장음표시 사용
31쪽
H D. erit&residui AG ad residuum CIq. minor ratio quam totius AB ad totum CD.&permutando ac conuertendo maior ratio AB ad AG quam CD ad DH Cum igitur maior sit ratio AE ad AB quam CF ad CD.& maior ratio AB.ad AG. quam CD ad DH. erit ex aequalitate maior ratio AE ad AG. quam CF ad CH. Quod erat probandum.
H Inc etiam perte ostenditur, minorem esse rationem di e-rentiaeprimae e secundae magnitudinis , ad di erentiam secundae o tertiae in primis magnitudinibus , quam in secundis: et idelicet minorem esse rationem AE ad EG quam CF adFH cum enim offensum si maiorem esse ratiθnem AE ad AG quam CF ad
CH. erit per conuersionem rationis minor ratio AE .adEG. quam CF. ad FH.
PRaeterea sequitar minorem esse ratione ecundae magnitudinis, ad di erentiam secundae , tertiae in primis magnitώ-dinibus , quam in secandis videlicet minorem esse rationem Γ.adEG. quam 2D ad FH. Nam cum postrassit ratio AB ad ZE. maior Eam CD.ad DF.erit per conuersonem rationis,ct diuidendo minor rario BE ad EA. quam . adCF sed AE ad EG ex praecedenti Corθllario minorem habet rationem quam CF ad FH. Igitur ex aequali ΓΕ ad EG minorem habet rationem, quam DF. ad FH.
Consat etiam maiorem esse rationem , AB primae quantitatis, ad E disserentiam secundae, terriis, quam CD adHF. cum enim insuperiora Corollario ne um si minorem esse rationem EE. ad G . quam DF ad FH. erit componendo, nor ratio
32쪽
i Cumi ac recti proportio promota
OUρ si propositio prima adficuudam fuerit minor in primo ordine quam in fecundo, O primae ad tertiam maior, in primo quam in secundo, hinc etiam in conclusionibus seu demonstrationibus verso maiori proportione in minorem omnia eo modo equentur , quo in propositione: ut si minor fuerit ratio AT ad BE quam CD ad DF. maior autem AB ad si quam Citi ad DH. sequetur ut in propositione , minorem esse rationem AE ad G quam CF ad CH in primo corollario, minorem rationem AE . ad Esi. quam CF. ad FH. In fecmud , maiorem esse rationem BE ad EG quam DF ad FH. in tertio denique mai rem rationem AB. ad GE. quam CD.ad HF.
THEOREM A XIV. PROPOS. XIV. SI cx prim quantitate, quae aequalis it secundae
aut minor, auferantur tertia quarta S cxsecunda, quinta sexta, sitque tertia maior quam quarta' quinta, quinta quam sexta, disserentiae, tertiae riuarta aut maior aut aequalis di fierentiae quintae sextaei maior erit ratio complenaenti quartae ad complementum tertiae, quam complemcnta seYtae, ad complementum quintae. SINT duraeqtiantiates ae litates, prima AB secunda CD. exprima ala strantii AE. tertia,&AR quarta item ex D secunda demantur CG. Quinta res cxta, sitque AE ipsta CG niator, differenti FE maior, aut aequalis dis fercntiae G. Dico malo Drem csse rationcm B. oknplementi ipsius AF ad EB.
33쪽
IT complementum ipsius E quam D. complementi ipsius CIq. ad D. complementum ipsius G. Quoniam enim ex aequalibus quantitatibus, AB CD inaequales demptae
ior. Igitur minor est ratio BE. ad EF. quam BE ad GH BE ad GH. minor quam DG ad GH. Igitur minor est ratio ἡ BE ad EF quam DG ad GH. componendo, ac per Onuersionem rationis,maior est ratio FB ad BE. quam D ad DG. Idem etiam sequetur, si FE. MG ponantur aequales, aut AB minor quam CD.Quod euidcntius est quam ut probatione indigeat.
I M A. SI ut tres magnitudines continue proportionales , habebunt disserentiae eandem rationem quam magnitudities.
rum differentia sint BC. CD. Dico esse ut AC ad AD. ixta BC ad D. Nam quoniam est ut AB ad AC ita AC ad AD. erit diuidendo permutando ut BC ad CD.ita AC.ad AD. idest AB ad AC quod erat demonstrandum.
THEOREM A XV. PROPOS. V. SI sint tres magnitudines in contintia proportione maiori, sintque priores posterioribus maiores: maior erit ratio disserentiae magnitudinis primae secundae, ad disserentiam secundae de tertiae, quam
34쪽
i Curui ac recti proportio promota. quam magnitudinis primae ad secundam, aut secundae ad tertiam. SI T res magnitudines AB AG AD in continua pro- poitione maiori , sitque BC differentia plumae secundae magnitudinis , MCD. di L ferentia secunda & tertiae, I asitque AB. maior quam
AC. AC quam D. Dico maiorem esse rationem BC. ad CD quam AB ad AC. aut AC ad AD. Fiat ut BA. ad * CA. ita A. ad AE erit AE minor quam AD cadetque punctum E. Inter D. MA. Quare cum stitit AB ad AG ita AC ad I AE. crit ut BC. differentia prima secunda magnitudinis,
ad CE differentiam secundae tertiae, ita AB ad AC sed
β maior est ratio BQ ad CD. quam LGad CE igitur maior est ratio BC ad CD quam AB ad AC: sed etiam AB.ad AC maior est quam AC ad AD. Igitur maior est ratio G ad CD. quam AC ad AD. Qu9d erat demonstrandum
THEOREM A XVI. PROPOS. XVI. SI sint tres magnitudines in continua proportio ne minori , sintque priores posterioribus a io resci minor crit ratio dis ercntiae primae secundae magnitudinis , ad increntiam secundae tertiae, quam magnitudinis prima ad siccundam,&secundae ad tertiam. SIT minor ratio AB. ad AC quam AC. ad AD. iniquo priores posterioribus maiores differentiae sunt BC. D. Di cominorem esse rationem B ad CD. illam AB ad AC. autio. s. AC ad AD. latui AB. ad AC. ita CA. ad E. erit AE .ma rem io quam A D. cadet inter D. Erit igitur se lemma pracddens, eadem ratio DC ad CE. Quae AB ad AC sed a tio
35쪽
tio BC ad CD mmor est quam ratio BQ ad CH igitur minor . s. est quam ratio AB ad AC. ideoque etiam quam AC. had AD.quaeratione AB.ad AC. minor possita est. Qu9d erat ostendendum
THEOREM A XVII. REPOS XVII. SI fuerint tres magnitudines in continua proportione maiori, sintque priores posterioribus mi nores minor erit rati differentiae prina. magnitudinis decundae , ad disserentiam secundae octa tertiae quam magnitudinis primae ad secundam, aut
secundae ad tertiam. SIT maior ratio AB ad AC quam AC ad AD. sin que priores posterioribus minores differentiae sint C. CD. Dico minorem esse rationem BC ad CD quam AB. ad AC. AC ad AD. Fiat ut AC ad AD. ita E. ad AC. minor erit AE. quam AB. cadetque Punctum E inter 1 o. s. A. l. Igitur cum sit ut AE ad AC ita AC ad AD. erit,per i iii, lemma praecedens ut AG ad AD. ita EC ad CD sed BC. ad , , hu
Igitur minorem habet rationem quam AC ad CD sed AC. ad AD. minorem habet quam AB ad AC. igitur DC ad CD ctiam minorem habet quam AE ad EC. Qu9d erat , c.
THEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII. SI fuerint tres magnitudines in continua proportione minori in ordine minores maior erit ratio differentiarum quam magnitudinum. SIT
36쪽
io Cum ac recti proportio promota.
SIT minor ratio AB ad AC quam AC ad AD. minorque sit AB. quam AC &AC quam A D. disterent scae, Ut plaus BC. D. Dico maiorem es e rationem BC ad CD. quam AB. ad AC. aut AC ad AD. Fiat ut AC ad AD. ita AE ad A
'-'S erit AH. maior quam AB. cadetque inter pucta BC. cum igitur sit ut AE. ad AC. ita AC.
I . huius ut AC. ad AD. p. s. ita EC ad CD sed BC ad CD maiorem habet attoncn , quam Ea ad CD igitur etiam maiorem habet rationem qtiam AC. ad AD. sed etiam AC. ad AD. maiorem habet rationem quam AB ad AC. ergo BC ad CD maiorem habet rationem quam AB ad AC. Qusdiuit dentonstrandum
THEOREM A XIX. PROPOS. XIX. SI fuerint tres quantitates in continua ratione maiori,&ordine maiores duae differentia cum
tertia quantitate runt in continua ration maiori. SINT tres quantitates AB. A GAD.AB maior qua AC.4 AC quam A D. maior Iu stratio AB. ad AC qua in BAC ad AD. Dico maiorem esse rationem BC ad CD quam CD ad DA. Quoniani enim tres quantitates AB AGA D. sunt in continua proporis tione maiori, maior erit ratio differentiae BC ad disterentiani hykiu CD quam A secundae magnitudinis ad A tertiam sed .. . CA ad AD. maiorem habet rationem quam CD ad AD. ergo
37쪽
THEOREM A XX. PROPOS. XX. SI fuerint quotcumque quantitates in continuata proportione maiori,&Ordine maiores maior erit ratio prima differentia ad secundam disse rentiam, quam ultimae differentiae ad ultimam magnitudiner . SI T quatuor quantitates AB CB DB EB sitque maior ratio AB ad CB quam CB ad DB. DB ad EB MAB. maior quam CB CB
quam DB. DB quam At θ' ---BEB. Dico maiorem ess rationem AC ad CD quam DE ad EB. Qu9niam maior est ratio AC ad CD quam AB ad CB. id est quam CB. huius ad DB. DB ad EB at vero DB ad EB.maior est quam DE. .s. ad EB maior ergo erit ratio AC ad CD quam DE ad EB. Q iod fuit demonstrandum.
SI habuerit prima quantitas ad secundam malo
rem rationem, quam tertia ad quartam fueritq; prima maior quam secunda,aut tertia: etiam differentia primae secundae erit maior, quam disserentia tertiae & quartae. HA BE Aa prima quantitas AB.ad secundam EB maiorem rationem quam tertia CD ad quartam FD. sitque AB. maior quam AE aut CD Dico maiorem esse AE. dis A --- ferentiam primae decun C i Ddae, quam CF differentiam tertiae 'uartae. Cum enim , maior sit ratio AB ad BE quam CD ad DF. erit eadem ib. .
38쪽
Σ Curui ac recti proportio promota
ad maiorem aliquam BG sit igitur ut AB ad BG. ita CD. ad DF. erit per connersionem rationis ut AB ad AG ita CD. ad CF. permutando ut AB ad CD ita AG ad CF. Sed maior est AB quam CD. ex hypothesi, igitur maior eit AG. quam CF. adhuc maior AE quam CF. u Od erat demon
THEOREM A XXII. PROPOS. XXII. SI duo arcus circuli in aequales sua suis compi mentas ad idem punct una minores, singuli sin
gulis , maiorem habebunt rationem quam complementi, si maiores cum minoribus comparentur.
SI circulus CEA. in quo arcus duo inaequales CD minor, CE. maior,quorum complementa ad idem punctum A.sint arcus DA. minoris, EA. maioris, ille maior quam CD. hic quam CE. Dico maiorem esse rationem CE. ad CD.quam AD.ad AE. Cum.n. maior sit arcus A E arcu EC. de que arcu CD si duobus AE. D. 'ixi' addatur communis DE. maior erit ratio AE. ad CD. qua AD ad c E. Et pernatitando maior AE. ad AD. Comi quam CD ad CE ideoque maior
CE. ad CD.quam AD ad AE. Quod fuit ostendendum. THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII.
SI sint duo triangula num angulum ni angulo aequalem laabentia , reliquos duos in quales
quoruna neuter sit obtusus hinor erit ratio a teris adiacentis angui maiori, ad latus Oppositu nu
39쪽
angulo quali in uno triangulo, quam lateris adiacentatis angulo minori adlatus oppositum angulo quali , in altero triangulo.
SINT duo triangula ABC.DEF. quorum anguli ad A.D. sin aequales, angulus vero ABC maior quam DEF. ideoquGACB. minor quam DFE nullus autem angulorum ad B. C. E. F. sit obtusus. Dico minorem es erationem AB. lateris adia-ccntis angulo maiori ABC ad latus BC oppositum angulo aequali A. quam lateris DE. adiacentis angulo minori DEF. adlatus EF.oppositum angulo aequali D. Fiat angulus ABG. aequalis angulo DFE. erit triangulum ABG aequiangulum , i. I. triangulo AEF. Igitur angulus AGB. aequalis angulo DFE. cum vero angulus DFE. id est AGB.non sit obtusus,erit vel retactus vel acutus , si rectus erit eius complementum BGC. etiam 3. r. rectus; si acutus erit angulus GC. Obtusus, ergo angulus i. i. BCG.acutus;maius igitur latus BC. quam BE. Cum igitur in ' triangulis a quiangulis DEF ABG sit ut DE .ad EF. ita AB.ad .ε. BG. habeat autem AB ad BG. maiorem rationem quam AB. 8. s. ad BC. etiam DE. ad EF maiorem habebit rationem quam 1., .
AB.ad BC.atque adeo minor est ratio lateris AB ad latus BC. quam lateris DE. ad latus DF. Eodem modo demonstrabimus minorem esse rationem DF.
ad FE quam AC ad CB si fiat angulus EFH aequalis angulo BCA idem enim prorsus effcitur.
40쪽
α Curui ac recti proportio promota COROLLARIUM
gulo aequalem habentia, reliquos duos inaequales quorum neuteriit obtusus, minor erit ratio lateris opposui angulo minori, ad latus oppositam angulo aequali in uno triangulo, quam latcris oppost angulo maiori, ad latus oppositum angulo aequali in alio triangulo. Sint enim superius duo triangula ABC DEF. quorum anguli ad A. D. aequales, se angulus DFE. maior quam ACB se angulus DEF. minor quam ASC. quorum nullusit ob- Uus. Consat ex superius demo ratis minorem esse proportionem DF ad E. Mam AC ad CB. d DF. opponitur anguis DEF. qui minor sensus es quam ASC Igitur minor es ratio lateris DF opposti minori angulo . adlatus EF oppostum ni aequalium D quam lateris C. Oppositi maior angulo B ad latus Γ . oppositi angulo aequali A.
RVrsi positis quae superius , maior erit ratio lateris oppositiangulo aequali , ad latus oppositum angulo minori in uno triangulo , quam lateris nosti alteri aequalium angulorum,ad Diatus oppositum maior angulo Ostensium enim est minorem esse ratationem AB. ad BC. quam DE. ad DF. Igitur conuertendo major erit ratio CB. oppos ti uni angulorum aequalium A. ad latus S. oppositium minori angulo C. quam Litcris F. Oppo et alteri e diu-lium angulorum ad latus ED. nos tum maiori uxo DFE.
THEOREM A XXIV. PROPOS. XXIV. Q sint duo triangula quae Via una angulum ni an- gulo aequalem habeant, habeat autem alicrtim