ita erunt omnes partes, FD, ad , DE, &ita, FD, ad , DE . Secetur, is AB, in, G, ut qu admodum est num rus partium, AB, ad unitatem, ita sit, AB, ad, AG. Erit ergo ut una, AB,ad unam, Ditis. Ele. AG , ita omnes partes aequales,AB, quae sunt in, A C, idest tota, A C, ad tot squales ipsi, AG, quot sunt partes quales ipsi, AB,in, AC . Sed illet tot sunt quot, unitates sunt in numero ipsius, DE, ex constructione, & est ΑG, communis mensura ipsiarum,DE, AB. Ergo, DE,consabit ex tot aequalibus ipsi, A G, quot unitates sunt in numero ipsius, DE. Quapropter erit, C Α, ad, DE, ut, BA, ad, A seu ut numerus partium, AB, ad unitatem. Sed &, FD,
565쪽
Fropositionibus Miscenteteis. 129
ad , DE, ostensia quoq; suit esse ut numerus partium, AB, ad unitatem. Ergo, DF, AC, ad eandem, DE, eandem rationem habebunt, & subinde erunt aequales. Supponantur nunc ipsae, DF, AC, aequales, singulaeq; sectae in partes aequales quotcunq; ita ut sint earum partes, DE, AB. Quoniam ergo, DF , AC, sunt aequales, ad eandem, ED, eandem rationem habebunt. Sit, BA, ad , AG, ut, FD, ad , ED. Erit ergo, BA, mu Itiplex ipsius, AG, ac, FD, multiplex est ipsius, DE. Et quia, CA, ad, ED, est ut, FD, ad , DE, hoc est, ut, BA, ad , AG, per mutando , CA, ad , AB, erit vi, DE, ad, AG . Esit crgo, DE, multiplex ipsius, Λ G, ac, CΛ, est multiplex ipsius, AB. Multitudo ergo partium in , DE, aequalium ipsi, AG, erit aequalis multitudini partium in , C A, ipsi, AB , aequalium. Et multitudo partium in BA, aequalium, AG, erit aequalis multitudini partium in , DF, aequalium ipsi, DE . Erit igitur, DE, ad , AB, ut numerus partium in , c A, aequalium ipsi, AB. ad numerum pallium in , F D, ipsi, D E, aequalium. Quae ostendenda proponebatur.
Si in periphaeria circuli cuiuscunq; ossignetur quoius functum, tanquam ιnitium motus , a quo discedat aliud punιtum incedens per eiuydem circtio chordam, doneca periphaeria resiectatur , continuentur indesinιte
motus , ac quae deinceps Dbsquenior rsexiones si si arcus a praefata chorda subtensus Derit ad totam pe
ctum mobile ad initium motus pedi tot emensas integras periphaerias , quot mnitates erunt in numero
arcus a cborda subtensi , transibitque eodem tempore
tot ex bis arcubus , quot mnitates erunt in numero X x x peri-
566쪽
13o Exercitatio Iexis, ρεννbaria . si praefatui arcus fureis integra po
ripiam incommensurabilis , punctum motile μα- quam redibit ad initium motus.
CD, chorda, ΛΒ,&,A, statua tilr tanquam initium motus, a quo discedens punctum mobile feratur per, ΛΒ, & reflectatura, B, pes, BC, a, C , per chordam, CD,&sic deinceps indefinite , sitque primo arcus , AR, ad totam peripharriam, ABCDA, ut numerus ad numerum, exempli gr. ut 3. ad I q. Dico post tres emensos circulos,& Iq. arcus , ΛΒ , rediturum punctum mobile ad inbitu na, A , Ducatur tangens circulum, in , B, nempe, EF; igitur iuxta legem incidentiae, & reflexionis apud Opticos, & Me-32.3. Hς- chanicos, erit angulus, ERA , aequalis angulo, FBC; sed, EBA, aequalis est ei, qui fit in coalterna portione, BCDA;&, FBC, ei, qui fit in coalterna portione, BADC. Ergoio 3. Ele. anguli portionum, BCDA, BADC, erunt aequales,&subinde ipsae periphaeriae, AB, BC, quibus insistunt adaequa buntur. Eodem modo ostendemus arcus reflexionum, quae deinceps sequuntur, esse ipsis, AB, BC, semper aequa les : quapropter omnes per has reflexiones decursi arcus Perprio. erunt aequales inter se. Quoniam ergo, AB, ad , ABCDA, iem ii 'Vx3- d 3. . erunt Iq. arcus, AB, aequales 3. periphaerijs,' ABCDA . Ergo punctum mobile cum emensius fuerit 3.
periphaerias, ABCDA,& rq. arcus, AB, erit in ipso, A,
567쪽
phaerig. Dico punctum mobile, continuatis quantumuis reflexionibus, nunquam rediturum esse in,Α. Redeat enim ad, A, si fieri potest, post emensas aliquot periphaerias, ABC DA , vi ex. gr. decursis p. ex illis. chaoniam ergo arcus reflexionum sunt semper aequales, habebimus duas magnitudines aequales, seu unam duabus squipollentem, nempe aggregatum ex7. periphirijs, diuisum tum in 7. partes et qua-Is, tum etiam in arcus ipsi, A B, aequales, qui erunt aliquo numero numerabiles, si enim essent innumerabiles, cumetquetur 7. periphaerijs integris, essent istae quid infinitum. quod est absurdum . Erit ergo ut numerus integrarum periphaeriarum ad numerum decur rum arcuum , ita arcus, panem ΑΒ, ad periph riam, ΑΒ Α. Non igitur, AB, erit ipsi, ant. ABCDA, in commensurabilis, contra suppositum, quod est absurdum. Itaque punctum mobile nunquam redibit ad,Α. Quod,&cis CHOLIUM. Smile quodam acciderer in Planetis , si eorum velocita.
tes essent incommensurabiles, nunquam enim iterum conis tangerentur in eorimpuncto , in qu emelo ent coniuncti; alioquin circulationes eorundem eodem tempore essecta essent , ut numerus ad numerum, o Ic consequenter eorum v locitates non essent incommen rabiles . Si ergo tales essent motus caelestes , in aternum non redirent eadem oderum constitutiones, seu annus magnas , quem vocant Platonicum in. immensum
sonem abiret. Itaquefrustra eiusdem
reditum Platonici expectarent.
568쪽
Sisii semicircumferentia circuli, corasaper centro, tu i- Iam ctain, Gper radium,VIA, indesiuite producti.
versus, As ducaturque, AN atus exagoni, γ, matur aequalis arcuι , N , ac reuoluatur periphaeria,CAH, circa axem, AD, Ut fiat, CAH,Fuperficieistba rica, ct quicunque rad j axi, o D,paralleli incidant indicta operficiem . Dico quod speculum concauum, BAN ,rsectet paradelosaxi procedentes ab, A, mer
procedendo a , Z, Nersus, A. At speculum concauum,
sufficia, C B, NH, refido et parastetis axi procedentes ., B, H, io,c , H, in puncta eius, quae e I in directum ipsi, AD, ab , A , mura ipsum , A , in insinitum pro
rumque,ΕΟ,GM, resexae, OI,MR,& iungantur, DO, DB, DM, BA, ducanturque tangentcs in, ,B,M, Occut Ctesipsi, DA, productae in, V, P, Q, nempe, VOT, PBS, Κ . Quoniam ergo, EO, O I, sunt incidens, & rcflexa,iti xta I gem Opticorum efficiunt cum, VT, angulos aequales; sed etiam, DO V, D OT, recti, sunt aequales. Ergo reliqui, DOE, DO I, & subinde, ODI, DOI, erunt inter se aequaleS; . Unde, O I, erit squalis, ID. Similiter quia, EOT, 'OI, sunt aequales, etiam inter Π VP, parallelarum, EO, DA,
569쪽
erit aequalis ipsi, VOI, unde&, IO, crit squalis, IV. Quapropter, V D, erit bifariam secta in , I. Ergo,i, cadct inter, Z, A, non enim cadet inter periphaeriam, AO, de tangent cin, VO. Et quia tangentes , quo magis punctum contactus recedet ab, A, remotius ab ipso, A, Occurru ni pi odiacts,DA, ut facile probari potest: idco punctum bifariae sectionis, ur, I, semper magis,ac magis appropinquabit ipsi, A, non tamevllus p crueniet ad, A, nisi, FB, ac quaecunque parallela axi incidens in puncta periphqriae circuli axi, AB, crecti, cuius dianacter est, BN, ut nunc probabitur. Dico igitur, BA, esse reflexam ipsius, FB. Cum enimis
BA, sit latus exagoni, aequabitur ipsi, AD , unde angulus, ADB,
570쪽
AD , & subinde illi coalternus, FBD, aequabitur ipsi, DBA. Cuiri ergo totus, DBS, toti , DBP, sit aequalis, quia sunt recti,& pars, FBD, parti, DBA ; reliquus angulus, FBS, aequabitur reliquo, ABP . Quare, BA , erit reflexa ipsius, FB. Idem vero de caeteris ipsi, FB, similibus probabitur. Ex quo constat procedendo ab , Α, versus, B, N, puncta reflexionum procedere a , Z, versus, A. Deniq; angulus , GMΚ , aequabitur ipsi, RMQ, sed, GMΚ, exterior aequatur interiori, RQM, parallelarum, GM, DQ; ergo, RMQ, aequabitur ipsi, RQM ,& subinde, RM, aequabitur ipsi, R Q. Quia vero anguli recti, DM Q.