장음표시 사용
41쪽
mentum S P B: aut tertio complementum S P, complementum S P B, de P B: aut quarto complementum S P B. P B, de B S:aut quinto sunt P B, b s, de complementum B S P. Verum quia in omnibus bis triplicitatibus, Tangens ait
rius extremae est ad sinum rectum intermediae, ut sinus totus ad tangentem reliquae extremae pro ut ex vulgaribus demonstrarionibus Trigonometriae patet. Idco sper nostras demonstrationes prop. s. cap. r. lib. r. 9 Logarithmi mediatum
qui sunt togarulimus solius inter mediae per corollarium c.
defcap. I. lib. i. aequantur togarithinis tangentium uti iusque extremae. sed Logarithmi tangentium harum extremarum sunt differentiales earundem c ex sedi. 22.& 23. cap. 3. lib. I. Logarithmus igitur solius intermediae aequatur differenti albbus circumpositarum extremarum, ut priore parte Thetirematis asseruimus. Sequitur posterioris partis confirmatio. Earundem ergo quinque partium circularium,tres illa quae in quaestionem exiremarum intermediae oppostarum cadurar, sunt aut primo P B, complementum B S P,& complementum SP B:aut secundo B S,complementum S P,& PB: aut tertici complementum B S P,complementum SP B,&BS: aut quar-
tb complementum s P, P B, & complementum B S P: aut quinto denique complementum S P B , B S, & complemcntum S P. Sed in omnibus his triplicitatibus seu quinque casibus,s
nus rectus complementi alterius cxircinae sic habet ad linum rectum intermediae,ut sinus totus ad sinum rectum complementi reliquae extremae squod fusius a Regi Omontano, Co-fernico, Laiubcrgio, Pitisco,& aliis dc monstratur, quam ut reui hac epitome repetendum sit Ideo per nostras demori-straciones prop. . cap. 2. lib. I.) Logarithmi compte entorum harum extremarum aquantur togarithmis med rarum.
id est. vi dictum est in logati limo solius intermediae, At Logarithmi complementorum harum extremarum oppostatum sunt eat undem ipsarum partium antilogarithmi sex deffeci. Is .& is .cap. 3 .lib. i. sequitur ergo in his casibus , quod logarithmus solius intermediae aequetur anti logarithmi, sua- .rum extremarum oppostarum, v t auerit posterior theorematis pars
42쪽
tis pars. Totum itaque theorema constat.Praeter hanc probationem per inductionem omnium casuum, qui occurrere possunt, potest idem theorema lucidὸ perspici ex is ' & ro praecedentibus,in quorum schemate, homo toga circularium partium constitutio earundem analogiae similitudinem arguit: ita ut quod de una intermedia de suis extremis circumpolitis, aut oppositis vere enuntiatur, te caeteris quatuor intermediis& suis extremis respective circumpositis,aut oppositis negari non possit.
s. v Incsequitur in quadrantalibus simplicibus, quod ex duabis L I partibus quis cunque datu tertia quavis innotescet.Semper
enim aut intermedia quaeritur eius ligarit m habetur πώ n-do digerentiales circum suarum ιxtremarum datarum auraltera extremarum quaeritur,2 eius digerentialis emergit ex substractione dissiet entiatis reliqua extremae datae a Logarithmo intermediae πο-ra: ut in quinque prioribus triplicitatibus rectanguli praecι entis theorematis,ct iotidem non rectangulinaut intermedia quaerietur, isteius logarithmus prouenit, addendo antilogarithmos o positarum extremarum datarum aut denique altera extrema um opposita omquaeritur: ct eius antilorari: us ex subductione Mnti arul ireliqua extrema oppositae data ex togari bmo intermidiae nota bab
tur. Ut in quinque posterioribus casibus rectanguli ρ aecedentis
theorematis totidem non rectangu b. m m autem Logamithmorum,antilogarithmarum, di disserentialium iam inuen orum cuti
. bet reos et duo arcus diuersarum 'ecierum. Ex lecte igitur quaesti arcus per fecundam,tertiam, quartam huius,aut pe/ h pothesim
nota, se arcus vere innotescet.
Vt in priore exemplo septimae, Tres quaestionis partes cir- lares sunt plaga solis, eleuatio poli, & differcntia ascensionalis,id est,In rectangulo B P S. partes B S, P B.& compleme- eum SP B: vel in non rectingulo quadrantali P Z S, partes P Z S,complementum P Z,de complemcntum s P Z: quarum trium dentur extremae circumpositae , scilicet plaga solis orientis I S, vel P Z S, O Gr.ec disserentia ascensionalis cona.
43쪽
plementum s P B, vel complementum S P Z, i 6 Gr. Σή, rq: de quaerat ut intermedia pars P. B, vel complementum P Z, quae est eleuatio poli. Addatur ergo differentialis ro. Gr. , viz rct 8 ad differentialem is gr. 2 .ar. videlicet ad 1 ιλχ6i . M prouenient 2 ris 3 3 3 Logarithmus 3 .grad uum pro Elcu xione poli q-tua.
ADMONITIO.PRaeter eleuationem poli hoc modo inuentam , habetur etiam secundo eadem praxi plaga solis ex eleuatione poli, de angulo positionis solis. Item temo angulus positionis solis ex plagi solis,& eiusdem declinatione datis. Quarto declina-Yio sol nex angulo positionis solis,& differentia ascensionali. iij rub differentia ascentionalis ex declinatione solis, & et a sane poli.
DEtur plaga solis orientis B S,seu P. Z. s, o. graduum: Eceleuatio poli s graduum,quae est P. B, aut complemen tum P. Z. Quaeratur autem differentia ascentionalis, scilicet complementum s.P.P,vel complementum S .P.Z Et,quia hiesmilitar extremae partes circumponuntur intermediae, ergo aufer differentialem plagae solis seu τι .graduum , qui est-xor 827. ex togarithmo eleuationis poli 3 .graduum, scilicet ex at 193 3: de prouenient inde ia2 26iso. differentialis 'praduum 16.1 χν sere, arcus differentiae ascensionalis quaesitae.
s n D huius exempli imitationem habetur scundo declina-λα tio solis ex differentia ascensionali, & eleuatione polidatis. Item tettio angulus positionis solis ex declinatione solis . & differentia ascensionali. Quarto plaga solis ex angulo Iositionis solis.& declinatione eiusdem. Quintd eleuatio po-i habetur ex plaga solis,& angulo positionis solis. Item contra habetur. Sex o differentia ascensionalis ex declinatione solis,
44쪽
selis,& angulo positionis solis datis.Septimo declinatio solis ex angulo positionis solis,& plaga eius. Octauo angulus positionis solis habetur ex plaga solis & eleuatione poli datis. Nouo plaga solis ex eleuatione poli, A disserentia ascensionali. Decimo tandem eleuatio poli habet ut ex differentia aliacensionali,& declinatione solis datis.
IN posteriore exemplo eiusdem septi inae tres quaestionis
partes circulares proponuntur hae, declinatio solis,eleuatiopbli,& augulus postlionis solis. Eae sunt in rectangulo A. P. s.complementum P S. B P. & complementum B S P. & in non rectangulo quadrantali P.Z.S,eae sunt, complementum P. S. Complementum Z P.&Z. S. P. Quarum trium dentur extremae oppositae, scilicet declinatio stolis,quae est complementum P s. G.grad. , ,.3ί',& angulus pontionis solis,qui est complementum B.s. P, seu Z.S. P. 3 grad. 9 es' fetE. Et quaeratur intermedia pars B. P, seu complementum Z P, quae est eleuatio Poli. Addatur ergo anti logicii limus D. grad. 3; . si, qui esta ostri ad anti iugarii limum 34. grad. ib. 2i , qui est isi; OSEProuenient a II 93 Ss. Logarithmus H.grada una pro eleuat i
PRaeter eleuationem poli hoc jam modo inuentatri,poteris secundo per eandem praxim habere plagam solis ex eiusdem declinatione,& differentia ascensionali datis.Tertio angulum positionis solis et differentia ascentionali de eleuat io- De Poli .Quarto declinationem ibiis ex eleuatione poli.& plaga solis. Et quimbinuenies differentiam ascensionalem ex plaga solis & angulo positionis solis datis. suartum exemplum. DEtur declinatio solis complementum S.P. it. graduim 3 s. ss & eleuatio poli B. P. seu complementum P.Z graduum s . Quaeratur autem angulus positionis solis comple-F 3 mentum
45쪽
mentum B. S. P,seu P,S Z:&,quia hic similiter extremae partes intermediae opponuntur igitur auferendus erit anti loga
virlimus it. graduum 3 s. si , qui est χο627 i. ex togarithmo graduum,qui est ri i93ss. & supererunt I9I3o32. antilog rulimus 3 .graduum 1 .ri fae, qui sunt angulus positi nis solis quaelitus.
PRaeter angulum positionis solis ac prima praxi acquisitum, habetur secundo eadem praxi declinatio solis ex d iis differentia ascensionali & plaga solis. Tertio habetur dii- serentia ascensionalis ex datis eleuatione poli & angulo positionis solis. Quarto eleuatio poli inuenitur ex plaga solis Meiusdem declina: ione datis. Quin id plaga solis acquiritur ex angulo positionis solis & differentia ascensionali. Sexto contrario ordine ) an ulus positionis solis inuenitur ex plaga solis & differentia ascensionali datis. septinab declinatio solis habetur ex angulo positionis solis, & eleuatione polidatis. Octaud disserentia ascensionalis ex declinatione solis, di eiusdem plaga inuenitur. Non δ eleuatio poli habetur ex data differentia ascensionali,& angulo positionis solis. Decimo tandem acquiritur plaga solis, ex eleuatione poli, & declinatione solis datis.
Atque ita ad imitationem horum quatuor exemplorum, toginta variae soluuntur quaestiones circularium partium, hoc est triginta variae quaestiones in quadrantali rectangulo, de totidem in non rectangulo soluuntur hoc porismate, beneficio unius tantummodo additionis vel substractionis.Cα-terum ad intestigentiam posterioris partis huius poci Imatis, de arcuum speciebus, vide exempla, tertium,quartum, quintum,& sextumὶ sequentia.
46쪽
LIB. II. CAP. V. 39DE NON QUADRANT ALIB VS
Η s quadrantalium, sequitur trianguloram Spheris rum non quadrantalium doctrina. i. Non quadrantale est triangulum Sphaericum, cuius nec latus, nec angulus quadrans est. a. Hon quadrantale reducitur ad bina quadrantalia, Si a vertica ad eius basim praui opus fuerit extensamὶ dimittatur perpcndis
. i. Perpendicularis cadit intra triang-Ium,si anguli apud basimpletu rim JGic extra vero si diuersilist contra. . su drans arcus cadit extra triangulum, si crura Dieissum oecio. Intra velo si diuersiarct contra. s. Ex non quadrantalis sex partibus , ires data solum seu ciunt ad
reliquarem sesentiam comparandam : msi frsan trium datarum, quarum una aberi opponatur, tertia sit propinquior quadranti, quam altera eiusdem generis data. in hoc enim casu requiritur etiam dari jecies pariis qua tertia opponitur,ut reliqua sciantur. Huius calas exempla sunt,quartum & sextum exemplum sequentium. d. Paries tres data aut miscellanea sunt,aut pura. 7. e uisiectaneaesunt, quarum una est diuersigeneris a reliquis dum s. Vt cum dantur duo latera,& angulus aliquis: aut duo a guli cum latere aliquo. 8. In partibus miscedaneu datis, s/b illa termino lateris dari in cuius reliquo termino sit angulus natus,cadat ad basem perpendicul ris,aut quadrans dat κ=n il Am atatilumsubiendens, reducetur non quadrantati ad bina quadrantabo sper nonam se l. cap. 6. huius)scibitia. I nde or non quadrantali artes quia cum horum quadrant lium partibus,auipartihm rcuruis commun/ssum) facile inμον
47쪽
ct anguli interpsit da . orum.
VT sit susus & exercui, gratia in triangulum sphaericum
non quadrantale in superficie primi mobilis descriptum P Z. S.polum. Zenith, & solem referens:cuius sex partes s uni, latus P. Z, quod est interstiti utripoli& Zenith, seu complementum eleuationis poli. Latus Z. S. interstitium Lenith & solis, sea . complementum altitudinis solis. Latus P.S. interstitium poli & solis, seu complementum declinationis solis ah, aequatore. Angulus Z. P. S. hora diei, seu tempora horaria aequatoris. Angulus
P. Z. S, quae plaga est, scaaetim ulli solis , septentrioΝe.Angulus P.S. Z, qui angulus est situs & positionis solis ad polum dc etenith. Harum sex patrium dentur tres quaecunque mi stellaneae.Verbi gratia .angulus horarius A. P.S. 1. 1 qui horam secundam Q. ,.. pomeridianam notat) & latus P. Z.3 .complementum Cleu tionis poli:atque latus. P S.69. complementum declinationis solis. Ex quibus, ut acquirantur tres reliquae partes,ab. X. termino lateris. P Z.dati, dimittatur perpendicularis Z.M,aut,si mauis,qliadi aias X, H. angulum datum Z.P. s. subtendens, reducensque non quadrantale oblatum P. X. S. ad duo
triangula in angulo M. quadrantalia, quae sunt P. M. A. de Z. M. S, ut in primo schemate: vel fi varietate delecteris) ad duo triangula in latere A. H. quadrantalia, quae sunt Z. H. P. de A H. s. ut in secundo schemate: Quorum
48쪽
quadrantalium omnes partes per s.feci.cap. .huius aequires,
Nam ex datis I' Z 3 .atque Z P M, seu Z PS, 2. 29. ἰ . inue nicta perpendicularem Z M ar, ii & angulum PT M. sa. b. s z. ct latus P Ἀ26. 2b a : quo ablato a PS 59. restat M s α. 3 3.3r. quo & perpendiculari Z M. jam cognitis, inuenses per '. sc t. cap. q. huius angulum M S Z seu quaesitum P S γ, 3i .. ,.& latus quaestii s Z AE . atque angulum M Z S 6 . 38. i. quo ad P ZMs2. , 3ἔ. addito .st angulus teliquus quaesitus P Z S i zo. a. . G, Tres itaque habes partes qua tas olscio perpendicularis A M, primi schematis. Easdem quoque ossi, cio quadrantis Z H secundi schematis venari poteric Ex datis enim, ut supc ,P Z 3 de Z P s seu Z P H iuu/nies per eandcm 9 cap. huius,angulum Z H P. 2 h. I i. Α',& angulum P ZId i z. .,ὶς,&. latcb P Ll ia 6. 2 b. 17. ix lubaufer P S 6 .rcstat s H . as. 1μ. quo de angulo apud H 1 1. a s.' .jam habiti inuenies pet ' cap. . Euius,angulum H S X
angulum P S Z quaesitum : atque latus quaesitum S.Z 4 . laenique angulum H Z S a 2.2r. ζ.quo ex H Z P t 2 s. si . ab a to,ri stat angulus rcliquus quaesitus P Z Si 2 o. 2.. - . prorsus ut supra. . vius exempli imitatione nouem variat soluuntur hui iis& cuius ne trianguli quaestiones. Ex datis enim eleuata
tione poli,hora diei,& declinatione solis illius diei, habetur ut supra in plinao azim ulli seu plaga solis, secundo altitudo solis,d eniδ angulus positionis solis. Item datis declinatione solis, angulo positionis solis, de altitudine solis,habetur quae xo puga solis,quinto eleuatio poli, sexibtiora, seu arcus horarius. item datis altitudine solis, plaga solis , de eleuatione poli ,habetur septimo hora diei,octauo declina:io solis, nono denique angulus positionis solis.
49쪽
Secundum exemplum duorum auulorum, cst lateris interposim, datorum.
PRaecedentium schematum datis angulis, horario scilicet
Z. P. s. a plagae solis P.Z. s. iao,2 , 9.cum corii plcmento eleuationis poli,latere scilicet interposito P. Z. 3Α- Tres cateiae partis exquiruntur. Nam habitis pii md uti prὶ ) Zad la .is. ν de P .is. Σή. o. de angulo P.Z.M. α- ώ-33. quo rx P. Z. S. I a C. i. Α, . ablato relictoque angulo M. Z.s.c .s: ii ex hoc atque Z. 1 jam notis .inuenientur tandem latus quaesitum Z.S U. δ: Z S M. siue angulus quae suus Z.s.P-3i atque M.S. 2.3 s. si quo ad P. M. addito, fit reliquum latus quaelitum P. S.69 Hasque beneficio perpendiculatis primi schematis habes, nec secus easdem ossicio quadrantis socundi schematis acquirere potetis: acquiruntur enim per nonam quarti huiusὶ ex datis,anguli P. H.Z.& P. Z.H, de ex hoc subducto P. Z.s. lato ,restat S.Z.H.quo,dc angulo P.H.Zjam notis propalantur caeterae omnes partes.
ADMONITIO. HVius exempli imitatione nouem variae soluuntur huius,
Sc cuiusque trianguli quaestiones.Ex datis enim ut suprυ hora diei. eleuatione poli, & plaga solis, habetur primo declinatio solis. Secundo angulus positionis solis, tertio altitudo solis. irem datis hora diei. declinatione solis,& angulo positionis solis, habetur quarto altitudo solis , quinto plaga solis sexi 5 eleuatio poli.ltem datis angulo positionis solis, altitudine solis, di plaga solis acquiritur septimo eleuatio ponoctauo hora diei,nono declinatio solis. Totium
50쪽
Tertium exemplum duorum datorum laterum, qu/rum quadranti propinquius subtendit angulum ritum.
ΡRaecedentium schematum dentur latera P. Z. 3 & eo
quadranti propinquius Z.f. r. cum eo quem hoc sibi en- 'dit angulo Z P. s. a. a . s. acquitantur per ' sect cap. . huius Z. M a1.ii. r.& P.Z. M 2-b. II. Sc P. M. 26. a. a . & ii mili modo habebis Z. S. M. leu quaelitum angulum A. S. P.certissime enim scitur h:c per a sen .cap. s. h liu , minor quadi aute, scilicet essῖ 3 non esse i 8. , sI Hab bra etiam angulum M.Z. S. 67, ii. quo ad P Z. M. 2 ψε. s s. addito, fit reliquus quaestus angulus p. Z.S. 7 2 o. a. .r Hab bis denique MM. S. 2 3; . si . quo ad P. 11 26. 2ί. G a ldito,fit quaesitum latus
P,5,69 Nec secus eadem acquirere potetis si libet) officio
quadrantis T. H.secundi schematis. Que num exemplum duorum o frum la erum, quorum quadratrii minus propinquum subtendit angulum dat sm: magis au
rem propinquum sub endi angulum data tantum *ecie .
D ntar latera δ s, & eo quadranti minus propinquum .' Z 3 . cum eo quem hoc subtendit angulo ZS P. si ς,. deturque quod quem Z S subtendit sanguius scilicet S P Zὶ
sit specie minoi quad cante Di in isso itaque ab Z. ad batim P. S. perpendiculari Z. M ut prau, aut qua drante Z ut hic) subtendente langulum datum Z.
S. P. Acquirantur per .sect. huius caeterae partes, ut sexerciti & vai ietatis gratia ) ex huius schematis quadrante Z I. acquirens angulum Z l. s. ra. II. ' & I.Z.S. Is .s .ii . t S. l.i; 3 . si . Ac sinuli modo ha- , bebis angulum I P.R, Sper co tequem angulum quaesuum s. P.L. 1. 29. 9. Quia ex hypothesi expreste quadrantu minor