장음표시 사용
531쪽
abnardum . Non ergo descripta parabola transibit per puncta intra, T, V, posita. Eadem ratione probabitur non posse transire per puncta extra, T, V, in ipsa constituta. Ergo incedet per , T, V,& per, D, R, quatuor datapua inod faciendum erat. COROLLARIUM.HInc apparer inreliqua latera , , UR. dati quadrilia
teri fuerint quoq; extra concurrentia, quod pari ratione aisa parabola ινansiens per eadem quatuor puncta , R,U , T, describipoterit. Hoc enim eadempracsse ratione perinadhibita ostendetur in
De inueniendo puncto, quod alii bus datis quibusvis distet
secundum minimam quantitatem .
PRonsitu uit bae Problema , prout mihi relatum est,
abius m Gai e Maιδematκo D. de Fermat, ad c ιus soluitionem ita ρrogressus sum . Suppono ergo , daturribus quibusvis punctis , darι quoque ιres minιmas rectas lineas, melsaltem duas tribus aequipostentes, quae a communi puum ad ima duci possint . vemissequentes Prop. sic demonstro. PRO
532쪽
minima, quae ad recta, CH, duci possunt, & labim de minima quoque erit omnium ad semiellipsim,AB ab, F, ducibilium. Insuper . anguli, FBG, FBra sunt aequales, quia recti , &am 'puli, G B D, H B E, pariter inter se aequales . Ei o &, F B D, F B E, erunt aequa
533쪽
Si tria data puncta suerint in recta linea, melinauguri triangula punctum quaesitum non eruextra rectam, arriangulum propositum, aut in eiusdem ambitis.
cia, A, B, C, vel in retia linea, AC, vel in agulis tria guli, AB C. Dico puncta
Ium , A B C, aut in illius ambitu Sit enim, si fieri
definite hinc inde productam, vel in, D, extra planum trianguli, AB C. Τunc demissa recta ,vel plano trianguli perpenaeulari, L& iunctis, DA, DB, - EA, EB, EC, patet,EA inorem esse hypothenusa,AD,&se reli, as, EB, EC, reliquis hypothenusis, DB, DC, minores esse. Non ergo, D λ, D n, DC, erunt minimae ducibilium a , D, ad , A, B, C, puncta . Igitur punctum quaesitum non est extra, AC, vel planum trianguli, AB C. Supponatur nunc, F, punctum quaesitu esse in directum ipsius,
534쪽
Pra smnibus imiscens eis . Fo 7 ipsius, AC, vel in plano, ABC, sed extra ipsum triangulu. ABC. Pi oducta ergo, CA, in, F, ct iunctis, FB, FA, FC. quatum, F A, secet, BC, in, H, di intra, H F, sumpto qu'cunque pu ncto, G, ac iunctis, G B, GC . manifestum est in I. fig. quod appropinquantes puncto, A, breuiores quam snKFA, IB, FC, assumi possunt ad aliud punctum intra, F, A, positum, non ergo illae sint minimae. Et quia etiam continuo accedentes ad, B, possunt semper breuiores,& breuiores haberi, id o nullibi erit punistum quaesitum, nisi ps oeo abuti velimus puncto, B, in quo tres distantiae in duas t tum, BA, BC, degenerabunt. In a. fg. Vero erunt, BF, FC, maiores ipsis, BG, GC, & addita communi, AG, erunt, BF, FC, AG, maiores ipsis, BG, GA, CC, & multo maiores ipsae BF, FA, FC, non ergo istae erunt minimε. Sit nunc assumptum punctum vi, H, in ambitu trianguli,4 intelligaturque focis, A B, chorda que, ΛΗΒ, descripta eκ parte, H, semiellipsis ; unde, CH, ducta a puncto, C, extras micilipsim ad punctum, H, si tres, CH, H A, HB, sunt omnium minimae, erit pariter omnium ad ellipsim descriptam a puncto, C, ducibilium minima, essicietque cum, HB, HA, hinc inde angulos aequales, quod est absurdum, est enia , C H, in directum ipsi, hi B. Non ergo punctum quaesitum erit extra rectam, A C, vel extra triangulum, A B C, aut in eius ambitu. Hoc tamen intellige nisi pro quaesito uno datorum abuti velimus, tribus distant ijs tunc in duas tantum degenerantibus, hoc enim contingere poterit, ut nunc patebit. Quod,&c.
Si tria dura puncta fuerint in anguus trianguli angulum
habentis graduum Iao. Nel maiorem: punctum quae=tum, non erit abud quam 'unum ea datis punctis, illud nempe, quod breuiora trianguis latera terminabis. SInt data puncta, A, B, C , in angulis trianguli, ABC, cuius angulus, B A C, sit graduum Ia o. vel maior, de S ss a breuio-
535쪽
breuiora latera sint, BA, ΛC. Dico non aliud haberi punctum ouaesitum, Quam, A, quo abuti ponsumus,uibus distantijs in duas, AB, AC , dcgcnerantibus. Sit enim, si epse potest , punctum, D , eurus iunctis, DA, DB, DC, tres distantiae sint minimae. Si ergo socis,A , B,&chorda, B D A, intelligatur ex parte, D, descripta semiellipsis, quoniam
DA, DB, DC, ponuntur esse minimae, erit, C D, omnium ad semiellipsim ducibilium minima, & ideo faciet aequales angulos, CDB, CDA. Eodem modo per semiellipsim de sci iptam socis, A, C, chorda, ADC, ohendemus angulos, BDA, BDC, pariter esse aequales. Tres ergo, BDA,ADC, C PB, erunt inter se aequa Ies, de sanguli graduum IIo. Sed. B ct C, non est minor quam gr. 12 o. ex hypothesi. Ergo, BDC, erit vel aequalis, vel minor ipso, BAC, quod est absurdum . Non ergo dabitur minima triga distantiarum ad punctum intra triangulum, sed nec in ambitu, vel mistra. Ergo cum datur minima quantitas, sa item in duabus distant ijs, tales eru nt, ΒΛ, AC, ipsumque, A, deseruiet pro quaesito. Quod,&c.
torum sunctorum , non Aiud esse quam illud, v d quod flant ad ariapuncta tres circumstantra anguli galium
536쪽
De Propositionibus uiscedaneis . sos
supposito dari minimam quantitatem iis tribus dissan ιθ s , oportebit tris data puncta esse in angulis tristi suis, cuius mus Mi Non enim dabitur
minima triga dusantiarum ad pultistum extra triangulum, vel in illius ambitu, ergo illud erit intra, eritq; necessario, apud quod fient circunitantes anguli singuli gr. Ia . Attale punctum non potest reperiri intra, si aliquis trianguli dati angulus fuerit gr. Illo. vel maior. Superest ergo videndum num possit haberi cum anguli erunt
singuli minores gradibus Isto. Quod sic patebit. Sit triangulum, ABC, datorum . punctorum, A, B , C, & in eo quilibet angulus minor gradibus Iao. Fiant itaq, super, AB, AC, triangula isoscelia, ABD, AEC, Quorum anguli, D, E, aequalibus lateribus contenti singuli sint gr. Iro.& centris, D, E, interuallis,DΑ, AE, periphaeriae describantur, AGB, Α , q a, definite productas,dico se secare intra triangulum, ABC. Quod enim illae non sibi occurrant vel in , BC , vel subter, BC, manifestum est, quia versus, BC, continuo disiui guntur,quod etiam amplius patebit inferius. Similiter non ii. 3ssile se tangent in , A, essent enim, DA , AE, sibi in directum, quod est falsum: etenim anguli, DAB, E AC, singuli sunt graduum 3 o. & , BAC, minor est gradibus Iao. unde tres,
537쪽
ciunt minus quam θ ago. Sed nec extra,vt in, F , concurrent, iunctis enim , BF, IC, cum, BDA, sit angulus ad centi u ,
tiam , erit ille huius du. plus , & subinde , BFΑ,
erit gr. 6o. Eadcm rati ne constabit, ΛFC, esse gr. 6 o. unde totus, BF erit gr. Iao. sed & eo maior est, BAC,erit ergo, r. l. EE. BAC, maior grad. I a Q.
corra hypothesim, quod est absurdum. Restat igitur ut conoersius non possit fieri nisi intra,fiet autem in uno tantum puncto,quia periphaeriae conueniunt in , A, & circulus circulum non nisi in duobus punctis secare potest. Sit ergo talis concursus in, G, & iumgantur , GA, CB, GC ; dico autem singulos angu Ios, AG
riphaeriarum, ut in , BG Λ, continuata versius, Α, quolibet puncto, ut, H, iunctisq; H A, HB, erunt anguli, AH B, AGB, oppositi aequales duobus rectis, sed angulus, H, erit, i. a. Elc. gr. eo. cum sit ζ anguli, D, ad centrum tergo, AGB, erit gr. Iao. Eodem modo probabitur, AG C, esse gr. II o. qua, re, BGC, reliquus ad A. rectos erit pariter gr. Iao. Ex hoc constat si concursus fieret ut in , I, quod duo anguli, AIB, AIC, essent gr. 2 o. quod est absurdum, essent enim vel aequales duobus rectis, vel illis minores. Patet ergo in huius modi triangulo posse reperiri punctum, apud quod fiant anguli singuli gr. reto. ad illudq;& non ad aliud punctum constitui trium distantiarusn a datis punctis minimam quaatitatem. Quod ostendere opus erat.
538쪽
De inueniendis lateribus trianguli aequi cruris ex data area, S perimetro eiusdem.
me mihi proposuit A. R. m. Niseronius , de quo in
Praefatione Exerc. q. mentio facta ea. Solutionem
mero praebent sequentes Propositiones , etsi per lacumfludum,Iupposito quodam lemate Arcbmedeo.
Datam rectam, Ac, sectam utcunqι in , B, ita diuid re ex. gr. ιο, D, νι parasteunipedum sub , q. Ec, aequetur paradelenipedo Ab, AD, q. Dc. SIt in r. figura, AB, minor quam , AC, in a.
in 3. fig. maior quam ipsius, AC: ducatur autet ser, B, perpendicularis ipsi, AC, & indefinita, NO, in quaint assumptae, IB, BF, ungulae aequales ipsi, BC,&, FH. ipsi, BA; deinde re , ΙΗ, applicetur rectangulum, IGH, cuius minus latus si versus, H, aequale quadrato. BF, deis ficiens quadrato, GH hoc enim fieri potest cum, BF, sit minor dimidia, IH cum vero, AB, sit minor quam ., Α in i .fig. erit etiam, FH, aectualis, BA, ex constructione, minor quan I, 3Η ; est enim, ΒΗ, aequalis quoq; ipsi , Λ C, & subinde, FH, erit minor medietate, BF, ac cons quenter minor quam .,IF: unde rectangulum sub, H F, FI, erit minus quam . quadrati, IF,& subinde minus quadrato, BF, ac consc quenter minus rectamulo, IGH, iam applicato. Punctum ergo, G, remotius erit a puncto, Η, quam
539쪽
quam punctum, F, debet enim rea
ctangulo, GH, iam applicato, unde punctum,
B,F, non enim cadet in, B, cum orectangulum, I BΗ,sit maius rectangulo, IBF, hoc est quadra to, BF . Simili
quoq; subinde οῦ, e BRS I. lRunce reiangulum , IFH, ei it . quadrati, I F,& ideo aequale quadrato, BF. Punctum m go, G, F, in hae figura sum idem punctum. Deniq; in figura cum, AB, si maior quam ἰ, AC, erit quoq; FH, maior quam , ΒΗ, di subinde maior quam se, BF, & quam , IF: itaq; rectam sulum, I FH, erit maius quam . quadrati, IF, hoc est maius quadiato, BF, seu rectangulo, IGH, unde punctum, G, erit propius quam, F, ipsi puncto, H. Abscissa igitur ex , AC, ipsa, AD, aequali, GH, pumctum, D, in I. figura cadet inter , B, C in a. erit in ipse, B, in vero inter, D, C. Dico nunc paralleleppipedum sub , AB,& q. BC, aequari parallel pipedo sub , A D. &q. DC. Ducatur per, F, recta, m. parallela, AC, cui productae, si opus sit, occurat, DL,acta per , D,parallela, ON ,&statuatur. AM, aequalis, IG, latus recium semip rabolae circa axim, AC, veruce, A, descriptae versus, N, quam
540쪽
quam dico transituram esse per puncta, G, L. Etenim in I. figura q. BG, deficit a q. BF, rectangulo, IGF: est aut q. BF, aequale rectangulo, IGH. Ergo q. BG, deficit a rectangulo, IGΗ , rectangulo, IGF. Sed etiam retiangulum sub , I G, FH, deficit ab eodem rectangulo, IGH, ipso rectangulo, sub , IG, GF. Ergoq. BG , aequatur retiangulo sub , IG, FH, hoc est rectangulo, sub, MA, AB, cum, MA, sit aequalis, I G, & , FH, ipsi, AB ; unde puntium, G, erit indicti semiparabola. Similiter cum q. DL, seu q. BF, sit aequale reringulo, IGH, hoc est rectangulo sub , MA, &, AD , Quae est aesualis , GH, per constructionem , erit quoq; L, in dicta semiparabola, quae sit, AG L. In a. fig. cum tria puncta, F, G, L, sint unum punctum. eumq; quadrato, BF, aequale factum sit rectangulum, IGH, ac sit, I G, aequalis, AM,& GH, ipsi, BA , erit q. BG,
aequale rectangulo sub,MA, AB,& consequenter punctum, G, erit in dicta semiparabola, quae sit, AG. In 3. fig. deniq; cum q. BG, excedat q. BF, rectangulo, IGF ; cumq; q. BF, per constructionem sit aequale recta ngulo, lGH, ideo q. BG, excedct rectangulum, IGH,rectanguinto, IGF. Quadratum ergo , BG, aequabitur rectangulis sub. IG, GH, & sub, IG, GF, idest recta ngu lo sub , IG, FH, nempe rectangulo sub ,M A, BA: cumq; q.BF,seu q. DL,aequetur rectagulo,IGH, hoc est rectagulo sub,MA AD, ideo tam punctum,G,quam,L,erum in dicta semiparabola,quae sit, ALG.
Rursus eum, BA, ad , AD, sit vi q. BG, ad q. BL , sit autem q. BO, aequale q. DC, est enim, BF, aequalis, BC,&, FG, ipsi, BD, nam tota, ΒΗ, toti, AB,& pars, GH, parti, AD, est aequalis )& q. DL, aequale q. BF, seu q. BC; erit vi, B A, prima ad , AD, secundam, ita q. DC, te tia ad q. CB, quartam. Ergo paralleleppipedum sub prima, BA, tanquam altitudine, & sub quarta, hoc est subbasi q. BC, aequabitur paralleleppipedo sub secunda, AD, & tertia q. DC. Igitur Ilaea recta, AC, secta est in ,