장음표시 사용
511쪽
ctis, & lineis, vel tantum in punctis, esio quodcta, L M, es in puncto, N, transeantq; perpuΠcta, L, M, di, lineae regulae, FE, parallelae, H D, QC, G Diς imgur , SPER, in punctis, P, Q, H, I, O, R, ω rectam, A E, m Punctis, B, C, D, nullasque alius - a 'factus fuerit contactus in ambitu, AN MLE. Quoniam ergo a puncto, N. ad , Α, nullus datur contactus, erit, AN B, figura in alteram partem, v m. pe vertus, A, deliciens, hoc effquaelibet in figura, AN B, parallela, NB, erit maior remo.tiori , si enim non, esto quod aliqua vi, ΥΤ, non sit maior remotior U, ad ambitum termina ta , vel ergo erit illi aequalis, vel eadem maior, sit illi aequalis, Niungatur, IX, haec ergo erit parallela, AE, & occurrit ambitui inductus punctis,T X. ergo possibile erit ducere rectam lineam ipsi, ΥX, leu, A E, parallelam, tangentem portionem curuae lineae. hoc est ambitus. AN, inter duos occurius, Y. X. continuatam, quod est contra suppositum quod si dicatur, YT .esse minorem. XV ,
multo magis conuincetur praefatum absurdum, ergo, YT,erit ma ior, XV, & quaelibet, N B, propinquior remotiore maior, ergo fi gura, AN B, erit in alteram partem deficiensi eodem modo autem Oilandemus etiam, NMCB, LED. esse figuras in alteram partςM deficietates, LMCD, autem manifestum est esse parallelogram murectilineum, ergo in figura, SPER , ipsa, SPR, quae est aequaliter analoga ipsi, ANB,erit figura in alteram partem deficiens, sic etia,PQOR, HELQHIO, vero ei it parallel ,grammum rectilineum, seu curvilineum, prout, QΗ,ΟI, rectae, vel curuae, esse possunt, ergo figura, SPFR, componitur ex figuris in alteram partem deficientibus . ac ex parallelogrammo rectilineo, seu curvilineo a re gula, FE, quod ostendere opus erat.
HIης habetur figuram, STF', ipsi aequalem esse, σπι
uersaliter siginas planas aequaliter analogas , in quibus earum νegula a Midistantium.quotcunq; linearin concepta portiones inte ara sunς, interse aquales esse . Pro Diuili od by Corale
512쪽
LIBER VII. 49 P Roposit. antacedens, aliter, quoad prioreta pancm,
Titer,GM,parallelaru,aute ipsi, G M,quotcumque portiones in Vna' que dictarum figurarum integrς sint,sue non . Dico easdem qqua Iesesse. Incidat ergo parallelis, AF, GM, quomodocumque recta linea, EL, in eisdem terminata, moueatur autem, GM, verius 3 AF, temper eidem, AF, qquidistanter donec illi congruerit , interim autem unum punctum moueatur in eadem, G M, sic mota, deleribens ambitum, Io Ξ, figurε squaliter analogε ipsi, DC Κ,& aliud Punctum in eadem motum ad aliam partem, FL, describat ambi tum figurq, ΕΥL, εqualiter analoge ipsi, BHIC, in quibus quidem sic deicriptis figuris conceptς ipsi. GM, parallelarum portione quεcumque integri sint. Erit ergo figura, E 3L, qqualis figuri, EXL, est O autem quod in figura, DaΚ. conceptς portiones parat telarum ipsi, GM, non omnes sint integri, sed aliquς fraeis per in
teriorem ambitum, nemph, quς intercipiuntur parallelis, Q6, ομin quibus habeantur duo figurg si usta, ε Bo, C. R, in quorum tamen unoquoque dictet parallelarum port Ones integrς habeantur , sit autem in motu, G Μ, a quodam puncto descripta linga,&rs, nempe ambitus fgurq, s&ΣT, eodem modo, quo descripti fuerunt ambitus, Et L, EYL,nguri inquam, I&ΣTHqualiter ana logi frusto, 7R s. er tergo reliqua figura, 1 Δυ , squaliter analogat rusto, Q vi , cum tota, TSo, sit toti composito ex frusti, Q. RGAM, εqualiter analoga, &lunt portiones ipsi, GM inarallelarum
513쪽
laru n in unaquaq; figura, s-, s&ΣT, integrae omnes, sicut contingere supposuimus in frustis, QΦR, 7RΩ6, ergo cum, Q. R,.s o&, sint figurae etiam aequaliter analogae, inter se aequales erunte Eadem ratione patebit frustum. 7Rnis, aequari figurae, S&ΣT, eringo frusta, Q. R, 7Rns, simul iumpta aequabuntur figurae,TssΔΣ ted & figuram, 76D, ipsi, EST, adaequari, necnon, ΦΕΩ , ipsi, Δ LΣ, pariter adqqua ri manifestum est,cum sint figurae aequaliter analogae, & portiones parallelarum ipsi, GM, in ei idem conceptaruintegrae unt, ergo tota figura, DQΚ, toti, hia L, aequalis erit. CO- simili modo in figura, B HIC, ducentes rectas lineas ipsi, GM , parallelas, nempe, Oa, P , quibus ipsa distinguatur in frusta, capien. tia dictas parallelarum portiones integras scilicet in frusta, BON, CNa, PH , I r. Ο Ρι a, PH , t , eaidem, o 3, P3 , producentes ut lecent ambitum figurae, EYL. velut in , T, X , ΗΥ, descriptisq; lineis, EU, Z L, ut fuit descripta, fr&, ut constituatur figura , ET V, aequaliter analoga seu sto, CNa, ex quU remanet, EUX, aequaliter analoga ipsi, BON.3 6e figura, Zθt L , squaliter analoga ipsi. 6II, ex quo, Z , remanet etiam aequaliter analoga ipsi , PH , cum in his captς parallelarum dictae portiones integrae sint, maniis
concludemus figuram, BHIC, aequari ipsi, EΥL, hoc est ipsi, Eβ
sed eidem, , E3L, ostensa est aequalis etiam, DQΚ, ergo lagurae, BHIC, D QK, inter se aequales erunt, igitur quaecumq; planae figurae aequaliter analogae inter se aequales erunt, quod ostendendum erat. Per haec autem priori parti Propos. l. huius iam satisfactumelle aianifestum est.
514쪽
FIgurae planae quaecumq; in eisdem parallelis constitutae, in quibus, ductis quibuscumq; eisdem parallelis aequid ista tibus rectis I in eis, conceptae cuiuscumq; rectae lineae portiones sunt inter se, ut cuiuslibet alterius in eisdefiguris conceptae portiones chomologis tamen in eadem figura semper existentibus 2 eandem inter se proportionem habebunt, quam dictae portiones. Dicantur autem pro Portionaliter analogae, ac etiam , si libuerit, iuxta regulas
ipsas parallelas , in quibus existunt.
Sint duae quaelibet figurae pia nae, B&RΚrΔ, C Φλ, inter paralleolas AD, Xn, constitutae, ducta vero utcumq; EQ, praζd i. parallela, eiusdem portiones in figura, B&Δ, conceptae, quin sint,Hl,L
M, simul sumptae sint ad eam, seu ad eas, quae concipiuntur in fio pura, C Φλ, ut at ae quaelibet similiter sumptae, nempe e . g. Vt, &wrΔ, ad, Φλ . Dica figuram, B&RkTΔ, ad figuram, si Φλ, esse ut, HI, LM, ad , NO, vel Vt,-rΔ, ad , Φλ , vel ut quslibet aliae similiter sumptae. Accipiamur in , Φλ.producta versus, λ, quotcuqet eidem, Φλ, aequales, ut; λχ, similiter quaelibet linearum Igurae, Φλ, producatur, & in ipia intclligantur tot assu tae aequales uni. cuiq; productarum, quot assuinptae sunt aequales ipsi, Φλ, eX.g. vni Rrr
515쪽
ea tantum, Se per omnium terminos ex pa rte, et, transeat linea, CPr, similiterin alia figura,BS Δ, sumantur quotcumq;in ipsa,o ζω producta verius, Sc, aequales ipsis, εἰ FTΔ, timui sumptis, & pr ductis reliquis in fig. BS α, ipsi , S Δ, parallelis ,aliae tot aequales suis productis in directum capiantur, per quorum omnium term nos transeant lineae, BGZ, BFY. Quoniam ergo figuri, BFΥZG, BGZ6cΗ, BdcIs LP sunt in eisdem parallelis, AD, Xn; oc ducti 2 in eisdem quomodocumq; ipsis, AD, ΣΩ, parallelis, interceptae figuris portiones sunt aequales, ideolpiae figurae, BYZ, BZ6c, Bocythro, aequaliter analogae. de subinde aequales, erunt: Quo paucto etiam Ostendemus figuras, A , AC a , aequales esse : Quotu plex VO est aggregatum ex, Y , r Δ, aggregati ex, Syt, I rato tu plex erit aggregatum ex figuris, BYZ, BZle, BNFLT Δ, teu ugura, ΒΥ k I figurae, Βει 6k I Δ ; si militer quotuplex erit, φ ι,ipsi
u , φλ, Otuplex erit aggregatum ex figuris, C φη, C Ah, hoc est figura,c φι, ipsius figurae, A, habemus ergo aequε multi puces primae, de tertiae vicum vallumptas dimiliter de aeque multiplices iecundae, dc quartae. Quoniam vero ex. g.YN, Γα; FI, L M, sunt aequε multiplices Riarum, S , Γαι Hl, LM, Mliter, a , PN, sma aequε multiplices ipsarum, φλ, NO,lpis velo,&yr, t Δ, Η ΙωLM,φR, NO,sunt proportionales, ideo si aggregatum exa F, l o, adaequabitur ipsi, φr, etiam aggregatum ex, FI, L M, adaequabiIuripsi, NP, ut ει reliquae omnes similiter sumptae , dc conrequenter etiam figura, BYRk Io, adaequabitur figurae, Cφr, si vere, aggin gutum ex , YN, Lot luperet, a, eodem modo patebit liguram, ΒΥ χ ΓΔ, iuperare umram, φ , MI iuperari ab eadem, si, YN, l o
516쪽
supereretur a , φ i, ergo prima ad secundam erit, ut tertia ad qua tam . s. ligura, HSRΚ l Δ, ad figuram , cis , erit, ut aggrzga um icx, &R, ΓΔ ; ad A, vel ut adgregatum ex, Hl, LM, M, NO , leuut quaelibet alia: tuae similiter lumptet . quod erat ostendendum . Dicantur ivitem dinς Murae pro monaliter analogς iuxta regu
ΤΗΕoREMA III. PROPOS. IV.FIgurae solidae quaecumq; in eisdem planis parallelis
constitutae, in quibus ductis quibuscumque planis diis parallelis aequi distantibus, eoneeptae cuiuscum; sic ducti plani in ipsis solidis figur plans sunt inter se, ut eius' modi cuiussi bet alterius plani in eisdem solis conceptae fi-
surae homologis tamen in eodem solido semper existertihus) eandem inter se, quam dictae iam conceptae cuiust sq. Plani figurae, rationem habebunt. Dicanrur autem figi τε Proportionaliter analogae, iuxta regulas ipsa plana patia tela, in quibus existunt. Sint duς quelibet fim solid , AMEGF, PQRY, in elidem planis
Parallelis constitutς : ductis vero quibuscumq, planis praefatis pa'rallelis qquidistantibus, eorum conceptet, in solidis figurς sint unius Plani ex. g. figurae, NSTV, ZΩΔ, allectus autem, M F. QRΥ, vel contingat has esse solidorum bases, ac in aItero planorum μ' vallelorum, solida, A ME GF, PQRY, contingentium, sit vero ijgu ra, MEGP, ad figuram, QRY. ut figura, NSIV, ad fguram, In in . homologis nempe in eodem solido existentibus. Dico solidum, ' AM EGE, ad solidum, PQRV, eo ut, NSTU, figura, ad fginam. ZΩΔ, vel ut figura, MEGP, ad figuram, QRY. Ducatur enim inbgura, MEGE, utcumq: recta, EF, ad illius ambitum terminati, cui ducta parallela, SV. in figura. NSTV, producantur ambae indefinith versus puncta, S, E, in quibus sumantur utcuq; qque mul tiplices, BS,CE, similiter in eliciem figuris ductis alijseii dem, SV. EF,εquidistantibus, sumatur earum pariter qquh, multiplices iuxta prεdictarum multipl:citatem, Somnium termini sint in lineis, B Γ, MICHG,sicut ipsarum partium termini sint in lineis,NST, TOT. NdT, M EG, MUG, MCG,traductis vero alijs quUtcumq; planis prifatis parallelis, ac ipla solida lecantibus, hoc idem fiat circa ipsorum liguras in ipsis solidis conceptas, omnium vero ita
517쪽
resultantium figurarum termini sint in superficiebus, AMCG, AMDG: AM EG similiter in alio solido esto quod plana, quq produ'xerci t in solido, A MEGF,figur. MEGF,NSTU,genuerint figuras, RL ZAn,ad quas illae habent eandem rationem, ductis autem, vel assumptis rectis, QY, ΖΔ , inter se parallelis, illae producantur Verius eandem partem, ΔΥ, in ijsq; productis accipiantur quaecuq; aeque multiplices, vel aequales . YX, ΔR, & idem fiat in caeteris iis parallelis in figuris, QRY, ZaΔ, sic productis, & omnium termini sint in lineis, YXR, Δyta, hae vero lineae , sicut & reliqua rum figurarum eodem modo producibilium, sint in superficiebus,
PYR, PYXR. Manifestum est autem figuras, MEGF, MDGE,MCG D, esse aequaliter analogas, & ideo inter se aequales, sicut etiafigurae, NSTU, N S. NΛTO, pariter inter se iunt aequales, &quecunq; aliae sunt in eodem plano. ex quo habemus etiam in bda, A MEGF, AMDGE, AMCG D,esse aequaliter analoga, ideo inter se aequalia. Eodem modo ostendemus sol: da, PQRI, PRXY, pariter inter se aequalia eisse. Quotuplex est ergo solidum , AMCGF, ex tribus, AMCGD, AMDGE, AMEGP, compositum, to tu plex est figura, MCGF, ex tribus, MCGD, MDG E, MEGF,eo posita,figurae, MεGF. Similiter quotuplex est lolidum, PQRX, ex duobus, PQRY, PYRX, compositum ipsius, PQRΥ, totu pleπeit basis, QRX, ex duabus, QRY, YRX, composita, fig. QR ita ut habeamus aeque multiplices primae, & tertiae, necnon iecundεωS quartς magnitudinis. Cum autem ligurae, F MCG, VNB1,
snt aequό multiplices figurarum, MEGE, NSTU, & pariter fgum, Q , Znye, sint aeque multiplices figurarum, QRY, Zno ,
518쪽
ipsae vero figurae, MEGF, QRV, NS I V, ZΩΔ , sint proportionales, & homologae, MEGE,NSTV , ideo si ligura , MCGF, fuerit aequalis figurae, QRX, etiam figura, NBIV, erit aequalis figurae, Enyr, ει quaelibet alia in solido, AMCGF, sbi respondenti in alio solido, PQRX, unde& solidum, AMCGF, aequabitur solido , PQRX. Et si figura, MCGF, superauerit fguram, QRX, eodem E, , hmodo ostendemus, quodiolidum, AMCGF, superabit solidum, P iucQRX,& si illa superabitur , etiam hoc superabitur, ergo prima ad secundam erit, ut tertia ad quartam, hoc est solidum, Α MEGF,ad solidum, PQRY, erit ut figura, M EGF, ad figuram , QR Y, vel ut figura , NSI V, ad figuram, Zoo , vel ut alia quaelibet eiusmodi , niti solido, A MEGy, ad sibi rei poadentem in alio solido ,PQR i. El.
hoc est ad existentem in eodem cum ipsa plano quod Ostendere o. erat. Dicantu autem figurae proportionaliter analogaeuum re .
HAEc , & antecedens methodo Indi uisibilium ostensae quoq;
fuerunt Lib. a. Prop. 44 eum vero prima, secunda , & tertia Prop. eluidem libri sint illius methodi sundamenta, hinc opus erit in praetenti Lib. quascumq; illas subsequentes , & ex dicta indiui. fibilium methodo Propositiones dependentes, aliter demonstra. re, ut vel scrupoloso cuiq; Geometrς satisfiat. Igitur ab hae Lib. 2. Propos. q. incipientes, curabimus, ut, quq per illam methodum vera esse demonstrata sunt, etiam per noua haec fundamenta conis firmentur . Primi Lib. autem Prop. nullatenus a dicta methodo pendere manifestum est circa nonnullas tamen obiter prius haee pauca maioris facilitatis gratia libuit declarare. In Prop. q. igitur Lib. primi sciat Lector tacite supponi omnes vertices datς figurae, respectu eiuldem regulς assumptos,esse in ea.dem recta linea regulae parallela; seu, pro figuris solidis, in eodem plano regulae aequidistante, dissinitionibus consormiter; quod ob sui elaritatem inter axiomata poterat recenseri. In Prop. a s. praetermissa fuit demonstratio presentis casus,eum nempe, AG. contingit esse perpendicularem, G U, & hoc cum sa-cile, intellecto dissiciliori casu qui ibidem explicatur hoc probari
posset ; concludetur autem hoc modo, quod praetendimus, nempe in tali casu etiam , Κ esse perpendicularem ipsi , - , S iecunda
519쪽
' sunt sinitia, rectus autem est angulus. AGP, cum rectus ponatur,
. . qualeS erunt. Cum vero quadratum, P A, squetur quadratis, Pinti hi ' stu quadratis, PG, GE, EA, & quadratum PA, equetur etiam quadratis, PE, EA, du. quadrata, PE, EA, aequabuntur tribus
quadratis, PG, GE. EA,&ablato communi quadrato, EA, erit . quadratum, PS, aectuale quadratis, PG, GK, unde angulus, PGE, k1ἡi, '' rectus erit , & conlequenter etiam rectus ipse, XYT. unde anguli, Defin. s. AGE, LYT, erunt incinationes secundorum planorum, AU,ΚA, Vnd. Ele. Cum lubiectis planis, HV,SΔ ,&inter seqquales , per que suppinsito easui satisfieri manifestum est. In Lemmate s. post Prop. 8. pr Fermissa sui demonstratio prpsentis calus, cum eadem facilis existimaretur, nempe quando, FE, FG, cum, A E, AG, &, LI, L M, eum, ΗΙ, ΗΜ, concurrere mini me posse contingat, ut cum angulos, E AF,G AF, IH L, Miliarectos, vel recto maiores acciderit esset Sic autem tum hic, tum suin posῖtus ibi easus poterit uniuersaliter demonstrari. Intelligantur
ponantur qquales, & latera, FA, LI ,&, AG, HM,qqualia, erunt . . Pariter baies, FG, L M, aequales e Sic autem probabimus tum, EF. si es tum, EG, IM, inter se aequales esse. Rursus suspensa pyram de, AEFG, ponatur, F, in, L, demittaturq; FG, super, LM. cui cingruet, & triangulo, EFG, cadente luper, lLM, punctum, E, pari ter erit in, I; Sed & punctum, A , dico fore in , Η, tres enim sphraricae superficies iuper centris, I, L, M, radiis inuicem se secantibus descriptae, nempe radijs, HI, HL, H M, seu, AE, AF, AG, in duobus tantum punctis sese decussare possunt, ut facile ostendi potest,
duet enim quetlibet sphaericae superficies in circuli periphaeria se se.
520쪽
cabunt, tertia vero hanc periphsriam diuidet in duobus punctisνquet tum ab ambas partes plam, i L. I, nempe unum Iupra alterum intra i pluin, quare non ad aliud punctum, quam ad, H, concurret tres rectan lineae, AE, AF, AG, ad eandem partem plani, ILM,cum ipsis, Hl, HL, HV, constitutae, ergo, AF, cadet iv, HL, AE, in , HI, &, AG, in, H M. quibus pretostensis, reliquum demonstrationis , ut ibi, prosequemur.
THEOREMA IV. PROPOS. IV. PArallelogramma in eadem altitudine existentia Inter
Sin in figura Prop. 3. l ib. u paralleIogramma, AM, MC, in eadem altitudine. Dico eadem esse inter te, ut bases, GM, MΗ. Hoc autem manifestum est, sunt enim dicta parallelogramma fg N proportionali ter analogς, iuxta ipsas bales, cum sit, GM, ad , ΜΗ, ut, DE, ad, El,&, DI, ducta sit vicumque, unde patet prinpositum etiam independenter a methodo indivisibilium.
P Ropositionis s. Lib. a. prior pars pendet quidem ab Indiuisi
bilium Methodo, verum pars posterior, nccnon Prop. 6.T.dc8. abiq; illa methodo, ut intuenti apparebit, Ostenduntur, qua Propter, cum ab eadem exemptς sint , non indigent ut restaurentur, ted illas tamquam stylo veteri demonstratas, ut veras in hoc libro quoq; usurpabimus, quod etiam de aliιs Propositionibus fiet,qui; a methodo Indi uisibilium immediatς pendere non conspicientur, etiamsi inediate ab eadem utiqesependere competiantur, i u T. Lictenim illas Prop. de nouo ostendere, quς immediate ab ipsa methodo Indiuisibilium fidem sumpsisse videbuntur. cum vero subiequentes Propositiones, in quibus parallelogrammorum Om. nia quadrata, ieu omnes figurs si miles, regulis basibus, examinanis tur , sint in gratiam cylindricorum, prima vero tantum ξendeat ex methodo Indiuisibilium, propterea illa erit denuo oliendenda, quam nunc lubiungo.
THEOREM A V- PROPOS. V.CΥlindrici in eadem altitudine exillantes inter se sunt