장음표시 사용
21쪽
EΗ.- per conuersionem rationis , minor ratio AG ad AB quam H ad DE sed minor etiam ponitur ratio AB ad C. quam DE. ad F. ergo exaequalitate minor est l. s. ratio AG ad C. quam DFI ad F. Quod erat probandum Eodem modo probatur, si primum additum BG. ponatur minus quam secundum ΕΗ multo minorem esse rationem AG. ad C. quam DH ad F.
SI habuerit prima quantitas ad secundam ma
iorem rationemquam tertia ad quartam, st-que prima minor tertia, ac primae 4 tertia eadem quantitas addatur, vel prinia maior quam tertiae erit ratio prima cum addita ad secundam maior, quam tertiae cum addita ad quartam.
SIT primae quantitatis AB.ad secundam C. maior ratio quam tertiae DE. ad quartam F. sitque AB. minor quam DE. primae ac tertiae addantur aequales G. A, B ΕΗ. Dico maiorem es
DH.ad F cum .n AB si minor quam DE. minor : erit ratio AB ad BG. quam DE. 4H3 4 componendo, 31., &per conuersionem rationis, maior erit ratio AG ad AB. quam DΗ. ad DE sed etiam ponitur maior ratio AB ad C. quam DE.adi igitur ex aequalitate maior est ratio AG 31.1. ad C. quam DFq. ad F. Quod erat demostrandum.
Idem aperte sequitur si primum additum BG sit maiusquam secundum. Η. THEO-
22쪽
Curui ac recti proportio promota. THEOREM VI PREPOS. I.
Syra buerit prima quantitas ad secundam mi
norem rationem quam tertia ad quartam,si que prima minor tertia, ac exprima,& tertia eadem quantitas dematur, aut ex prima maior quam ex tertia minor erit ratio residui primae
quantitatis ad secundam , quam residui tertiae ad
Η AB EA T prima quantitas AG ad secundam C mianorem rationein quam tertia DH. ad quartam F. sitque AG. minor quam DH.&eXpri Ai. Bina ac tertia demantur ae quales BG. EH. Dico mi Di norem csse rationem res Fi
dui AB ad secundam C. quam resii tui DE. ad quartam . Quoniam minor est 8 s. AG quam H. aequales BG EH. erit AG ad BG. ,ν.s minor ratio quam H ad Id. permutando minor ratio totius AG ad totam DΗ quam partis BG adpa 11., te ΕΗ quare&reliqui AB ad reliquum DE. minor, m. s. AG ad totum H permutanta dominor erit ratio AB ad AG quam DE. ad DH sed etiam minor est posita ratio AG ad. C. quam DH ad Fji., igitur X aequalitate, minor erit ratio primi residui AB ad secundam quantitatem C. quam scaeundi residui DL ad quartam. F. Quod demonstrare oportebat. Eadem demonstrationis ratione sequitur,minorem si
rationem AB ad C. quam E a di si detracta par B
23쪽
SI buerit prima quantitas ad secundam a
iorem rationem quam tertia ad quartam, sit que prima maior tertia, atque ex prima,&tertia aequalis quantitas dematur , aut prima minor, quam ex tertia maior erit ratio residui primae quantitatis ad secundam, quam residui tertiae ad quartam.
PRIM A quantitas AG ad secundam C. maiorem .habeat rationem quam tertia H. ad quartam . sitque AG maior quam Ι Η.&
c prima in tertia aula A , - G
rantur aequales G. ΕΗ Dico maiorem esse ratio I trinem residui AB. ad secun 'dam C. quam residui DE. ad quartam . Quoniam maior est AG quam DFq. aequales sunt G. H. a ἡbebit AG ad BG. maiorem rationem quam H ad FH.&permutando, maior erit ratio totius AG ad totum DH. 7 squam partis BG ad partem ΕΗ quare,&r liqui AB ad ireliquum DE. maior est ratio quam totius AG ad totum DH. permutando maior est ratio AB ad A uana DE. ad DH. sed etiam maior est posita ratio AG ad C. quam DH. ad F. igitur exaequalitate maior erit ratio primi residui si .s AB ad secundam quantitatem C. quam secundi residui DE. ad quartam . Qu9d ostendere Oportebat. Eodem modo maior fiet ratio residui AB ad residuum. C. quam residui DE. ad residuum F. si BG. statuatur minor quam ΕΗ. THEG
24쪽
8 Curui ac recti proportio promota. THEOREM A VIII. PROPOS. VIII.
Si fuerit, prima quantitas ad secundam ita
tertia ad quartam, sitque prima maior tertia, ac primae ac tertiae eadem quantitas addatur,
aut prima minor quam tertiae minor erit ratio primae cum addita ad secundam, quam tertiae cum addita ad quartam.
H A RE Aa prima quantitas AB ad secundam.C.eandem rationem quam tertia DE.ad quartam F.sitque AB. maior quam DE.&prinas ac tertia addantur aequale Λ. rBI EG. Dico minorem C --- esse rationem A I ad C. o squam G ad F. fiat ienim ut AB ad DE. itar .s BI ad EH. cum AB sit maior quam DF erit I. id est
EG maior quam EF . Quare cum sit ut AB ad DE. ita BI. ad ΕΗ erat permutando, componendo, per conuersi nem rationis vi IA. ad AB. ita H D ad DE sed ut AB ad.
C. ita est DE ad F. ex hypothesi est ergo, ex aequalitate vis. s. AI.ad . at VH ad F. minor autem est ratio DH ad Fij., quam G ad F. minor igitur etiam est ratio A ad quam G ad F. Quod erat ostendendum. Idem etiam aperte sequitur si BI. ponatur minor quam EG ut ex modo demonstrandi constat.
COROLLARIUM. Eo m m δε οβ ηα 'si ut prima quantitas ad secum
25쪽
ior ,maior erit ratio primae cum addita ad scindam quam tertiae cum addita ad quartam. Nam si DE.statuatur prima F. secumda AB. tertia C. quarta , se addantur EI.EG. aut aequaias, aue EG maior squetur eodem modo minorem esse rationem AI ad quam DG ad F. ideoque maiorem esse rationem DG ad F quam AI ad C.
THEO REMA IX. PROPOS. IX. SI fuerit ut prima quantitas ad secundam , ita ter tia ad quartam, sitque prima maior tertia, atque
ex primavi tertia eadem quantitas dematur , aut exprima minor, quam ex terties maior erit ratio pri
mi residui ad secundam quantitatem, quam secundi
ad quartam. H AB EA T prima quantitas AI ad secundam .eandem ratiCnem, quam tertia DG. ad quartam . sitque AI maior quam G. .e prima ac
tertia demantur aequales BI A ,--- IEH. Dico maiorem esse ratio
nem primi residui AB ad se acundam quantitatem C.quam secundi residui E ad quartam quantitatem. F. Fiat enim ut AI ad G ita BI ad G erit G. minorquam BI. id est quam EG. Quoniam igitur est, ut totum AI ad totum DG ita pars I. ad partem HG. erit reliquum AB ad re liquum DFq. ut totum AI ad totum G. pcrmutando, ut AB ad AI .ita DH.ad DG. sedit AI ad C. ita DG ad F. ergo ex aequalitate, ut AB ad C. ita H ad F sed DH ad F. maiorem habet rationem quam DE. ad F. Igitur primum residuum AB ad C. maiorem habet rationem,quam secundum DE. ad F. Quod&c. Idem prorsus concluditur si I. ponatur minor quam EG.
26쪽
xo Curui ac recti proportio promota CONSECTARIVM. Est em prorsis modo demons, tu , si prona quantitas ad
sc Ndam,ut tertia ad sartam Ss ique prima minor tertia , AEC ex prima tertia eadem quantitas auferatarant ex prima minori minor erit ratio primi re ad secundam quantitatem quam scundi ad quartam . Nam sis nativatur rima. F. ἴ- cu da.AIaertiabore quarta,es auferantur ex SI EG aut aequales,aut BI.minor; sequetur eodem modo maiorem se rationem S. ad quam DE.ad F. ideoque minorem rationem DE. ad F quam AB ad C.
THEOREM A X. PROPOS. X. SI sit ut prima quatilitas ad secundam ita rertia ad quartam, quibus singula quantitates addan
tiar, ita ut addita ad primam ciertiam, terr addita ad secundam quartam sint aequales, sitqU prima quantitas maior quam secunda,& tertia, at J UCadditum primum maius secundo minor erit ratio primae cum addita, ad secundam cum addita, quanta tertiae cum addita, ad quartam cum addita. SI I ut prima quantitas AB ad secundam CD ita tortia EF ad quartam GH. quibus ordine addantur B. D. F. M H simique B. F. item D. M H inter se aequales AB autem maior quam CD. ut F. AEL maius quana DK. Dic minorem esse rationem I ad C quam EI ad M. Fiat ut CD ad AB. ita DK ad N laena ut GH. ad EF id est CD ad AB. minor ad maiorem ita HM
27쪽
,quales L. NI Cum igitur sit ut AB ad CD. ita BN ad DK erit ut AB ad CD ita AM ad CK. quia est ex constructione ut EF ad GH. ita FO ad H. erit ut EO. ad M. ita EF ad GH id est, AB ad CD. erit ergo ut AN. ad K.
ita EO. ad M. Quare cum prima AN. ter ti. Eo additae sint aequales. I. L. tque prima maior quam tertia , erit per octauam pro positionem huius,minor ratio AI. ad K. quam EL. ad GM. Qu9derat demonstrandum.
Eodem modo ontendetur , si si mr prima tian iras ad secundam,ira tertia ad quartam; quibus singuia quanti ales aridantur ita ut additae ad primam c tertiam, item a dine ad secundam es quartam n aequales prima quantitas maior quam secunda sed minor quam tertia, s primum additum maius secundo maior erit ratio primi e cum addita ad secundam cum addit, quam terti. cum addit, ad quartam cum addita. In superiori figura atώatur EF.prima GH.secunda AE tertia, D. quarta in reliqua omnia fant, ut in 'periori inspumes,inueniemus minorem si rationem di ad CH qtiam EL ad GM. ideoque maiorem esse rasionem EL primae tum additi, ad M.secundamckm addita quam AI terti. cum addit, ad CR . quartam cum
THEOREM A XL PROPOS. XLSI sit ut prima quantitas ad secundam, ita tertia ad quartam, ex quibus singulae quantitates demantur, ita ut subtractae ex prima, tertia , item ex secunda quarta sint aequales sit prima quantitas maior quam secunda ac tertia, primumque
28쪽
i Curu ac recti proportio promota. detractum maius secundo maior erit ratio primi re sidui ad secundum quam terti ad quartum
SIT ut prima litantitas AI. ad secundam CK. ita tertia , EL. ad quartam M. ex quibus ordine demantur IB. D. I F. M H sintque B LF aequales, item; D. M H. inter se aequales, AI. autem maior quam Κ. aut EL.MIB. quam KD. Dico maiorem esse rationem AB ad CD. quam EF.ad GH. Fiat ut CK ad AI . ita DK ad KIN. Item ut G M.ad EL. id est, CK. ad AI et mi nor nempe ad maiorem ita H. M ad OL- erit 'ID MIN. minor quam BI. V L. minor quam FL. Igitur erit ut DK ad IN. ita, HM. id est DK ad x 1iOL.aequales ergo sunt L. IN.quae si demantur
cX aequalibus FL. BL remanent etiam aequales
ut totum E L. ad totum M. id est, ut AI ad K. Igitur erit ut AN. ad CD. ita EO. ad GH. Rursus ex AN prima MEL. tertia demptis aequalibus BN FO erit, per nonam huiuS, Iarator ratio ABnd CD.quam EF.ad GH. 49d faei at deia tonstran
ita erria ad quartam, ex quibus, reti quantitates δε- mantur, ira Ut subtract. ex prima C tertia , item ex secundio viaria sint aequales , se sit prima quantitas maior quam cunda, siminor quam tertia i ac primum stra summatus sicundo mi- Bb eri ratio primi res dui ad scundum, quam tertisad quartum. nise probabimus ratione, o qua suemus in superioribtis co-νbsia, ν , EL.Matuatur prima quantitas, M. cunda Al terna E quarta Nam se reoqua flant, vi in proposito e dictu, eL
29쪽
Si fuerint quatuor magnitudines, Maliae ipsis aeta
quales numero, quae sese eodem ordine supe-rent, sitque primae ad secundam in primis magnitudinibus maior ratio, quam prinace ad secundam in secundis, tertia ad quartam minorem habeatis tionem in primis, quam in secundis, sitque tertia magnitudo differentia, aut aggregatum primae secundae s minor erit ratio secunda ad quartam in primis , quam in secundis magnitudinibus.
SI a quatuor magnitudines priores BA AG BG. E.&quatuor posteriores DC CH DH. ΗF quae sese eodem o dine superent, sitque maior ratio ΒΑ ad AG quam DC ad
CH. minor autem BG ad GE. quam DH. ad F sitque B. differentia ipsarum BA AG ut in prima secunda quarta serie aut earundem aggregatum, ut in reliquis. Dico minorem esse rationem AG ad E. quam CH ad HF. Cum enim sit maior ratio BA, ad AG. quam DC ad CH. erit in prima secunda quarta serie, diuidendo,& conuertendo, in reliquis componcndo,&conuertendo minor ratio AG ad B. quam
30쪽
i Curii ac recti proportio promota.
quam CH. ad D sed B ad GF etiam minor ratio postic est, quamΗD. adHF. igitur ex aequalitate, minor erit ratio AG ad GE quam CH ad ΗF. hi ferat ostendendum.
SI sint tres magnitudines , 5 aliae ipsis aequales
numero, quae sese eodem ordine superent, sitque primae priorum ad secundam maior ratio, quana primae posteriorum ad secundam trimae autem priorum ad tertiam minor ratio, quam primae posteriorum ad tertiam , sitque prima maior quam secunda,&tertia maior erit ratio disserentiae primae, secundae, ad dissetentiam primar, tertia in prioribus magnitudinibus, quam in posterioribus.
SINT tres magnittidines AB. BE BG priores in tres CD DF. H. posteriores, sitque tam prima priorum AB.maior ipsis BE BG. quam CD prima posteriorum maior si sis DF. H. sitque maior ratio AB ad AG EB CHFD BE quam CD ad --- DF minor autem ratio AB ad BG. quam CD ad DH Di maiorem esse rationem AE differentiae plumae, iecunda,id AG differentiam primae, tertiae in priinis annitudinibus
quam sit ratio F differentiae prinuae, Pseeuud: a Cp du
ferentiam timae 'tertiae in secundis magia uti inniam maior est ratio AB. ad Bli. quam CD. ad DF. pciniutando maior ratio toti US AB ad totum CD quam patres EB