장음표시 사용
11쪽
tur numeri, indicantes, quot membra sequantur versus dexteram posita ; Sic enim habebitur numerus diuisus in membra, quae si a. gula non plures quam sex notas Arithmeticas coatinebunt, adeoque per primam praxim legi poterunt. Vt iuxta petimam praxim successive legendo singula membra, legitime enuntietur totus numerus : duo diuersi modi utiles esse possunt. Primus, atque paulo longior modus est, si incipiendo a sinistra parte , singula membra successive legantur, hoc tantum obseruando, ut vocibus quibus membrum enuntiatur, toties addatur vox millio in easu quem sensus exigit) quot unitates indicat numerus subscriptus puncto membrum terminanti; sic enim legitime enuntiabis totum numerum.
Secundus modus paulo compendiosior, assumit iubsequentes voces , millio, bilio, trilio, quatrilio, quintilio, sextilio, septilio et aut plures his similes, si pluribus opus sit ; harum Vocum prima , siue millio, significat millies mille, vox bilio, idem signincat, ac vox millio bis successiue posita: adeo ut idem sit, unus bilio, vel unus millio millionum vox tritio, idem significat ac vox millio ter successive posita: adeo ut idem sit, unus trilio, & unus millio mil-rionum millionum ..Vox quatritio, 'idem significat ac vox millio quater successive posita: adeo ut idem sit, unus qua trilio, vel vn millio millionum millionum millionum . Hinc satis manifestum est . quid significent reliquae voces hic assumptae r & etiam quomodo his similes aliae efformari possint et ac denique, quae ex his vocibus correspondeat cuilibet numero subscripto alicui puncto mem-Brum terminanti; quibus cognitis, ut secundo atque paulo compendiosiori modo legatur propositus numerus: incipiqndo a sinistra
parte, singula membra successive legenda erunt, hoc tantum O, seruando, ut vocibus quibus membrum enuntiatur, addatur vox correspondens numero, qui subscriptus est puncto membrum ter- minanti. Sic enim legitime enuntiabitur totus numerus. Pro exemplo propositus sit numerus A et qui paruus non est, immo plures unitates lignificat, quam sint notae Arithmeticae, ad quas scribendas sufficerent omnes totius orbis terrarum aquae, in atromentum conuersae.
A-7 o 3 26 8q9IOoo 37 37 29 337oI3o a 3- Numerus A in membra diuisus, repraesentatur a subsequenti scriptione; ex qua satis apparet, quomodo propositi maiores nu- - - meri in membra diuidendi sint, vi commode legantur, iuxta pia rim de qua hic agimus. ' .
12쪽
7. o 3623 3. 49 Io Oo. 37 374 as 3 37 o. i 3o4 2 3. V. IV. III. II. I.
Hunc numerum iuxta primum modum ita leges. Septem milliones millionum millionum millionum millionum: triginta duo ruis. Ita sexcenti quinquaginta octo millioncs millionum millionum millionum: quadringenta nonaginta unum millia millionum mil. lionum millionum . trecenta septuaginta quinque millia it centi septuaginta quatuor milliones millionum et ducenta nonaginta tria millia quingenti septuaginta milliones t centum triginta millia quadringenta viginti tria. Eumdein numerum iuxta secundum modum, it. Ieges , septem quintiliones: trisinta duo millia, sexcenti quinquaginta octo qu a tritiones: quadringenta nonaginta unum millia tritionum e trecenta septuaginta quinque millia trecenti septuaginta quatuor binliones : ducenta nonaginta tria millia quingenti septuaginta muliones et centum triginta millia quadringenta viginti tria. Non video quae in enuntiandis vulgaribus atque integris numeris superesse possit disticultas ad Arithmeticum spectans, cuius om-cium non est exponere leges pertinentes ad Grammaticorum genera, numeros, aut casus. Si alicui videar , non satis exacte o seruasse, has Grammaticorum leges , in enuntiandis propositis numeris : stiat me id fecisse suadente commoditate .
Aliqua notanda pro numeris vulgaribus , aut operationibus Arithmeticis .
Euosita praxi enuntiandi quoslibet integros numeros vulgares
compendiose expressos notis Arithmeticis, quaeque ad eiusmodi notarum intelligentiam magis necessaria videbantur, propono hic aliqua magis necessaria pro tradendis de operationibus Arithmeticis institutis circa numeros vulgares integros . I. Quid sit vulgaris Arithmetica dicitur in opusculi huius argu mento , numeri quos compendiata scriptione exhibet, dicuntur numeri vulgares, qui diuiduntur in integros & fractos; numeri vulga res integri dicuntur, qui indicant unam vel plures unitates simplices . fracti numeri vulgares dicuntur, qui indicant aliquas unitates quae sim partes unitatis simplicis .
I L Vnitas simplex dicitur illa quae significatur per vocem unum simpliciter positam , sed ex aliqua praecedente hypothesi determi-
13쪽
natam ad significandam alicuius speciei unitatem , siue individuum: unitas enim & individuum hic idem significant. Exempli gratia posita hypothesi , quod per vocem unum simpliciter positam placeat intelligere unum hominem, unitas simplex erit unus homo. Similiter posita hypothes, quod per vocem unum simpliciter positam placeat intelligere binarium hominum , unitas simplex erit binarius hominum. Pari modo posita hypo: hesi , quod per vocem . unum simpliciter positam placeat intelligere unum binarium abstractum, unitas simplex erit unus binarius abstractus; atque ita doceteris : quoties enim voces unum , duo, tria, simpliciter positae adhibentur , ex circumstant ijs in quibus adhibentur, hoc est ex hy.pothesi in qua adhibentur, percipitur quid subaudiri debeat, sivi qualia indiuidua, vel quales unitates significent: atque hoc modo significatae unitates dicuntur vulgares simplices: vulgares quidem, quia per vulgares numeros indicantur: simplices vero quia indicantur per vocem unum, aut unitatem simpliciter prolatam, autti nota Arithmetica expressam.
III. Quando dicitur numerus Α, intelligi debet num rus, quem ex vi hypothesis significat, sue repraesentat littera A; idem est doaliis alphabeti litteris. Exempli gratia posita hypothesi, quod litatera A repraesentet numerum 24, numerus A, & numerus 2q, idem
significant. Similiter si agendo de numero exhibeatur numerus a aut alius aliquis, cum adscripta littera Α, quod dicitur de numero Α, intelligi debet de numero cui littera A ad scripta repraesentatur. Pari modo si littera A assumatur ad significandum quemlibet numerum inde terminate sumptum, quod dicitur de numero A, intelligi debet de quouis numero in determinate sumpto. IV. Operationes vulgaris Arithmeticae uniuersim sunt quatuor, nimirum Additio, Subtractio, Multiplicatio & Diuisio: quae singu-he sunt operationes Arithmeticae : atque omnes de solae istae operationes dicuntur operationes Arithmeticae.
V. Numeri dati pro aliqua operatione Arithmetica, appellantur illi numeri, qui proponuntur pro facienda ea operatione. Ex: gr si pro facienda additione proponantur numeri Α & B; dati pro addictione numeri erunt A N B: hi numeri dati, aliter vocantur genitores operationis Arithmeticaei pro qua dantur, siue Proponuntur. VI. Numerus A plus numero B, idem significat , ac si diceretur numerus A simul cum numero B. Exempli gratia quia 6 simul cum a dat g , etiam 6 plus a dat s. Numerus A minus numero B, hic idem significat, ac si diceretur numerus A sublato numero B , siue illud quod remanet quando ex numero Λ aufertur numerus B. Exempli
14쪽
empli gratia quia ex numero 6 auferendo numerum et, remanet numerus q: etiam 6 minus a dat
tionis Arithmeticae, unus vocatur superior, alter inferior. Datus
numerus , siue genitor superior, dicitur ille eui alter debet addi. vel ex quo alter debet subtrahi , vel qui per alterum debet multipli cari aut diuidi. Inserior genitor, siue numerus datus, dicitur ille, qui debet addi, vel subtrahi, vel per quem alter debet multiplicari, aut diuidi. Exempli gratia, si genitores, siue dati numeri. sint, Α & B superior erit A & inferior erit B , supposito quod numero Adebeat addi numerus B a vel quod ex numero A debeat subtrahi numerus B: vel quod numerus A debeat multiplicari, aut diuidi per
metica, dicitur numerus qui oritur ex tali operatione . Huiusmodi productum distinguo in totale & partiale: intelligendo per productum totale, totum numerum qui oritur ex tali operatione 3 similiter per productum partiale intelligendo, partem, siue unam notam Arithmeticam producti totalis : quoties tamen sermo est de producto, vel genito ex aliqua operatione, & oppositum expresse non dicitur , agitur de producto totali. Aliter etiam Arithmeticae operationis productum distinguo, nimirum in productum simplicis operationis , & productum compositae operationis: primum est quod oritur ex simplici operatione , secundum est quod oritur ex composita operatione. - 4 u
sitas. Additio, & etiam subtractio erit simplex, si unus ex duobus genitoribus, siue numeris datis pro additione, vel subtractione, ex primatur unica nota Arithmetica; si vero uterque genitor exprimatur pluribus notis Arithmeticis, Additio, vel Subtractio , erit composita . Multiplicatio erit simplex, si uterque genitor, siue uterque numerus datus pro multiplicatione , exprimatur unica nota Arith metica ; reliquae multiplicationes dicuntur compositae . Deniqui Diuisio erit simplex, si ex illa producatur unica nota Arithmetica: reliquas diuisiones appello compositas; his tamen simplicium ἰ compositarumque operationum distinctionibus non utor nisi in operationibus institutis circa integros numeros vulgares, in quibus exposnendis, a simplicibus, atque facilioribus operationibus, gradum iacta ad compolitas operationes .
15쪽
s Arithmeticae vulgaris C A P V T II.
De Additione numerorum integrorum
ADditio dotat plures numeros in unam summam colligere
atque hanc summam exhibere I siue inuenire unum numerum qui propositis duobus, aut pluribus numeris simul sumptis , aequalis sit. Addirio de qua hic agitur potest esse simplex vel composita r quomodo additio simplex absoluatur, ex ipsa additionis definitio. ne adeo manifestum est, ut nulla deelaratione indigeat: quis.enim tam ignarus, ut nesciat, quod a plus 3 dent 3: item quod 7 plus 5. dent I 3: item quod is plus 4 dent I9; vel quod numeri a& 3 simul sumpti aequentur numero s: item quod numeri 7 & 6 simul sumptiaequentur numero I 3 iam vero pauciores quam decem unitates ea, dc in facilitate adduntur, minoribus, atque maioribus numeris: atque ea additio vocatur simplex , in qua alicui proposito numero pauciores quam decem via states addendae proponuntur; igitur praetermisIa ulteriori expositione additionis simplicis, quae ex ipso additionis conceptu manifesta est, neque ullam dissicultatem annexam habet: venio ad additionem compositam, quae. expositione indiget , & declaro quomodo per iteratas additiones simplices absolua tur composita additio, quando pro additione dati numeri sunt vulgares, atque integri ; de primo quidem trado praxim , qua huiusmodi composeae additiones absoluuntur, quando dati numeri sui eiusdem speciei: deinde ex tradita praxi deduco additionem vulgarium atque integrorum numerorum, qui inter se specie disserunt: ..utrum duo numeri sint eiusdem, vel diuersae speciei declaratur capi.te o. quod caput consuli poterit ab eo, qui desiderat magis exa, ctam expositionem numerorum eiusdeni, vel diuersae speciei.
Praxis prima , siue additio numerorum integrorum vulgarium , qui non differunt specie ..
Rrimo, mediante additione simpliciae e qua paulo ante egimus, ad dedo successive omnes notas Arithmeticas ultimo loco stri,
16쪽
ptas in numeris datis pro additione, inuenies productum partiale, cuius producti postrema nota ultimo loco scribenda est in producto totali quod quaeritur , & a reliquis notis producti partialis indicatae
unitates fi aliquae nois reliquae sint ab ultima iliuersar) seruari debent pro penultimo loco. Secundo, iterum mediante simplici additione, seruatis pro penultimo loco unitatibus addendo successive omnes notas in datis numeris scriptas penultimo loco, habebitur nouum productum partiale , cuius postrema nota penultimo loco scribenda est in producto totali, atque a reliquis partialis producti notis imdicatae unitates, seruandae erunt pro antepenultimo loco. Simili plane modo successive operando, circa datorum numerorum notasicriptas in locis aequaliter ab ultimo loco distantibus, inuenies pro inductum totale quod desideratur. Pro exemplo, propositi sint vulgares integri numeri A, B, C quos
Oporteat addere, atque imi enire productum ex tali additione. Comodum est ita datos numeros scribere, ut hic factum vides : nimirum . ut omnes notae ultimi loco scriptae deorsum
9 7 7 - o sibi respondeant atque similiter deorsum sibi
23C963. B respondeant datorum numerorum notae reli-k o quae,aequaliter distantes ab ultimis notis. Ue-
rum sue modo iam exposito, siue aliter scri-r 2 8 o o 3 6. D pti sint numeri dati, ut inueniatur productum additionis in hunc modum practice discurritur . a plus 3 dat s,& 3 plus i dat 6, itaque in producto vitimo loco scribo 6, & nihil seruo pro penultimo loco. Rursus quia nihil seruatum fuit pro penultimo loco, plus 6 dant Io, & io plus 3 dant is: itaque penultimo loco scribo de seruo I. Rursus quia i seruaui, I plus 8 dat v, dc 9 Plus 9 dat is, item is plus a dant zo: itaque tertio loco a finiscribo o te servo r. Rursus quia a seruaui, a plus 7 dant 9, quarto loco a fine scribo ; de seruo o. Rursus quia o seruaui, o plus 8 dant 8, & 8 plus 3 dant i r, item r i plus 7 dat tri quinto loco a fini, scribo 8, de seruo t. Rursus quia i seruaui, & I plus et dant 3, item rplus 9 dant ii, sexto loco a fine scribo et, Aneruo i pro septimo loco a fine, atque septimo loco a fine scribo i quia in datis numeris
scptimo loco a fine nihil inueni uir scriptum , adeo que nec adde dum unitati seruatae pro septimo loco a fine et totiisque numerus D, per iteratas simplices add. tiones collectus, erit productum additi nis propositae.
Haec susticere existimo pro additione in qua duo, vel plures nu meri vulgares integri, atque eiusdem speciei, addendi proponum tur ut ex hac ipsa additione melius appareat praxis usitata pro as
17쪽
ditione , in qua ut loquuntur ptacticae Arithmeticae scriptores diauersae species addendae proponuntur: utile erit reflectere , additi nem hic expositam, amplecti , siue inuoluere duo inter se diuersi nimirum iteratam additionem simplicem, de praeterea reluctionem unius speciei unitatum ad unitates alterius speciei. Pro prati proposita requiri iteratam simplicem additionem satis manifestuin est Vt intelligatur pro eadem additionis praxi requiri reductionem unitatum unius speciei ad unitates alterius speciei, aduertendum , unitates simplices, specie disserre ab unitatibus, quae singulae sunt deca des unitatum simplicium : & iterum utramque hanc unitatum speciem diuersam . etiam specie differre ab unitatibus, quae singulae sunt centenaria, aut millenari; viaitatum simplicium; . hinc quando Exempli gratia pro decem unitatibus simplicibus collectis ex notis
xltimo loco scriptis seruatur vii iras, atque illa unitas. additur viri. talibus collectis ex unitatibus scriptis penultimo loco, decem unitates simplices reducuntur aff unitatein alterius species, nimirum ad unam decadem unitatum simplicium, quae plane aequi ualet decem unitatibu& simplicibus, atque adeo una decas unitatum simplicium non male substitui potest, pro dece unitatibus: ex quo non tantum conflat, propositam additionis praxim inuoluere reductionem, unitatum. unius speciei ad unitates . alterius speciei; verum etiam quare talis unitatum. reductio legitimo adhibeatur, & in quo fundetur ea pars expositae praxeos; quae iubet notam aliquam seruari . . I in veso pro illis. praxibus in. quibus. vulgaris Arithmeticae scriptores docent addere numeros diuersae speciei, sufficiunt duo ill , .
quae hic ostendimus inueniri, aut considerari posse in proposita praxi , quae agit de additione numerorum, eiusdem speciei; etenim in additionibus in quibus concurrunt numeri diuersae speciei nusquam docent, Exempli gratia , in unam summam colligere tres libros, &quatuor calamos, qui duci numeriaimul, neque constitianti septem, calamos, neque septem libros, immo addi , . sive in. unumnumerum,
colligi non. possunt, eo ipso quod . reduci non possint ad unitates. eiusdem speciei: sed tantum docent inuenire numerum magis compendiatum, atque aequivalentem pluribus numeris datis pro addi, timet. ut 4pparebit ex subsequente praxi
18쪽
Praxis secunda, Sive additio numerorum integrorum
vulgarium , quando aliqui ex datis numeris , indicant diuersae speciei unitates.
PRO hac praxi nihil requiritur, praeter additionem numerorum
eiusdem speciei,& reductionem unitatum unius speciei, ad unitates alterius speciei, de quibus satis multa notauimus in praecedente praxi: reliquum igitur est , ut propositam praxim declaremus in exemplis. In quem finem numerus indicans 8 li- unciae bras cum Io vncijs addendus sit numero indicanti i4 libras, cum s uncijs; huius additionis pro- ' ductum haberi potest duplici modo. Primo. Meio diante prima praxi uncias io addendo unctos υ ' habebis uncias io collectas ex datis numeris; &η similiter per eamdem praxim , 8 libras addendor libris, habebis et a libras collectas ex datis numeris et adeoque ex datis numeris, uniuersim habebis collectas 2 a libras cum et o vnciis atque hic numerus libras & uncias indicans, erit productum ex propositis numeris, atq; illis simul semptis aequale, sed breuius exhibens, quod dati numeri minus compendiate indicant. Vbi obseruari potest, quomodo ad inueniendum additionis productum,nihil adhibitum sit,praeter praxim primam,sive additionem numerorum eiusdem speciei. Secundo. Mediante prima praxi, uncias Io addendo 0 unciis, habebis is uncias: quibus aequi ualet una libra cum 7 unctis nimi- vim supposito quod Ia unciae unam libram constituant , itaquOscribendo I uncias, de seruando atque transferendo unam libram ex unc ijs collectam, ad numeros libras significantes, etiam illi numerierunt colligendi in unam summam , atque ita habebis at libras, &Numerus indicans 23 libras cum uncijs, indi- librae unciae cabit productum propositae additionis . Vbii obseruari potest, inuentionem huius secundi' producti , exhibentis 23 libras cum 7 unciis,3 Io non diserre ab inuentione producti exhilientis
-- a 2 libras eum I p, nciis, nisi quodpr, inuenia
19쪽
Ex propositis duobus modis inueniendi productum additionis, quando dati numeri non sunt eiusdem speciei, uterque utilis est: secundus tamen, qui inuoluit reductionem , requirit notitiam pro tali reductione requisitam, exempli gratia, quot unciae constituant unam libram: vel uniuersaliter, quot unitates unius ex speciebus datis , constituant unitatem alterius speciei; quare si desit haec notistia , primus modus erit adhibendus.
De subtractione numerorum integrorum vulgarium .
SVbtractio docet minorem numerum ex maiori auferre, atque
exhibere residuum; siue inuenire numerum qui sit disserentia duorum numerorum qui proponuntur vel inuenire numerum qui minori dato numero addi debet, ut habeatur numerus qui dato maiori numero aequalis sit. S ubtractio de qua hic agitur, potest esse simplex, vel composita quomodo subtractio simplex absoluatur, manifestum est ex ipsa definitione subtractionis, neque ulla declaratione indiget: sic exempli gratia patet, quod ue minus a det n. item quod is minus ς det 33;& quia pauciores quam decem unitates eadem facilitate subtrahuntur ex numeris maioribus , atque minoribus ; ea subtractio quφsimplex dicitur, & in qua nunquam plures quam o unitates ex proposito alio maiori numero auferendae proponuntur, manifesta est ex ipsis conceptu subtractionis: neque vita declaratione indiget; quomodo per iteratas simplices subtractiones absoluatur subtractio composita, in qua ex proposito numero maiori, plures quam s unitates subtrahendae proponuntur, docent sequentes praxes:
Praxis prima , siue subtractio numerorum integrorum vulsarium , qui non disserunt specie.
P Rimo mediante subtractione simplici, subtrahendo ultimam
notam dati numeri inferioris, ex ultima nota clati numeri
20쪽
Caput III. Sive subtraimo. I 3
tr a nota producti quaesiti: eritque pro penultimo loco seruanda vii las . si ultima nota dati superioris numeri denario aucta fuerit : vel si haec nota denario aucta non fuerit, nihil seruatur. Secundo quod seruatum fuit prius additur penultimae notae inferioris ni intri, ac deinde aufertur ex penultima nota superioris numeri denario aucta si opus fuerit) seruando unitatem, si denario aucta fuit nota superior. Tertio successive circa singulas notas quae penultimas praecedunt , fit illud idem quod circa penultimas faciendum praescribitur: atque ita per iteratas simplices subtractiones , paulatim in producto colleguntur notae omnes; quibus exprimitur
propositae subtractionis productum, siue residuum quod inueniri
Pro exemplo, propositus sit numerus A, ex quo subtrahi debeat
minor numerus B, eiusdem tamen speciei cum num cro A. vi inueniam productum , siue residuum propositae subtractionis cornu:O- dum est ita datos numeros scribere, ut hic ex. q 7 3 ' o hibentur: nimirum ut ultima nota dati inse S a 6 I. B rioris numeri respondeat ultimae notς dati nu---- meri superioris: atque eodem modo reliquae
3 3 8 7 7 q. C notat numeri inferioris, respondeant notis numeri superioris , verum siue hoc modo,siue aliter scripti sint dati numeri , ut inueniatur productum subtractionis, in hunc modum practice discurrit r. s minus I dat q. itaque εscribo ultimo loco in producto, & nihil seruo quia numerum s denario augere necesse non fuit ad faciendam simpliceni subtractionen . Rursus quia nihil seruatum fuit, & 3 minus 6 est aliquid imposibile , sumo I 3 minus 6 quod dat 7 . itaque 7 scribo penultimo loco in producto, & seruo I. Rursus ouia I seruaui, a plus I faciunt 3, ct o minus 3 est aliquid impossibile , sumo io minus 3 , quod dat 7: itaq; in producto scribo tertio loco a fine,& seruo I. Rursus
quia unum seruaui , 8 plus I dat 9, & 7 minus 9 est aliquid imposisibile , sumo a 7 minus ς , quod dat g : itaque in producto scribo squarto loco a fine, & seruo i . Rursus quia I seruaui, & nihil in uenio cui addi debeat , minus I dat 3 et itaque in producto scribo 3 quinto loco a fine , de nihil seruo . Rursus quia nihil seruaui neque in inferiori numero aliam notam inuenio , s minus o dat 3, in producto scribo s sex to loco a fine: eritque operatio absoluta, quia nulls supersunt notae , circa quas continuari possit: adeoque notat hactenus scriptae in producto , exhibebunt numerum D quaesitum , atque exhibentcm disserentiam numerorum A & B , siue residuum quod relinquitur quando numerus B ex numero Λ aufeitur. Haec