장음표시 사용
121쪽
verae dici non possent, in praeuietis loquutionibus eontentae affertis-Res. Praeterea,quando dicitur quod inter se aequales sint subsequeates numeri , , 3, M., &c. quodque singuli isti numeri sint mai
res , quam subsequentes numeri ἰ, ζ, ', I, dic. agitur de magnutudine desumpta a valore: & sensus est, quod omnes priores numeri aequalem valorem habeant;quodque singuli priores numeri, habeant maiorem valorem quam posteriores. Idem accidit , quando numerus A dicitur aequalis numero B, vel maior numero C: suppo-fito quod numerus A significet a Scuta, & quod numerus B significet sto Iulios, quodque numerus C si unificet i Iulios . Has & alias fimiles loquutiones communi usu admissas arbitror: quandoquidem enim apud Arithmeticos admittatur , non esse possibilem subtractionem ex qua relinquatur aliquod residuum , ni u quando min numerus ex maiore subtrahituri& etiam doceant ex subtrahendo , relinqui aliquod residuum: atque similiter ex a Scutis subtrahendo 14 Iulios, relinqui aliquod residuum et constat iuxta ipsos numerum tesse minorem numero :: & numerum a Scutorum esse maiorem n mero I Itiliorum et magnitudine tamen desumpta a valore. Ex paucis quae hic annotauimus, abunde constare arbitror,apud Arithmeticos usitatum esse , unum numerum altero maiorem dicerer tum
magnitudine desumpta ab ipso numero, tum etiam magnitudine desumpta a valore numeri; atque silentio inuoluo alia quam pIurruma, ex quibus idem possem inferre. Quod unum numerum aItero maiorem asserendo,uix unquam expresse addant, de qua magnitudine loquantur: non male videtur fieri; quandoquidem ex circumstanti s satis colligatur de qua magnitudine sermo sit; sic etiam
ego, in reflexione secunda, varios numeros considero, quos omnes inter se aequales amrmo, nulla addita distinctione e licet aliquitantum aequales sint magnitudine desumpta ab ipsis numeris: alia vero tantum aequales sint magnitudine desumpta a valore. Idem
alibi passim inuenies, tum in praecedenti Arithmetica . tum in nostra Logistica.
Ex hac expositione diuersarum magnitudinum , quarum una, ab ipso numero , altera a valore numeri dependet: manifestus eu sensus duarum affertionum paulo ante adductarum, pro responsione ad propositam quaestionem. Reliquum est, ut exponam quid dice dum sit ad argumenta prius allata , atque istis assertionibus nostris aduersantia; tale nihil aduerto in tribus prioribus argumentis: etenim in primo , & secundo, tantum agitur de magnitudine numeri , quae desumitur ab ipso numero: atque flabilitur prior assertio. In hertio argumento , agitur de magnitudine quae desumitur a valore
122쪽
Quaestiones Arithmetica . II s
uum eri: atque probatur secunda assertio. Posuemum argumentum. nostris assertionibus aduersatur r verum nihil contra nos euincit;
proponit enim plane vitiosam paritatem, male desumptam ab identitate vocis, quae diuersas significationes admittit; etenim , toto ut ita dicam caelo, inter se diuersa significat , vox diuidere, quando quantitas continua, siue linea dicitur diuidi :&quando aliqua quantitas di screta, siue numerus a iquis, diuidi dicitur. Vt haec diuersitas melius appareat, iuuabunt sequetiria. Primo, qui continuam quantitatem diuidit, bene dicitur continuam quantitatem secare in partes: qui numerum diuidit, non bene dicitur numerum secare in partes. Secundo, quod producitur ex diuisione quantitatis continuae necessario est aIiquid minus ipsa quantitate continua quae diuiditur: quod producitur ex numero qui diuiditur, non est necessario minus numero qui diuiditur, sed potest illo maius esse, vel illi aequari. Tertio, quando exempli gratia una linea recta diuiditur in partes aequales , singulae partes productae ex diuisione, neccssario sunt ei uiadem speciei, cum linea quae diuiditur: verum quando unitas in partes aequales diuiditur, tunc partes productae ex diuisione, necessario specie disserunt ab unitate quae diuiditur . Quarto quantitatem continuam diuidere in partes, non est instituere regulam auream, siue tres quantitates datas inuenire quartam proportionalem: verum numerum diuidere, est instituere regulam auream , siue ad tres datas quantitates inuenire quartam proportionalem . Quinto impossibile est, unam lineam diuidere per unam , vel duas, vel tres alias lineas et non est impossibile unam unitatem diuidere per unam , vel duas, vel
tres alias unitates. Singula quae hic asseruntur de diuisione quantutatis continuae, intelligenda sunt, de illa diuisione de qua agitur in Geometria , quando demonstratur, quamlibet rectam lineam diuidi posse in quotlibet partes aequales: de hac enim diuisione agitur in
proposito argumento. Caeterum, etiam circa continuas quantitates institui potest multiplicatio, & diuisio, quae circa numeros docetur in vulgari Arithmetica: ut pluribus exponitur in Logisticae Idea; immo iuxta nos quaelibet quantitas, vel realiter, vel aequiualenter potest diuidi, per quamlibet aliam quantitatem, aut in illam duci, quod nisi verum foret, de quibuscunque quantitatibus non verificarentur lubsequentia theoremata; vera enim non forent doquantitatibus circa quas non potest institui multiplicatio , aut diui. sio ; placuit tamen singula proponere, atque demonstrare, de quibuscunque quantitatibus: quandoquidem non tantum pro numeris,
verum etiam pro alijs quantitatibus utilia sint: atque non difficilius probentuc de quantitatibus omnibus, quam de solis numeris. Vt P a singu-
123쪽
singula habeantur restricta a a iolos numeros, in ipsis titulis, siue in hypotheIi, pro voce quantitates, susticit substituere vocem nameri. Quatuor priora theoremata quae subsequuntur, sunt illa , in quihus fundantur solutiones quatuor primarum quaestionum paulo ante propositarum. Quintum thcO cma, continet fundamentum probismatis , quo hanc appendicem terminamus : in quo problemate simul proponuntur , varii, atque aliquantulum diuersi modi insti tuendi I egu .am Auream, de quibus hactenus egimus in praesenti opusculo. Pro unoquoque theoremate , requiritur notitia Logisticarum scriptionum : atque notandum est, quod quando successiva siriptio, in qua inueniuntur plura membra particula in vel per connexa, nusquam interrupta est particula Ieὸοῦ tunc scriptio indicat, tum ipsas operationes instituendas, tum etiam ordinem quo illae operationes successive instituendae sunt; quoties vero , huiusmodi successiva stri. ptio interrupta est particula sed, immediate praeposita particulaei,
vel per: significatur, illud quod praecedit particulam illam, sed, multiplicari , vel diuidi debere, per illud quod sequitur in eadem stri. ptione. Exempli gratia, scriptio A in B per C, significat A ductum in B, atque hoc productum diuisum per O verum scriptio A fed in nrer C , significat A ductum in productum ex B diuiso per C . Sinai. liter scriptio A per B in C , significat A diuisum per B , atque hoe productum ductum in C: verum scriptio A fed per B in C , significae Α diuitum per productiim ex Bdubo in C. Pari modo, scriptio A per B per C , significat A diuisum per B , atque hoc productum diuisum per C . Verum A fed per B per C, significat Λ diuisum per productum ex B diuiso per C .
Iudicatas scriptiones Logisticas, adhibemus in demonstrationubus subsequentium theorematum , tum ne cogamur interpositis lineolis , litteris litteras subscribere, tum etiam ne aequivocationi obnoxiae sint, quando scripto non exhibentur, sed tantum ab alio lectae audiuntur. Quatuor priorum theorematum assertiones, duplici
diuersa scriptione proponimus, ut legi possint, expressae ea scripti
ne, quae videbitur commodior. Vt ex assertionibus duorum priorum theorematum, comm de inserantur solutiones duarum priorum quaestionum: resectendum
est ad primam assertionem quinti theorematis: in qua statuitur, quod scriptio, B in C per A , significet quartum terminum proportionalem, quoties primus est A, secundus B, tertius C. Ex quo
patet eumdem illum quartum proportionalem terminum , indicari,
a qualibet scriptione, quae aequi ualet scriptioni B in C per Α; huic
124쪽
seriptioni aequiualentes sex aliae scriptiones , proponuntur in secunca parte quinti theorematis, atque singulae indicant aliquantulum diuertum ordinem operationum, per quas ex datis tribus terminis inueniri potest quartus proportionalis. Hinc resultat problema,quo praesentem appendicem claudimus, & continet septem modos soluendi Regulam Auream, inter se aliquantulum diuerlas, atque ha-Genus separatim propositos.
Oualescunque sint quantitates A, B, C. Dico. B in C per A m B sed per A per C m C sed per A per B. Vel, quod idem est UIS ri
corol.theor. 3. partis Ιdeae Logisticae, B in C E. C per A i' B; sed, per axioma primum
Icara C pGA: atqui, per theorema propositum cap.7.
ualescunque sint quantitates A, B, C. Dico. B in C per A ra i per Λ in B in C . Vel quod idem est, die J in B in C .
p r Α I per A in B in C. Quod erat demonstrandum.
125쪽
Ii a Appendicis . Theorema III
Oualescunque sint quantitates A &B.
Dico. Aper B α r per B in A. Vel, quod idem est, dico, α ἡ- in A. Demonstratio. Per axioma primum partis . Ideae Logisticae, per
ualescunque sint quantitates A & B .
A BVel, quod idem est dico, A in B αα -- α -
Demonstratio. Per theorema primum hic propositum A in B per Lm A sed per et per B B sed per i per Ar atqui, A in B per I A in B ; ergo , A in Bra Ased per i per B cu B sed per a per A. moderat demonstraudum.
Theorema V. ,' qualescunque sint quantitates A, B, C.
Prima assertio, demonstrata est in theoremate 3 . partis 4 . Id MLogisticae. Ex eiusdem theorematis corollario, vel ex primo, aut secundo theoremate hic proposito, immediate patet secunda assertio. Etenim in secunda assertione contentam primam scriptionem , aequa ri, siue aequivalere, tribus aliis proxme subsequentibus , constat ex corollatio clicorematis 3. partis 4. Ideae Logistica: eamdem primam scri
126쪽
seriptionem aequari, siue aequi ualere, quintae & sextae scriptioni, ostensum est in primo theoremate hic proposito; denique eamdem primam scriptionem , aequari, siue aquivalere septimae scriptioni. docetur in secundo theoremate hie proposito; atque adeo patet, omisnes septem scriptiones hic propositas, aequari, siue aquivalere iarer se.
continens septem diuersas solationes Regula darea .
DAti sint quiuis tres numeri, quorum primus sit Α, secundus B,
tertius C. Oporteat inuenire quartum numerum proportionalem .
In exemplo uniuscuiusque solutionis, supponitur, quod numerus A sit I 2; numerus B sit 3 , numerus C sit 5; Prima solutio . Secundus numerus B , ducatu in tertium numerum C: deinde productum ex hac multiplicatione, diuidatur per primum numerum A. Exempli gratia, 8 ductum in 6 dat 48 : deinde ψ8 diuisum per Izdat Aiadeoque quartus proportionales est ε. Secunda solutio . Tertius numerus C ducatur in secundum B et deinde productum ex hae multiplicatione diuidatur per primum numerum Λ . Exempli gratia, o ducium in 8 dat s: deinde ψῖ diuisum per ra, dat numerum 4, qui est quartus proportionalis. Tertia solutio. Secundus numerus B diuidatur per primum Α: de inde productum ex hac diuisione ducatur in tertium numerum C.
Exempli gratia, s diuisum per Ia dat ἰ: deinde : ducendo in ,
producitur numerus Α, qui est quartus proportionalis. Quarta solutio . Tertius numerus C diuidatur per primum numerum Α : deinde productum ex hac diuisione ducatur in secundum numerum B. Exempli gratia , o diuisum per ra dat et deinde : ducendo in numerum 3, producitur numerus 4 ; qui est quartus proportionalis. Quinta solutio. Primus numerus Α diuidatur per tertium num rum C: Deinde per productum ex hac diuisione diuidatur secundus numerus B. Exempli gratia, Ia diuitum per G dat ar Deinde g diuidedo per et producitur numerus οἱ qui est quartus proportionalis. Sexta solutio . Primus numerus Λ diuidatur per secundum numerum B; deinde per productum ex hac diuisione diuidatur tertius
127쪽
numerus C. Exempli gratia i a diuisum per 3 dat I :; deinde ε dividendo per I producitur numerus 4; qui est quartus proportionalis. Septima solutIo , Inuertatur primus numerus Α, ut eius numer dor nat denominator , & eius denominator fiat numerator, atque vocetur assumptus numerus. Deinde assumptus numerus ducatur necessive in secundum & tertium numerum. Exempli gratia inis uertendo numerum D, habetur fle assumptus numerus erit 3; hunc
numerum ducendo in o habetur :οῦ deinde : ducendo in g , produ- Citur numerus ο; qui est quartus proportionalis. Similiter ducendo in g, habetur numerus quem ducendo in 6 producitur numerus ει qui est quartus proportionalis.