장음표시 사용
31쪽
inseriori numero ducto in penultimam notam superioris uulneri, a que huic producto addatur, quod pro penultimo loco seruatum fuit , & in hunc modum inuenti numeri ultima nota penultimo lo co scribatur in producto quod quaeritur . Denique in hunc modum successive operando circa singulas notas superioris numeri, paulatim colliges omnes notas quibus indicatur productum quod quae
Pro exemplo multiplicationis de qua hic agimus proposi ii sint duo numeri A N B - ita ut numerus A constet pluribus notis Arithmeticis, & numerus B unica nota exprimatur; numerus A sies 3 o 7 2 ; numerus B sit 4. Hos datos numeros A & B, scribere ut hic repraesentantur commodum est , non tamen necessarium ; insti lineam repraesentatur propositae multiplicationis productum, quod quaeritur; ut hoc pi Oductum inueniam ita practice discurro: ductum in a dat s , itaque in producto quaesito vitinio loco scribo 8 & nihil seruo Rursus ψ ductum in 7 dat 28. , & 28 plus o prius seruato dat 23, itaque in producto quaesto penultimo loco scribo 8, &seruo a . Rufus 4 ductum in o dat o, & o plus a prius seruato data , itaque in producto quaesito tertio loco a fine scribo et , & nihil seruo . Rursus 4 ductum in 3 dat Ia , & ia plus o siue nihilo seruaco dat Id, itaque in .producto quaesito quarto loco a fine scribo et, R seruo I. Rursus ductum in s dat ao, & ao plus I prius seruato dat 2I , itaque in producto quaesito quinto loco a fine scribo I,&struo a. Denique quia in superiori numero A non inuenitur vlla nota circa quam possit continuari operatio; nota Arithmetica a , seruata pro sexto loco a fine, scribitur in producto quaesito, loco illi debito siue sexto a fine; atque ita erit absoluta multiplicatio proposita , cuius productum erit numerus a I 2288.a Iza 83
Praxis quarta , siue multiplicatio compendiata duorum. numerorum integrorum atque vulgarium: quorum unus , unica, alter pluribus notis Arithmeticis exprimitur: mediante columna diuisoria exhibita in laminis Arithmeticis. P Rimo. Per problema primum propositum pag. a I. in laminis
Arithmeticis exhibeatur columna diuisoria numeri qui proponii ut multiplicandua . Deinde in indice columnae .diuisuriae inuenia
32쪽
Caput IV. Sive multiplicatio. 2s
tur nota per quam propositus numerus multiplicandus est, atque, inuentae notae correspondens columnae numerus describatur ut docetur prob. 2. pag. H. sic enim habebitur productum propositae mulNtiplicationis.
Exempli gratia numerus 3 s multiplicandu& sit per numerum 8. Columna diuiseria in laminis exhibita erit illa quae exhibetur in figura secunda. Deinde nota in indice quarenda erit 3: atque huic notae correspondens columnae numerus descriptus iuxta problema aerit 3Ia; adeoque verum erit,quod 3s ductum in s producat ara.
Praxis quinta , siue multiplicatio compendiata duorum
numerorum integrorum , atque vulgarium , quorum
uterque pluribus notis Arithmeticis
exprimitur. .PRimo per tertiam, vel quartam praxim, inueniatur productum
ex postrema nota numeri inserioris,ducta in totum numerum
superiorem: atque hoc productum ita scribatur, ut illi alia producta , decussa tim , atque ordinata subscribi possint. Similiter inuenia. tur productnm ex penultima nota numeri inserioris, ducta in to. tum numerum superiorem; atque hoc productum prius inuento pro eructo decussatim , atque ordinatὰ subseribatur. Pari modo succes- sue inuenienda sunt producta ex singulis aliis notis inserioris dati numeri , ductis in totum numerum superiorem: atque inuenta pro ducta , decu statim, atque ordinald subscribenda sunt, 'prius inuentis productis. Denique omnia producta decussatim, atque ordinate fcripta simul addita, ut docetur eapite seeundo, dabunt productum multiplieationis propositae. Notandum hic quid intelligendum sit per deeussatam , aut ordinatam partialium productorum scriptionem, quando dicitur partialia producta lingula, inuenta per praecedentes praxes , decus tim , atque ordinate scribenda esse . Singula illa producta pallialia erunt decussatim stripla , si singulorum productorum partia' lium postrema nota deorsum . correspondeat notet inferioris dati numeri , ex qua producitur. Deinde singula illa producta partialia erunt orditate scripta, si singulis notis produSi partialis superio ri loco scr*ti, respondeat tantum una nota producti partialis scriptim feriori loco : vltimae tamen notae superiori loco scripti producti Partialis . non respondet ulla nota producti partialis immediata
iubscripti , quando ilia producta decussatim seripta me. In subs D quenti
33쪽
quenti exemplo numeri C, D, E, decussatim atque ordinate scripti 's Tmplo multiplicationis de qua hic agitur, datuS numerunΑ sit 4 3 6 x: alter datus numerm is sit 7 3 3 . Scriptis prius nume, ris datis A &R , ut hie lepra seruantur, practice disturrendo, vedocuimus in tertia Praxi, veι sine dila Millo practico, ut uocetur in qu irta praxi, inuenio. 3 ductumi totum numerum L dare ni merum i 3 5s o siue partiale Productum C. RursuA eodem modo inuenio, 3 ductum in totum numerum A dare numerum ae a s I o, siue partiale productum D. Similiter inuenio 7 ductum,
in totum numerum A . dare numerum,
3 'I p. 3 Α, siue partiale productum E: quae singula producta partialia hic habes de-cullatini, atque ordinatu scripta. Deni. que producta partialia C, D, E, simul ad .dendo , ut docetur capite secundo , habe - tui totale productum propositae multi 3 6 x 3 1 S 6. F plicationis, ni nauum numeru& F, sivit. x- y 9 L8.6 Pro complemento eorum quae hactenuru dicta sunt de mutiplicatione Lutile erunt subsequentes reflexiones ia. Reflexio primae. Si. aliquot postremae notae aliculo numeri propositi pro multiplicatione sint cistae, siue o. istaeclistae omnes negligi. si unti α multiplicationet sule in datta superiori ,. siust in dato ita,
34쪽
Eeflexio tertia. Licet multiplicatio absolui possit per iteratam aditionem ; tamen, toto ut ita dicam caelo . ab additione diffire multiplicatio. Hoc imprimis constat ex ipsis definitionibus addi.tionis , atque multiplicationis superius a nobis propositis . Deinde impossibile est , ut productum ex . additione vulgarium nume. rorum , non sit maius quolibet genitore dato pro multiplicatione ; verum Productum ex multiplicatione Non in seiuper maius quolibet genitore dato pro multiplicatione i sed subii Meest maius, subinde aequale, subinde minus. Lxempli gratia a ductum in 3 producito: quo casu productum ex mutiplicatione est D aiuqquolibet genitore dato pro multiplicatione. I ductum in I producita ; quo casu productum ex multiplicatione aequatur cuilibet geniis tori dato pro multiplicatione . a ductum in i producit a; suo casu productum ex multiplicatione aquatur uni ex genitoribus datis pramultiplicatione. Praeterea ex dicendis de multiplicatione numerorum tractorum vulgarium constabat,quod a ductum ita: producat sue i; quo casii productum ex multiplicationeest minus uno penitore dato pro multiplicatione , sed maius altero genitore. ducium in i produciti e quo casu productum ex multiplicatione est minus quolibet genitore dato pro multiplicatione. Hinc facile colliges , numerum A , ducere in numerum B , non esse idem ac numerum , Λ , vel numerum B aliquoties sumere; quilibet enim numerus ali quoties sumptus ciecesiario maior est numero qui aliquoties sumi. tur: quare si numerum aliquoties sumere, esset idem ac multiplicare talem numerum; etiam productum ex multiplicatione deberet eis se maius numero qui multiplicatur.
De diuisione numerorum integrorum
NVmerum C dividore per numerum n, est inuenire numerum A , qui ductus in numerum B producat numerum C. Pro diuitione nihil refert utrum dati duo numeri sint eiuscem vel diu erue speciei. i
35쪽
Proposita definitione diuisionis Arithmeticae , exhibeo varios modos, siue praxes diuersas, quibus absoluitur diuisio duorum , numerorum vulgarium qui singuli integri sine , atque inuenitue productum ex quibuslibet duobus eiusmodi numeris. Et primo quidem propono praxim qua utitur vulgaris Arithmetica, ut inue niat, siue exhibeat diuisionis productum, quando numerus diuidendus minor est ipso diuisore. In reliquis praxibus, agitur dradiuisione, in qua itumerus diuidendus non est maior diu i sore. Ex his praxibus, quae secundo, & tertio loco proponunturA perosae sunt
atque prolixae, ac propterea minus usitatae ἔ utiles tamen non tantum ad profundiorem intelligentiam naturae ipsius diuisionis, at . que reliquarum praxium et verum etiam pro iis qui non amant compendia ; in pra ibus quae tettiam subsequuntur, proponuntur diuisiones compendiatae, vel simplices, vel compositae ; tres diuisiones simplices,atque compendiatae inter se diuersae,proponuntur in qua ta, quinta , & sexta praxi, in singulis modo aliquantulum diuerso, superatur difficultas compendiatae diuisionis, quae & simplici, de compositae diuisioni compendiatae communis est, ac planae praecipua, immo propemodum unica quae inuenitur in compendiata diuisione et quandoquidem pro compositis, atque compendiatis diuisionibus, vix aliud requiratur, quam iterata simplex, atque compendiata diuisio; ut patebit ex praxibus quae sextam subsequuntur , in quibus docetur diuisio compendiata, atque composita.
Praxis prima , siue diuisio integrorum , atque vulga
rium numerorum, quando diuisor est maior numero diuidendo. EX datis duobus numeris superior, siue diuidendus, scribatur
supra lineolam, cui subscriptus sit diuisor ; haec scripsio exhibebit productum propositae diuisionis.
Tam hic, quam in sequentibus, quoties is eadem linea unus numerus alteri fabscriptus inuenitur , subintelligi debet lineola duos istos numeras separaηs. etenim passim omio est, quia commode typis exprimi no poterat.
Exempli gratia numerus diuidendus sit η, diuisor sit 1 o. scriptio I exhibebit productum diuisionis proposi tae, eritque verumtaquod diuisum per ro producat similiter verum erit quod a 7 di. uisum per 29 producat :I. De modo legendi huiusmodi scriptiones,
fractos numeros repraesentantes , & de stactorum numerorum significatione, agemus capite O.
36쪽
Notandum hic est , scriptionem propositam non tantum adhi. heri in vulgari Arithmetica , in casu proposito , nimirum , ut exhibeatur productum diuisionis in casu in quo diuisor est maior n meis diuidendo: verum etiam, quoties ex quavis alia diuision circa integros ac vulgares numeros instituta, remanet aliquod residuum diuisionis; etenim notis Arithmeticis productis ex diuisione , successive adscribitur diuisionis residuum, sed silpra lineolam eui subscriptus sit diuisor. Exempli gratia , supposito quod num rus diuidendus sit 23,&diuisor sitq; nota producta ex diuisione erit s. diuisionis residuum erit 3 , totumque productium erit s t et eritque verum , quod a 3 diuisum per producat se. Similiter Idiuisum per 3 producit a I. Atque uniuersaliter , quoties ex diuisione remanet aliquod residuum, ut habeatur productum diuisionis . semper diuisionis residuum, scriptum supra lineola cui diuisor sub. seriptus sit, successive apponitur notis Arithmeticis productis ex diuisione.
Praxis secunda , siue prolixior diuisio integrorum, ae .
que vulgarium numerorum, quae nihil requirit praeter notitiam additionis expositae secundo capite. EX datis pro diuisione numeris, superior, siue diuidendus sit
C. Instrior , siue diuisor sit B ; hoc posito successive fit nul audendo plurea, & plures numeros B inueniatur numerus D qui sit aequalis vel proxime minor numero C; notae Arithmeticae indicantes quot numeri B fuerint simul additi, ad producendum numerum D; erunt notae productae ex proposita diuisione ; diuisionis residuum , erit differentia numerorum C & D; quare fi notis productis ex diuisione, successive adscribatur inuentum diuisionis residuum ,
ut dicitur in erima praxi, habebis productum propositae diuisionis. Exempli gratia numerus diuidedus C sit so, diuinor B sit i ta hoc posito , i a plus ia dant a , de iterum 24 plus radant I 6 , rursus sopius ι et dant 68, cui non potest amplius addi ia , quin fiat maior quam So adeoque numerus qs est proxime minor dato superiori numero SO . Deinde quia numerus q8 productus est ex quatuor numeris ra si in ut additis , etiam nota est illa quae producitur ex proposita diuisione. Denique propositae diuision s residuum est a , quiam uento numero η8 debet addi a vi aequetur numero 3o; igitur pro-
postae diuisionis productum est .
37쪽
Praxis tertia , siue prolixior diuisio integrorum , atque
νulgarium numerorum, quae nihil requirit praeternoritiam subtractionis expositae tertio capite.
Ex datis pro diuisione numeris, superior, siue diuidendus sit C; in serior, sue diuisor st B ; hoc posito, diuisor B subtrahatur ex numero C, de Iursiis ex residuo huius subtractionis , subtialiatur diuisor B i atque hoc modo subtractiones continuentur donec relinquatur residuum minus ipso diuisore; notae Arithmeticae indicantes quoties diuisor B subtractus fuerit, erunt notae
productae ex proposita diuisione; inuentum ultimum subtractionis residuum ipso diuiscire mimis , erit residuum propostae diuisionis, di habebitur productum propositae diuisionis, si notis productis ex diuisione adscribatur residuum , ut dicitur in prima praxi. Exempli gratia numerus diuidendus C sit ueo. diuisor B sit ra rhoc posito , 3 ominus radat 38 ; & iterum 38 minus Ia dat 26. Rur sus M minus Iadat 14. Rusus a 4 minus ia dat x, quod residuum est minus ipsb diuisore; quandoquidem vero diuisor successive quater subtractus sit ex numero diuidendo, nota Arithmetica , eli il-Ia , quae producitur ex proposita diuisione et eiusdemque diuisionis residuum est a s quare propositae diuisionis productum erit - Duae paxes diuisionis : hic propositae, parum usitatae sunt, pr pter prolixitatem quam requirunt quoties plane parui non sunt numeri qui proponuntur pro diuisione; subsequentes diuisionis praxes docent magis compendiatas, atque usitatas diuisiones et pro his ut
in aths operationibus factum est distinguo diuisionem in simplicem , Ae compositam; hoc est in diuisionem producentem unicam, notam Arithmeticam, & diuisionem producentem plures notas Arithmeticas; compositae diuisiones compendiatae, parum admo. dum requirunt, ultra iteratas simplices, atque compendiatas diuisiones et simplex atque compendiata diuisio subinde quidem facilis est, subinde tamen latis molesta est atque dissicilis; hinc varias propono praxes quibus absolustur simplex atque compendiata diuisio tui ex pluribus, illa possit adhiberi, quae vel propter faci litatem, vel
propter compendium, vel quouis alio ex capite cuilibet magis araridebit. In diuersis circumstantiis, singulae aliquam praerogatiuam habent; quae in quarta diuisionis praxi proponitur utitur tabula Pythagorica, atque usu receptum est eam proponere incipientibus discere Arithmeticam practicam: parum tamen prodest quando diutin
38쪽
iuulsor pluribus notis exprimitur. Reliquae duae, quae in quinta a , & sexta praxi proponuntur , tales sunt, ut reuera ignorem quaenam alteri debeat praeferri, licet enim illa , quar in quinta praxi proponitur subinde aliquem quas inutilem laborem requirat, pro constructione columnae diuisoriae qua utitur: subinde tamen, ipsius coIumnae constructio saltem pro diuisionibus compositis ad quas ordinatur haec simplex diuisio non contemnendum compendium affert; εἰ propemodum liberat omni periculo, incurrendi in errorem, cui maxime exposita est simplex diuisio quae in sexta praxi proponitur haec tamen talis est,ut eius ignorantia maxime dedeceret Arithmeticum practicum: quippe apud eos, qui utuntur practica Arithmetica, maxime usitata est: quia non temper quidem, sed tamen ordinarie maius affert compendium τ ipsa vero operationum compendia tanti fiunt, ut plerumque longioribus praxibus magis compendiatae praeserantur, licet maiores dissicultates annexas h
Praxis quarta, siue simpIex diuisio numerorum integro
rum vulgarium , mediante tabula Pythagorica: supposito tamen , quod diuisor constet unica nota Arithmetica isIN suprema parte tabulae Pythagoricae inueniatur propositus diauisor: deinde inter numeros inuento diuisori deorsum correspondentes, obseruetur numerus, dato numero seperiori aequalis , veL proxime minor, si nullus aequalis inueniatur; obseruato in hunc modum numero,correspondens nota Arithmetica posita in sinistra parte tabulae ei erit nota producta ex proposita diuisione: atque obseruatu&iu tabula numerus subtractus ex dato superiori numero dabit residuum propositae diuisionis ; denique si notae productae ex diuisione, adscribatur residuum diuisionis c ut dicitur in prima praxi habebitur productum propositae diuisionis sei Exempli gratia, supposito quod numerus diuidendus sit 36 ,ερ diutior iit 7 inuenies diuisori , scripto in suprema parte tabulae, deorsu m respondere numerum s s ; di quia huic numero, in sinistra
P rte tabulae , respondet S ; etiam nota 8 , erit illo quae producitur ex proposita diuisione; praeterea quia inuentus in tabula numerus 6 , subci/ctus a iii mero diuidendo, qui etiam est 16, nullum relinquit residuum : productum propositat diuisioni, erit S : atque 36ήiuisum per dat 3 . Similiter supposito quod numerus diuidendus
39쪽
si ues , quodque diuisor iit 7 : inuenies diutiori scripto in suprema parte tabulae, deorsum nusquam respondere numerum diuidendum 39. ilio tamen proximὰ minorem esse numerum 36, cui it tum in si mitra parte tabulae respondens nota 8 , erit nota producta
ex diuisone et & quia su minus 36 dat 3 , etiam residuum diuisi nis erit 3 ; ac denique 19 diuisum per 7 dabit 3 3.
Praxis quinta, siue diuisio compendiata , ac simplex nu
merorum integrorum, atque vulgarium, mediante columna diuisoria PRO pr/xx quam hic tradimus requiritur columna diui.
soria, hanc columnam diuisoriam in laminis Arithmeticis commode exhibere, docuimus iuperiori capite; hic vero indepem denter a laminis Arithmeticis; columnae diuisoris constructionem prius expono duplici diuerso modo: primo quidem mediante sola additione tradita capite seeundor deinde mediante multiplicatione vradita capite quarto. Denique exposita costructione columnae diui-loi iae; propono eius usum, de praxim diuisionis simplicis in qua adhibetur columna diuisbria. Columnae diuisoriae construmo, mediante sola additione, τest : primo, ordine naturali successive, atque deorsum excurrentes stribantur nouem notae Arithmeticae indicantes unam , vel plures unitates, atque haec notarum series vocetur index eolumnae diuisoriae . Deinde indicis notae r , lateraliter adscribatur proposrus diuisor exempli gratia 3 p. nem indicis notae a, lateraliter adscribaturi - - Productum ex numero proximὰ superiori qui est 39, addito diuiseri qui etiam est 30, quod productum est in 7 78. Rursus indicis notae 3 lateraliter adscribatur . pro- , i 1 . d ystum ex numero proxime superiori qui est s addito diuisori qui est 39, hoe productum est III. Rursus A. I 3 6. indicis notae , Iateraliter adscribatur, productum ex s. t o nn ςm proximu superiori , qui est ri , addito diu, sori qui est yo , quod productium est is 6 . Simili pla-ε. a I ne modo indicis note si lateraliter adscribitur I9s, T. a et r. pl- ῖς dant 166 . Item indicis notae 6, la- ' terat ster adseritatur as quia Isis plus, d at 3. 3 I 2. 2s . Item indicis notae 7 lateraliter adieribitur 173i quia 33 plus 3' dant ara . Item indicix notae 3,late. talites adscribitur IL , quia 2 3. Pic, Is dant in Deab
40쪽
Denique indicis notae 9. lateraliter adscribitur 3 uet , quia 3ia plusas dant asi. Haec columnae diuisoriae constructio, conuenit cum constructione tabulae Pythagoricae mediante additione: disseri tantum , quod pro tabula Pythagorica suiliciat simplex additio, pro columna diuisoria requiratur aditio composita , quoties diuisor exprimitur pluribus notis Arithmeticis. Columnae diuisoriae constructio mediante multiplicatione , haec est . Primo ut paulo ante dictum est , ponatur index columnae diuiseriae. Deinde cuilibet indicis notae lateraliter adscribatur; productu,
ex indicis nota ducta in diuisorem, Exempli gratia, posito quod di uisor fit 3ς indicis notae r , lateraliter respondebit 39 quia I ductum in 'o dat 39; indicis notae et, lateraliter respondebit 78: qui a ductum in 30 dat 78 r indicis notae 3 , lateraliter respondebitri : quia 3 ductum in 39 dat ri7 . Indicis notae Α , lateraliter respondebit 136 , quia 4 ductum in a dat is 6; atque ita de
Diuisio compendiata ae simplex, mediante columna diuisoria , ita absoluitur. Primo construitur columna diuisoria , in qua indicis notae a re spondet propositus diuisor: vel certe talis columna e hibetur in laminis Arithmeticis iuxta problema a capitis φ . Deinde inter columnae numeros , obseruatur aliquis numerus , diuidendo numero aequalis, vel certe proxime minor, si desit aequalis: o seruato columnae numero correspondens indicis nota , erit nota producta ex proposita diuisione: atque obseruatus columnae numerus, subtractus ex numero diuidendo , dabit residuum propositae diuisionis: quare si notae productae ex diuisione, adscribatur inuentum diuisionis residuum ut dicitur in prima praxi habebitur propositae diuisionis productum. Exempli gratia, propositus numerus diuidendus sit 299, diuisor
sit 39; numero diuidendo proximὰ minor columnae numerus erit 273, cui respondet indicis nota r quare nota producta ex propo sita simplici diuisione erit 7: praeterea, quia Σος minus 273 dat 26 propositae diuisonis residuum erit a6 atque adeo numerus 199 diuisus per numerum Io, dabit productum 7Non erit inutile circa propositam diuisionis praxim notare ; pri
mo , quod haec quinta pravis non differat a quarta pr)xi, nisi quod
quarta praxis non adhibeat nisi columnas, ut ita dicam , diuisorias, represetitatas in tabula Pythagorica ; verum quinta praxis , Praeter easdem columnas diuisorias reprssentatas in tabula Pythagorica,ad-l, bet quascunque alias r & dici posse in quinta praxi propositam diuisionem , nihil abiud esse , quam diuisionem in quarta e Pra.