장음표시 사용
411쪽
prima subtensam HI esse aequalem arcui F. in secunda tangentem L. esse aequalem arcui I E quorum utrumque est absura dum quod quidem quia tum
Pappo lib. q.prop. 16. tum a Clauso fusius prop. q. de Quadrati Lce demonstratur, eo lectorem Secundam partem propossitionis ita probamus nos ex priama. Sit Quadrans ADB cuius
istum A D. Quadratrix DE. Quadrans AGE. cuius basi AE
qui neque ipse neque eius tangens EL. secet iLidratricem. Manifestum est eum ita se hab te, ad ipsam Quadratricem, ut ipse totus intra Quadratricem,
adratricem cadat alias enim aut ipse, aut eius tangens arcum BD secaret, ideoque ex prima parte huius,non esset tertio loco
proportionalis. Dico esse ut DB ad AD. ita AD ad AE. Si enim non sit eadem ratio DB ad AD quae AD. scilicet AB ad AE erit vel maior vel minor sit primo maior;fiat que eadem, ac strut DB ad DA. ita AB ad AI erit AI. minor quam AE nam cum sit ut DB ad DA. id est ad AB. ita AB. ad AI.&maior sit ratio DB ad DA . quam AB ad AE ex laypothesi,maior erit ratio AB ad AI.quam AB ad AE. ideoque minor est AI quam AE ergo scriptus tiadrans AblI. cadit intra Quadrantem AGE. sed Quadrans AGE. cadit intra Quadratriccita DE. ioitur
412쪽
3, Curui ac recti proportio promota.
&Q radrans AVI. eiusque tangens I M. cadit intra Uer uincem,secatque suum quadrantem verbi gratia in &Qtiadi atricem in N. ergo ex priori pa ite huius A I. non est estio loco proportionalis. Qu9d est absurdum Sed ratio DB. ad DA. ponatur inua or quana R. a AE. fiantque eadem . ac sit ut DB. ad D A. id est, ad AB. ita AB. ad AP- erit AP. maior quam AE nam cum sit ut DB ad AB. ita AB ad AP minor autem si ratio Ua . ad AB quam AB ad AE minor etiam erat ratio AB. AP uuam AB ad AE. ideoque maior est AP quam er o descripti tradi antis A QP basis AP cadet ultra punctum E. ultra tangentem EL. secabit igitur arcus QP. tangentem EL. verbi gratia in R. id coque cum tangens EL. cadat extra QDiadratricem, etiam punctum R. ca- dcteXtra ladratricem, ac proinde Diadrans A QP se cabit Qii adrati icem in S. Non igitur basis AP est tertio loco pi oportionalisci: cui B. semidiametro A D. exprima parte huius. Erit igitur basis AE. Quod erat c-
qu. vere neque extat, neque extare poteH, ad circali retragonismum conducere , sic suamet es eniti ad rream se habitudinem habeat Euadrans interior qualem modo diximus, Ita ut eam neque sua peripheria, neque sua tangentescet, erit dicti Euadrantis bases arcui primar . uadran-ris, ors nidiametro tertio loco proportionalis. Vetcres tomenunm basem quadratricis, a tu, qui ad eam peruenire non potes, de inierunt; repex e videntur ad punctum quoddam in bas Ut iurantis, ad quod linea motu progunita sutelius, ne tum intersedilonis motum contetnno magi accedit,
ac tandem propiΛ quam ad aliud vitam punctom, quod in basi Ggnara i dies ii vis vel minimam molem haberentilia, tandem sese contingerent diu' pacto es nos tum is hac
413쪽
riones adducemus, EASIS /ionem asium mus.
THEOREM A XVII. PROPOS. XVIII. Vadratrix spiralem tangit in puncto, ubi utraque badrantem secat.
spiralis ABG. Qiladratrix HBF secantes semicirculum cretum in puncto B. quo erectum est latus Quadrantis
rum description . Dico quod quadratrix BF spiralem ABG. contingit ire puncto B. Ducatur, AE. secans spiralem in G. Quadratricem in F Quadranotem in E. N. secet BA. perpendiculariter: Erit, ex descriptione spiralis, ut BA. id est, EA. ad AG ita arcus Quadrantis BC ad arcum E C. it BA. ad NA. ita idem Quadrantis arcus BC ad arcum EC ex descriptione Q dratricis; ergo ut BA ad AG ita BA .ad AN. aequales igitnrsunt AG AN. At vero in triangulo rectangulo FNA. basisFA. maior est quam latus A. erago FA. maior est quam A. ideoque punctum F. cadit su-ura punctum G. Idemque in quolibet alio puncto Quadratricis demonstrabitur: Tota igitur Quadratrix cadit extra spiralem , ac cum ea in solo puncto B concurrit. Qu9derat demonstrandum.
414쪽
, Curui ac recti proportio promota. THEOREM A XVIII. PROPOS. XIX.
RAdius Quadratricis in Quadrante vicinio
bas, remotiore minor esti In Quadrante ABC. cuius basis AC. latus erectum AZ.
centrum A. sit Quadratrix BK. cuius basis ΑΚ. ad ij AD. AF ille vicinior hic remotior a basi AK. ac secantes Quadrantis arcum ille in I. hic in H. Dico radium AD. minorem esse radio AF. Si enim non sit minor, erit vel aequali S, vel intuor. Sit primum aequalis ac duetis FG. E. ad AB. perpendicularibus in triangulis rectangulis AED. AGF ponantur bases AD. F. sinus toti, erit A. sinus anguli EDA. id est IAC. QGA. sinus anguli GFA. id est HAC. maior autem est angulus I A. qua angulus EDA nempe HAC quam I AC igitur maior cst ratio anguli
', j. ' usHC ad arcum I C. quam GA. ad EA. Rursus cum exi . huius descriptione Quadratricis sit ut arcus CB ad arcum CH. ita B A. ad AG. erit conuertendo, ut arcus CH ad arcum
CB. ita AG ad AB. sed ex eadem descr4ptione,estit arcus CB. ad arcum CI. ita AB. ad AE ergo x aequali, erit tarcus C. ad arcum I C. ita recta A. ad rectam EA. Quod est absurdum; ostensa est enim ratio maior HC ad I C. quam GA ad EA. Sed AD. dicaturisse maior quam AF. abscindatur AR. aequalis ipsi AF. ducatur R L. ad AB. perpendicularis, cadet punctum L. subputactum E. maior que erit EA. quam L A. Rursus autem, ut priori parte butus,ostcndemus in inorem fibrationem GA. ad I A quam t. s. C adi C. scd adhuc ii inorcstratio GA ad EA. quam GA ad LA. igitii minor est ratio GA ad EA. quam HC ad I C. st autem, cade in ratio A. ad AE quae
415쪽
arcus HGad arcum C. ut prima parte huius probatum P. BIOQVsi absurdum, non igitiir AD. imaior est quam Hi . sed nec aequalis igitur minor. Qus erat Minor
Incrausti adratricis si omnium radi mininum; reliquorum minores qui bovis
COROLLARIUM ILRV constat differentia radio uiis ad atricis, or
aer eo maiores em , quo bas viciniores . DI esse maiorem tua IV inaequales enim AD M. Ea minor,haec maior ex equia sus M. AH relinquunt inaequis, se Π lGDI FH. illam maiorem hanc minorem.
THEOREM A XIX. PROPOS. XX. Inus Quadratricis in Q adrante basi vici
nior, remotiore maior est. Sint eadem quae superiori propositione. Dico sinum adratricis ED. qui vicinior est basi AIC esse maiorem sinu F. qui remotior est. Si enim non sit maior, sit aequalis , aut minor ac sit primum aequalis ponanturque sinus toti rectar GF. ED. erit GA. tangens anguli GFA. id est,
HAC. EA. tangens anguli EDA. id est, IAC. maior est angulus GFA. angulo EDA. id est HAC ipso IA C. Igitur maior est alio tangentis GA ad tangentem EA. quam anguli A. ad angulum EDA. id est quam anguli HAC ad angulum IAG id est, quam arcus C. ada cum IC. Sed etiam ex descriptione Quadratricis,& ex
416쪽
oo rui ac recti proportio promota
progressu superioris propositionis, est ut GA ad EA. ita H C. ad IC. Quod est absurdum; probatum enim est esse imaiorem rationem GA ad EA. quam HC ad I C. Sed dicatur esse minor E qnam GF. erit ipsius tangens minor, t. s. quam cum ponitur aequalis ipsi F. Igitur tunc multo maior erit ratio GA. ad EA. quam anguli GFA. ad angulum EDA. id est, quam HAC. ad IAC.id est,quam arcus ΗC. ad arcum I C. Quod cst ab suadum. cum ex progressu prioris propositionis, irima parte huius,constet esse ut A. ad EA. ita HC ad I C. Non ergo ED. ipsi GF aequalis est, aut minor , igitur maior. Qu9d erat probandum.
COROLLARIUM.HIn eo a bas m adratricis esse omnium sinus
i tus Euadratricis maximum; reliquorum eos esse miores , qui illi prwnquiores fuerint.
Si recta ex puncto ubi Quadratri Quadran
tem secat ducta auferat ex basim adrantis producta rectam aequalem archai Hydrantis ea in dicto puncto tanget Quadratri
Sit Quadrans ABC cuius basis AC. latus erectum AB. in quo Quadratrix B. ccans arcum hi adrantis in B. punctio a quo ducta BE aula rati basi AC. producta rectam AE aequalem arcui Q adrantis CB. Dico quod recta EB producta tangit Quadiatricem iuncto B. sima antur duo qui bet arcus aequales BK. BL vitia citraque punctum B per quos ducantur semidia nycti AK. A L. ccantcs i uidi atricem, illa in O ista producti in R. a quibus punctis ducantur ON. R M. pcrpcndicularcs ad AB. producta ma
417쪽
ABL Qusniam O. est punctum in Quadratrice , erit eid scriptione adratricis,ut arcus Quadrantis BC ad arcum XC ita BA latus erectum ad AN. rectam 4 per conue sionem rationis ut CB ad ΒΚ ita AB ad BN. cum ire irriangulis ABE. BI. rectangulis ad N. a. etiam communis sit angulus ad B ut ideo aequiangula sint, erit ut 1. r. BA. ad B cita AE ad I ergo ut BC ad BK. ita AE ad N L&permutando ut arcus BC. ad rectam AE ita arcus ΒΚ. ad rectam NI. aequales autem ponunturi AE. aequales igitur erunt I. ΒΚ Rursus cum DB sit sinus
versus arcus ΚΒ maior erit ratio AB ad BD. quam arcus Ismm.3.hi
CB ad arcum BK. it arcus CB ad arcum BK. ita AB. ad B eY descriptione Quadratricis, igitur maior est ratio AB ad BD. quam AB ad BN minor igitur est BD. quam BN.quibus ablatis ex AB.maior est AD quam AN pron. Igitur cum in triangulis aequi angulis ANO ADK. rectos ad . D. communem ad A. sit ut AD ad DK.
ita AN. ad No maior autem sit A D. quam AN. maior erit KD. quam O cum ergo recta IN. ostensa sit aequalis arcui B arcus autem B. maior sit sinu recto KD. Unus Κ D.ostensus sit maior quam O.erit NI.maior quam
418쪽
o, Curtii ac re ni proportio promota.
NO. Cum crgo punctum O. sit in Quadratrice, erit punctum I. extra Si id ratricem atque idem ostendetum quolibet alio puncto Quadratricis intra gadrantem. . hutuo. Insuper cum e descriptione Qtiadratricis, O arcus CB. ad arcum CBL. vi recta AB. ad A M. erit ut CB ad B L. ita AB ad B M sedit CB. ad B L. ita CB ad BK. nam possiti sunt aequales arcus BK. BL. Vt CB. ad ΒΚ. ita ostensum est AB ad BN ergo est ut AB ad B M. ita AB. ad BN. aequales igitur sunt BN B M. Quyre etiam aequales NI. MI nam in triangulis rectangulis BMP. BNI. cum aequales sint anguli recti ad M. N. de ad verticem B. Iatera BN. BM. aequalia etiam erunt latera P. NI sed recta NI. ostensa est aequalis arcu ΚΒ. id est BL .ergo etiam Α Iime, P. est aequalis arcui BL. qui minor est sua tangente BS.
lis aequi angulis ABS AMR. ob angulos rectos ad B M.
communem ad A. Quare etiam P minor est quam M R. caditque punctum P. inter M.&R. cumque R. sit in Quadratrice , erit punctum R. extra Quadratricem; atque idem ostendetur in quolibet alio puncto Quadratricis e tra circulum Igitur recta EBP tota cadet extra Quadratricem , praeterque in puncto B illam igitur continget Q ipferat probandum.
THEOREM A XL PROPOS. XXII S lineam ouadratricem recta contingat in puncto ubi circulum secat anguli quos cum
latere erecto Quadrantis facit linea contin
gens, in AEquales sunt; cis quidem qui ad praecedentia constituitur est obtusus, qui adseque
419쪽
sint omnia quae superiori propositione, recta EB pr cucta tangat Quadratricem in B. Dico angulum ABP.esse Ontulum, atque ideo ABE acutum. Nam ut A. ad AB. ita A. ad AS maior autem est A quam AB. io triar ma-1OrKA. quam AS. Cadit igitur punctum S infra R. intra adratricem,cum punctum R. sit in Quadratrice sed adia huc punctum P lineae contingentis transit supra puncti in R. ciun sit extra Quadratricem,ergo multo magis punctum it lupra punctum . maior igitur est angulus ABP angulo ABS. at ABS rectus est, igitur ABP obtusus est, ideoque A BE acutus. Qu9d erat demonstrandum.
THEOREM A XXII. PROPOS. XXIII. S lx tricem recta linea contingat in puniacto ubi circulum secat ea coibit cum basi Quadrantis cui inscribitur rac pars dictae basis inter centruq circuli,&contingentem erit aequalis arcui Quadrantis.
Sit Quadrans ABC cuius centrum A. basis AE. latuscrectum AB in quo Quadratrix descripta DBG. cuius basis A D. tuae quidem extra Quadrantem producatur eo modo quo
quarta propositioia huius dein
tuin est, ita, pars DB. intra pars BG. cadat
420쪽
o Curia ac recti proportio promota.
Quadratricem rungat recta BE. Dico quod iecta BE. coibit cum basi AG producta crbi gratia in E.&quod
recta AE . erit aequalis arcui Quadrantris C. Plinium cui dens est, angulus enim BAE. rectus est cx suppositio a. huius ne, A BE acutus ex demonstratis, coeunt igitur AE.'3 py90 BE. usadsecundum, si AE non est aequalis arcui . prop. de BC. erit Vel malo vel minor sit. Primum maior, suspir Ar matur EN. minor quidem quam AE maior Vero quam
' peripheriai C. Marcus BP diuidaturi fariam in L. du-
iε staque A L. secet tangentem in K. ideoque eius partem BP. bitariam, quapropter ad angulos rectos. Erit igitur ut BA. ad AE. ita BK. ad A. sed B A. ad NE . minorem, ma-8. Orem habet rationem,quam B A. ad AE. maiorem. Igitur BA. ad E. maiorem habet rationem quam K. ad A. Cum igitur circulus sit BQ &inco cista BP minor dia- 'iuiis, At naetro, poterit duci recta AF ad produc iam contingentem c im. F. ita ut pars ius L inter circumferentiam , productam contingentem, ad lineam IB. iungentem terminCs B. I. habeat proportionem quam BA. ad E. Cum io itur siti I ad Id. vii A. ad NE crat permutando ut L JAB. . id est A L ita B ad NE . sed recta IB. ad NE . nainorem habet rationem quam arcus I B ad arcum BC. cst nimia VB arcus maior quam subtensa IB. Marcus B .cX suppositione minor quam EN ergo FI ad AL minorem habet rationem,quam arcu LIB. ad arcum BC. componendo minorem habet ratione mi A. ad AI quam arcus I BC. . huius ad arcum BC. sedit arcus BC. ad arcum BC itai de scriptione ii id ratricis HA. ad AB. id est GA. ad A M. ergo minorem habet rationem FA. ad AI quam GA ad ducta B M. tangente X B. in M. A M. Quod est absurdum, cum A. sit maior quam A. cadit enim F. X tra ladratricem,c suppositione, cum FE tangat Quadratricem tantum in B. G. est in Quadratrice 4 Al. minor quam A M. BC.