장음표시 사용
401쪽
partialis spirae, sed maior est NK. quam OL Nam
cum quiangula sint is rectos ad O. N. communem ad A.erit, AN maior ad AO. mino . 6 44 rem it NK. maior ad L. minorem' tota igitur ΕΚ maior est, quam tota GL. Rursus cum a qui an uia sint trian gula KEF. I GH nam parallela sunt ΕΚ. Gla item EF GK. ex hypothesi, anguli ad F. H. rectio erit ut KE. ad EF it LG ad GH maior autem ostensa est, Equam LG. maior etiam est EF quam GH. Quod primo erat demonstrandum Cadant secundo duo sinus spirici supra sinum spiricum maximum L& fiant reliqua, ut in prima parte huius propositionis. Eodem prorsus modo probatur AM esse dimetientem EN Omnium sinuum spiricorum partis AEM.m aYimum; ideo maiorem quam GO Iam ver in quo differt prima pars secunda: minor est KN quam LO. Nam cum triangula AOL ANK. Ob parallelas LO KN. habeant angulos ad . . item ad K. L. item ad A. aequa iales , sunt aequiangula ideoque ut AO ad L. ita AN ad NK. maior est AO quam AN. ideoque& maior L. quam NK. si igitur ex maiori EN. detrahatur minor ΚN. ex minori GO maiorio remanebit ΕΚ. maior quam L. Hinc eodem modo quo in prima parta probabitur EF maior quam GH. Qu9d erat secundo loco de--onstrandum.
THEO REMA XL PROPOS. XLEcans minimae proportionis transit perpunctum ubi sanus spiralis Quadrantis maximus spira lena secat.
Hoc euidenter deducitur ex superioribus propositionibus. Nam parallata angenti Quadrantis, aut diametro Spiralis quadrantis, ipsam Spiralem tangit an uno tantum Cc puncto:
II. de linea spiralibus. Archim.
402쪽
3 86 Curui ac recti proportio promota
3 puncto 1 ero per illud punctum transit secans inirnam ex caeteris siccantibus ad suurn arcum proportionem habens,&in eodem puncto sinus spiricus omnium in Qua-6. lituus drante maximus spiralem secat Igitur secans minima proportionas transit per punctum ubi sinus spiricus u drantis maximus spiralem siccat. Quod crat c.
THEOREM A XII. PROPOS. XILSI duae secantes, utraque aut ultra aut citra,
secantem minima proportionis ducantur: remotior ad suum arcum maiorem habet rationem, quam propinquior
In Quadrante ABC sit secans minima proportionisAN occurrens tangenti N. in ducantur duae secantes A M. propinquior, A L. remotior, utraque citra secante AN quae secent Quadrantem in punctis O. P. Dico secanici A L. ad suum arcum PC. maiorem habere rationem quam secantem A M. ad arcum C. Describatur intra Quadrantem Spiralis ADB in qua simus spiricus Omnium maximus D I. secans spiralcmini transibit ea cans AN. per punctum D. Igitur secantes AM A L. spiralem secabunt citra punctum D ut in punctis G. E. per quae ducantur sinus spirici GH EF erit GH sinus spiricus maximo DL vicinior , maior quam EF remotior. Quare duct ΕΚ ad E. perpendicularis , aut
ipsi AB seu CN. parallela ipsis HG secabit in K. interpuneta G. H. ideoque ipsam GA. inter punire G. A. videlicet in R. maiorque erit AG totum quam pars AR. Iam vero cum in triangulo MAL,
403쪽
MAL basi L. ducta sit parallelai R. crit ut A L. ad A M. ita AE. ad AR .maior autem est ratio E. ad A R. quam AE ad AG igitur maior est ratio A L. ad A M.quam AE ad AG. sed ut AE.ad AG. ita
arcus CP. ad arcum O. Igiturnia is est ratio A L. ad AM quam arcus CP ad arcum O. de permutando maior ratio secantis A L. ad suum arcum CP quam secantis A M. ad arcum O. Qia' lprimo demonstrandiim erat. Idem omnino sequitur, si tra- qu sis an cadat supra AM vi manis est patet ex figura Quare si duae secantes &c. Qiod erat ostendendi m.
THEOREMA XIM PROPOS. XIII. DAt secante , quae non sit minima proportionis , potest duci alia secans quae
eandem habeat rationem ad utina arcum, quana data ad suum.
In Quadrante ABC sit secans data AEL. occurrens tangen. ti L. in L. quae non sit minimae rationis,cuius arcus PC. Dico posse in radi ante duci aliam secantem quae eandem adstrum arcum rationem habeat, quam h dcans A L. ad arcum PC. Sit in si adrante descripta spiralis ADB sic, qua sinus maximus I. cui parallelus ducatur sinus spiricus EF. ix
404쪽
Curvi ac recti proportio promota.
AB CM. parallela EG secans spiralem in G. ducaturAG. recta oceurrens peripheriae Quadrantis in o. 'angenti in M. erit CM. secans arcus OC. Dico tangentem A M. ad suum arcum C. eam habere rationem,quam habet secans A L. ad arcum C. Nam cum in triangulo . . . A L. basii ML. parallela ductast EG. erit A M. ad AI .ut
ergo ut A M. ad A L. ita arcus OC ad arcum C. 4e mutando, ut secans AM. ad suum arcum C. ita secans AL. ad arcum PC. Quod erat demonstrandum. Manifestum autem est quod punctum D cadit inter puncta G. E. alias enim si utrumque punctum E G. caderet aut citra , aut ultra punctum D haberet remotior secans ad suum arcum maiorem rationem, quam propinquior; quod est absurdum, cum ostensa sit utraque eandem habere rationem. Qtiod etiam inde constat, quia si-ο hilius nus spiricus FE minor est quam DLe 6. huius , quar perpendicularis EG secabit ipsam DL in K. inter puncta .
D. I. quare paoducta secabit spiralem in G. supra DL PROBLEMA L PROPOS. XIV.
QV dr tricem in Quadrant describcre,
extra hi adrantem produccre, atque Oti circulo accommodare. Sit circulus BCDE cuius centrum A. per quod transeant duci perpendicularcs BD CE secantes circulum inquatuor Qtutdrantes, in quorum via ABG sit basis AB. latus erectum A C. Conuertatur AB circa A. centrum , tanquam verticem, ita ut punctum B perueniat in . eodem tempore in circeta coincidens cum AB. moueatur ex A. in in toto motu perpendicularis ad latus erectum AC aut parallela basi Quadrantis AB ita ut quae proportio est B. ad B N. arcum quem percurrit punc tum B e
405쪽
sit lateris erecti CA. ad parte AF quam percurrit punetum A. in illo motu concurrant duae rectae AN. per pendicularis FG. in puncto G concurrent autem cum angulus GFA. sit rectus&GA F. acutuso describet punctum concursus lineam curvam GC. quam esse Quadra tricem Dinostrati constat ex Pappo lib. q.prop. I.& Clauio ad ultimam proposit. 6. element. up vero ea tota sit in Quadrante, ita demonstrabimus. Sit quodlibet punctum Quadratricis modo descriptae G. a quo perpendicularis intermedia secet artis erectum AC in F. diameter Quadrantisper illud idem punctum G ducta secet Quadrantis peripheriamin, puncto, a quo ducatur sinus rectus O arcus C. Qu9niam, ex desti tione, est ut peripheria Quadrantis BC ad arcum N ita latus ere elum AC ad partem AE erit per conuersionem rationis,
406쪽
, so Chirui ac recti proportio pronaota.
ut BC. ad CN. ita AC ad CF. Cum vero C O si sinus Lemni. hii Versus arcus C. maior erit ratio AC ad O quam C.
ad CN. Quare maior erit ratio AC ad O. quam AC ad CF, minor igitur est Co quam CF. Quare maior AO. quam AF. Vt autem AO. ad A F. ita AN. ad AG. aequiangula enim sunt triangula AN FAG. Ob commvncm . angulum ad A.&rectos ad F. O. igitur AN. maior est quam AG. ideoque cum punctum N cadat in peripheria Quadrantis , cadet punctum G intra Quadrantem Latque idem demonstrabitur in quolibet alio puncto partis Qua
drantis GC. Producetur autem hoc modo Quadratrix Molleatur punctum B per C. usque in P. iunctum A. per C. usque in . ita ut quae proportio BC ad BP ea semper sit A C. ad AH. ducta AP semidiam cici per P in L&pes pendici laris I. concurrant in I. concurrunt autem quia angulus ad H. cetias,&HAI. acutus atque eadem ratione punctum concursus relinquens sui vestigium describat lineam curuam C I. eam Voca nul Quadratricem conti nuatam, quod eodem modo describatur quo ea quae continetur Quadrance. Quod vero ea cadat cXtra circuitin , patet, sui natur enim quodlibet punctum I. Quoniam maior est A I. subtendens angulum rectum ad H. quam AH. defia . . maior AH. quam AC. totum parte, AC. aequalis ipsi AP. maior erit AI. quam AP. scd punctum P. cadet in peripheriam circuli, ergo punctum I. cadet caetra. Idemque Ostendetur in quolibet alio puncto Quadrati icis prodit etiae; eritque tota i id ratii MCI Quadratii esse mi- circulii L . v jd si in infe tori semicliculo alia describatur ER. eo modo quo in superiori xiit et tot iuncircuti θι id rati s x REM CR Quod faciendum fuit.
407쪽
Si latus erectum Hadrantis duplicetur extra
Adrantem per eius extremum per pendicialaris dueatur: ea erit Quadiatrici adrans ABC cuius latus erectum AC eiusque duplum AK. ac per punctum, ducta sit perpendicularis KL siit etiam Quadratrix semicirculi MCT. Dico perpen-BS
tis BA quantum libet in F ac perficiatur semicirculus BCF. ex quolibet puncto I. Quadratricis in basim productam
408쪽
, Curui ac recti proportio promota.
ducta demittatur perpesicularis IX. ducatur AL itemq; perpendicularis IIJ. hinc producatur Quadratrix ex I. inretiam mouebitur punctum concursus I. in T. MAI promouebitur in AT.&ductaTS.ad AK. perpendiculari scendet HI in ST ut constat ex descriptione Quadratricis Ducatur TV ad latus Quadrantis productum perpendicularis. Constat HAXI. 4 A T. esse parallelogramma, quorum 3 aduersa larera aequalia sunt. Igitur aequalia sunt SA. TU. Item ΗΑ. XI. maior autem est SA quam A. maior igitur etiam est TV. quam IX. Igitur propius accedit puia ctumT.ad rectam L.quam punctum L Quod in alijs quoque ostendentur: Id autem prim probandum erat. Quod vero numquam concurrat Quadratri cum perpendiculari ΚL. ita efficitur . Concurrat, si fieri possit, in puncto D. ad D ducatur AD secans circulum in E. se ι i. t. abit autem , nam cum angulus D ΚA sit rectus,et sanguia lus D AK. acutus, ideoque arcus EC minor quadrante erit,e descriptione Quadratricis, ut Quadrans BC ad arcum BCE. ita recta AC. ad rectam AK sed AC. est di midia ipsius AK igitur BC dimidius ipsus B CE scd etia: rion. BC cst dimidius ipsius BCF semicirculio aequales igitur sunt arcus BCE. BCF. pars totum. Quod cst absurdum. Non igitur concurrent Quadratri perpendicularis ΚD. Quod erat secundo loco ostendendum.
Ex duabus si erioribus propositionibus con sat adratricem principio, ac sine carere. Nam Idco rimam sunctum non habe, quod bases Euadrantis prima perpendiacidaris in unam lineam coincident , quae I cIionem ess cr non possunt Gultimo idco caret,quod duae basis Euadrararis , or vltima perpendicΛlaris sint parallelae, ideoque ad concursum ultim puncI conuemre non possunt. Rursus manifestum est versus sinem Midratricem in infinitam produc , non versus IniIium. TM E
409쪽
THEO REMA XV. PROPOS. XVI. Vadratrix non est figura rectilinea, non Circulus, non Coni sectio.
Quadratrix non sit figlira rectilinea inpertius est quam ut probari debeat. Sed quod neque Circulus, aut Ellipsis ita probatur. Sit enim, si fieri potest, horum alteruter erit in figura ae huius, D producta eius b diameter uin tam E. quam ipsius C E parallelasii '' famam diuidata igitur in recta D est centrum figurae; sit in puncto A secabitur ergo bifariam diameter D. ista optincto A. aequales igitur erunt MA.&reliqua semidianae '' l 'ter versus D. Qus est absurdum, cum infinita sit pars Corol
diametri ab A versus D. finita ab A versus M. At non esse Parabolam, aut Hyperbolam ita demonstramus. In eadem figura i q. ar huius, dicatur C 'sse Parabolata, aut Hyperbola, erit proculdubio ipsius diameter, atqui 8. 1. CoaXis recta MD. cum tam ipsam CE. quam his parallelas /ς intra figulam diaetas bifariam diuidat; cui cum parallela ponatur Lita extrema perpendicularis, ea producta cum Quadratrice conueniet. Q ac d est absurdum hest enim ἀσύμ φου τος. Igitur quadrati iX non est Parabola, aut Hyperbola. Qu9d est praeterea demonstrandum
detur , Euadratricem nullum alium habere essendi modum praeter eum quem illi tribuit motus puncI, in qnosse s diameter adrantiso perpendicularis ad latus erὶctum Hadrantis intersecant neque ullum puActum in ea linea reperiri quod concursus ille non spiciat a nare basim S a d Iricis inter ἀδύνατα recensendam, cum dicatur separa
410쪽
3 Curui ac recti proportio promota.
basis 'MHaniis inter centrum Mariantis sejuncthis . adrarricis in dicta bas, intercepta. Nam punctum draineis in bas neque en , cum ibi sese basis adrantis , prima perpendicularisnm sceni s concurrant; neque esse potes , cum alio modo quam motu intersectionis linea
Euadratrix non procreetur modo ergo veteres,referen- re Pappo Collectionum lib. q. p. 6. se ab isio, Claui in comment in . elemeniorum prop. q. de Euadratrice , demon-
srant basim Izuadratricis quae euera nec es, nec se po- res esse tertio loco proportionalem ad peripheriam adrantis se eius diametrum ' Vereor admodum ne illud The rema aliter proponendumst hoc nempe modo , in quo nihil
THEOREM A XVI PROPOS. XVII S ex centro Q drantis, ii quo descripta est
Qtia fratrix, alius in adrans describatur intra Q adrantem, qui aut ipse, aut eius tangens QEadratricem secet non erit eius basis arcui in adrantis, iusque semidiametro tertiolo co proportionalis si vero neque ipse, neque eius tangens in adratricem secet, erit eius basis arcui in adrantis,4 semidiametro tertio loco proportionaliS. Sit Quadrans ABD cilitis ceni rum A. basis AB. latus erectum A D. Quadratrix DR centro A. alius Quadians AGI . dc strabatur,cuius basis AF . qui Quadrantem ABD. aut secet silaicripti eria in H. aut sua tangentes L. in L. Dico non esse ut DB ad DA . ita DA .ad At Ducatur enim inpii mafigura perpendicularis HI in secunda tangens FL.