장음표시 사용
41쪽
prax iri opositam, sed ampliatam, atque reductam. ad maiorem uniuersalitatem aetenim quartae praxeos diuisio, restricta est ad so. las diuisiones, in quibus diuitor exprimitur unica nota Arithmetiacar quinta praxeos diuisio , ἰnullo modo restricta e9, sed amplecti tur quaslibet simplices vulgarium, atque integrorum numerorum diuisiones . Secundo notari potest, quod cum iota additione coi strui possit quaelibet columna diuisoria, atque in praxi quae adhibet columnam diuisoriam , nulla unquam multiplicatio instituenda sit ut absoluatur proposita simplex , atque compendiata diuisio; et iam qualibet compendiata diuisio, absolui potest, absque omni disticul tale, quae non inuenitur in additione, aut subtractione: siue periolam iteratam additionem, aut suntractionem . etenim pio columisna constructi. ne iunicit iterata additio: pro simplicis diuitionis te. fiduci inueniendo , susticit subtractio , notam productant ex lini p. ici ciuisione , immediate exhibet columna , igitur pro simplici diuisione quae mediante columna absoluitur, susticit additio, & subtractio . neque reqnicitur vlla multiplicatio. Denique pro divisionibus compositis , sussicit si implex diuisio sepius iterata, ut patebit ex diuiso De compendiata, atque composita quae proponitur in septima praxio. uisionis igitur pro qualibet diuisione, quae mediante columna di ut loria absoluitur, scilicit additici, de subtractio, neque requiritur vlla multiplicatio.
Praxis sexta, siue diuisio compendiata, de simplex nu
merorum integrorum vulgarium iIN hac praxi, prudenti consideratione , propositi numeri diui .dendi atque diuisoris; inueniendum est, quoties diuisor conti. neatur in numero diuidendo; quod subinde dilli cile est: etiam inqui commode versath sunt in practim Arithmetica; ut haec dulicuistas aliquo modo subleuetur independenter ab iis, quae in praecedentibu Spraxibus allata sint prodeste possunt, quae hic subiicio
Notandum primo .. Impossibile est , ut diuisor simplicis diuisionis, pius quam nonies contineatur in numero diuidendo, ut patet ex desinitione diuisionis simplicis. Deinde nota Λ tithmetica , indiacans quoties totus diuisor contineatur in toto numero diuidendo , dicitur nota producta ex tali limplici diuisione ἀNotandum secundo, Si in diuisore , & numero diuidendo, aeque inultae notae versus dexteram Positae negligantur: nota indicans .
42쪽
quoties reliquus diuisor contineatur in reliquo numero diuidendo . proxime etiam indicat, quoties contineatur totus diuisor, in toto
numero diuidendo. Exempli gratia , supposito quod numerus diu:-dendus fit 3 8 2 , quodque diuisor si 8 6 a: utrobique negligendo
postremas duas notas, reliquus numerus diuidendus erit 3 s . reliquus diuisor erit 3 ; praeterea sicut reliquus diuisor 8 , contin tur quater in reliquo numero diuidendo I I ita proxime totus diui. sor 8 4 a , continetur quater in toto numero diuidendo I 8 a ι di. xi praxime: continetur . licet enim in allato exemplo verum siti quod totus diuisor 3 4 2 contineatur quater in toto numero diuidendo: id tamen falsum seret, si manente eodem diuisore S a numerus diuidendus soret 3 3 2 4: quo casu negligendo utrobique duas viti uias notas , reliquus diuiχr S , in reliquo numero diuidendo I conti, netur quater: sed tamen totus diuisor 3 a, non nisi tertio continetur in toto numero diuidendo 3 3 a . Notandum tertio. Assumpta nota aliqua Arithmetica, est maior quam nota producta ex simplici diuisione: si assumpta nota ducia in diuisorem , producat numerum maiorem numero diuidendo. Ac sumpta nota Arithmetica , est minor, quam nota producta ex lim plici diuisione: si astumpta nota ducta in diuisbrem iubtrahatur ex numero diuidendo, atque huius subtractionis productum sit aequale , vel maius diuisore. Exempli grae a, numerus diu idendus sit a diuisor sit A: his positis assumpta sit nota Arithmetica 7 r quia 7 ductum inquat 28, qui numerus est maior proposito numero diui. dendo 27, legitime insertur , notam 7 esse maiorem; quam sit nota quae producitur ex numero 27 diui in per 4. Rursus assumpta sit nix. ta Arithmetica 3 ; quia 3 ductum in dat 2o, & in luper a7 m nus 2o dat numerum 7 , qui maior est diuisore 4: legitime infertur, notam 3 esse minorem , quam sit nota quae producitur ex numeroa diuiso per A. Vt per praxim de qua hic agimus inueniatur productum simplicis diuisionis . Primo, ex confideratione numeri diuidendi atque diuisoris , dirigentibus iis quae monuimus notanda esse , inueniendae si nota Arithmetica producta ex proposita simplici diuisione: hoc est nota indicans quoties diuisor contineatur in numero diuidendo. Deinde inuenta nota Arithmetica duci debet in diuisorem , atque huius multiplicationis productum subtractum a numero ciuidendocabit residuum propositae simplicis diuisionis . Denique , notae productae ex diuisione adscribendo eiusdem diuisionis residuum ut dicitur in prima praai habebitur productum quaesitum . Exe inpli gratia , propositus numerus diuidendus sit ais; diuisor. E a sit 39
43쪽
st 30; primo inquirendo quoties diuisor 39 contineatur in numero diuidendo us quod dissicitus est,uel iuxta secudum notandu inquirendo quoties 3 contineatur in as, quod errori obnoxium est; inueniri debet, notam 7 esse illam quae producitur ex numero apy diuiso per 39. Deinde quia I ductum in 39 dat 273 : de insuper a sminus 273 dat 26: erit numerus 26 residuum propositae diuisionis: atque adeo numerus 299 diuisus per numerum 39 dab t produ
In propositis exemplo insinuamus duos modos inueniendi notam productam ex diuisione; primus est, inquirendo quoties diuisor
39 contineatur in numero 299;secundus modus est,inquirendo quoties 3 contineatur in numero 29 primum modum dilii ciliorem esse satis patet, quandoquidem non ita clare appareat, quoties I9 contineatur in et99: quam quoties 3 contineatur in ap . Secundum modum qui facilior est, errori obnoxium esse patet ex secundo no'tando: quoties tamen hoc secundo modo inquirendo notam productam ex diuisione, aberratur: ipse error facile detegitur, ex ijs quae , necessaria sunt ad inueniendum diuisionis residuum: ut hoc re si duum habeatur, necesse est ,& notam ex diuisione productam ducere in diuisorem, & insuper huius multiplicationis productumo subtrahere ex numero diuidendo: quae subtractio fieri non poterit , vel certὰ eius productum erit aequale aut maius diuisore, si erratum fuit circa notam productam ex diuisione: circa quam aliter aberrari non potest, quam pro ipsa assismendo aliam notam maiorem scilicet, vel minorem p iam vero si nota maior fuerit astumpta, in diuisorem ducta subtrahi non poterit ex numero diuidendo, quia tala productum erit necessario maius numero diuidendo; si vero minor nota fuerit assumpta, necessario inuentum diuisionis residuum, erit aequale vel maius ipso diuisore: ut constat ex tertio notando.
Expositis variis praxibus simplicis, atque compendiatae diuisionis et venio ad diuisiones compositas atque compendiatas : pro quibus vix aliquid requiritur, praeter iteratas diuisiones simplices ;etenim quaelibet diuisio composita , tot diuersis simplicibus diuisio. nibus absoluitur, quot notae diuersae producuntur ex composita diis uisione: singulae enim notae productae ex composita diuisione, inue. niuntur per singulas, atque diuersas simplices diuisiones, in his simplicibus diuision bus, diuisor semper idem remanet, sed numeri diuidendi diuersi sunt, nimirum partes, siue membra totius numeri , qui per compositam diuisionem diuidendus proponitur; nam per membrum numeri diuidendi, intelligi debet, pars numeri diuidendi , quae diuisa per totum diuisurem, unicam diuisionis notam
44쪽
producit: ex his membris numeri diuidendi, primum dicitur, illud , ex quo per simplicem diuisionem producitur prima nota numeri producti ex diuisione ; secundum membrum dicitur illud, ex quo per simplicem diuisionem produci ur secunda nota; termis membrum dicitur , illud , ex qno per simplicem diuisionem producitur tertia nota; atque ita de caeteris. Quemadmodum vero stin-plex diuisio non nisi unicam notam producit, ita totus numerus di
uidendus simplici diuisione, unicum membrum constituit et hinc pro simplici diuisione, necesse non fuit agere de membris numeri diui. dendi : pro compositis diuisionibus necesse est distinguere illa membra,& scire modum, quo membra illa inueniuntur; atque hoc unum est quod pro compositis diuisionibus compendiatis requiritur , vltra ea quae de simplicibus atque compendiatis diuisionibus dicta sunt. De inuentione membrorum numeri diuidendi agunt proxime subsequentes duae reflexiones, quae necessariae quidem sunt, sed nullis disticultatibus implicatae, di tam faciles ut pro singulis simplex reflexio videatur susticere.
Reflexio prima. Vt habeatur primum membru numeri diruidendi: ex numero qui diuidendus proponitur, incipiendo a dextera parte versus sinistram, accipiuntur tot notae Arithmeticae. quot requiruntur ad constituendum numerum aequalem , vel proar-
me maiorem diuisore, si aequalis haberi non possit. Exempli gri. tia supposito quod ni merus diuidendus sit 3 4 6 2 I primum membrum erit 3 et si diuisor sit 3 , vel 3o , vel Is , vel 4, vel quiuis alius numerus maior quidem numero 3 , sed non maior numelo 3 : se enim semper verum erit quod numerus λ , vel sit aequalis, vel pr xime maior diuisore e adeoque primum membrum constituat ; qdod verum non esset est diuisor esset 3 et quia huic diuisori aequatur pti m a nota numeri diuidendi, idem etiam verum non esset, si diuiso esset 33, vel alius maior numerus: quia hoc casu numerus ἐψ non esset aequalis , aut proxim8 maior diuisiore . Si in proposito exemplo diuisor esset 3 3 , primum membrum esset I 6'. idemque verum esset , supposito quod pro diuisore daretur quiuis numerus maior qua 36, sed minor quam 346. Denique primum membrum esiet I, si pro diuisore daretur numerus 3 , vel a , vel r.
Re flexio secunda . Vt habeatur numerid videndi membrum aliquod, diuersum a primo membror residuo simplicis diuisonis, institutae circa membrum proxime praecedens, successive adscribatur una illa nota numeri diuidendi, quae proxime sequitur praecedcntis membris vltimam notam Ibmptam ex numero diuiden.
45쪽
do: etenim cuiusuis mebri ultima nota semper sumitur ex numero diauidendo . Exempli gratia numerus diuidendus sit 6 diuisor sit 4 οῦ quare iuxta primam reflexionem primum membrum erit 6 aiam vero si circa primum membrum institutae diuisionis residuum sit a. secundum membrum erit 1 a quod habetur, residuo et, succeia siue ad laribendo notam 4, quae in numero diuidendo proxime se. quitur notam 6 , quae primi membri ultima est. Rursus, s circa secundum membrum 24, institutae simplicis diuisionis residuum sit nihil , siue o et tertium membrum erit 7 , quod habetur residuo, siue o, successive adscribendo notam 7 , quae in numero diuidendo proximdsequitur notam 4 . quae in secundo membro est ultima ; estque plane idem siue scribatur o et, siue scribatur 7 . Rursus, si circa tertium membrum institutae simplicis diuisionis residuum sit 3 , quartum membrum erit 37: quod habetur, residuo 3 , succestiue adscribendo notam 7, quae in numero diuidendo proxime sequitur aliam novam 7 , quae in tertio membro ultima est .
Praxis septima, siue diuisio composita atque compen
diata numerorum integrorum vulgarium. O Vaelibet composita atque compendiata diuisio numerorum integrorum vulgarium . absoluitur, alternis inueniendo , & di uitionis membrum, ut docetur in duabus reflexionibus praecedet ibus. ει circa inuentum membrum instituendo simplicem diuisionem . ete.
nim membri inuentio necessaria est ut simplex diuisio institui possitti ex singulis simplicibus divisionibus, singulae notae Arithmeticae producuntur, quae successius scriptae, cum apposito vltimae simplicis diuisionis residuo scripto ut docetur in prima praxi exhibent
productum compositae diuisionis. Praxina paucis exposita,declaro variis excplis; inter quae satis notabilisdiuersitas inuenitumsed non aliunde causata quam ex modo diuerso, quo institui possunt diuisiones simplices atque compendia tae, quae necessariae sunt pro compendiata atque composita diui
Primu exemptu septinue praxis in quo mediante co
lumna diuisoria inuenitur productum ex numero 6g07 , diuiso per numerum 39. Primo ex diuisore so costruo columna diuisoriam. vi docetur in praxi quinta, quam columnam diuisoriam hic representatam habes: vel certe columnam illam exhibeo in Iaminis Arithmericis. Deinde ita practicd disturto . Primum membrum est o8: hoc
46쪽
membro proximae minor columnae numerus est s o, cui in indice respondet I: igitur in quotiente scribo i , ipsi vero membro 68, fu, scribo inuentum columnae numerum is, qui subtractus ex numeroos , relinquit 19: cui naccelliue adscribo notam P , numeri diuidendi, atque ita habeo nouum membrum 299: hoc membro proxime minor columnae numerus est 2 3 , cui in indice respondet 7, igitur 7 scribo in quotiente, & inuentum columnae numerum 273 , subscribo adhibito membro a0ροῦ facta subtractione remanet nume-
3 9 diuidendi , atque sea ha -- O nouum membrum 267; e membro proxime minor columnae numerus esta 34 , cur in indice respon--- det nota 6,quam scribo in a s 7 quotiente:& inuentum c lumnae numerum 234 iub-α se scribo adhibito membro -- 267 ; facta subtractionet, 3 3 remanet 3; cui successi. ue adscribere non possum
aliam notam numeri diuidendi adeoque diuiso est absoluti . , 'notae productae ex diuisione erunt i 6: vltimae simplicis diuisionis, atque adeo totius compositae diui fionis, residuum erit 33α quare productum ex proposita diuisione erit 176 ' peritque verum,
quod 68 7 diuisum per 33 producat 176 l:
Secundum exemplum septimae praxis , in quo
mediante columna diuisoria productum inuenitur , paulo magis compendiata scriptione. . Numerus diuidendus sit OG diuisor sit 39: quibus poἰitis, primo construo columnam diuisoriam, ut in praecedenti exemplo. Deinde ita discurrendo operor:primum membrum est 68, hoc membro Proxime minor columnae numerus ex 39, cui indicis nota Irespondet: itaque in quotiente scribo i , de inuentum columnae numerum Is subtrahendo ex proposito membro 6s , habeo residuum 20 a quod subscribo membro proposito: scriptum residuum 29 cum nota o numeri diuidendi constituit nouum membrum 29s,quo me. vro proxime miuor columnae numerus est 273 , cui respondet indi-
47쪽
eis nota 7 . itaque in quotiente scribo 7, & inuentum numerum 2 73 , subitatiendo ex proposito membro 299 , habeo refiduum a6 , quod subscribo membro adhibito, resduum 26, cum nota P numeri diuidendi, constituit nouum membrum 267; quo membro proxime minor columnae numerus est 23 , cui respondet indicis notat o 6- itaque quotiente T. is
scribo 6, de inuentum columnae numerum 23 subtraliendo ex proposito membro 167, habeo residum 33, quod subscribo adhibito me-bro: & quia nulla supereth nota , cum qua residuum nouum membrum constituere posist , absoluta est ope. ratio , & productum erit i76 l . Diuisio qua mediante columna diuisoria absoluitur esset praese- .renda alijs omnibus mihi cognitis , nisi annexam haberet molestiam quam secum affert colum nar constructio : quae tamen molestia magna non est, & aliqua ex parte euitari non potest : quandoquidem aliquae ex multipIicationibus utilibus pro columnae constructio. ut , necessario reeurrant in ea diuisione ι in qua non adhibetur columna r immo fieri potest, ut multiplicationum pro diuisione requisitarum multitudo , maior sit in ea praxi quae columnam non adhibet , quam in altera in qua adhibetur columna etenim quando columna adhibetur, non nisi octo multiplicationes utiles esse possunt, pro quibus etiam totidem additiones sui liciunt, quae multiplicationibus longe faciliores sunti verum quando non adhibetur columna , tot requiruntur multiplicationes, quot notae scribendae sitiat in quotiente , quae possunt esse longe plures quam octo ; his adde quod columna diuisuria expedite exhibeatur in Iaminis Arithmeticis : quodque columnam adhibendo , cesset omnis dissicultas , inue. niendi quoties diuisor contineatur in membro propositor quae dissicultas a prae caeteris omnibus molestam reddit dilusionem , in qua . columna non adhibetur: & subinde operantem non parum defati. gat , vel etiam inducit in errorem , nisi maxime versatus sit in Arithmeticia operationibus . Verum nihil melius , quam ipsa praxis, docet , virum, vel quando, ex diuersis diuisionis praxibus, una altera
48쪽
praeserenda sit; & quia pro diuersis casibus, atque diuersis personis, diuersae praxes magis prosunt, addo hic alteram , quae a priori non differt, nsti quod non adhibeat columnam diuisoriam .
Tertium exempllam septimae praxis, tu quo ad
hibetur diuisio simplex proposita in sexta praxi. Numerus diuidendus sit 6 8 9 , diuisor sit 3ς; ut hanc diuisis nem absoluam , ita practicd discurro. Primum membrum est 6s, in quo diuisor 3o tantum semel continetur,quare in quotiente scribo i: &quia i ductum in diuisorem 30 dat
39: numerum 70 subscribo membroos: facta subtractione relinquitur nu merus as, cui successive adscribo noram o numeri diuidendi, atque ita habeo nouum membrum aps: in hoc membro diuisors o septies continetu ἰquare notam 7 scribo in quotiente
di quia 7 ductum in diuisorem a s data73, hunc numerum subscribo membro 100 : facta subtractione relinquitur numerus r6, cui sue cessiver ad scribo notam 7 numeri diuidend. atque ita habeo nouum membrum 267: in hoc membro diuisor 30' continetur sexies, quare notam 6 scribo in quotiente et Ae quia 6 ductum in diuisorem 30 dat 23 , hunc numerum subscribo membroa 6 r iacta subtractione relinquitur numerus 3 3 , cui successive adscribere non possum aliam notam numeri diuidendi, quia omnes eius notae adhibitae sunt, atque adeo absoluta est diuisior atqui ex diuisone producte notae Arithmeticae erunt r76: diuisionis re
Quartum exemplum septimae praxis, quod at er
tio non dissert, nisi pencs scriptionem paulo magis competidiatam. Numerus diuidendus sit iterum 6 8 9 & diuisore sit 39 ; his positis , primum membrum est 68 , in quo diuisor semel continetur ritaque in quotiente scribo i : di quia i ductum in diuisorem 30 dat 30 , atque insuper 39 sublatu in ex membro 68 relinquit ast , hunc numerum 29 subscribo membro proposito ue eritque nouum membrum 290 , in quo diuisor 39, continetur septies: quare in quotiente scribo 7 , quia 7 ductum in diuisorem ro dat a73 , atque hic numerus sublatus Ox proposito membro asu relinquit a6 : hunc nu.
49쪽
merum 26 substribo membro adhibito , di nouum membmm erita6 in uno diuisor 39 continetur sexies, quare in quotiente scribo notam 6: & quia 6 ductum in diuisorem 39 dat a 34, atque hic nu
merus subtractus ex membro proposito 267 , relinquit 33t hunc numerum 33 su scribo membro adhibito: quo facto nouum membrum haberi viter ius non potest adeoque diuisio est absoluta , atque ex diuisione productae notae Arithmeticae erunt
i 6 , &diuisionis residuum erit II et quare productum ex proposita diuisione erit 176 : . Hactenus dictis de diuisione , utile exissima ui adderelaucas re- ne et o prima. Si aliquot prostremae notae alicuius propositi diuisoris, sint cinae, sueo; negligi poterunt: dummodo etiarin ne-Elipantur totidem postremi notae numeri qui diuidendus proponitur sed tamen non negligantur in residuo diuisionis. Exempli gratia numerus 63a diuidendus sit per in umerum 2oo , utrobique ne-fligendo duas postremas notas , reliquum superiorem numerum 6 diuidendo per reliquum inseriorem uulneriam 2, nota producta ex diuisione erit 3, residuum vero erit 3 et, atque productum ex di-
Renexio secunda . Apud non paucos expositores Arthmeticae Dracticae, magis usitata inuenitur aliqua diuisionis praxis, in qua membri adhibiti notae delentur: quam praxes hactenus a nobis proposite a praedictam tamen praxim Pataui plane negligendam . quia si sorte inter operanduin irrepat error aliquis, qui deprehenda ur , vel ex eo quod productum ex multiplicatione maius sit membro proposito, vel quod residuum subtractionis maius sit diuisore . di - 1se e est post deletas notas , erro em corrigere quod in propositis a nobis praxibus disti cultatem non habet . Reflexio tertia . Quemadmodum mu tiplicat in maxime diis re ab additio te, ut monuimus in reflexione tertia capitis praecedentis: ita etiam diuisio maxime differt a subtractione, tametsi per iteratas subtractiones inueniri post productum diuisionis . Impossibile est, ut productum ex subtractione numerorum vulgarium , non sit int-nus superiori genitore iubtractionis et cmus partem O hibet proda-εu btractionis . Productum diuisionis non semper e st milius nu-
rao qui ratur : sed subinde m , subinde aequale, subm-
. Exempli gratia . 6 diuisum per a producit I ; quo casa
productum ex diuisione est minus numcro qui diuiditur , a diuisum
50쪽
per I producit a , quo casu productum est aequale numero qui diui ditur. Praeterea ea dicendis de diuisione numerorum fractorum vulgarium , constabit, quod a diuisum per c producat 3; quo casu pro .
ductum est maius numero qui diuiditur. Hinc facile colligitur, nu. merum A diuidere per numerum B , non esse idem, ac inuenire ali. quam partem numeri Α : etenim quaelibet pars numeri A , necessario est minor numero A:quare si numerum Λ diuidere per numerum B, estet idem ac inuenire aliquam partem numeri A et etiam productum ex diuisione deberet esse minus numero qui diuiditur .
De operationum Arithmeticarum examine.
O Perationum Arithmeticarum , atque hactenus propositarum . varia examina proponunt scriptores Arithmeticae practicae ;illa tamen omnia quae ab ipsis operationibus diuersa sunt, negligo, ut parum utilia , atque errori obnoxia . Legitimum additionis examen ii betur ex subtractionet ' viciIsm ex additione legitime insertur an in subtractione erratum sit retenim qualescunq; sint numeri A & B, si numerus Α,additus numero B,producat numerum C:etiam numerus B subtractus exnumero C; produci nu ineru Α,& etia numerus A, subtractus ex numero C,pr ducit numerum B . Exempli gratia , quia numerus Ia additus numero I , producit numerum 26 : etiam numerus Ia subtractus ex numero a 6 , producit numerum Isset & numerus I , subtractus ex numero 26 , producit numerum r2. Plaeterea qualescunque sint numeri B S C, eo ipso quod numerus B, subtractus ex numero C , producat numerum A ; etiam numerus Α , additus numero B , procucit numerurn C. Exempli gratia, quia numerus ia, sublatus ex
numero 16, producit numerum I 4 ; etiam numerus i Α, additus numero I 2, producit numerum 26.
Pari modo legitimum multiplicationis evamen, habetur a diu i sio ne , & vicissim diuisionis examen , subministrat multiplicatio . Etenim qualescunque sint numeri A de B , si numerus A ductus
in numerum B , pioducit numerum C , etiam numerus C , uiui sus per numerum B , producit numerum A ; de insuper mi ineius C , diuisus pcr numerum A , producit numerum B . Exempli gratia quia num eius τ, ductus in numerum Α , pioducit numerum 28;
et tam numeius L 3 , diuisus per numerum q, producit numerum 7 ἱ