장음표시 사용
51쪽
declaratur, alioquin nisi eius daretur species, foret ex prima
cap. 3.& quinta scct. huius cap. incertus: potuit enim aliter furue is . 3o .i . Habebis criam lic angulum I. Z. P. 37.i 3 2 a. quo cX I. g. S. i 7 3 s. u. ablato , rc linquitur rc liquus quasi in sanguitas P T. S. ido. 2 '. Habebis denique 5 I. P. 63. 3 3. quo ex I s. 132.3 .si'. ablato, remanet quasi tum latus P. S. cf. Easdem etiam inetas attinges si benchcio pcrpendiculatas
z.M. Primi sciicinatis partium logisticen quaesiveris., ADMON ITIO.ΡRa cedentis terti j 5 huius quarti exemplorum imitatio
ne, ccio decim vatiar soluuntur liuius & cuiusque triarguli quaestiones. Ex datis enim ut in tertio exemplo J eleuatione poli altitudine solis & hora diei, habetur primo plaga solis, secun db angulus positionis solis , icitio declinatio solis. Item datis v in hoc quarto exemplo ) eleuatione poli, altitudine solis, & angulo positionis solis, habetur quarto plagri solis,quinto hora diei, sexto declinatio solis. Item datis alta tu dine solis, declinatione solis, & hora diei, habitur scptici, o angulus positionis solis, octauo plaga solis. nono cicuatio poli .ltcm datis altitudine solis declinatione solis,& plaga solis. habetur decimo angulus politionis solis, undeclino hora diei, duodecimo eleuatio poli. Item datis declinatione sol is . cleua tione poli, &angulo positionis solis, habetur dcc in o tertio . plaga solis,decimo quatio altitudo solis . decimoquinto hora diei. It cm datis declinatione solis , eseo alione soli ,& plagi solis habetur decimo in to hora dici, icci mo scptimo angulus positionis solis, re decimo- octauo altitudo solis.
52쪽
V. 3c ceterae partes quadrantalis S. Z. M. scilicet M. Z. S. 67. 3 ii &MS r. i. sicut & ex perpendiculari hoc cuin dato L. P. S. teu Z. P.M. angulo, habentur partes Omn s quadrantalis Z. M. P. Scilicet primo latus quaestum P. Z. certissime enim scitur hoc prc 2.ientcnt. cap. i uiuius minus quadian te videlicet ei te 3 . non autem elisi s. Deinde habu tur P. Z. M. 2. 6 3 s. quo ad s. Z M. 67 3ί i s. addito, sit quaesitus angulus P. Z.,. i 2 2 . - . Viri tuo habetur P.M. 26. 26. 29. quoad M. S. 2. 3 l. 3T. addito, lit reliquum latus quaelitum P. S. 69. H is etiam iptas partes aliter s mauis j ex duobus proxii ne praecede atis Schematis quadrantalibus Z. I. S.& Z. I. P. acqui reic poteris.s risum exemplum duorum datorum avgudorum quorum Irea au-ti mmus propinquumssundii lius datum, macis aut crupropinquum subtendit Irim dat etaurum ccisi. TR ianguli P. Z. s. primi Schematis dentur anguli T. P. I.
i. r dc coq'radrant: minus prop:nquus L. S. P.; icum cum lubtende e latcre P. . 3 .l et utque quod augulum T. P. S. subtendens, scilicet latus Z.S. fit specie minus quadrante. Ex his datis quaerarur perpendicularis Z M. 12. ii . a 3. de caeterae quadrantalis P. Z. M. partes, scilicet P. Z. M. 2. . de P.M. 26.16 2, Sicut & ex perpendiculari hoc cum dato Z. S. M. seu . L. S. P., i. 5 , quaeramur partes omnes qu drantalis Z M. S. cilicet primo latus optatum Z. S. r. JΝia ex hupo th. ii expresse quadrante minus declarantur, alioquin potuit fatile ι ι s. Nam per i. cap. s. de quintam huius in incestum est nisi eius expresse de ur species. Deinde Aingialas 1 l. L. S. 67. 3s ii .quo ad M. . P. 62 ψί. s. addito sit Optatus angulus P. r. S. Ia .r . I. Denique habetur S. M. r. 3 . si . Quo ad P. M. ro. r. .: aidoto, fit optata basis P. S. 69. Ea . uem etiam partes ex duob as quadranta: ibas P. H. Z. dc s. H. Z. iecundi tali cma- maris, quaai lacillime acquucre Polcris.
53쪽
ADMONITI αΡRaecedentis quinti & huius sexti exemplorum imitati
ne, octodecim vatiae loluuntur huius, & cuiusque tria:
gali quaestiones. Ex datis enim sui in quinto exemplo P angulo positionis solis hora diei.&altitudine solis,habetur prismo cleuatio poli,secundo plaga solis, terrib declinatio solis. Item datis c ut in hoc sexto exemplo J hora diei, angvIo p sitionis solis,& eleuatione poli ,habetur quarto altitudo solis, quinto plaga solis sexto declinatio solis.Item datis hora diei, lilaga solis,& altitudine solis, habetur septimo declinatio so-
is octauo angulus positionis solis, nono eleuatio poli. Item datis hora diei .plaga solis,& declinatione solis, habetur decimo altitudo solis,undecimo angulus politionis solis, duod cimo eleuatio poli.Item datis plaga solis, angulo positionis solis.& declinatione solis habet ut decimotertio eleuatio poli, decimoquarto hora diei decimoquinto altitudo selis.Item datis plaga solis,angulo positionis solis, eleuatione poli, habetur decimosexto declinatio solis, decimoseptim b hora diei,decimo- octauo altitudo solis. Atque ita huius solius canonis methodo,quinquaginta qlintuor variae toluuntur quaestiones eiusdem trianguli non quadrantalis. Caeterae inferius solventui.
s. Eu bis itaque patet qaad duorum angularum o siuari subten tium laterum tribus datu,quarti 'Item Logarithmus innotescet, tacita etiam quadrantalium descriptione. Ab aggregate enim ex L garathmu a guli orta eris sibi adiacontu datorum ra=r LVarithmum teri, dati, cr proueniet in e Lagarithmus quarti θ' iti, i umque quartum nisi sis incertae ly ciei, n 'tescet. Vt ex superioribus tertio,quarto quinto,& sexto exemplis percipi potest. Angulotum enim basis Z P. S.& Z.S. P.dc sciorum subtendentium crurum Z. S. & Z. Pr dentur tria, quae
t verbi gratia in stat . crura Z. S , ciusqne Logarithmus
3 28sso,dc Z.P. 34. eiu qi e togarithmus si 26o6, cum huic adiacente angulo Z. P. S. i. r. . c. cuius Loga sit limum
54쪽
taciti de suppressi perpendicularis Z.M.vel anguli Z.H.S. seu Z.l.P.ὶ ὶ quo aufer 3 i 28 1 So remanet 66o 7 6 Logarithmus quarti Z.S.P quaesiti Ipsum itaque quartum Z. S. P. erit 3 I. o. s Quoniam per 2.sect. cap.3.minus quadrante arguitur.COn-ria autem datis Z. P.; . eiusque Logarithmo uegi 26G6.& Z.S. 7.eiusque Logarithmo 3 ia8 s 8o,cum huic adiacente angulo Z. S.P.3 i ad cuius logarithmum 66os M. adde 3 12 sto. fit aggregatum svi supra) 973 316.a quo aufer ῆι 26C6,pro uenient 3'2irio Logarithmus quarti quaesiti cilicet T. P.S, cuius arcus per I .sect. cap. 3. incertus est an sit 4 L. 1ν. y. an rue .so. , .nisi declatet hypothesis maiorne, an minor sit qd drante.
HActenus de partibus miscellaneis datis : Sequuntur
55쪽
Quia docent Regi Omontanus libro s. cap. r. ile trian gulis , & alij ut ieci ingultim comprehcus uni sub sinibus rectis crurum , se habet ad quadratum sinus totius: Ita di fierentiam simium veriorum baiis de differentiae crutum se habe e ad sinum versum anguli verticalis : quum autem vi illa differentia ad hunc sinum versum . ita rectari-gulum famim ex finibus rectis aggregati de differetitiar semibalis 3e semidi Terentiae crurum , se habet ad quadratum sinus recti dimidi j anguli verticalis sest enim nouissimum hoc rectagulum ad illam differentiam sinuntia versorum,& hoc ultimum quadratum ad illum sinum versum In ratione locio Ooo pin , de intellige quinquies millies millecupla, existente sinu toto iooooooo. Ideo sequetur quod, ut rectangulum sub sinibus rectis crurum se habet ad qna dratum sinus totius ta reclangulum factum ex sinibus rectis oggregati de differensia: semibalis & semidii ferentiae crurum, se habebit ad quadratum sinus redii dimidi j anguli verticalis:& per consequens s ex corol. def. 6. cap. I.& pro P. . cap. 2. M probi. 3.cap. . lib. i.) Summa ex Logarithmis crurum, subducta ex Logarithmis aggregali de disseremiae semibasis & semidifferentiae crurum,telinquit duplum Logarithmi dimidi janguli verticalis, ut Inpra. q. Sestima. ,Summa ex LMariit u erurum subhliacta a summ. I Nartihmis agerVati erentiae semibasis ct semian Catac Drumirelinquit duplum antilogarithmi dimidir anguli verticam. Non enim aliter se habet summa ex Logarithmis aggregati & differentiae semibalis de semiaggregati crurum huius propolitionis, ad i una mana ex Logarithmis aggregati de diffe- .rentiae semibatis & semidi fierentiae crurum praecedentis propositionis, quam duplum anti logarithmi dimidii anguli verticalis hic . ad duplum logarithmi eiusdem dimidij anguli verticalis luperius,quo u alterius loci est demonstrare.
56쪽
asis ait mae. Tangen ima enim logarithmi sunt suoru in st-cuum ilhil lenta les perstet. 12.& 13 cap. lib. i. Vnde haeta rigentium analogiam sequestir i ta tuorum logarithmo ri m Ieu distereo traiium aequillitas per Propq cap. 2. lib. I. Uerum q ia hu os analogiae tangentium fanaameia Elis, h. iii Dus ignorae demolii rationein a me sorte requirent L ccto: cs, cam eo, quati: utri huius compzndij bicuitas p. itin , Lic explicabimus.
Sphaera itaque A F P G incumbat plano H I K ut se ii,
uicem raogarit in communi puncto A , a quo per spha raecentrum is ci igat ut recta A is P secans supremum Sphaerae Hemith hariolo in puncto P. eritque ita AP P pe: pcndicularis plano H I K deinde angulo A describatur in sphaerae superlicie tri ligulum A λ γ in γ acutum, aut A λ β in δε ob tu sum, de protracti, scini cuculis A , P,& A se P. seu A h P,
polo mi reruallo λ γ, sed ei aequali λ β ducatur circulus S γ, secans λ Pin ,, de λ A in q& A β γ in punctis β & γ. Expuncto A in arcum A β γ dimittatur pes pendicularis accissErunt itaque hic A crus maius. λ γ vel λβ crusmmus, A γ Ae A a bases altera vera, reliqua alterna, A ci diffirentiacturum.& A ggregatum crurum , quia λ ,& ex conitructione sunt aequalia minori ciuta γ seu λβ. His pcractis,
ct sos polito P vicum gerere oculi aut luctati cuiuspiam, ab eodem Piu subiectum plant HI KQ lim trantur, radius P γ iecans planum in Ci& radias P selccans plando in b:d
57쪽
que P A b & P A e sunt in A rectangula, atque ideo etiam A dest tangens anguli A. P . , seu A P. d, & A e est tangens anguli A P. vel A P ese ei i. m A best tangens anguli A Ph vel A P b, de A c est tangens anguli A P , vel A P c, posito gnomone seu sinu toto P A.& quia A il est tangens anguli A P .l.& A PH. est dimidium anguli A O c per io. prop. 3. Eucl. quod hie sit incentro,ille in circumsetentia luteo Ad est tangens dimidii anguli A Q. ,seus quod idem si dimidij arcus Ain, quod est semidi fierentia crurum Similiter quia Aeest tangens anguli A P., gulus autem λ P . in circumferentia sit dimidium anguli A O in centro, ideo Aeest tangens dimidi j A S , seu dimidii arcus, Ai,quod est scini aggrcgatum crurum. Simili modo inis basibus vera de alterna erit A b tangens anguli AP s, seu dimi-
dij anguli A S β, seu dimidi j arcus A β, quod est altera semibatis:atque A c erit tanges an g li A P γ, seu dimidi j anguli A O ω, seu dimidii arcus A γ,quod est reliqu/i cmi basis Quumque lamostensum sit quod Α b sit tangens altζrius semibasis,& A e tangens reliquae semibatis, atque A d sit tangens semidifferentiae
crurum,& A e tangens serui. ggregati cruru . Dico qund ut A blangens semibasis verae se habet ad A e tangentem semi aggregati crurum,ita A d tangens semidifferentiae crurum ad A c ti- gentem semibalis alternae:vel contr ex alterna veram faciendo,ut A c tangens semibasis verae se habeat ad A e tangentem semi aggregati crurum: Ita Ad tangens semidifferentiae crurum
ad A b tangentem semibasis alternae.Qu d sc probo.si puncitabc de sint in eodem circulo,erit sper 36. pro p.3. de ι 6. prcp.6. Euclid. ut A b ad A e. ita A d ad A c. & contra. dcc. ut jam duximus. Vetuim puncta b c de cadunt in eodem circulo: omnis enim circuli in superficiae Sphaerae descripti umbra a lucido in eadem superficie, quod non est in circuli peripheria procedens circulum facit persecte rotundum in plano orthogono ad reoctam,quae a lucido per centrum Sphaerae progreditur, ut ex Opoticis,&astrolabi j Ablica patet. At hic circulus ἐμ γε in sphaer superficie describitur,le lucidum P. est extra circuli periph riam,quaeque ab eo procedit recta per cetrum videlicet P o Mest ad planum orthogona. Necessario ergo eius circuli umbra, quae in puncta d. b. c.e.incidit, circularis est:& persectὰ rotunda.
58쪽
figo ut se habent ε. b. ad A. e. Ita x. d.ad A. c. contra, id est ut tangens semibasiis vox ad tangentem simia r g ri ciuru, ita taugens semidisserentii crurum ad tangent in semibalis aiter nae:& pzr consequens, differentialis semibalis vera , ut uctus ex summa differentialium semi aggregati, & semidillerentiae crurum, aequatur d. serentiali semibalis at cernae, quae demonstra . . da suscepintiis.
. Vnde trianguli sphaerici datis tribu, lateribu , habetur triplicim do angulorum quinis.
ad a , hinc auferas aggregatum ex Logarallimis cruinum, et qιει bipartiti Logarithmi arcum duplices, o proueniet angulus verticalis, atque ita caeteri.
Vt trianguli P Z S repctiti, dentur latera pZ 3 gr.& Z S gr.& S P 69 gr. Quaeramur anguli. primoque quadranti proximus P Z S angulus, quam s P 69 l tus scilicet quadranti proximum subtendit. Hoc itaque S P 60pto basi statuatur. Inde semuli gereri-Z tiam crurum P Z,δc Z S, videlicet a Z. Et adde red semibasiin 3 .sentque i aggregatum : δ: sul strahe ab ea, hentque as. residuum. Logarithmos graduum i , scilicet aal o , Sc grad utra 28, scilicet 7 6i 71 adde, fient i 1776si 6. Similiter crurum P.Z.ῖ ,
89 i I 86.quibus ex ii7 6 i 6 ablatis, fient 28; 3 3o : cuius di- , diologartihm .i i 766 .relpon iciatem arcum, videlicet 6 . 1:.; et duplica,prouenient i 22.24 .angulus verticalis P.Z. S. quae si us. Nec secus angulos rei quos, si libet, illuc ire poteris: facilius tamen Per 9.cap .hum innotescen quia per a. senter. cap 3. unt ceriae speciei. s. SecunXus modus e L vi luere quoui aecipue q/adranti proxi-
59쪽
inc Auferas auregatum ev lo arithmis crurum, γ eligari bipartitionidoxa thmi arcum duplices, proaemet iude angulus verticali i
699 22 anti logarithmiis conuenicias arcui fio. I;.2. p. cuius duplum i 2 o. 2 . 9. est ut supra)quaestus angulus P ZS vcrticalis .Caeteros licet etiam hoc modo,facilius tamen pel 9.cap. . huius mucnies angulos. Sunt enim per 2.sent.cap. s. notς spcciei.
io. Tertius modus est, νι latere quovis pro basi posito, in eremialem femi- gregati cmmm ad di 'frentialem sim dispertntia cyhrum adci,st aρroque Ioa .ras dis' rentiatini simi basiis vere, pro' niet in e di serenitalis se basis altornat quarum simi sium summ escasus maior, disserentia caseus minor, uo distinguentes redi angu-ι ,q AE cr buas, ct Usus oblati trianguli partes omnes per nonam cap.
Vt propositi triansuli P. Z. s. datis lateribus ut supra, quaeratur auguli apud bai nn Z P S.& Z S P.Semi- aggregatum crurum P Z.&ZS. est o. 36. Semidifferentia crurum est 6. 39. Illius disterent illis est i s iso, huius vero est ri tiro'. Quos adde fient 23a 983o . Hinc aufer semibalis vera: s .so'. differen- . rialem 37sola 2,remanent i si 8;8s,dis ferentialis 3.1. 3 pro semibasi alterna. adde ergo semibases 3 .so. Jc s. s.; sent inde 2.3 s. 3: . pro inaiore casu M S. Mox ubi r he 8. 3 . 36'. rc linquentur 26. a. . 2,. pro minore casu P M. horum itaq; cai tum o scio habes duo jam rectangula in M. icilicet P M Z, & S M Z: quae dc perpendicularem Z M, 6c angulos vcrii cales P Z XI, & S Z M, aut,si libet,ipsum P ZS. patet ciunt per nonam cap. & Oct uam cap. . huius.) Sed bis omissis ad quae litos balis angulos TI' S.& Z b P,redeamus.Casus P M,16,1. . α' . iam acquisiti di ia
60쪽
serentialem 698 3ig per 9.cap . adde ad differetntialem complementi P Z.scilicet ad differentialem 1 si, qui est 39s 77o', prouenient 4 36 78oρ Logati ilim. eomplemerui anguli Z PS, quod complementum est 7.3o.r. similitur casus S MAEa 4 s. 3r, jam etiam acquisiti diis rem talem S 3239 per candem nonam se adde ad differentialem complementi P Z scilicet ad differentialem ; gr.qui est 698698 prouenient et i s i 937 Logarii limus complementi anguli Z S P, quod complementum est 18. s. s. Memor autem hic fis non ipsas partes P Z. 3 . de Z PS, aut P Z & Z S P sed sua complementa,ViZ.16 gr.& q7., . . α 3 gr.& s a ues V.circulares partes hic dici per secundam cap.
q. huius.Verus itaque angulus quaestus Z P s est a. α,. τ. &ZS P est si . f., .ut etiam ex sect. octava capri. huius patet. Aliud eius in t ianeuli exemplum. Eodem triangulo P.Z.s.alio situ constituto, sit S. Z.bass, dedatis lateribus ut stupra. quaeratur angulus P. Z. S. Crurum itaque s. P. 69. M P Z. 3 . semi- aggregatum est si . 3ο, eiusque differentialis - 22886so: seini- differentia veris est 17. so , eiu que disserentialis est: i i s 23 I. Quos differentiales adde ei it
summa t 91 369 i. a qua aufer differentialem dimidii basis S Z
videlicet disseretialem 23.3o'. qui est 3318 os, remanebit 91 2 ldisserentialis arcus r. 21. ii .pto semi- basi alterna. Adde ergo se
mi- bases 42.2 i. ii & 23. 3 prouenient os. i. H. pro maiore casa
s T& tum substrahe a 3.3M 2.2s.si. remanent i 8. II. L L pto minore casu T X,vel T Z. Huius ergo differentiale tror setor, adde ad differentialem complementum Z P , scilicet ad differentialem grad. 16 qui est 39; ro',&proueniet inde t
cso7 91 Logarithmus complementi anguli P Z T. Arcus autem in tabula respondens huic Logarithmo 68o7 9a ex aduerso est graduum 36.3,' si pro angulo P ZT, cuius anguli PT T, quum angulus quaesitus P Z S, sit ad semi circulum reliquus quod semper occurrit quum basis alterna est maior vera in erit necesse P Z s.csse graduum iso .a min. 9. sec. alioquin si b sis v.