장음표시 사용
41쪽
trianguli maiorem maior erit ratio lateris oppositi anga aequali ad alterum latus adiacens angulo maximo, quam lateris oppositi angulo aequali, ad latus quodlibet reliquum in altero triangulo.
SINT duo triangula ABC DEF quorum illud habeat
angulum ACB. maiorem quolibet angulorum EF DFE. sintque anguli ad D.A.aequales. Dico maiorem esse rationem lateris BC.oppositi uni angulorum aequalium A. in triangulo ACB ad latus A. adiacens angulo ACB quam a lateris FE.oppositi alteri angulorum aequalium D ad quodlibet laterum DE DF. Sint enim primum anguli F. E.non obtusi, fat angulus ACH aequalis angulo DEF.
lum , quod maior sit angulus ACB angulo DEF. cumque aequales sint anguli D. A.
aequiangula erunt triangula ACH. DEF:&anguli AHC.DFF. aequales, angulus autem DFE. ex hypothcsi vel rectus cst,vel acutus. Igitur citam a gulus AH C. vel rectus est vel acutus ac proinde eius comple yi' mentum CHB vel rectus vel obtusiis, acutus igitur est CBA. ideoq; maior est recta CB.quam reista CH. Igitur etiam maior is rest itio BC. ad A. tuam C ad A. id est quam FE ad ED. cum similia sint triangula FED HCA. in altero trianguIo.
Rursiis fiat angulus ACG aequalis angulo EFD. od cinis prorsiis modo ostendemus aequiangula esse triangula DEF. AG C. Mangulum AG C. angulo FED. esse aequalem, qui cum sit rectus aut acutus, erit CGB rectus aut obtusiis, sed . ostensiis est acutus imaius igitur latus CB quam G. Quar D maior
42쪽
Curui ac recti pi oportio promota.
maior ratio BC ad CA. qtiamCG ad CA. id est quam EI ad FD. Quod erat ostendendum. Iam vero sit DEF. Obtusus,c hypothesi mor quam BCA. ac proinde DFE acu tu S atque angulus ACH aequalis angulo DEF. erat angulus ad H. δ' quali sangulo ad F.c paulo ante demonstratiS, ideoque ac Utus, quare Comodo quo prius probabitur maiorem esse rati C-ncm BC ad A quam FE ad ED. Sed angulo FED. Obtuto fiat aequati s CGA. cum arcuales sint anguli CG A. GA C. angulis FED EDF. a quiangula sunt triangula FED. GA. quai C& similia. Rursus maior est recta BC ouam recta CG. Vt n. OX ostendemus. Quare cum sitit EF. ad FD. ita GC. ad A. imaior autem flaratio BC. ad A. quam C. ad A. maior et irim crit ratio BC. ad CA. quam EF. ad D. Quod cro G siit minor quam CB. ita demonstramus. Sumatur CI. aequalis ipsi CB. vel igitur punctum. G. cadit in punctum. I. Vel Vltra. I. Vel stis A. vel inter .&B. Cadat primum in punctum. I. si fieri po- s. i. est, Crunt anguli CIB. BI. aequales cum igitur tam anguli trianguli ABGBCA. CAB.quam duo Cl A CIB. aequales sint 'in ' duobus rediis, ablatis aequalibus CBI CIB. remanebunt duo BCA. CAB aequales angulo CIA. ergo angulus CIA. maior est angulo ACB sed angulo CIA. ponitur aequalis FED. rgo angulo ACB. maior est angulus ED. quod cst contra hypothesim , qua ponebatur minor. Quod si dicatur cadere in punctum K. inter I. A. adhuc major erit anguit Sille, cum maior sit angulus cxternus AKC. interno opposito AI C. Si vero cadat interri. m. vi in L. tunc CL subtendens angulum acutum C IL mitior est rex L CI subtend cnte angulum obtusum CLI. atque etiam ei aequali CB. atque hoc modo in quodcumque pune tum cadat ipsum G Ostendetur recta CC mmor quam CB. Quare sequetur quod demonstrandum erat.
Me,nmn angulum uni angulo aequatim labeant, maior
43쪽
eserationem lateris oppositi angulo aequali ad latus adtacens angulo maiori in no triangulo, quam lateras oppositi angulo ae Mali ad latus adiacens angulo minori in altero triangulo; se conuertendo, minorem bationem lateris adiacentis angulo maiori adla-ςus postum angulo aequali quam adiacentis angui, minora, ad possitum angulo aequati enim duabus praecedentibus demon Bratum es. Exclusiimus.a.in Coroll. a .hu:us,ex angulas inaequalibus, obtusim, non in ratione Potes enim contingere si alterum triangulorum sit ambi nonium ut non sit minor ratio lateris oppo it angulo minori, ad latus oppositum angulo aequali in notrian Alo, quam ratio lateris oppossit angulo maiora in altero ,sed aliquando aequalis, aut maior . Sit triangulum AIC obtus langulum ad B. ct oxygonium DEF.cuique angulus EDF aequalis angulo BAC. atque angulus ABH.aequa- n clis angulo DEF.
ulus HGR. maior quam HSG maior erit ratio AH ad s. id 8. s.s C lateris oppositi angulo maiori ABC ad CB. latus op- .6. pos tum a Pilo equali A quam AH AEd HB id est DF Ius nos tum angulo minori E. ad FE latus, pos tum angulo aequali D. Si mero G fuerit ipsi HR. aequalis o angulus HGR. angulo HEG. aequalis,eritv AH HG. id est ut AC. adCB.ita AH.ad HBsci q-6. Dcei DF ad E. Sin autem GH fuerit maior es avnia HGE. minor avsu HBG.miosi erit ratio AH ad HG.id eis AC. ad CB. .,.
44쪽
α Curui ac recti proportio promota.
S duo triangiala unum angulum uni angulo ἴ-
qualem habuerint, reliquos inaequalesci latus oppositum minor angulo unius trianguli,
aliis oppositum maiori minorem habet rationem oquam latus oppositum maior angulo in alio triangulo, adlatus oppositum minori. SINT duo triangula ABC DEF. in quibus anguli ABC.DEF.aequales,reliquorum BAG. sit maior quam EI F. tquo ideo DFE. maior quam ACB. Dico rationem lateris B.
oppositi angulo BCA. minori quam DFE ad BC. latus oppositum angulo AC maiori quam DF esse min rem ratione lateris E. oppositi angulo maiori . adlatus FE oppositum angulo minori . Fiat angulus BAG. qualis minori EI F. Cum aequalis positus sit angultis'. angulo E. factus angulus BAG.aequalis angulo D. squianaula erunt .6. triangula ABG DEF.est ergo ut DE.ad EF.ita AB.ad BG scd , , , AB.ad BG. maior est ratio quam AB.ad BC. Igitur etiam DE. ad EF maior est ratio quam AB ad BC atque adeo minor est ratio AB.ad BC.quam DE ad EF. coe
45쪽
COROLLARIUM. Eodem modo isenditur arus oppositum maiori angulo unius
trianguli , ad latas opposust minori maiorem habere, rionem , quam latus oppositum minori angulo in alio triangulo ad latus oppositum maioris offensam enim est, maiorem esse rationem DE ad EF quam AB ad BC.
THEOREM A XXVI PROPOS. XX ARς um in qualium in Quadrante, tangenima
ioris ad tangentem minoris maiorem habet
rationem, quam arcus maior ad minorem. IN circulo AED. cuius centrum G diameter GA secans circulum in A. sit arcus maior Ariminor AE.&ex puncto A. ducatur ipsi A. perpendicularis AC tangens circulum in A. quam productam quantumlibet secent rectare G. centro per puncta E. D. ductae, in punctis B. C. erit A C. tangens maioris arcus,& AB. minoris, ex definitione tangentium. Dico maiorem esse a
tioncm CA ad AB quam arcus DA ad arcum AE. Ducatur ex E. termino minoris arcus ad AG perpendicularis EF quae producta secet rectam GC. in puncto I. Qu9niam minor est proportio trianguli FGE. ad triangulum EGI quam sectoris AGE. ad idem triangulum EGI. rursus minor est proportio sectoris AGE. ad triangulum EGI quam eiusdem sectoris AGE.adiectorem EGD.minor erit proportio trianguli FGE. sestes. ad triangulum EGI. quam sectoris AGE. adsectorem EGD. 3. Sed ut triangulum FGE. ad triangulum EGI ita recitata L.FE ad rectam G. xvi sector AGE ad sectorem EGD. ita ar
46쪽
Cum ac recti proportio promota
cus AE ad arcum ED. minor igitur erit ratio FE ad EI. quam arcus AE. ad arcum AD. Quare conuertendo, componendo, maior erit proportio FI ad FE id est CA ad AB quanta arcus AE ad arcum AB. Qu9d erat demonstrandum.
IN s qtientibus propositionibus sepe nominibus chordarum , sin&-
tangentium, secantium temur quorum licet puraque vetustioribus matbematicis incognita fuerint, a recentioribus tamen passim usurpantur, /i triangulorum praesertim calculis, quae nos etiam ad Ceornetricas demonstrationes traducemus, ut breuitati, ad quam mirum momentum habent, consulamus: multa enim, quae longis ambagibus des ribenda essent, unicove bo complectemur. Horum desinitiones qui ignorat , reperiet apud Io. momontanum lib. I. de triangulis definit ia. O II 6Minophorμm Clauium tractatu desinubus Maginum, Titiscam, Laiadsbergium, O clios quotquot de triangulis rectilineis ac sphaericis scripserunt.
THEOREM A XXVII. PROPOS. XXVII DIUerentia tangentium remotior a plint contactus ad vicinorci maiorem habet ratione, quam arcus illi respondens ad arcum.
I Quadrante ABI. ducatur tangensi M. .sumantur quotlibet arcus L. I F. FK. KN quorum primi propiores sint
puncto contactus B per puncta L. F. Κ. . ducantur secantes A GAD.AE. AM. erunt DC ED ME. diis e rentia tangentium,quarum prima viciniores sunt puniacto contactus B Dico malo rem esse rationem ED. ad DC quam arcus KF ad a cum L. maiorem ipsius ME. ad D C. quam arcuS
47쪽
Idisserentiae ulla coniunet sunt vel separatae: sint primo coniunctae, ac perpune tum T in quo A D. circulum secat ducatur HG. ipsi MB. parallela secans AE. AC. in punctis Η. G. Qu9niam minor est ratio trianguli AF ad triangulum AH. quam seistoris I AF ad idem triangulum I AH. adhuc minor est ratio sectoris LM. ad triangulum FAH quam eius denas ctoris I AF ad sectorem FAΚ minoi erit ratio trianguli GA F. ad triangulum AH quam sectoris I AF ad sectorem AK. ideoque maior erit ratio sectoris I AF ad sectorem FAX id est
arcus I F. ad arcuna FK. quam trianguli GAF ad triangulunae FAH. id est quam GF ad FH. ergo maior ratio F ad FG. id est re star ED. ad rectam DC. quam arcus KF ad arcum FL. quod prius demonstrare oportebat. Sint secundo differentiae illis, ut ME. DC separatae in te media ED. cum maior sit ratio ME. ad ED. ex paulo ante d monstratis quam NK ad KF. ratio ED. ad DC. etiam probata sit maior quam KF. ad FI . erit ex aequalitate maior ratio ME. ad D C. quam NK ad L. Qu*d secundo erat demonstrandum. Igitur disterentia tangentium c.
THEOREM A XXVIII PROPOS. XXVIII
S expuncto ubi diameter circulum secat duo arta
cus inaequales sumantur , ex quorum extremis
ad diametrum duae inter se parallela ducantur, maior erit ratio maioris arcus ad minorem quari talineae ductae ab extremo maioris arcus, ad eam quae ab extremo minoris ducta es f.
EX puncto B. ubi diameter AB. circulum BCD secat, sumantur duo arcus inaequale BC. minor BD. maior,e quorum extremis C. D ducantur parallela CF. G. secantes dia metrum in punctis F. G. Dico maiorem esse rationem arcus
BD ad arcum BC quam rectar DG ad rectam CF.Connectania
48쪽
3 Curui ac recti proportio promota.
tur puneta CD. recta DCE quae vel concurret cum diametro producta, ut in prioribus figuris, vel erit parallelavi in post
riori. Concurrat primo ex parte arcuum sumptorum in E s. s. ducantur AG AD. 9niam minor est ratio sectoris BCA. adsectorem ACD quam trianguli ECA. ad eundem sectorem . ACD.&adhuc minor trianguli ECA. ad sectorem ACD.quam trianguli ECA ad triangulum CDA. multo minor erit ratio se- 'i' ' ctoris BCA. adiectorem AC D. id est,arcus BC ad arcum D. 33 si quam trianguli ECA ad triangulum CDA. id est rectar EC ad
3 6 rectam CD. conuertendo, ac componendo, maior ratio ar
Concurrat secundo C. non ex parte arcuum sumpto rum , ut in tertia figura sed in parte oppositi, sitque FC.maior quam GD. Constat maio-rcm esse rationem arcus B. ad arcum BC cum sit maioris inaequalitatis, quam GD ad TC. quae proportio minoris inaequalitatis cst.
49쪽
33Si vero D sit parallela ipsit AB
cum parallelae etiam sint FC. D. aequales erunt FC. D. cum ergo malo sit arcus DB quam BC. maior erit ratio arcus DB ad arci m CD maioris inaequalitatis, quam ratio GD. ad FC. quae aequalitatis est. Quod erat demonstrandum.
H In patet, quod arcus maior ad minorem maiorem habet rationem quam sinus rectus arcus maioris ad sinum rectum minoris. Si enim Iam CF.quam GD sint addiametrumferpendiculares manifestum est ex definitiones nus, rectam CF esse num rectum arcus FC. se recZam DG sinum rectum arcus BD. octensum autem es maiorem es rationem arcus BD ad arcum BC. quam re M DG ad recram CF.
HInc etiam deducitur maiorem esse rationem arcus ad aricum, quam subtens seu chorae maioris arcus ad choridam minoris . Sint enim duo arcu DEI. CBH. E maior hic minor , quorum chorde DI. H. ut dividantur bifariam, ad rectos a diametro B q. in punctis .F. Eodem modo pendemus maiorem sistrationem DB. ad BC. quam BG. ECF. oroer manorum proportionis dupucatione, maiorem esse rationem arcus DBI ad arcam CBH. quam chordae DI ad chorda CH.
PRaeterea seqaitor ex demonstratis maiorem esse rationem arcus maioris ad minorem , quam secantis complementi minoris arcns, ad secantem co plementi maioris. En enim,ut -
50쪽
Curu ac recti proportio promota.
do de monstratram est, maior ratio arcus maioris ad minorem quam Fraus recti maioris ad enum reorum minoris autem Inus rectus arcus maioris ad sinum rectum minoris , ita sicans complemento barcus minoris adsecantem complementi maioris . Igitur maiors c x eBratio arcns maforis ad minorem , quam scanir complamcntή hμΤ n inoris adsecantem complementi maioris
COROLLARIVM IV. DEnique confiat se ex puncZo quolibet diametri productae du
catur recta circulum scans, maiorem es rationem partis illius recyae extra circulum ad eam quie circuli arcum subtendit quam arcus diametros scant comprehensus ad arcumque pars scantis subtendit ostens monim ect maiorem esse rationem C. a CD quam arcs BC ad arcum CD.
THEOREM A XXIX. PROPOS. XXIX. D Isterentia tam sinuum rectorum quam Ver
sorum vicinio centro circuli ad rena otio rem maiorem habet rationem ritiam arcus cui differentia subtenditur, ad arcum.
I Quadrante AB L cuius centrum B latera BA BI. sumantur quotlibet arcu SIN. IK. IF l L. IA. ducantur sinus recti NM. KE. FD. LC. AB. parat Alcli diametro AB. erunt I. EI DICI sinus erudietorum arcuum. Rursus arcuum A L. AF AK. AN.AI sinus recti erunt rectae BC.BD. BE. BM BI. ME. ED. DC dii rentia tam sinuum rccitorum quaversorum. Dico maiorem esse rationem CD quae vicinior est centro B ad DE quae remotior est, l