장음표시 사용
21쪽
Haec sufficere existimo pro subtractione in qua dati numeri sunt vulgares integri, atque eiusdem speciei. Vt ex subtractione exposita , melius innotescat praxis usitata pro subtractione in qua proponuntur numeri diuersae speciei, utile erit aduertere , subtractionem hic expositam , inuoluere duo inter se diuersa ut praecedenti capite monuimus agendo de additione nilnim iteratam subtractione simplicem , &praeterea reductionem unitatum unius speciei, ad unita. tes alterius speciei. Primum satis manifestum est; pro secundo adue tendum , qu quoties ex notis aequaliter ab ultima di stantibus, in. ferior ex superiori auferri non potest, tunc superiorem notam decem unitatibus augeri, atque hunc unitatum denari ym , haberi ex unitate , quae proximae praecedenti inferiori notae addita , aufertur ex respondente nota superioris numeri et atque adeo unitas, quae decas est , reducta ad decem unitates, decaui equi ualentes , constituit illas decem unitates, suibus augetur nota superior, ex qua inferior
subtrahi non potest : ipsa vero unitas quae decas est , aufertur ex praecedenti nota; sicut enim in additione, decem unitates qualencunque illae sint, reducuntur ad unitatem, quq st decas praedicta rum unitatum , ita hic unitas quae est decas aliquarum unitatum, reducitur ad decem eiusmodi unitates. Ex his satis apparet, non tantum propositam subtractionis praxim inuoluere reductionem runitatis unius speciei, ad unitates alterius speciei; verum etiam, quare talis reductio legitime adhibeatur, di in quo fundetur ea pars expositae praxeos, quae iubet denario augeri notam, ex qua luserior nota subtrahi non potest; atque pro eiusmodi decem unitatibus transferri, siue seruari unitatem, quae cum reliquis unitatibus indicatis a proxime praecedente nota inserioris numeri, auseratur ex correspondente nota superioris numeri. Propraxibus, in quibus Arithmeticae practice scriptores docent subtractionem, quando diuersae speciei numeri proponuntur, nihil adhibetur , prster subtractionem in prima praxi proposi tam,& reductionem unitatum unius speciei, ad unitates alterius speciei; neque usquam docent subtractionem pro qua b c duo non sufficiunt; sic exempli gratia nusquam docent a libros ex 4 calamis subtrahere: sue interires libros di quatuor calamos disserentiam inuenire; etenim inter Omnes numeros possibiles, nullus inuenitur, qui sit disserentia inter tres libros , & quatuor calamos, subtractio autem non docet nisi inuenire
numerum qui propositorum duorum numerorum disserentia sit.
22쪽
Praxis secunda, siue subtractio numerorum integrorum vulgarium , quando aliqui ex datis numeris indicant diuerta speciei unitates .
9IO PRO hac praxi nihiI requiritur praeter subtractionem numer O-rum eiusdem speciei , ct reductionem unitatum unius speciei, ad unitates alterius speciei de quibus satis multa in praece- cente praxiὶ ut patebit ex subsequentibus exemplis. Ex numero a s librarum cum 7 unciis, subtrahendus sit numerus I librarum cum 9 uncus . Vt propositam subtractionem absoluam ita practice discurro, se uncias ex 7 unciss auferre non postlim, igitur 7 unciss addendo uncias confluentes una libram,hoc est Ia uncias, habeo as uncias atque unciae Is minus o vnciis dant io uncias: igitur in producto scribo io unciai , & seruo unam libram 2 deinde una libra seruata plus 4 libris . dant s libras;.verum 3 librae minus s libris, estaIi quia impossibile; quare sumo i 3 libras minus s libris, quae dant S libras, quas scribo in producto, & seruo unum nimirum unam librarum decadem) Rursus: quia unum seruaui & I plus et dant 2 : &Σminus a danto in producto deberem scribere o, si prosequenda est et operatio sed quia illa absoluta est, ob desectum aliarum notarum , circa quas continuari debeat, non scribo o , quia primo loco positum nihil significat; atque adeo productum propositae subtra-oloniS erit numerus , qui indicatur a notis scriptis in producto, nimirum numerus indicans 8 libras cum Io vnciis. Pro secundo exemplo , numerus indicans Io gradus cum Saminutis primis,& minutis secundis;subtrahendus sit ex numero in- cicante zo gradus cum s minutis secundiso Vt in proposito casu Productum sit btractionis inueniam , se practice discurro. s minuta Gradus min. I.
secunda minus 7 minutis secundis est aliquia impossibi e , quare sumo 63 minuta secunda minus 7 minutis secundis,quae dant ueg minuta secunda; igitur in producto scribo ue s minuta secunda di seruo unum minutum primum , quod reductum ad fio minuta secunda adhibituni fuit. Rursus sa minuta prima
23쪽
plus uno minato primo quod seruatum fuit, dant s3 minuta prima:& quia nullum minutum primum minus 33 minutis primis est aliquid impossibile reducendo unum gradum ad 6o minuta primae , sumo 6o minuta prima minus minutis primis, quae dant 7 minuta prima: itaque in producto scribo 7 minuta prima , & seruo unum gradum. Rursus unus gradus sernatus plus Io gradibus, dant Ii gradus, & ao gradus minus I a gradibus dant 9 gradus: itaque in producto scribo 9 gradus et eritque absoluta subtractio proposita: cuius productum continebit 9 gradus cum 7 mi uutis primis, & 18 minutis secundis.
De multiplicatione numerorum integrorum vulgarium.
Voces multiplicare, & ducere, idem significant di adeo ut
idem sit , numerus A ductus in numerum B, & numerus Α multiplicatus per numerum B; ut monuimus capiti primo. Numerum vulgarem integrum A , ducere in vulgarem integrum numerum B, est inuenire numerum C qui oritur ex tot numeris Asimul sumptis, siue additis: quot unitates indicantur a nuInerOB. Vbi aduertendum nihil referre pro multiplicatione , an dati numeri A , & B , sint eiusdem , vel diuersae speciei. Proposita definitio multiplicationis, conuenit integris numeris vulgaribus; ut habeatur desinitio quae etiam fractos numeros amplectatur: dici posset numerum vulgarem A ducere in vulgarem numerum B, esse idem , ac in
uenire numerum C, cuius numerator oriatur ex tot numeratoribus.
numeri A simul additis, quot unitates indicantur a numeratore ni meri B r denominator vero oriatur ex tot denominatoribus numeri A simul additis, quot unitates indicantur a denominatore numeri Ε . Quid sit alicuius numeri numerator, aut denominator, declaratur capite α Pro multiplicatione de qua hic agimus, sumcit definitio multiplicationis primo loco proposita: pro qua necesse nore est intelligere quid sint vulgatium numerorum numeratores, aut d
Proposita definitione multiplicationis, exhibeo varica modos x siue
24쪽
Caput IV. Sive multiplicatio. Ip
sae praxes, quibus inuenitur numerus productas ex multiplicatione duorum numerorum , qui singuli sint vulgares atque integri; &Primo quidem propono aliquam multiplicationis praxim satis operosam, atque prolixa sed tamen consideratione dignam, tum quia deducitur ex ipsa multiplicationis a lata definitione , & nihil requirit nisi additionem expositam praecedenti capite et tum etiam quia est fundamentum reliquarum praxium in qu. bus eompendiatae mut-tiplicationes prosonuntur.
Praxis prima, siue prolixior mu Itiplicatio integrorum a
que vulgarium numerorum , quae nihil requirit praeter notitiam additionis expositae superiori capite. PEr ea quae de additione dicta sunt praecedenti capite , inuenia
tur productum ex tot numeris A simul additis , quot unitates indicatitur a numero B : atque hoc productum vocetur numerus C; erit numerus C productum ex numero A ducto in numerum B .
Exempli gratia , supposito quod numerus A sit 5 de numerus B
sit 3 , quia tres numeri 6 simul additi dant I 8 , productam ex numero o ducto in numerum 3 , erit Is . Similiter supposito quod numerus A sit i l ,&numerus B sit : quia quatuor numeri i simul additi producunt 36, etiam productum ex numero Iss ducto in numerum erit 6 . Pari modo supposito quod numerus A sit as, denumerus B sit Ii: quia duodecim numeri a 3 simul additi dant 3 oo, etiam productum ex numero as ducto innumerum Iaerit 3oo. Denique si numerus A sit as , ' numerus B sit i. quia productum ex uno numero as nulli alteri addito est as,etiam productum ex numero is ducto in I erit asHaec susscient pro prima praxi multiplicationis, quae sola additione absoluitur, & parum usitata est, ob prolixitatem quam requirit, quoties plane parui non sunt numeri qui proponuntur pro multiplicatione ; reliquae praxes , quae docent magis usitatas , atqui compendi alas multiplicationes distinguendae sunt, in eas quae docent simplicem multiplicationem cin qua simplici multiplicatione sUterque datus numerus exprimitur unica nota Arithmetica & in Praxes quae docent compositam multiplicationem,in qua singuli ex datis numeris non exprimuntur unica nota Arithmetica. Compositet
25쪽
atque compendiatae multiplicationes vix aliquid requirunt, praeter iteratas multiplicationes simplices atque compendiatas 3 verum haec simplex, atque compendiata multiplicatio, adeo facilis non est vi nulla prorsus expositione indigeat; pro eius declaratione usitata est tabula, quam Pythagoricam appellant, quia eius inuentor suit Pythagoras, ut igitur ordinate exponam multiplicationes compendiatas, a facilioribus paulatim pergendo ad difficiliora, prius trado, quomodo mediante sola additione construatur tabula pythagorica r deinde doceo n ediante hac tabula inuenire productum cuiuscunque simplicis multiplicationis: denique propono, quomodo mediante simplici multip icatione compendiata, inueniatur produc in cuiuscunque riciositae multiplicationi S, quae simplex non est..
Tabula Pythagorica constructio mediante sola simplici addis Iove ia
ΤAbulam Pythagoricam hic repraesentatam habes: constructio.
nem eius paucis expono. Primo assumatur quadratum aliquod, subdiuisum in octuaginta, & unum a ia partia quadrata , inter se aequalia ζ atque in suprema nouem quadratorum serie , a sin, si ta parte versus dexteram ordine naturali sibi succedant nouem notae Arithmeticae, quae unam, vel plures unitates indicant; in singulis quadratis , supremat qua-
728 Idrata deorsum succedentibus mscribatur productum ex additione duorum numerorum quorum unus inuenitur in quadrato proxime superiori, alter vero inuenitur in supremo quadrato eiusdem seriei': Exempli igratia in serie quadratoru deorsum excurrente in qua supremo Ioco inuenitur numerus 6, secundo loco inuenitur numerus 8,. qui producitur ex 4 plus , quorum unus inuenitur ino.
vero inuenitun in supremo quadrato eiusdem seriei; quod quadratum supremum, idem est cum quadrato quod proxime praecedit illud cui
26쪽
Ca put IV. Sive multiplicatio. I9
rud cui inscriptus est numerus 8. in hac eadem serie, tertio loco in. uenitur numerus Ia, qui producitur ex 8 Plus 4 quorum unus numerus 8 inuenitur in quadrato quod proxime praecedit illud cuia et inscribitur, alter numerus A inuenitur in supremo quadrato eiusdem seraei. Si mi iter quarto oco inuenitur numerus I 6 , qui producitur ex la plus 4, quorum unus numerus I, inuenitur in quadrato , quod proxime praecedit illud cui inscriptus est numerus i6, alter numerus inuenitur in supremo quadrato eiusdem seriei. Pa. ri modo quinto loco inuenitur numerus et o , qui producitur ex is plus ψ; item sexto loco inuenitur a qui producitur ex ao plus 4 . Item septimo loco inuenitur numerus as qui producitur ex a 4 plus . Item octauo loco inuenitur numerus 32 qui producitur ex 28 plus q. Item nono loco inuenitur numerus 36 qui producitur ex 3 a plus 4. Denique quemadmodum hic in exemplo allato patet, quomodo unius seriei deorsum excurrentis , numeri Omnes producantur , simplici atque adeo facillima additione: ita etiam produci numeros cuiusuis alterius seriei deorsum excurrentis , facile est videre ex apposita tabula.
Laminarum Arithmeticarum confructio.
EXposite constructioni tabulae Pythagoricae , plane assinis est,
constructio laminarum Arithmeticarum : immo singulae Iaminae Arithmeticae , propemodum nihil aliud sunt, quam series quadratorum deorsum excurrentium in tabula Pythagorica, aut tabula Pythagorica secta in partes singulae enim laminae Arithmeticae , a singulis quadratorum seriebus in tabula Pythagorica deorsum excurrentibus, tantum disserunt, quod laminarum quadrata singula, quae supremum subsequuntur, a diametro diuisa sint in
duo triangular quorum infimum , atque versus dexteram post. tum , contineat postremam notam quadrato inscriptam et alterum triangulum contineat penultimam notam eidem quadrato inscriptam , si praeter ultimam aliqua inscripta sit quadrato; in hunc modum constructam laminam, appellamus laminam Arithmeticam. Vnam huiusmodi laminam Arithmeticam, exhibet figura cul inscripta eli littera B: quam conserendo cum serie quadratorum quae a numero deorsum excurrit in tabula Pythagorica; facile erit ad uertere, verum esse, quod hactenus diximus de laminis Arithmeticis . Praeter huiusmodi Iaminas ex tabula Pythagorica desumptas , aliquae etiam requiruntur, in quarum supremo quadrato , νna C a citra,
27쪽
cifra , siue o contineatur: atque deorsum subsequentium quadrato rum triangulis inferioribus , eadem cista, siue o contineatur. Talari laminam repraesentat figura C . Denique requiritur laminarum Arithmeticarum index, quem repraesentat figura A . Hic index plane non differt a prima serie quadratorum, quae ab unitate deorsum excurrit in tabula Pythagorica . De numero laminarum nihil hic addo; etenim ex ijs quae de laminarum usu dicenda sunt, facile quiuis colliget, quis laminarum numerus utilis esse possit; neque enim certus aliquis , atque determinatus laminarum numerus necessarius est a sed talis diuersarum laminarum numerus requiritur, qui iussi- clat ad solutionem subsequentis primi problematis. Laminarum Arithmeticarum usus longe praestantior est , usu tabula: Py thagoricae ; etenim praeter eamdem illam commoditatem , aquam Arithmeticae candidatis assere tabula Pythagorica quae expleto tyrocinio abiicitur ut inutilis j talem usum habent laminae
Arithmeticae '. ut mereantur retineri, atque adhiberi, etiam ab iis qui in Arithmetica maxime versati sunt, sed tamen nolunt inutiliter, aut tempus terere, aut caput defatigare. Laminarum Arith. meticarum utilitas curruum equorumve utilitati similis dici posset ;su O tempore ,& loco , equo , aut curru vehi, maxime commodum est: sed tamen huiusmodi commoditatis necessitas, non leuis incommoditas foret; atque commiseratione dignus haberetur, qui ad ambulandum pedibus suis uti non posset, tametsi suo obsequio promptos haberet equos, aut currus. Pari modo Arithmetico, iu-comoda , S parum decora foret necessitas laminarum Arithmeticarum: quarum commoditatem nihil melius docet, quam usus. si suo tempore ,& loco adhibeantur et nimirum quando multiplicationum, aut diuisionum multitudo , aut prolixitas, compendium vel subsidium requirit: laminae enim , Omnem propemodum Iab rem multiplicationibus , aut diuisionibus proprium, tollunt: & in his operationibus eam tantum molestiam relinquunt, quae additioni , aut subtractioni propria est; ut patebit ex dicendis de vis laminarum Arithmeticarum . Vt hunc usum suo loco commodius expo
28쪽
Caput IV. Sive multiplicatio. 21
Propositi numeri vulgaris integri, columnam diuisoriam exhibere in laminis Arithmeticis.
Ovid sit columna diuisoria ,& quomodo construi possiti ex .
ponitur in praxi quinta subsequentis capitis. Vt in lami nis Arithmeticis , exhibeatur columna diuisoria propositi cui uiuis numeri vulgaris integri; laminarum indici, successive versus dexteram ita apponendae sunt laminae, ut supremae illarum no- tae, repraesentent propositum numerum . Exempli gratia si propositus sit numerus is, cuius nume i columna diuisoria exhibenda , sit in laminis; indici immediate apponendo laminam cuius suprema nota est 3 r & huic Iamini alteram apponendo cuius suprema no ta est o : habebis in laminis exhibitam columnam diuisoriam qu sitam: quam repraesentat figura secunda.
Describere, aut legere, numerum propositae indicis notae correspondentem , in columna
T proposito problemati satisfiat aduertendum duo contiguarum laminarum triangula, eidem indicis notae correspondentia, simul constituere rhumbum integrum: singula vero trian. gula esse dimidiatos thumbos: atque in columna diuisoria a laminis eo hibita , singulis indicis notis lateraliter respondere seriem riim horum , quorum primus, & vltimus dimidiatus est, reliqui sunt integri; denique rhumbis contentas notas ad eumdem locum spectare , ad quem spectant thumbi. Hoc praenotato, ut destri batur columnae in laminis exhibitae numeruS , respoudens propositae
29쪽
indicis notae: illud unum obseruandum est, ut incipiendo a filara . atque addendo notas ad eumdem locum spectantes, de laribatur numerus; qui inuenitur in serie rhumborum, quae respondet propositae indicis notae. Exempli gratia, ex columna diuisoria in la. minis exhibita , atque repraesentata in primo problemate , describendus sit numerus respondens indicis notae a 3 hic numerus erit 78. etenim in serie rhumborum correspondentium indici, notae 2, Postremus thumbus continet notam 3 : quae proinde ultimo loco scribenda est; praeterea penultimus rhumbus, continet duas notas 6 deI ; quae notae additae dant notam 7 penultimo loco scribendam. . Similiter ex eadem columna descriptus numerus qui correspondet indicis notae 9: erit 3 3t; quia postremus rhumbus continet notam I , quae proinde ultimo loco scribenda est; praeterea penultimus rhum-bus continet duas notas 7 & 8 r quae notae additae dant Is z adeoque penultimo loco scribenda nota s , & altera nota I seruanda pro antepenultimo loco; denique quia antepenultimus rhombus continet notam a , illi addendo seruatam notam I , habetur nota 3 I antepenultimo loco scribenda.
Ex modo describendi numerum, qui propositae indicis notae res. pondet in columna diuisoria exhibita in laminis ' Deile patet, quomodo legi possit eiusmodi numerus et nimirum mente faciendo , quod praescripsimus pro descriptione: idque facile redditur, post aliquod exercitium in describendis liniusmodi numeris.
Praxis secunda, siue simplex atque compendiata mul
tiplicatio integrorum atque vulgarium numero,
rum, mediante tabula Pythagorica . EX duobus numeris datis pro simplici multiplicatione, singuli
exprimuntur unica nota Arithmetica: id enim exigit multiplicatio quae simplex dicitur; ex quo etiam patet quod singuli ex datis istis numeris inueniri possint, tum in sinistra parte tabulae, tum etiam in suprema parte tabulae, itaque ex datis duobus numeris unus inueniatur in suprema parte tabulae, alter inueniatur in sinistra
parte eiusdem tabulae: deinde obseritetur quadratum commune duabus quadratorum seriebus, quarum una ab inuento in suprema parte numero recta deorsum excurrit, altera vero ab inuento in sinistra parte numero dextrorsum excurrit , observato communi quadrato,
inscriptum inuenies productum propositae simplicis multiplicationis . Exempli gratia , si dati pro multiplicatione numeri fiat & 3,
30쪽
Caput IV. Sive multiplicatio. 23
productum multiplicationis erit numerus Io: qui in scriptus est quadrato communi duabus quadratorum seriebus, quarum una a numero 4 posito in suprema parte tabulae,recta deorsi excurrit:altera a numero ue, posito in sinistra parte tabulae dextrorsum excurrit. SL
mili plane modo inuenies quod ductum in det I 6. Item quod 7 ducium in s det 3 s. item quod η ductum in 7 det sis. item quod 8 ductum in s det 7 a. atque ita de caeteris: neque est possibilis ulla
multiplicatio simplex numerorum integrorum atque vulgarium ,
cuius productum non exhibeat tabuIa Pythagorica, adhibita modo die proposito is Vt ex proposita simplici, atque eompendiata multiplicationi νgradum faciam , ad reliquas, hoc est compositas, atque compendiatas multiplicationes : distinguo duos diuersos casus qui possunt Occurrere, primus est, quando ex datis pro multiplicatione nume-meris , unus quidem pluribus notis Arithmeticis indicatur, alter vero exprimatur unica nota Arithmetica. Secundus est, quando ex datis pro multiplicatione numeris,uterque scribitur pluribus notis Arithmeticis. Vtroque casu multiplicatio ast composita et in , primo tamen casu , vix aliud requiritur quam iterata simplex multiplicatio: quemadmodum vero in primo casu productum inuenitur per iteratam simplicem muItiplicationem, sic in secundo casu , productum inuenitur per iteratam multiplicationem primi casus ;de primo casu agitur in tertia & quarta praxi quinta praxis, agit de secundo casu ,
Praxis tertia , siue multiplicatio compendiata duorum
numerorum integrorum, atque vulgarium quorum Vnus unica: alter pluribus notis Arithmeticis
exprimitur . OVis ex duobus numeris datis pro multiplicatione vocetur superior, vel inferior, parum refert: quoniam igitur liberum est, ex dati S duobus numeris quemlibet pro inferiori assumere t ille vocetur inferior, qui unica nota Arithmetica exprimitur, alter vero appelletur superior; quo posita,
Primo per praxim secundam hoc est per simplicem multiplica
tionem ὶ inueniatur productum ex inferiori numero ducto in notam ultimam superioris numeri, atque huius producti ultima nota , vitiis mo loco scribatur in producto quod quaeritur, reliquae notae ser uentur Pro penultimo loco. Secundo, inueniatur productum ex inse-