장음표시 사용
141쪽
Fῖν. 4. ctum rectangulum en d b, in quo dueatur diagonalis bn coneurrens eum Tab. s.latere af in puncto x . Ex hoe autem puncto agatur recta xx parallela lateri fd g. 7. , cui occurrant rectae en, bd directe productae in punctis m, T. Quadrilaterum umid erit rectangnium quaestum ἰ M o i
Cum enim latera ae,su rectanguli a sne sint parallela , rectae quoque ab, sd erunt parallelm ι cumque positae sint aequales, aequales erunt etiam rectaeas, bd, de parallelae t Lib V. 7s. 88. ι ae proinde quadrilaterum afdberit parallelograminum ,& quidem rectangulum, sicuti propterea etiam qua dra laterum axib. Duorum autem parallelogrammorumen d b, futuae cire diametrum Xb complementa sunt afue, amael, quae sunt aequalia Lib. XlV. A. 61. . Ergo rectangulum umia descriptum super rectam nd adaequat rectangulum datum asne, adeoque &α
Dato triangulo rectilineo aquale rectangulum super datam rectam construere. 33. Super datam rectam ad eonstruere oporteat rectangulam dato trian. gulo rectilineo ABC aequale.
super rectam FN aequalem dimidiae parti baseos BC ipsius trianguli, &Fig. .ε. sub eadem altitudine AF construatur rectangulum ΑFNE g. 26. , cui rib. s. aequale sat rectangulum umid super datam rectam n d I. 1 . . Quadr laterum amxd erit rectangulum quaesitum .
Demonstratis . . t Constat enim, rectangulum AFNE esse aequile dato triangulo ABC Lib.
Dato potagono aquale νectangulum super datam rectam construere. 6 Super rectam a in rectangulum construere oporteat , quod si aequalς Polygono ABCE.
142쪽
Diviso polygono ABCE in tria triangula ACD, ADE, ABC, si per re ctam a m fiat rectangulum amnb aequale triangulo ΑCDi super latus ba g rectangulum bnxe aequale triangulo ABC. & se per Iatus ex rectangulum et L,' exaed aequale triangulo ADE is 11. . Rectangulum ametd aequabit datum polygonum ΛBCE.
Patet ex ipsa construetione. COROLLAR Iu Mas . Hi ne saeile digno sei potest excessus unius fgurae rectilineae supra aliam, puta pentagona ABCE supra triangulum ABC. Etenim eonstructo Fig. r. supra eandem recitam am rectangulo am id, quod sit aequale pentagono rig. s. ABCE,& rectangulo amnb, quod triangulum ABC adaequet, rectangulum fig. 3.ώnaed erit excessus pentagoni ABCE supra triangulum ABC. 4δb. s.
Dato cireulo aequale rectangulum supeν datam rectam eοηstruere. 38. Super rectam mi eonstruendum sit rectangulum circulo ABC aequale. Fit io. . . . Assolutio.
Construatur super datam mae rectangulum amid t6 sq. , quod sit aequa. te rectangillo ED eontento sub radio LC ipsius ei reuli, & sub tecta CD i. si '' aequali ejusdem semiperipheriae ABC. Erit amaed rectangulum quaesitum. Demonstratio. . . . ' σManifestum quippe est, rectangulum ED aequare cireulum ABC Lib. X.
Dato rectangula aquale quadratum eoUbuere.
19. Quadratum eonstruere oporteat rectangulo ED aequale.
143쪽
Inter ipsius rectanguli latera EB, CD inveniatur media geometriee prθ- Tib. t. portion i s CF s. 22. , quae erit latus quadrati quaesiti.
Etenim, eum recta C, sit media proportionalis inter latera EC, CD, quadratum ab rectangulo Eo erit aequale Lιb. IX. s. II . . COROLLARIU M. ε . Hine figura qua eunque rectilinea a quadrato diversa saetii negotio 1 ig. s. in quadratum mutari potest. Id enim ex transsormatione ipsius figurae In TR., ' rectangulum unice dependet. Sie triangulum ABC mutabitur in qui diatum, si constructo rectangulo AFNE aequali triangulo Λα, fiat quadratum ae ipsi rectangulo aequale. PROBLEΜΑ XX. Dato eircula aquale quadratum constraere. si . Esto eir lus ABC, eui aequale quadratum e struere oporteat.
Inter radium EC, Ae rectam CD, quae sit aequalis semiperipheriae ipsius Fig. s. eirculi, inveniatur media geometrice proportionalis Cb s. 21. . Haec erit Tab. s. Iarus quadrati quaesiti.
adratum quippe ab adaequat rectangulum ED c Lib. IX. s. Irr. , mi circulus ipse est aequalis Lib. X. s. s. st .s c H O L I O N. 62. Eodem modo invenitur latus quadrati, quod si aequale dato euilibet Polygono regulari. Omne enim polygonum regulare adaequat rectangulumeontentum sub radio, & sub illius semiperametro Db. IX. s. so. .
144쪽
Data figura plana, alteram illi similem in data proportione describere. 63. Describere oporteat figuram rectilineam similem fgurae ADC, ad quam se habeat, ut data quaevis magnitudo m ad magnitudinem n.
Dueatur recta EF, ad quam latus quodcunque AB datae figurae eam ha- r; beat proportionem, quam habet magnitudo m ad magnitudinem n si1. . O. Tum inter rectas ΛΒ , EF inveniatur media proportionalis ab c g. 12. , quae erit latus figura quaestae.
Ut si deseribendum sit pentagonum duplum pentagoni dati ADC, ponatur recta EF dupla rectis, sue lateris AB,& inveniatur inter eas media proportionalis ab , super quam s construatur pentagonum smile adc 9. 29. , Fig. s. illud erit duplum pentagoni Α . Si vero construere oporteat pentago mTab, 3. In ratione Iabdupla ad pentagonum adc, ponatur recta XT, subdupla lateris abs tum inter rectas ab , Xet inveniatur media proportionalis ΑΒ. Penistagonum ADC super ipsam ΛΒ constructum simile dato ade , erit subda. plum ipsius adc.
Patet ex s. I 83. lib. IX.s c H O L I O N. 6 . Pro augendo, & imminuendo circulo, ratio diametri habenda est, ut ex s. I 89. lib. IX. manifeste deducitur .
PROBLEMA XXII. Datis duabus figuνis rectιlineis similibus, alterum illis simul sumtis
aqualem describeνe. 61. Describere oporteat triangulum , quod sit aequale duobus triangulissimilibus Λ BD, ACE simul sumtis. Elam Math. T.IV. K Re
145쪽
Latera ipsorum triangulorum homologa AB, AC iungantur ad angulum Fig. r. rectum BAC s. I x. , eorumque extrema B, C jungantur recta AC, quaei δα is erit latus homologum trianguli quaesiti.
Manisesta est ex s. I 8 q. lib. IX. SCHOLION L66. Eodem modo invenitur eirculus duobus aliis simul sumtis aequalis. ut patet ex s. I9I. lib. IX. Pro ellipsibus vero, axes tam majores, quam mi nores datarum ellipsium seorsim simul iungi debent ad angulos rectos, ut axes homologi ellipsis, quae sit illis aequalis , inveniantur. Patet ex β. 6. lib. XUL sc HOLION IL6 . Noe eodem artifieio invenitur latus homologum figurae re ineae. Fig. ia. quae non solum duabus similibus, sed pluribus etiam itidem similibus smul Tab.is. sumtis sit aequalis . Ut si rectae AB, AC, CD suerint latera homologa trium figurarum rectilinearum similium, invenitur latus figurae, quae omnes illas simul sumtas adaequet , iungendo duo latera AC, AB ad angulum rectum C AB, & applieando alterum latus CD rectae CB itidem ad rectum angv. Ium BCD. Recta quippe BD est latus quaesitum, ut consideranti perspicuum
Dato parametro , parabolam describere.
ε - Γ zscribend si parabola, euius parameter si recta AC.
146쪽
Ex uno extremo A datae rectae AC erigatur perpenditularis indesinita Ad Fig. i , in qua sumantur quot tmque puncta a, b, d , atque ex his eduaab. . s. cantur perpendiculares a E,bF, dia illius magnitudinis , ut aE sit media proportionalis inter par metrum AC, & abscissam Aa, quemadmodum etiam recta bF inter parametrum AC, & abscissam Ab, nec non recta dra inter eundem parametrum AC, & correspondentem abseisiam Ad Tum per Puncta A, E, F , D ducatur curva ALFD, quae erit parabola quaesita
Patet ex natura parabolae I. Iss. lib. XV. explicata
rateν duas rectas lineas inυenire duas rectas estntinuo geometrice pνoportionales. ες. Inter duas rectas AB, BC invenire oporteat duas rectas eontinue geometrice proportionales.
Rectae AB, BC iungantur ad angulum rectum ABC s. I 1. , 3e utraque versus x, u indefinite producta, accipiantur duae normae EDF, MN P, quae ita rectis ipsis applicemur, ut apex x anguli normalis nae A sit perpetuo in Fig. q. recta Bx, ejusque acies xA transeat per extremum A rectae AB, apex vero rabi 2 n normalis anguli MnC sit in recta Bn, & illius latus nC per extremum C rectae BC continue transeat ut in figura conspicitur. Duae rectae BT,. Bn erunt duae mediae continue proportionales inter rectas AB, BC.
Quandoquidem, eum in triangulo nxΑ angulus ηxΑ sit rectus,& linea xB ad perpendiculum rectae nA incumbat Lib. III. s. 12. , erit π AB. BT. B Lib. IX. s. 7 . . Est autem haud dissi imii ratione Bx . M. BC. EGgo erit AB. Bat. Ba. BC.
Duae rectae AB, BC jungantur ad angulum rectum ABC s. Ἀοι ducta- p, que reeta AF parallela reetae BC, & recta CF parallela rectae ΑC s. 7 in, Tab.is. in rectangulo Λ BCF agatur diagonalis FB, qua bifariam divisa in a cf. I. ,
147쪽
centro a , intervallo aF deseribatur cireulus ΑΗCM, qui transbit per qua' tuor puncta A, B, C, F, eum duo oppositi anetuli FAB, BCF sint recti. Producto deinde latere ΑF in si, ita ut sit AE AB, describatur parabola AMD, cuius axis sit recta AB, Edi parameter recta AE . 68. . Ex puncto autem Μ, in quo curva parabolica ΑMD secat peripheriam eireuli AHCM,' agatur recta M H parallela lateri s. in D iae rectae Mb, b R erunt duae mediae continue geometrice proportionales inter rectas AB, BC , erit nempe π ΛΒ. bM. ,Α. BC.
Cum enim si AB AE, erit AB HAb-AE Αb. Quadratum autem semiordinat. b M adaequat rectangulum ΑΕ Ab vn. .Alrs. 26 I. . Erginquadratum rectae bM rectangulo quoque ΑΒΜΑb erit aequale Lib. X.g.r 8.)kae proinde habebitur π AB . b M. bΑ Lib. IX. g. 1I8. . Rursus, cum rectangulum AB Ab, utpote aequale rectangulo AEAE Ab, sit aequale quadra, to semiordinatae bM Lib. XU. g. r 61. , atque insuper rectangulum bM Meuna eum rectangulo bH be sit aequale eidem quadrato rectae bri Ibid .Iqq. L. rectangulum bM Me una cum rectangulo bra be aequabit rectangulum AB Ab Constat autem, rectangulum AR Ab aequare rectangulum Bb bΛ una cum quadrato rectae Ab Lib. XU. s. 269. 3. Ergo rectangulum quoque bM Me una cum quadrato rectae Ab S n. fu g 16 2. cumque rectangulum bM bH adaequet rectangulum bMMMe' ob aequalita. rem segmentorum b H , e M , rectangulum in bH una cum rectangulo,bM be aequabit rectangulum Bb bΛ una cum quadrato rectae Ab. Duo
PROBLEMA ILPyramidem, σ prima is aquale parallelepipedum tamertere.
o. Parallelepipedum construere oporteat , quod pyramidi ABCD se aequale.
B, sis BCD pyramidis mutetur in rectangulum ab d I. 1 f. 36. , supζr 'g quod, veluti basim , & sub altitudine an, quae sit tertia pars altitudinis Tici; datae pyramidis , construatur parallelepipedum nabdin . Parallelepipedum δ'' ' uabdm aequale erit pyramidi ABCD.
148쪽
Patet ex II. 19, 3 o lib. XIII. I L r. Esto prisma ΑD transformandum in parallelepipedum
Fiat rectangulum abd aequale basi BCD ipsus primatis 16. . Tum Fininsuper ipsum rectangulum ab d, & sub eadem altitudine construatur parat. Fig. 3.lelepipedum nil. Erit ud parallelepipedum quaesiitum. Tab. s.
Manisesta est ex s. 31. Iib. XIII., eum parallelepipedum si species pric
72. Cum tonus sit pyramis infinitangula Ibid. s. 72. , de cylindrus fit species prismatis Ibiu o. , mani seste constat, quomodω utrumque hu- sinodi solidum in parallelepipedum mutari queat. PROBLEMA II Lubaram in paνallelepipedum mutare. 73. Construendum sit parallelepipedum , quod sit aegbale datae spirae. Figo
Deseribatur quadratum bed aequale maximo ipsus sphaerae cireulo si . super quod, veluti basim, & sub recta ab , quae duos tνientes diametri Fig. MNR, contineat, construatur parallelepipedum ad, quoiu erit ipsi sphaerae
Parallelepipedum ad adaequar eylindrum Lib. XIII. L. 3 s. γ, euius baseos circulus sit aequalis quadrato bed, de eadem atriusque altitudo Duo mimhujusmodi solida spectari possunt, veluti duo Prismata aequalium basium, do sinis
149쪽
altitudinum P. sphaera autem N R est hujusmodi eylindro aequalis Lib.XIV. . rosta. Ergo sphaera NIL parallelepipedum quoque ad aequabit SIn. d. s. 26 I. . PROBLEMA. IUM Superficiei sphara, aqualem circulum describere. 7 . Circulum describere oporteat , cujus area adaequet superficiem sphaerae N R.
Describitur ei reuius, euius radius sit diameter NR datae sphaerae. Huius circuli area aequabit superficiem, datae sphaerae N R.
Evidens est ex s. 73. lib. XIV. PROBLE ΜΛ V. Dato parallelepipedo eubum aqualem construere. Ti, i, 7se Cubum construere oporteat, qui sit aequalis parallelepipedo ΑD.
Si basis BCD dati parallelepipedi AD non est quadrata, sat quadratum Fig . BEF illi aequale s6. , super quod eonstructum sit parallelepipedum AP eiusdem altitudinis AB. Tum posita recta a BE,& recta detra AB, inter duas a , d inveniantur duae mediae continue proportionales b, c t g. 69. . r. Harum prima b erit latus cubi quaesiti ν cubus nimirum ad , cujus latus be sit aequale rectae b, aequabit parallelepipedum AD.
. Quoniam quatuor rectae a, b, e,d positae sunt eontinue proportionales, erit a. e 'ra b . d. Quadratum autem, sive basis BEF parallelepipedi AF est ad quadratum bed basis paralle Iepipedi ad , ut prima a ad tertiam e Lib. IX I 383. , cum positum fuerit BE a, be in b . Ergo basis BEF parallelepipedi AF erit quoque ad basim bed parallelepipedi ad , ut secundab ad quartam d Lib. I. g. 78. . Constat autem , altitudinem ab cubi ad ense ad altitudinem ΑΒ parallelepipedi AF, ut recta itidem b ad rectam d, ex eo nimirum quod si ab b, de AB M d per constructionem. Ergo duo Parallelepipeda AP, ad reciprocant sibi mutuo bases, de altitudines , atque adeo
150쪽
adeo sunt inter se aequalia Lib. XIII. I 6o. . Parallelepipedum porro AF adaequat parallelepipedum ΑD ibid. g. 36. , utpote eiusdem eum illo balis,& altitudinis. Igitur eubus ad parallelepipedo quoque AD est aequalis cum Alg. g. 26 I. adeoque dee.
81 Cum ex hactenus traditis notum sit artificium mutandi pyrami emi eonum, prisma , cylindrum , sphaeram , & sphaeroi 8em in parallelepipedum, perspicuum remanet , quomodo hujusmodi solida in cubum transsermari
PROBLEMA UII. Dato solido , invenire latus homo letum solidi similis,
qtiod determinatam ad illud rationem habeat. 83. Esto rid solidum datum. Invenire autem oporteat latus homologum Fig. g. solidi fimilis, ad quod datum ipsum solidum n d sit, ut m ad n . T b. s.
Posta recta a aequali lateri ab , ducatur recta d, ad quam recta a sit, Fig.12. ut m ad n . Inter rectas autem a , d inveniantur duae mediae continue Pr -Tab isi.
portionales b, e t 1. 69. . Recta b erit latus solidi quaestum.
Construere oporteat cubum, ad quem eubus nd sit in ratione sesquialtera.
Posita itaque recta a me ab , Ee recta d --, inter duas a , d inveniantur guae mediae continue proportionales b , e, quarum Prima b si latus cubibi F. Erit MP cubus quaesitus.
8 . Hae ratione invenitur diameter sphaerae, quae determinatam habeat rationem ad sphaeram datam. Patet ex g. 161. lib. XIII. Eodem modoratiocinare de conis, & cylindris, videlicet rationem habendam esse tum diametrorum basium, tum altitudinum. sc in