장음표시 사용
111쪽
merus A est et ex hoc numero subtrahendo numerum G qui est habetur numerus X qui est 3.
In quo praescribo, quid fieri debeat circa numeros iuxta superiores praxes scriptos , ut habeatur numerus mihi assignatus, qualiscunque ille sit, exempli gratia nume
rus 1 .PRimo. Suppositis numeris scriptis iuxta primam praxist asseis
ro , quod maiorem ex numeris E de F diuidendo per maiorem ex numeris Α & B is ueni es numerum, cui si addas I , atque hoc productum ducas in se ipsum , habebis numerum aue. In exemplo primae praxis maior ex numeris E & F est i : & numerorum A & Bmaior est : quare 14 diuidendo per I habetur numerus a rhuic numero addendo 3, habetur numerus uer denique numerum s ducenado in numerum s , habetur numerus as . Secundo . Suppositis numeris scriptis iuxta secundam praxime aμsero, quod numerum D diuidendo per numerum Λ, inuenies numerum, cui si addas 7, atque hoc productum subtrahas ex numero 3 , habebis numerum ab . In exemplo secundae praxis , numerus D qui ess 3a, diuisus per numerum A qui est Io, producit numerum a: cui addendo I habetur 9: denique ex numero 34 sub tr
hendo numerum 9 , habetur numerus et .
Tertio. Suppositis numeris scriptis iuxta tertiam praxime assero , quod numerLm D diuidendo per numerum Α, inuenies num rum, quem ducenuo in seipsum habebis numerum 2s . In exemplo tertiae praxis, numerus D est 6s r quem deuidendo per numerum Aqui est r 3 , habetur numerus 3 t & numerus 3 ductus in numerum sproducit 13. Quarto. Suppositis numeris scriptis iuxta quartam praxim: quosque aggregatum numerorum X&Z mihi cognitum sit r 3: altero, quod numerum D diuidendo per numerum Α , inuenies numerum , cui addendo ia habebis numerum 23. In exemplo quartae praxis, numerus D est pi: quem diuidendo per numerum Α qui est , habe
tur numerus Ir: cui addendo numerum Ia inuenitur numerus as .
Quinto, Suppositis numeris scriptis iuxta quintam praxini, quosque numerus x mihi cognitua sit 3; assero, quod ex numero Λ sub
112쪽
trahendo numerum G inuenies numerum , cui addendo numeru triar, innentes numerum 2s . In exemplo quintae praxis numerus Aest 7, ex hoc numero subtrahendo numerum G qui est , habotur numerus I, cui addendo a 2 habetur numerus as . Nota primo. Ludos Arithmeticos parum prodesse apud eos, qui ludos non ignorant; deinde magis placere quo minus apparet quomodo fiat quod vident fieri. Hinc tertio ludo quartum addidimus. qui ut ita dicam , quo ad substantiani, a tertio non differt: sed ab illo tantum differt, quo ad aliquod condimentum; etenim tam in tertio, quam in quarto ludo, per aliquot operationes in si itutas circa numeros, saltem magna ex parte mihi incognitos, emcio, tu habeatur ni murus mihi cognitus; hunc numerum, in tertio ludo immed a te indico: atque adeo tertius ludus simplicior est , di sita pius repetatur, minus disti culter aduerti potest eius fundamentum . verum in quarto ludo ulterius adduntur aliqua , quae talia sunt, ut apud eos, qui ludum nouerunt naui sestumiit A quare tiant. di quam diuersimode fieri postini: verum apud eos , qui ludum
ignorant , tales tenebras causare polliant, ut nullum in Iodo c hae. rentiam aduertant: atque adeo ludum reddant irrugis inperceptibi
Nota secundo. Quemadmodum hic quinque modis diuersis effeci , ut ex numeris maxima ex parte miles ignotis, semper habeat, tidem numerus 23 ; ita estici poste ut habeatur quiuis alius numerus: ' quomodo id feri post. t, videtur tam manifestuin , ut ulteriori decla latione non indigeat, etiam apud eos. qui non nisi mediocriter versati sunt in vulgari Arithmetica practica: quibuς ignotum euo non potest, quid fieri po .lit circa cognitum aliquem numerum , ut habeatur alius numerus etiam cognitus: etenim praeter hoc unum , nihil in hoc quarto ludo Proponitur diuersum ab ijs, quae in tertio ludo proponuntur.
In quo praescribitur, quid fieri debeat circa numeros hixta
superiores. praxes scriptos, ut habeatur numerus:K, ab alio mente conceptus, atque mihi incognitus. P Rimo . Si ippositis numeris scriptis iuxta primam praxim et haec
ulterius praescribo. Primo , ut minor numerorum E & F , diuidatur per minorem numerorum A & B, atque productum subscribat ut litterae G . Secundo, ego assumo aliquem numerum It , exem-
113쪽
pli gratia s , 8e iubeo ut numerus Κ mente conceptus deu Idatur me numerum s siue R, atque productum subscribatur litterae H. Tertio ut triplum numeri s siue R , diuidatur per numerum G, & productum subscribatur litterae L. Quarto ut numerus H ducatur in numerum L, & productum subscribatur litterae M . His peractis , asse. ro, quod si ex numero M auferas tertiam partem, residuum erit
numerus Κ . abs te mente conceptus. Pro exemplo suppono numeros scriptos ut in prima praxi repraesentantur, atque conceptum abs te numerum esse qs, His positis,numerus C erit a: item numerus Herit ut item numerus L erit 7 ζοῦ itein numerus M erit 6 ζ, a quo auserendo tertiam partem, quη est ar :, habetur numerus 3, hoc
est numerus V . Secuudo. Suppositis numeris scriptis iuxta secundam praxino, haec ulterius praescribo. Primo ut nuincius D diuidatiir per num rum A, atque hoc productum subscribatur litterae G. secundo, ego assumo aliquem numerum R, exempli gratia 7 . & iubeo ut numerus Κ mente conceptus, diuidatur per numerum 7 siue R , atque a productum subscribatur litterae H . Tertio, ut triplum numeri τ sue R , diuidatur per numerum G , & productum subscribatur litterae L. Quarto it numerus H ducatur in numerum L, & productum subscribatur litterae M . His peractis, assero , si ex numero M auferas tertiam partem, residuum erit numerus Κ abs te mente conceptus. Pro exemplo suppono numeros scriptos ut repraesentantur in secunda praxi, atque conceptum abs te numerum K esse s s. His p sitis , numerus G erit ar item numerus H erit 8 . item numerus L
erit 1 o : item numerus M erit 8 , a quo auferendo tertiam partem quae est as, habetur numerus 36 , hoc est numerus Κ. Tertio. suppositis numeris scriptis iuxta tertiam praxim; hae ulterius praescribo. Primo, ut numerus D diuidatur per numerum Α , atque hoc productum subscribatur litterae G . Secundo ego assu rvo aliquem numerum R, exempli gratia I , & iubeo ut numerus G diuidatur per siue R, & productum subscribatur litterae H. Tertio, ut numerus Κ diuidatur per numerum H, & productum subscrib tur litterae L. His peractis , assero, quod numerum H ducendo innumerum L, inuenies numerum K a te mente conceptum. Pro exemplo, suppono numeros scriptos ut repraesentantur in tertia praxi , atque conceptum numerum Κ esse go. His positis, numerus Gerit uer item numerus H erit r item numerus L erit 4 et: deniqui numerus H siue ducendo in numerum qi, habetur numerus 3 O. hoc est numerus K .
114쪽
Quarto, luppositis numeris scriptis iuxta quartam prixim , haee
ulterius praescribo. primo ut numerus D diuidatur per numerum A, atque hoc productum subscribatur litterae G. Sectando, ut numerus K diuidatur per numerum G , atque prodactum subscribatur litterae M. Tertio , ego assumo aliquem numerum it , exempli gratia a , de iubeo ut numerus H ducatur in numerum R, atque productum subscribatur litterae L. Quarto ut numerus G diuidatur per numerum 3 siue R , & productum subscribatur litterae M . His pet- actis, assero, quod numerum L ducendo in numerum M , inuenies numerum K a te mente conceptum . Pro exemplo suppono numeros scriptos ut repraesentantur in quarta praxi, atque conceptum a te numerum K esse oo. His suppositis , numerus G erit x3. item numerus H erit 3 i et item numerus L erit si et item numerus M erie
l: denique numerum L, hoc est o . . , ducendo in numerum M hoc est : . inuenies numerum K hoc est o. . Quinto. Suppositis numeris scriptis iuxta quintam praxis, haec ulterius praescribo. Primo, ut litterae G subscribatur idem ille numerus , qui in quinta praxi vocatur G et vel quiuis alius iuxta qui tam praxim scriptus, aut ex illis utcunque productus: vel denique quiuis numerus pro libitu assumptus . Secundo, ut siam quae hiehraescripsimus suppostis numeris scriptis iuxta tertiam, vel qua tam praxim i utrovis enim modo prodibit numerus N a te mento
Quae in hoc quinto ludo Arithmetico praescribuntur dependent a
regula aurea, non tamen instituta priori modo quo docetur capite shuius opusculi, quemque i Ilic notauimus commodiorem esset sed a regula aurea instituta, secundo , aut tertio modo insinuato in supra citato capite: vel certe a regula aurea, quae mediante sola diuisione absoluitur. An alii Arithmetici aduerterint, vel sola dis uisione, vel Iola multiplicatione in quovis casu absolui posse regu- Iam auream, prorsus ignoro: apud neminem id notatum inueni a quapropter utrumque illum modum instituendi regulam auream sub quaestionis titulo propono ; prius tamen pauca aliqua insinuam da sunt circa propositos ludos Arithmeticos . , Ludus Arithmeticus gratior est, quo meliori modo proponitur ι insinuatia ludis Arithmeticis aliunde petita ornamenta addere nolui , tum ne essem longior, tum etiam ne videar potiusciocari, quam serio ludere; ego certe inutiles aut pueriles iocos non apprehendo
in Iudis propositis: etenim utile dulci miscendo, discentium profi ctum curare : non est pueriliter iocari . iam vero, quo fine ludos O a Λrith.
115쪽
Arithmeticos proposuerim , iacis insinuavi initio huius appendicis. Deinde ipsos ludos, legitimo discursu deducere ex fontibus ex quibus derivantur, tam facile non est , ut post mediocrem profectum
dedeceat speculativae Arithmeticae studiosum. Praeterea me non parum iuuant, ut commode, de plures simul, etiam aliquo modo inuitos traham ad examen , ex quo mihi suificienter conii et, quantum profecerint in praelica Arithmetica; modum in unico exemplo insinuo. Exempli gratia, pronuntio, quod si ex pluribus praesentibus singuli scribant numerum pro libitu , mihi ignotum et atque circa scriptum numerum inliituant paucas operationes a me praescribendas: effecturum me, ut singuli tametsi diuersum numerum scripserint habeant eumdem , atque mihi cognitum numerum . Vel certe effecturum me, ut apud singulos ultimae operationis productum, fit
ille numerus , quem me tu scio subscripserint j ii terat V . Quando huiusmodi propositiones audiuntur, curiositas iis uitat ad exprime; tum; ci paucos inuenies; qu i nolint ex perientia dissicere veritatem :quam dum volunt experiri, nihil filiaile suspicantes, sese simini vitamini. Si prioris propositionis veritas probanda est, quartum luia dum adhibeo; pro posteriori propositione adhibeo quintum ludume atque ex diuersis modis quos singuli ludi admittunt , illuni eligo, qui requirit operationes circa quas volo instituere examen. Dens que, si dicant me aberrasse, certo coucludo ipsos nescire praesepiptas operationes; si dicant me non aberrasse, conflat mihi, praescriptasa are operationes legitime ab ipiis institutas esse. o
Paulo luperias monaimus, quintum tutam hic propositum, derivari ex regula a rea, de qua Visur ea te g butus opuIculi: ubi apri r triplex modus dikersus inuenieridi numer m , quem per hanc regulam inquiri di- ocimus I in singulis tamen modis praescribitur multiplicatio, ditit oratque ab his modis instituendi regulam auream, diuersus es aliquis m sis , qui adhibetur in quinto Milo i quandoquidem non praescribat muli
plicationem . Hinc nascitur argumennum subsequentium quaestionum , i
quibus inquiritur, an Iola multiplicatio, vel sola diuisio sufficiat, tum
pro regula aurea circa propositos quoslibet numeros ita ituenda: tum etiam pro regώla avrea , instruello in casu in vo aliqhis Ex datis tribu, numeris es unitas : qho Ofu non dissera a duabus postremis eterationibus Arithmeticis, quarum altera multiplicario , altera diκisio dicitur . Praedictis quaestionibMs, addo alteram, prioribus a inem , eo ex capite , quod ad eius intelligentiam requiratur disinmo , quae intercedit inter diuisionem , de qua agit Arithmetica , quando docet numeram in partes diuid re : ce diuisi em , de qua agit Geometria, quando docet lineam rectam
116쪽
diuidere in partes. Hra quaestionibus accedunt theoremata quibus inaltvntur quaestionum solutiones.
Quomodo ex datis quibuslibet tribus numeris vulgaribus, inueniri possit quartus proportionalis, mediante sola diuisione. Solutio. Ex datis tribus numeris primus diuidatur per secundum , vel per tertium numerum: atque per productum ex hac diuisone , diuidatur reliquus numerus. Sic enim producetur quar rus proportionalis quaesitus, & per solam diuisionem abloluetur regula aurea. . a Exempli gratia, primus numerus sit i a . Secundus n*merus sit r. Tertius numerus sit et O . Primum numerum i 2, diuidendo per se cundum numerum 3: habetur numerus. . Deinde , tertium utim*rum ao, diuidendo per inuentum numerum q: habetur numerus 3,
qui est quartus proportionalis quaesitus . Russus primum numeruinia, diuidendo per terti im numerum 2or habetur numerus Deinde secundu numerum 3, diuidendo per inuentum numerum ζ:. ha bitur num crus 3 ; qui est quartus proportionalis quaesitus . Solutionem in quolibet casu legitimam esse, multat ex primo theoremate
Quomodo ex datis quibuslibet tribus numeris vulgaribus , inueniri possit quartus numerus p toportionalis, mediante sola multiplicatione. . . . ISolutio. Primo, assumatur numerus e iis numerator sit unitas, denominator vero sit primus numetus propositus; quomodo hoc commode fiat, quando primus datus numerus fractus estia dicitur in nota . Deinde assumptus numerus ducatur in secundum datum numerum. Denique hoc productum ducatur in tertium datum numerum . Sic enim habebitur quartus proportionalis quaesitus. Nota. Scriptione usitata in vulgari Arithmetica, exhibere nu
117쪽
merum cuius numerator sit unitas, denominator vero sit propositus numerus e commodum est, quando propositus numerus est vugaris integer: etenim hoc casu, sufficit, interposita lineola unitati subscribere propositum numerum; idem tamen ita commodum non est, quando propositus numerus est vulgaris fractus; quia interposita lineola unitati fractionem subscribere, usi totum non est in vulgari Arithmetica; ut hoc fiat praxi usitata in o Bra Logistica, potest interposita lineola unitati subscribi fractio, repraesentata mediante particula peν ; verum haec scriptio non facit ad praesentena casum , in quo agimus cum illis , qui tantum didicerunt vulgarem Arithmeticam, aut non utuntur, nisi scriptionibus usitatis in vulgari Arithmetica. Vt huiusinodi scriptione, saltem aequi-
ualenter, & commoder exprimatur numerus, cuius numerator
si unitas, denominator vero sit propositus fractus numerus vulgaris et suffieit propositum fractum numerum inuertendo, emcere, ut eius numerator nae denominator, de vicissim eius denominator fiat numerator. Exempli gratia , suppositus numerus si atque repra sentari debeat numerus cuius numerator sit unitas, denominator vero sit propositus numerus: scribendo , saltem aequivalenter, ii
hebis intentum. Aliter scriptionem Logisticam adhibendo, sc ibi possct , , , vel certe a sed per 3 per 8; tres enim postremae scripti
nes, inter se aequales numeros indicant. Pro exemplo propositae solutionis. Primus numerus sit ra. se cundus numerus sit 3 . Tertius numerus sit ro. Itaque assumptus numerus erit:; hic numerus ductus in a , producit c, denique hoe productum ducendo in numerum ao , habetur numerus s. qui est quartus proportionalis quaesitus. Rursus, Primus numerus sit l. Seocundus numerus sit ε. Tertius numerus sit 6. Itaque assumptus nu merus erit :; hic numerus ductus in producit io ; denique hoc productum ducendo in numerum 6 , habetur numerus 64; qui est quartus proportionalis quaesitus. Solutionem uniuersaliter vera tria esie constabit ex secundo sublequenti theoremate.
Quomodo inueniri possit productum diuisionis, mediante
Solutio. Assumatur numerus, in quo numerator sit unitas: de denominator , sit diuisor datus pro diuisionei quomodo hoc
118쪽
Quaestiones Arithmeticae. II r
eommode fieri pollit , quando diuisor datus est fractus numerus, dicitur in nota praecedentis quaestionis. Deinde assumptus numerus ducatur in numerum diuidendum . sic enim habebitur productum, ex proposita diuisione. Exempli gratia , numerus et a diuidendus sit per numerum 4, Ansumptus numerus erit :; hunc numerum ducendo innumerum ri, habetur numerus 3, qui idem numerus producitur , quando ta diuiditur per . Rursus numerus i a diuidendus sit per numerum . Assumptus numerus erit l, hunc numerum ducendo in numerum. la , habetur numerus xo: qui idem numerus habetur quando la diuiditur per 3. Solutionem uniuersaliter veram esse . constabit ex subsequenti tertio theoremate.
Quomodo inueniri possit productum multiplicationis , me
Solutio. Assumatur numerns in quo numerator sit unitas, denominator vero sit unus ex duobus numeris datis pro multiplicatione; de quo agitur in nota secundae quaestionis . Deinde alter numerus datus pro multiplicatione, diuidatur per assumptum numetum . Sic enim habebitur productum propositae multiplicationis. Exempli gratia, numerus r ducendus sit in numerum A. Assumptus numerus erit o , vel certe ': liberum enim si quem uis ex his duobus numeris assumere. Deinde numerum 4, diuidendo per . habetur ii, & similiter numerum 3 , diuidendo per , habetur iχῆ qui idem numerus Ia habetur , quando numerus 3 ducitur in numerum η . Rursus , numerus o ducendus sit in . Assumptus numerus erit :, vel certe 3 . Deinde ἰ diuidendo per o, habetur nume rus 4; di etiam numerum 6 diuidendo per 3, habetur numerus 4 qui idem num rus habetur, quando numerus 6 ducitur in . So. lutionem uniuersaliter veram esse, docet subsequens quartu
119쪽
An omnium numerorum possibilium minimus
. sit unitas. IVxta nostras desinitiones, ei iam unitas nnmerus est: quo su p. pos to . quaero utrunt in possibilis sit aliqua quantitas discreta ,
siue aliquis numerus , minor vn late . atque adeo omnium numerorum minimus sit unitas, vel certe possibilis sit aliqua quantitas discreta. siue aliquis numerus , minor unitate : atque adeo omnium numerorum minimus non sit unitas . Prius pro utraque parte affero viatian alterumue argumentum . . Deinde statuo quid dicendum fit ad propositam quastiorem. Denique respoueco aes argumenta nobis contraria , atque prius at ata. Singula perlege udo , intelliges. quid piopost a quaestio , commune habeat cum praecede utibus quae-ssion ibus, in quibus egimus de regi la aurea, vel certe de multiplicatione atque diuisione, quas duas operationes, regulae aureae, veluti compendia esse , suo loco monuimus . On nium numerorum minimum esse unitatena , suadere potiunt subsequentia duo ar umenta
Ptimo. Quantitas discreta est subiectum habens icrminationem; maior quantitas dii creta , eli subiecium habens plures terminati nes: minor quantitas discitia, est subiectum habens pauciores te i- nationcs: atqui impus bile cst subicctum habens terminationes pauciores quam unam : ergo Omnium discretarum quantitatum IMPbilium , minore it illa, quae habet unicam terminationem: seu quantitas discreta habens unicam ter inationem, appellatur unita S: ergo omnium poss bilium quantitatum d cretarum, minor, siue minima, est unitas i atqui omnis numerus est quantitas discreta: ergo Omnium possibilium numerorum , minor, siue minimus , est unitas. Secundo. Omnes numeri indicant indiuidua, unum scilicet, vel plura: & maior numerus dicitur, qui iudicat plura indiuiduar minor nn merus dicitur , qui indicat pauciora indiuiduar atqui mani- sellum es, indicari non poste indiuidua pauciora quam unum: ergo i in possibilis est numerus, minor illo. qui indicat unicum individuum: sed numerus indicatis unicum individuum, est unitas : ergo impossibilis est numerus minor unitate: eigo omnium possibilium numetorum , minimus, est unitas. Cmniis
120쪽
omnium numerorum minimum non esse unitatem , suadere popsunt subsequentia duo argumenta. Primo. Vnum dimidium, est numerus minor unitate. Similiter duae tertiae, duae quartae , tres quintae , &c. sunt numeri minores unitate: ergo dantur numeri minores unitate; ergo Omnium numerorum possibilium minimus non est unitas. Secundo. Ex eo quod quaelibet recta linea potest diuidi, in duas, tres , quatuor, & quotlibet partes, aequales inter se, quaeque singulae sint rectae lineae: legitime sequitur, impossibilem esse rectam lineam, quae omnium rectarum linearum possibilium minima sit; ergo similiter, ex eo quod quilibet numerus diuidi posuit in duas, tres, quatuor, & quotlibet partes inter se aequales, quae partes singulae numeri sint: legitime sequitur, impossibilem esse numerum , qui o nium possibilium numerorum minimus sit; ergo omnium possibulium numerorum minimus , nou est unitas .
Ad propositam quaestionem, neque aflirmative, neque negati ueresponderi potest : sed distinctione opus est; itaque. Dico primo. Magnitudine desumpta ab ipso numero . omnium numerorum possibilium minimus, est unitas. Dico secundo. Magnitudine desumpta a valore numeri, omninmnumerorum eiusdem speciei minimus est unitas: verum data quavis unitate cuiusuis speciei, dari possunt minores numeri alterius speciei. Pro intelligentia propositarum assertionum, aduertendum est:
non minus usitatum esse apud Arithmeticos, unum numerum a te romaiorem dicere, magnitudine desumpta ab ipso numero , quam
magnitudine desumpta a valore numeri: tamen istae duae magnitudines magnopere inter se disserunt, quemadmodum inter se maxime disserunt, numerus, & valor numeri. Exempli gratia , quando dicitur quod numerus i6 linearum sit maior numero I a superficierum: agitur de magnitudine desumpta ab ipsis numeris: hoc est, a subiectis habentibus terminationem; di sensus est, quod prior numerus indicet plura indiuidua, siue plura subicta habentia terminationem , quam indicentur a secundo numeror seque significatur quod prioris numeri valor sit maior valore posterioris numeri. Idem
contingit, quando numerus I a binariorum, dicitur maior, numero Io ternariorum . Vel quando numerus I a a renularum, dicitur maior, numero Io cumulorum compositor urn ex arenulis. Has aliauque similes loquutiones communiter usitatas esse, manifestum arbitror: di consequenter usu receptum esse , unum numerum altero malorem dicere, magnitudine desumpta ab ipsis numero: aliter enim,