Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

51쪽

quam arcus I F. ad arcum ΓΚ. Item maiorem esse rationcm DC. ad ME. quam arcus I L. ad K. Ducantur chordae F. FL. ΚL. Item ex F. T. perpendiculares ad AB iectae FG. ΚΗ secantes CL in punctis P. Q. Quoniam in triangulis rectangulis ΚPL. FQL. maior est angulus I F. angulo I K. minor erit reliquus at L. reliquo PΚL. Igitur minor est ratio PK ad KL quam in ad FL. perinutando minor ratio P.

ad F d est EC ad D quam L. ad I F. sed KL chorda

arcus KL ad FL chordam arcus FI .minoi cm habet rationem quam arcus L. ad arcum L. Igitur recta EC ad rectam CD. minorem habet rationem, quam arcus L. ad a cum FL. diuidendo, conuertendo, maiorem habet ratio nem DC. ad DE quam arcus L. ad arcum L Atque eodem prorsus modo demonstrabivii maiorem si e rationem DE. ad EM. quam arcus FR . ad arcum YN. de EM. ad MLquam KN ad NI. Sed non sint disterentiae coniunctae, ut C. ac ME. Rursus cum maiorem habeat rationem DC ad E. quam arcus FL. ad arcum FK. Item etiam maiorem habeat DE ad EM. qua arcus I R . ad arcu UN. habebit exaequalitate C. ad ME. maiorem rationem quam arcu FL. ad arcum UN. Denique sint dictae differentia in diuersis Quadrantibus, ut differentia DC in Quadrante BAI. disterentia EF in Quadrante BAQ lla vicinior, haec remotior a centro sumantur rectae BG. BH. aequales ipsis BC. BD erunt DC GH aequales EF remotior a centro quam GH. quare maior erit ratio GH ad EF quam arcus N. respondentis ipsi GH ad arcum P. re spondentem differentia EF ut probatum est prima parte huius, sed differentiae GH aequallis est differentia DC in arcu MN am cus si L. Igitur maior est ratio DC ad EF.quam arcus XL ad arcum P. Quod erat demonstrandum.

52쪽

Curu ac recti proportio promota. THEOREM A XXX. PROPOS. XXX. SI sint duo arcus inaequales, minor Vterque Qua

drante, aut alter maior alter minors maior ad minorem minorem habet rationem, quam sis-nus versus maioris ad sinum versum minoris.

I circulo FEL.stimantur primum duo arcus in Quadrante FI cuius cetrum A. tuae diametri perpendicularcs AF A L. scilicet DF maior EF minor Ex pune tisi. D. in diametrum AF ducantur sinus recti DB EC erit BF simus versus

maioris arcus DF. CF simus Versus minoris EF Dico maiorem csserationem BF ad C. quam arcus

DF. ad arcum FE intenim FC. dis ferentia FA. sinus recti Quadrantis FEL &sinus recti CA. arcus E L. Item CB. est differentiatinus recti MCA. arcus EL. sinus recti AB a ii ii, cuSI L. Igitur maior est ratio differentiae BC. vicinioris cen-'''' ro ad differentiam CF remotiorem,quam arcu DE. ad a cum EF.&componendo, maior est ratio BF ad C. quam DF ad FE.

Sit secundo arcuum alter maior Quadrante, alter more ut arcus FE sit minor tui irante FL. arcus FD. maior e dem Quadrante Ductis sinibus re ctis EΚ.LA. DB. erit KF. sinu versus arcus FE & BF sinus versus ar cusFD. Item A F. sinus rectus Quadrantis FL. AB sinus rectus arcusLD. Dico maiorem esse rationem BF. ad KF quam arcus DF.ad arcum EF Quoniam maior est arcus L. arcu LD.maior erit ratio arcus FL. ada

huius cum

53쪽

cum I D. quam FA. sinus recti arcus L. ad AB sinum re-ctum arciis LD. Igitur maior rati AB ad AF quam arcus .. . LD ad arcum FL. componendo maior ratio BF ad FA. quam DF ad FE sed FA ad FK. maiorem habet rationem quam I F. ad FE; ut prima parte huius propositionis demonstratum est ergo ex aequali maior est ratio BF ad FK. quam sinus DF ad FE ideoque minor ratio arcus DF ad arcum FE. sinus quam versi BF ad sinum versum KF.Qu9d secundo loco

erat ostendendum.

PROBLEMA L PROPOS. XXXI. Irculum ita secare, ut sinus versarcuum Qua

drante maiorum maiorem habeant rationem, quam arcusis si maiores cum minoribus comparentur. CENTRO L. describatur circulus ABC cuiusdiam

54쪽

3 8 Curui ac recti proportio promota.

ter A C. ix L dueta perpendicularis I B secet circulum et duos Quadrantes AB. BC. sumatur arcus BD. qui sit tertia pars Quadrantis. Item ex D recta I M perpendicularis di

metro AC. Expunctis autem D. &B ducantur duae rectae DIJ BL tangentes circulum in punctis D. B.& occurrentesi istis LB. D. productis in H. I. ac secantes se in puncto F. Perpunci uin F ex puncto C. ducatur CFK recta secans D.productam in K. circulum in O. IB. in . deseco ducatur ad diametrum perpendicularis ON erunt C. C. sinus versi

arcuum DC. C. quadrante maiorum. Dico maiorem ess rationem C. ad N C. quam arcus DBC ad arcum BC. Connectatur LF. secans circulum in E. Quoniam triangula L DF LBF rectum angulum L DF recto LBF aequalem habent , estque ut DL ad LF ita BL ad LF.,quilibet reliquo-arum angulorum DFL. BFL. minor recto,aequales erunt anguli 7 6 DLE BLE. ideoque aequales arcus DE. BE accum DB sit si S pars tertia QtLidi antis, erit E scYta pars crus lem, ac pro- .

inde in triangulo rectangulo LDH. erit angulus DLH. tertia pars recti in D HL duae tertia'; ideoque in triangulo etiam a rectangulo FBH. critiam angulus I FB quam ad vel licem I FD. tertia pars, id est quinque decima quinta unius redii. Rursus in triangulo rectangulo GCL angulum CL. id est OCA. metitur medietas arcus AO. quare cum arcus A D. sit duae tertia quadrantis, DE seXta pars quadrantis, erit corum medicta una tertia, una duodecima Quadrantis, id cst quinque duodecimae ipsius Quadrantis maior autem est 1 et arcuSAO. quam AE. Igitur angulus OCA. id est GCL. id est I GFB. id c si IF Κ. maior est quinque duodecimis unius recti.

Est autem demonstiatum angulum H D. continere tantii quinque decimas quinta Sunius recti. I ritur maior est a nou-lus FK. angulo FD. Q uir posito codcin sinu toto FI maiores secans KF malo iis anguli, secante FD. minoris 'uibus si

55쪽

est chorda OC. arcu OBC. Igitur maior ostiatio rectae KO. ad ' recita C. quam eiusdem ΚΟ. ad arcum BC.& O. ad arcum OBC. maior quam arcu DO. qui minor est rccta O. ad arcum BC. Igitur maior est ratio ΚO ad O C. quam arcus , DO ad arcum BC. sedit O. ad C. ita MN ad C. Igitur maior est ratio MN ad C. quam arcu SDO ad arcum OBC. componendo maior ratio C. ad N C. quam arcus DC ad arcum C. Quod crat demonstrandum Quod vero maiores sint DF FO quam arcus D O ita pro batur. Connectatur LO. ducatur recta OP tangens circulum in o. secans LE. in P supra punctum E. Cum in trian gulo rectangulo LOP angulus L OP sit rectus,erit LPO. acu 31. 1.tus,ergo in triangulo PF. angulus O PF obtusius; maius igitur est latus FO latere PO. At vero maior est tangens DF. arcu DE. tangens OP. arcu EO. Igitur duae tangentes DF. i. de PO. sunt maiores arcum O. Sed duabus tangentibus DF.i in RPO. maiores sunt probatae DF. FO. ipsis DF. FO. Ostens aliud, est maior ΚΟ. Igitur maiori strio quam arcus DO.

Psten tiam demonstrari, siminctum aliqΗnd sumatur inter OL. vlpunctum: ducatur sinus rectust maiorem esse ratis-nem simus verse C. ad sinum versum c C. quam arcus D BC ad arcum' DC si enim non sit maior ratio MC ad Cud quam DBC ad ηBC. sit minor aut aequalis, ac ponatur primum minor. Cum maior se ratio r. I IC ad C quam arcus DC ad arcum O. minor autem ratio 7 1 C. ad ii' iusCQ quam DC ad K Igitui , exi 3 huius, maior erit ratio 2 ad . . . Pua quam arcΜSDO ad arcum UR. conuertendo, minor ratio 731. 'μ ad N . quam I ad O. Odiuidendo minor ratio ET . ad 2 1. quam O ad OD. quod est absurdum, of ensum enim en propositione 29. hi uis huius, maiorem esse rationem ad T M. quam N ad D. Sed dicatur ratio NC. ad Curi eadem esse rationi DC ad CR. cu'-niam enutu C. adia ita DC ad CR. erit per conuersionem rationis, conuertendo, ut Nu ad C. ita D ad DC iterkm 14 ad CV. maiorem habet rationem quam DC ad Co ut in propositione ostens en erit per conuerseodem rationis, minor ratio MC ad N PQ quam DC.

56쪽

Curui ac recti proportio promota.

ς', δ' minor habeat rationem quam DC ad D O. ex qualitate, minor erit Τῆ ratio, id auri, quam DR ad DO Odiuidendo minor ratio ad μή NM. tam 9 ad O . Quod est absurdum, cum ex se. Mus , maior lui ussit ratio V. ad M. quam fio. σήOD PI bo prolemate dumpsimus principium Archimedis, chordam esese arcu minorem , tangentem eodem maiorem, quod si ideo minus Geometricum id tu , saltem ιdem more cum habeat, quod multae A m Medis propositiones ex illo fonte derit ab , quibus cum sidem hactenus' mo nisi ἀγρωαδερ πος abrogarit, neque nostram iisdem natalibus ortam tanquam spuriam quisquam rejciet.

THEOREM A XXXI. PROPOS. XXXII.

Angentis maioris arcus , ad tangentem minoris, maior est ratio, quam secantis maioris arcus ad secantem minoris.

IN Quadrante ABC cuius centrum .diameter AB.mai ris arcus BF sit tangens EB secans AE. minoris arcus G. siit tangens DB. secans A D. Dico maiorem esse ratiotaemia EB ad DB quam AE ad AD. 16.1. Cum enim in triangulis rectangulis ABD ABE. maior sit angulus ADB externus interno huiu, EB minor erit ratio BD ad DA quam BE ad EA. 4cr- mutando, ac conti Crtcnd γ, maior crit ratio EB ad BD quam AE ad AD. Q r ad ostendendum crat.

PROBLEMA II. PROPOS. XXXIII. Vadrantem ita secare in duos arcus, ut sinus versi aequalem, minorern , maiore larile ra-

57쪽

tionem habeant, quam aut secantes eorumdem ar cuum, aut sinus recti complementorum, minorem Ver quam tangentes eorumdem arcuum, si maiores cum minoribus comparentur. SIT Quadrans ABC cuius centrum A. diametri inuicem

perpendiculares, AB AC. Sumatur primum recta AH ar qualis rectae IC. ducantur perpendiculares ad AC rectae ΗD. IE secantes peripheriam si id rantis in D. F. erit AH. sinus rectus arcus.BD.&AI. sinus reistus arcus BE at vero IC. erit sinus versus arcus C. WH C. sinus versus arcus DC. qui duo posteriores arcus priorum sunt complementa. Dico eandem esse rationem sinus versi HC ad sinum ver sum I C. quae est sinus coni plementia A. ad sinum complementi A. Cum enim A. Caequales sint AH. IC. addita communi .Pron. AH aequales erunt C. IA ut igitur sinus versus HC ad sinum versum I C. ita sinus rectus IA. ad sinum redium HA. vi vero IA. ad HA. ita secans arcus DC ad secantem arcus EC. via Clauio demonstratum est prop. 2 2 de secantibus , , de tanta Igitur ut sinus versus HC arcus DC ad sinum versum IC ar gentibus.cus EC ita secans arcus DC. ad secantem arcus E . Sit secundo sinus versus CI. maior sinu recto HA. addatur communis IH Qtioniam duabus lineis inaequalibus maioriCI. minori HA. eadem quantitas IH. addita est,habebit per i huius. primam huius C. ad C I. minorem rationem quam IA. adHA. quam secans arcus DC ad secantem arcus C. quam ostendimus modo candem habere rationem quam I A. adHA. bit tertio sinus versus IC. minor sinu recto HA .addita communi HI eodem modo,ex prima huius , demonstratur; malo r. huuis. reii csserationem C. ad I C. quam A. adHA. aut quam secantis arcus DC. ad secantem arcus EC.s Deni-

58쪽

Curui ac recti proportio promota.

3 hμη'δ' cuic cum in ii orem habeat rationem tangens arcu D ad tangentcn Irctis E C. qitam ccans eiusdem arcus V acisecantem arctis EC secantes autem dictorum arcuum n uobus prioribus casibus aut maiorem,aut aequalem rationcm ra-13 1 beant, quam sinus versi eorumdem arcuum habebat tangcnSarcus DC ad tangentem arcus EC maiorem rationem,quam, C. sinus versus arcus DC. ad C. sinum versum arcu E . Igitur quadrantem ita secauimus to c.

PROBLEMA III PROPOS. XXXIV. dx nxem ita secare in duos arcus, Ut tam se

cans maioris ad secantem minoris,quam si nus rectus complementi minoris, adsurima rectum complementi maioris, maiorem habeant rationem , quam arcus maior ad minorem Fiant omnia quae in duobus primis cassibus pi scedentis propositionis. Dico maiorem esse rationem I A ad HA. item secantis arcus DC ad secantem arcus EG quam arcus DC ad C ' arcuin EC. Cum enim, in primo casu , sit ut A. ad AH. id est

d secanti ut secans arcus DC. ad secantem arcus E C. ita ΗC. sinus versus arcus DC.ad IC. sinu versim arcus EC.maior autem sit ra-,; tic HC ad I C. quam DC ad EC. etiam I A ad HA. secans arcus DC ad secanicii arcus EC. maiorem habebunt rati nem, quam arcus DC ad arcum E C. Eadem,ac validiori ratione,in secundo casu cum maior sit ratio I A. adHA. item secantis arcus DC. ad secantem arcu SEC. quam H C.ad IC.&HC ad IC. maior quam arcuS DC. ad arcum EC. maior erit ratio I A. adHA., secantis arcus DC ad secantem arcus EC quam ipsius arcus DC ad arcuira EC. Quare Quadrantem ita secauimus &c.

59쪽

THEOREM A XXXII. PROPOS. XXXV. SInus recti duorum arcuum, quorum aut uterque minor est tertia parte Quadrantis, aut alter tertiae parti Quadrantis aequalis, alter minor , maiorem habent rationem, quam arcus complementorum, si maiores cum minoribus comparentur. Sit Quid rans ABC cujus latera AB AC centrum A. in eo sumantur duo arcus inaequales BD. minor DE.maior,sitq; BD. minor tertia parte Quadrantis, BE aut aequalis tertia parti Quadrantis aut minor: ducantur ad oppositum latus Quadrantis perpendi Bculares DH. EI. erit AH sinus rectus arcus BD. MAI. sinus rectus arcus BE.

Item erit arcus DC complementum arcus minoris BD MEC complementum arcus maioris BE arcuumque DE EC.

1inus versi HC IC. Dico maiorem esse orationem I A ad AH. quam arcus DC. ad arcum E C. Nam si BE. sit tertia pars Quadrantis, erit AI. aqualis ipsi IC. Si vero BE. sit minor tertia parte Qu.idr intis erit AI. minor quam IC ac proinde AH pars ipsius A I. erit multo minor quam IC. Qu9niam igitur IC maior est , quam Ab L addita est utrique quantitas aequalis imo eadem Lmaior est ratio I ad AIq. quam H ad AI & permutando a huius. maior ratio I. ad CH quam AH. ad AI.ideoque maior AI.ad AH.quam CH.ad I. at CH. sinus versus arcus DC ad I C. sinum versum arcus EC. maiorem habet rationem quam arcus DC ad arcum E. Igitur AI ad AH maiorem habet rationem quam arcu DC ad arcum E. Dd erat demonstra

dum.

60쪽

tu ui ac recti proportio promota. THEOREM A XXXIII. PROPOS. XXXVI. SEcantes duorum arcuum inaequalium, quo rvr aut uterque sit maior duabus tertiis Quadrantis,

aut alter maior, alter aequalis maiorem habent rationem, quam arcus ad arcum e si maiores cum minoribus conserantur. In figura superioris propositionis sint singuli arcus C.

DC. maiores duabus tertijs Quadrantis, erunt tam EB quam DB.minores una tertia Vel sit. EC.dua tertiae erit CD maior Vna tertia, ac EB. 'na tertia, BD. minor una tertia. Dico maiorem esse rationem secantis DC adsecantem EC quam a

cus DC ad arcum E C. Nam superiori propositione ostensum cs,i, est majorcirciserationem I A. ad AH. quam C ad EC sed de erat ii v I A. ad AH. ita secans arcus DC ad secantem arcus EC. hus Igitur maior est ratio secantis arcus DC ad secantem arcus EG quam arcus DC ad arcum E C. Quod fuit probandum.

THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXVi I. DVorum arcuum inaequalium quorum terque sit minor Quadrante, aut alter minori differentia Quadrantem excedat, quam alicrab eodem deficit inus versus maioris, ad sinum, cr-

sum minoris maiorem habet rationem , quam an

gens dimidi maioris ad an rentem dimidi mino-ris chorda maioris, ad chordam moris malo rem habet rationem, quam secans durat di maioris ad secantem dimidi minoris. Quod si defectus e rit aequalis, aequalis erit proportio, si excessus defectum