장음표시 사용
431쪽
secaret esset Ag maior semidiainctro, iiod est absurdum, cuiuscetasu semidiameter AC in puncto g. Quoniam aequales simi Ag AL. item AD AC a centro ad circumferentiam, erit ut ini ad C. ita M. ad I D sedit Ag adg . ita AC ad CH cx hypothesi ergo ut AL ad LD. ita AC ad CH sed ut AL ad LD. ita AC ad Do superius probatum est, ex similituditi triangulorum CALODI ergo ut AC.ad CH. ita AC ad DO. aequalesia i tu sunt HC. DO mu'd est absurdum: maior enim est HG id est Aa quam Do id est quam RZ.Igitur cum C. ad CH.non sit aut minor,aut maior ratio quam AF.ad FCerit eadem. Ideoque Basis Quadratricis differentialis doc. Qu9d probare oportebat.
BΑsis Quadratricis Arithmeticae , semidia
meter Quadrantis in quo describitur , arcus eiusdem Quadrantis sunt in medie tate Arithmetica quorum differentia est basis Quadratricis disserentialis.
In eadem figura superioris propositionis Basis . H.Quadratricis in itineticae BFI differt a semidiametro Quadrantis CP . recta HC. quae aequalis est recta Aa basi Quadra 3ς tricis differentialis Ba dc semidiameter Quadrantis CAEdifferta recta Ca. quae est aequalis arcui Quadrantis BC. differentia rectae Aa quae est basis Quadratricis differe tialis Pa. Quare euidenter probatum est quod propone
Vadratricem quartam , seu diuisuam de scribere. sit
432쪽
ic Curui ac recti proportio promota.
Sit Quadrans ABC cuius centrum A. latus erectum AB. basis ACcirca centrum A. immotum moueatur sursum semidiameter C. secans continuo arcum Quadrantis CF.& circa punctum C tanquam cardinem fixum moueatur sursum recta A. ita ut continuo secet latus erectum B ea ratione qua . AB secat arcum Quadrantis. punctum intersectionis duarum linearum C. CA describat lineam curvam NKLMA. Hanc libet Quadratricem qua
tam , seu diuisivam ἀντονομ αυκως nuncupare, eo quod non
tantum quadrando lineariter citculo, sed facile prae caeteris diuidendo , accommodata sit.
MAnfectum rex descriptione esse vi IC ad CD DOBA. ad AG cum in easdem rationes EC CH . a lineis sursum motis AD 9 dividantur.
THEOREMA XXX. PROPOS. XXXIV. Adj Quadratrici quartae a basi rem Otiores vicinioribus sunt maiorcs.
Sit Q Lidrans ABC cuius centrum , .latus erceium S. basis, C. Win eo quadratrix quarta EN. modo' notisperioris propositionis descripta, cui accedat Quadratri primasset Geometrica BO cuius basis AO quas secent semidiametri ID AE AF illam in
433쪽
punctis V L. M. istam in punctis P. I mani sestum est quod QH.
punctis ubi prima Quadratri secatur a semidiametris AD AE AF. cadent in eadem puncta G. H. I. cum tam . lineae CG CH CL quam perpendiculares PG. QH. RI. dividant reetam AB. eadem ratione qua diuisus est arcus Quadrantis in punctis D. E. F. perficiatur Quadrattin ACXB circa Quadrantem, producantur perpendiculares P. H R. in . . . puncta lateris erecti Quadrati CX. Dico radium A L. radio AK. esse maiorem. Nam , cum aequi angula sint triangula CAK GPΚ.ob equales adverticem Κ. alternos AK GPK. inter parallelas A C. GP. erit ut A. ad AK. ita GP ad PK. pennutando ut CA id est G ad GP ita ΑΚ. ad PK. conuertendo sit GP ad G ita PK ad A.4 componendo ut GP cum . SG ad G ita PA ad AK. eodem modo ostendemus esse, ut Hin um H T. ad T. ita A. ad AL Cum autem maior sit GP quam H Tiaior erit GP. cum G. quam H ' promine, cum H T. quae ipsi SG. est aequalis. Igitur maior est ratio compositae P. cum S G ad G quam compositae cum H T ad Hi re maior est ratio I A. ad AK quam QA ad AL minor autem est PA quam Q. igitur minor 9. huius. est ΑΚ. quam A L. nam si aequales eranti A. A. cum PA. maiorem habeat rationem ad AK quam A. ad A L. minor esset AK quam A L. multo magis sequitur PA .eXistente minore quam A. ipsam AK. esse minorem quam A L. Atque eodem modo ostendemus A L. esse minorem quam A M. Igitur radiiQuadratricis,ac. Qu9d fuit probandum.
In coluigitur basim quartae uadratricis esse mini
434쪽
ia Curui ac recti proportio promota. COROLLARIUM. II.
Ex dictis etiam apparet C. e minorem quam C.
LC. quod CM. nam ut PA. adAK. ita . ad CR. sed PA. adAV. maior euratio quam m. ad AL ut in propositione sensum eis maior ergo ratio es GC. ad CV quam Α- - ad AL. sed υ M. ad L. ila HC. ad Cc. maior igitur se ratio GC ad CV quam HC a CL minor autem es GC.quam 2 HC. subtendi enim GC. et iam aculum GHC. MDC. angulum obtusum GC. in triangulo HGC. 9 Igitur ob rationem allatam in sine propositionis CC minor en quam C.
DEni Ke sequitur man Keii , eo sementa semidiam
Ir inter 2Madrasricem diu uam orta uadrantem , videlicet C. R D. LE. MF. ρdine decrescere ita ut maxima stNC. ea minor UD Ori ιUD minor LE. sic deinceps, senim exaequalibus AC. D. E. V. demantur inaequales e prioribus minores N. L. L. AM. vlparet exs p Π propostione , remanent meqnales XC UD LE. MF. primo maior quam scanda secunda quam texti, batquc ua In re- δε ais
BA si in adratricis dicii sitiae diuidit semidia .
metrum Quadrantis in quo describitur in ratione semidiametri ad arcum Ea
435쪽
diametrum C. in ratione Semidiametri A C. ad arcum Quadrantis BC seu csse ut AC ad CB. ita NA ad C. Continuetur Q aadrans CB.in I.&sit CBI. semicirculus, ABI. Quadrans in quo Quadratrix differentialis seu secunda BEH. cuius basis AH. in prior QuadrantGfit prima Quadratrix BO. Erit ut C ad CA. ita CN. ad A. ut mox probabimus, sed C. est arquesis arcui Quadrantis BC. Nam cuni AH sit Is si hui .
superat semidiametrum AC erit tota C aequalis arcui BC. ergo ut arcus Quadrantis BC.ad semidiametrum AC ita ON ad N Quod vero sit ut C. ad AC itata NC. ad AN. ita probatur. Si enim contrarium asseratur, maior erit,aut minor proportio HC .ad AC.quam C.ad N A. Sit primum maior . Quoniam maior est proportio H C. ad CA quam C ad A. erit conuerter dominor ratio CH. ad HC.quam A. ad C. quare erit eadem ad minorem aliquam ipsi CH verbi gratia ad DE parallesam basi AC.&interceptam inter arcum Quadrantis, lineam quadratricis differentialis, quae minor est quam CH. nam DF. sinus arcus DB est minor sinu toto A C.
cst FE. minor quam AH. ideoque tota DE. tota H. ' nainor est ductisque A D. E. rceiis c transibunt per '' idem punctum huius Quadratricis C. Vt patet ex descriptione harum linearum 28. Jq. huius atque adeo sit ut AC ad DE. ita A. ad C. civi A. ad DE. ita AK. ad D. ob similitudinem triangulorum CAK. H DK. ergo ut AN. ad NC. ita AK. ad ΚD. b. ΑΚ. maior est Corel. i. squam AN. AD. minor quam C. eigo maior est ratio aluus ' .
436쪽
Lo Curui ac recti proportio promora.
Sed dicatur ratio HG ad A. minor ratione CN ad NA. erit critur minor ratio A. ad N. quam A. adHC. fiatque ut CA . ad H C. ita AV ad V G crit A V. maior quam AN. sit enim esset aequalis remaneret Ino ratio AN ad Q quam C A ad H C, si minor, minor citet ratio AV ad G quam AN. ad C. scd ponitur etiam minor ratio AN ad Q quam A ad G igitur minor esset ratio AV ad C quam A. ad G quod
cst contra hypothesin ex distantia A V. describatur arcus V K. secans Quadratricem divisivam in . secabit autem, cum continuo huius quadratricis radi a tr. 3s huius geantur in Quadrante , quare si non secaret,sset A V. maior semidiametro quod est absurdum cum sectat natur semidiameter C in V. puncto ea ratione, quarcst C A. adHC. troniam arqualc sunt AV. AK. item A C. AD a centro ad uas circonferentias crit ut A V. ad VC. ita ΑΚ. ad D scdit A V. ad VC. ita, hypothesic A. ad CH ergo ut AK. ad KD. ita CA. ad CH. sed est etiavi AK ad KD. ita CA ad DE. ob similitudinem triangulorum C AK. EDK. cst ergo ut CA ad CH ita A. ad DE. aequales igitur sunt CH DE. Qi iod est absurdum, maior enim si DF sinus totus sinu partiali DF. MAH basis Quadratricis sinu FE igitur tota CH. Ota DE. maior est. Non igitur ratio HC ad C E minor est ration CN ad A. sed nec naaior, igitur aequalis ergo balis Quadratricis diuisitiae c. Quod crat dec.
Acheniis nonnullas incas protulimus, quae sua potissi inum basit et lagonis mos ipsa vero per iocha, diuisioni circuli operam suam conferunt. Ad ultimum autem hocliuinus multas alias excogitauimus i quarum ta-
437쪽
men nam tantium, aut alteram proferemus, ad quarum imitationem, atque exemplum aliae innumerae poterunt conformari. SIT Quadrans ABG cuius centrum A. basis AC Ia- tu erectum AB tangens eiusdem in puncto B quaelibet rectato moueatur latus erectum AB. ex A. versus C. ita ut sit continuo basi C. perpendicularis , moueatur item tangens Bo deorsum versus A. ita ut sit in toto motu lateri erecto AB. perpendicularis: qua ratione AB secat AC. eadem BO. secet arcum Quadrantis BC. nempe cum AB. peruenerit an DE. tangen SBO peruenerit in FG. sitque ut CA ad AD.
ita B ad BG. at lite ita deinceps cum A C. fuerit in HL sitio in L sitque ut A. ad AH ita CB ad BL. secent autemses dictae rectae in puncto, quod in toto motu sui vestigium relinquat cibi gratia in B. M. N. C. describetur linea curua BMNC.
ntem ita siccare, ducta perpendi
cularis ad basim arcum Uadrantis, basim alternatim in eandem ratione ita diuidat.
1 T Quadrans ABC.cuius centrum A. latus rectum AB. basis AC.spiralis Quadrantis ADB. quam secet in D. semicirculus CDA centro E. quod basim AC. bifariam diuidito descriptus, ducantur recta CD. 'DH. inciperis heria Quadrantisi tandemque cam recta HO.
438쪽
1 Curui acavit proportio promota,
perpendicularis ad basim C A. Dico esse ut CIq. ad HB ita Ao ad C. Est enim, ex di finitione spiralis, Ut B A. ad AD. ita BC ad CH ipsi autem A D. est aequalis AO
triangula HOA. CDA. habent lata. angulum communem ad A. aqv les rectos HOA .ex description CDA. in semicirculo;&lo ses AC AH.aquilis,etiam reliqua letera AO.AD. item Flo CD aequali habcnt. Igitur ut BA.ad AD. ita BA. id est CA . ad AO. ideoque ut CA .ad AO. ita BC ad CH. diuidendo conuertendo AO ad C. vi CH ad HB. Igitur Quadrantem ita secuimus. Quod facere oportcbat. Qtiadrantis autem , nomine tum in hoc tum in seqtaentibus problematis Psum arcum QDiadrantis nuncupabimus, ne eum cum arcu partiali confundamus.
diculari ad bas . ita vis ae ratio . adra IIIIS, ad arcum ea sit sinus totius dinum rectum complementi sinus totius ad sinum versium complementi quae rati, nus recti ad suum versum ea sit arcks rubondentis inuiverso ad arcam re ondentem inui, cfo. Es enim in Lirma Ahra ut arcus I Odrantis CB ad arcum fi C. f. snus totus C. ad sint m complementi A. v arcus quadrantis CZ ad arcum H A. ita,nus totus C. ad δε- num versum compi mentito. deniq e CH. arcus ad arcum H B eL vi sinus rescIn AO ad num et ex um CC. Ex quI-
ιν etiam seqvitur os o dicIa perpendiculari sicari ma-drantem, ita ut sint etς partes In ea ratione alternat in qua sunt variae lineae, quae habent eaAdem roportioZem,q am aut sinus situs a binam r. Itim, aut de ad , num versum ,
439쪽
versum , aut sinus rectos ad inum versum : Cuiusmodi quampiarim occurrunt apud eos qui de sinibus tangentiabus secantibus , ac chordis scripserunt , ad quos lectore
PROBLEMA VII. PROPOS. XXXVIII. Vadrantem ita diuidere, ut quae proportio Quadrantis ad arcum, eadem sit sinus arcus ad sinum complementi.
I scribatur mira Quadrantem ABC. quadratrix diui II in kui sua seu quarta BDE.& diuisa basi quadrantis bifariam in
'x Omidi metro C describatur semicirculus
VR. secans quartam Quadratricem in D. per quod transeat semidiameter ADI. occurrens Quadrati in I.&recta CDH occurens at ri erecto in H. Cum angulus CDA. ui rin semicii culo sit rectus erit CD. sinus rectus arcus CI. DA sinus rectus complementi, seu arcus B. Dico esse Qini drantem BC ad arcuma C. test sinus rectus CD a cus C. ad A. sinum complementi, seu arcus IB. Quoniani BDE. est Quadratrix diuisiuaerit ut BC ad IIIa BA. id est CA . ad AH. id est CD.ad DA. Ergo Quadrat tem ita diuisimus&c. Qu9derat faciendum.
COROLLARIUM.E huc Probo te cosistitur posse diuidi . adrantem
ea ratione quam habent varia quantitates eand
440쪽
1 Curui ac recti proportio promota.
rasea,vis eadem proportis drantis Marcum quaes ara stotius ad tangentem complementi. EI enim tCD ad DA idest ut . MCI. ita A nusroius ad AH tangentem anguli ACH. qui est complementum auub DAC scilicet arcus C.
Vadrantem ita secare ut duorum arcuum , quae ratio prioris ad posteriorem eademst sinus complementi prioris ad tangentem complementi posterioris., .defiu.hii SIT Lladrans saepe dictus intra quem dest rapta sint duae linea BDA. spiralis ΒΚ E. quarta Quadrati ixi 'S 'μΤ diuisita, is , bifariam in F describatur centro F semicirculus ADC distantia FC.secans aspiralem in D. Quadratricem quartam in K. ducantur semidiametri ADH. AKL. Secantes Quadrantem in H. L. Marcus BH. sinus rectussi BL arcus B L. tangens M. Dico esse ut arcum C ad arcum.