장음표시 사용
111쪽
DE figuris isoperimetris agit Pappus lib. U. Glea. Mathematicarum , ScClavius tum in Commentariιs super cap. I. Sphaerae Ioannis de Sacro Boseo , tum lib. VII. Geometria Practe ea . Quae igitur hae de rescitu magis digna nobis visa sunt, hic exhibemus.
I i operimetra disuntur illae, quarum perimetri, sive ambitus sunt L inter se aequales . Ut si tria latera trianguli ABC aequalia suerint quatuor lateribus quadrilateri ABCD, duo huiusmodi plana rectilinea erunt F g. a. sibi mutuo Moperimetra. Id ipsum dicito de solidis, videlicet ea esse iDp Fg. I. νimetra, quae aequalibus superficiebus continentur , quamlumvis genere di. TRb. II versa inter se mutuo illa suerint.
THEO REM A LTriansalorum isoperimetroram eandem basim habentium, quod es t sceles, majorem habet aream. Super eandem basim AC descripta habeantur duo triangula isoperime iis ij tra ABC, ADC, quorum ABC sit iso sceles. Dico, aream trianguli ABC R' I esse majorem area trianguli ADC.
Latere AB in directum producto , sumatur segmentum DF aequale lateis ri AB, atque adeo etiam lateri BC, & iungantur puncta D, F recta DF, 3' & puncta B, D recta BD. Quoniam igitur duo latera AD , DP maiora sunt' reliquo AF Lib. V. g.69. , eui duo AB, B posita sunt aequalia, duo latera AD , DF maiora erunt duobus AB, BC . Duo autem latera AD , DC sunt ex hypothesi aequalia duobus AB, BC. Ergo duo AD , DF duobus quoque AD, DC erunt majora DmAlig. 2 sq. ι sublatoque Idcιrco communi AD, reliquum DF majus erit reliquo DC Ib d. s. 269. . Itaque basis DF trianguli DBFe, cedit basim DC trianguli DBC. Duo autem ista triangula habent latera BFa
112쪽
BF, BC aequalia, & Iatus BD est utrique commune'. Ergo angulus PBD erit major angulo DBC Lib. V. g. 9αὶ ι ae proinde recta DB bifariam non divi dit angulum FBC . Ducta propterea recta BE, quae angulum ipsum FBC bifariam dividat, illa necessario eadet supra rectam BD, utpote eons iis tuens angulum LN majorem angulo DBC. Hisce positis, eum angulos FBC sit duplus anguli BCΛ, utpote aequalis duobus BCA, BAC cs 1 o. , qui sunt aequales s s. 6o , nequit angulus EBC esse una pars dimidia anguli FBC, quin sit aequalis angulo BCA Lib. I. g. it 3. . Duo autem hujusmodi anguli EBC, BCA sunt alterni , producti a recta BC ineldente in rectas BE, AC. Ergo rectae BE, AC sunt parallelae Lιb. IV. . I 2. . Quamobrem directe producto latere ΑD in B, junctisque punctis B, C recta EC, triangulum ΛBC erit aequale triangulo AEC Lib. VI. . 32. . Triangulum auiatem AEC est majus triangulo ADC cvn. e. q. 237. . Ergo triangulum quoque ABC est majus triangulo ADC: s. 26 . . Triangulorum itaque
COROLLA R I U M. rea trianguli regularis excedit aream trianguli irregularis isoperιmetri super eandem basem eonstitati. in s. omne enim triausvliam regulare est i sceles t Lib. v. s. 16.ὸ
. rea res guli super dimidiatam basim trianguli is celis constituti.
eique ooperimetri, est major area ipsius trianguli. -
Super partem dimidiam D basis AC trianguis isoseelis ABC eonstumium habeatur rectangulum DFLC ipsi triangulo i permetrum. Dico, aream rectanguli DFEC esse maiorem area trianguli ABC.
Super eandem partem DC concipiatur rectangulum BDCG eiusdem altitudinis BD eum ipso triangulo ABC. Itaque cum latera DC, BG sint aequa. Ita Lib. VI. g. 2 o. , duo BG, DC aequalia erunt basi AC. Eadem ratione Fig. aequalia erunt eidem basi AC duo latera DC, FE rectanguli DFEC ι aera II proinde reliqua duo eiusdem rectanguli latera DF, CE erunt aequalia dumbus lateribus AB, BC iplius triangula ABC is. I. ι cumque tam duo ΑΒ, BC Lib. V. 9 2s. , quam duo DF , CE sint aequalia inter se Lib. V I.s.2o , latus CL aequabit latus BC. Latus autem BC est majus latete GC Lib. U.ss. , utpote oppositum angulo recto BGC in triangulo BGC, ae proi de angulo majori, quam sit angulus G BC, cui opponitur latus GC , qui est acutus β.44. . Ergo latus quoque Cn erit majus latere GC D Aus. 26 . Elem. Matb. T.IM H Duo
113쪽
Duo autem rectangula DE , DG eiusdem basis sunt inter se, ut altitudines CE, CG Lib. IX. 1. Ioci. . Igitur rectangulum DE erit majus tecta naulo m. Manifestum porro est, triangulum ABC aequare rectangulum BDCG cs.s . . Ergo rectangulum DE majus quoque erit triangulo ABC tDm Ios r6 . . Itaque Area rectanguli &c. quod erat ostendendum.
Area quadrati excedit aream eu1κslibet parallelogrammi illi . . doperimetri.
s. Rectangulum L F sit isoperimerrum quadrato ABCD, nimirum duo is ε' latera , GF rectraguli smul sumta sint aequalia duobus lateribus M, 'R' 7 CD quadrati, quemadmodum & reliqua duo FE, EB reliquis duobus DA, AB. Dieo, aream quadrati esse majorem area reictanguli EBGF.
Latus FG ponatur una pars dimidia lateris DC, ut proinde latus DC sit duplum lateris FG. Super rectam autem bd duplam lateris BC constituctum habeatur rectangvium a d. erius altitudo ed sit in ratione subdupla ad altitudinem, sive ad latus DC, atque adeo aequalis altitudini FG re. elanguli E F. Quoniam igitur ex hypothesi habetur bd-BC - CD . de EG - BC CD - FG, bass bd rectanguli ad erit major basi BG rectanguli LG. Horum autem rectangulorum altitudines FG,ed positae sunt aequales. Ergo rectangulum ad est majus rectangulo EG Lib. IX s. 38. . Quadratum autem ABCD adaequat rectangulum ad c g. ros. i cum positum sit bd. BC DC. ed. Igitur quadratum quoque ABCD est majus rectangulo BBGF cvn. Ast. s. 6 s
Fig. 6. Super latus BC quadrati ABCD constitutus sit rombua EBCF ipsi qua . τδ 37.drato i,perimeter . Dico , aream quadrati ABCD exeedere aream iptius i ombi.
Di recte producta basi BC in G, demissaque ex vertice F perpendicula. ri FG , cum in triangulo CFG angulus CGF sit rectus c Lin. IlI. I x3. . adeoque major angulo FCG, qui est aeutus Lib. U. s. φὶ, latus FC erit majus latere, sive altitudine FG s. 13. . Est autem DC a CF. Ergo i
114쪽
tus quoque DC, sue altitudo quadrati ABCD emedit altitudinem FG p .rullelogrammi Εαs. Quadratum autem mcD est ad romtam EBeF. t 1Ititudo DC ad altitudinem FG έ Lib. IX. IOI. I. Ergo quadratum ABCD est majus tombo LBCF
per eandem basim BG eonssiturum sit rectangulam DBGF romboissim n, adeoque etiam quadrato ABCD se Voperimenνam. Ex demonstration s. 6. manifestum est, aream rectanguit EBGF majorem esse area rom idism B . Aleae autem quadrati ABCD excedit aream reddinguli EmFErgo area ipsius quadrati major itidem erit area rom idis m n. Itaque area quadrata dic. quot erat ostendendum. CO ULLA Iu Mis . Ex demonstratione O 6. ad evidentiam eolligitur j aream rectantuliesredere aream euiuslibet parallelogrammi obliquanguli sapeν eandem basi
μηβι ruti , atque ipsi rectaualor Uoperimetri LEMMA L
Si tu Dimoti res galo ab uno ara oram auulorum ad latas oppositum recta utcunque curatur . maior erit propονtIo bulas lateris ac segmentum , quod est prope a uulum rectam . quam totius guli ad aqvIam illi sementae
s. In triangulo rectanguIo ABC ab anguis stulo ACE ad oppositum Ia- m AB dueatur utcunque rectx CD. Dieo, rectam, sive latus ΑΒ habere Fi tris majorem proportionem ad segmentum DB, quam anguius MD ad an T b-
Quoniam angulus DBC, utpote rectur, in malae angulo CDΗ, & amgulus ADC, utpote obtusus m. v. g. . , exeedit angulum CBD is. 11J, atus in erit majus latere CB, de latus Cn latere CD cs. 13. . Qua m-H x obrem
115쪽
rem , si intervallo CD ex eretro C deseribatur areus EF. is seeabit Iatus Cri supra punctum A ini E, &i latus CB directe insta B productum in puncto F 3 eritque propterem ratio: trianguli AGD ad sectorem ECD maia storis inaquilitatis Lib. I. 6. s.) 3 mιnoris vero inaequalitatis ratio trianguli DCB ad sectorem DCF Ibid. ae proinde ratio trianguli ACD ad secto. rem ECD erit major ratione trianguli DCB ad sectorem DCF Ibid. s. . .. Igitur alternando , major quoque erit ratio trianguli ACD ad triangulum DCB, quam sectoris ECD ad sectorem DCF Ibid. g. r 29. 3 Ac com nendo, triangulum ACB habet majorem rationem ad triangulum DCR , quam fructor ECF ad sectorem DCF . Ut autem sector ECF ad sectorem DCF , ita est angulus ECF a1 angulum DCF c Lib. IV. g. I 63. . Ergo trian. gulum ACB habebit majorem rationem ad triangulum DCB, quam angulus ECF, sive ACB ad angulum DCF , sive DCB . Constat autem , bdisim ΑΒ esse ad b4sm DB , ut est triangulum ACB ad triangulum DCB Ibid. 99. . Ergo ratio quoque basis AB ad basim DB erit major ratione a Iuli ACB ad angulam DCR. Si ergo in triang loe .. quod erat &C.
Io: Idipsum eodem modo demonstrabitur, si angulus ABC trianguli ACB. Rerit obtusus, de universaliter , . si angulus CBΑ major fuerit angulo CAB
boρονι metrarum figurarum rectilineamm regularium: illa maiorem habet eate tum , quae pluribus lateribus comprehendituν. r. II. Sint duae figurae regnIires isoperimetrae CAB. LG, quarum CAB plu. . ribus, quam I G, lateribus contineatur. Ex earum autem centro D, H'adi' Iatus, ΑΗ, EG ducantur rectae perpendi eul res, . sive cateli D. , Hd. D1c ,, catelum Da es majorem caleto Fid.
' plurae sint latera figurae CAB, quam figurae LG , earumque, perimetri sint aequales g. r. , latust EG erit majus latere ΑΒ , di quoniam tam radii DA, DB, quam radii HE, HG sunt aequales Lιb. IX s. I9. , duo triangula ADB, THG erunt isoscelia c Lib. V. 11. 7 3 atque adeo latera ΑΒ , EG bifariam divisa erunt a caletis m,Hd IMI. g. 78. , eritque semilatus Edmajus semilatere Aa Lib. I. g. Iris. . Secetur ergo semilatus Ed in e , ita ni mirum ut sit est Aa . Quonim igitur anguius EF i est. ad, quainor rectos, ut latus EG ad totum perimetrum LGKE,sve CAB, Re perimeter CAB M latus AC, ut sunt quatuor anguli recti ad angulum ADB ut ... s. Ia IJ,ςr tad
116쪽
ex aequalitate rationis angulus L HG ad angulum ADB, ut latus LG ad lictus ΑΒ Lib. I s. 1 f. , eumque angulus I I Id si ad angulum ADa, ut an gulus L HG ad angulum ADB. S: latus Ed ad latus Aa, sive ad segmentum ed illi aequale , ut totum EG ad totum ΑΒ g. quatenus nempe ea. teti Da, H d tam angulos ADB , L HG , quam latera AB, EG bifariam dividunt Lib. V. gs. 78. 79. , erit quoque angulus EHd ad angulum ADa, ut latus Ed ad latus ed. Major autem est proportio rectae Ld ad rectam ed, quam anguli EHd ad angulum eHd 1. 9. . Ergo major itidem erit proportio anguli LHd ad angulum ΑDa, quam anguli LHd ad angulum eHd , atque adeo angulus e H d erit major angulo ADa L. b. 1 9 iro. 3.
Duo porro anguli ed H, Aa D aequales sunt inter se, utpote recti ι tresque anguli trianguli eHd adaequant tres angulos trianguli ADa Lib. V. A qs. . Igitur reliquus angulus Hed erit minor reliquo D Aa So. 9 169 .Hine, si ad punctum e ponatur angulus bed angulo DAa aequalis, recta becadet necessario extra rectam He Lib. III. g.9. , simulque proinde concurret cum recta dH in directum producta ultra centrum H in puncto b; N qu niam duo anguli DAa, Dr A trianguli δε Da sunt aequales ducibus angulisbed, b de trianguli ebd, alter alteri, & latera Aa,ed, quae istis aequali, bus angulis adjacent, posita sunt aequalia, latus Da aequabit latus bd Libris. 93. . Latus autem bd est majus caleto H d, estque latus Da catelus fgurae ABC. Ergo cateius Da figurae ABC est maior caleto b d figura: LG. Itaque Voperimetrarum figurarum dic. quod erat ostendendum.
COROLLARIUM I. cateias circuli est major caleto cuiuslibet polagoni regularis ipsi circulo is erι metri.
r. Circulus enim est polygonum regulare infinitorum laterum Lib. XI. i q. , ac proinde huiusmodi, ut nullum si polygonum regulare a circuislo diversum, cuius perimeter in tot latera sit divisus , in quot divisus est
PObedrorum regularium isoperimetrorum illud babet majorem eatetum , quod pluribus planis continetur. 3. Enimvero , quemadmodum in sguris planis regularibus rectilineis
augeri nequit numerus laterum illarum perimetrum constituentium , quin latera ipsa magis a centro recedant, atque adeo quIn earundem caletus major fiat, ita in s guris solidis regularibus, quae Planis terminantur, num eis rus terminantium planorum augeri haud potest , qs in similiter plana ipsa a figurae centro magis continuo remota fiant, ejusque propterea cateius
117쪽
cateius sphara est maior eaten eujuslibet pol edri regularis iquod sit ipse Iphara isoperimetrum. I . Cum enim sphaera sit polyedrum regulare infinitis planis terminiatum Lib. XIII. . III. nullum est polyedrum regulare a sphaera diversum, euius iuperficies plura, quam sphaerae seperficies, plana contineat.
Uoperimetrarum figurarum rectilinearum regularium illa maioris est area, qua plaribus lateribus continetur. x s. Sint duae figurae regulares rectilineae iDperimetra CAB, LEG, quarum CAB pluribus, quam LEG, lateribus comprehendatur. Dico, aream figurae CΑΒ esse majorem area fgurae L EG.
Area figurae C AB ad aequat rectangulum contentum sub ea telo Da, di sub semiperimetro abim, & area figurae LEG rectangulum contentum sub ea telo Hd, & sub semiperimetro dGKF Lib. X. g. 29. ut proinde harum figurarum areae sint directe inter se, sicuti hujusmodi rectangula. Rectanguis tum autem ex ea telo Da, & ex semiperimetro a Min est majus rectangulo ex caleto Hd, & ex semiperimetro dGKF Lib. IX. s. Ioo. ι eum semiperimetri, qui spectari possunt, veluti ipsorum rectangulorum bases, sint aequa. les inter se s eatetus vero Da si major caleto H l . . ac proinde inae. quales sint illorum rectangulorum altitudines. Ergo area quoque figurae CAB est major area figurae L EG Lib. I s. que . . Isoperimetrarum itaque figurarum dic. quod erat ostendendum.
COROLLARIUM I. crea figurarum rectilinearum regularium diverse generis sibi
natust isoperimetrarum sunt directe inter se, At ipsarum caleti, Is. Demonstravimus enim, aream figurae CAB esse ad aream figurae LEGilli isoperimetrae, ut est rectangulum contentum sub caleto Da, At sub semiperimetro abim ad rectangulum eontentum sub ea telo I d,& sub se. mi perimetro dGΚF. Hujusmodi autem rectangula , utpote aequales bases habentia , sunt, ut eateti, nempe ut altitudines Lib. IX. s. roo. . Ergo areae quoque ipsarum fgurarum CΛB, LEG erunt, ut caleti Da, Hd.
118쪽
C ROLLARIUM II. crea eireali excedit aream e uslibet piluini regularis illi i perimetri
r . Area nimirum circuli ACB excedit aream polygoni regularis RABipsi ei reulo Uoperimetνi. Etenim,cum circulus sit polygonum regulare infini torum laterum g. 69. , nullum est polygonum regulare a circulo, diversim, quod tot lateribus contineatur, quot cireulus comprehenditur. Ergo. '' ' illius area est major area polygoni cuiuscunque regularis illi isoperimetri Reeedit, eatetum DC circuli excedere caretum D.r polygoni RAR . s. I 2. . Ergo illius quoque area erit major area Polygoni RAR. cf. 36.
I 8. Hine eluulus est maxima omnium sirurarum rectilinearum regularium,.ua sunt ipsi circulo isoperimetra ..
Tobedrorum regularium isoperimetrorum illud est maius se quod pluribus, planis eontinetur. is . Sint duo polyedra regularia isoperimetra ABC. DEF kquorum Α in rici, pluribus numero planis, quam DEF, contineatur, Dac , aream Polyiari Fig. ivi ABC maiorem esse area polyiari, DEF- Tatat T.
Recta ae sit caletus polyedri ACB, recta bae si eaterus polyiari DEF. Conelpiatur autem parallelepipedum a mn, cuius basis emn adaequet Fini tertiam partem superficiei polyedri ABC, & altitudo ae ipsius caterum Fig. i5. nec non parallelepipedum bx3, eurus itidem basis xyae si tertia pars si-Tab.i7Perseiei polyedri DEF, & altitudo b x st ejusdem caletus. Quoniam igitur superseies ipsorum polyedrorum sunt aequales csi. I. , bases quoqueemn,. XI et parallelepidedorum amn, b Iae erunt aequales Lib. LI. 26. ι atque adeo parallelepipedum amn erit ad parallelepidedum byae, ut altitu. do ae ad altitudinem bx Lib. XIII . , sve ex constructione, ut ea-tetus polyedri ACB ad caietum polyedri DEF. Catetus autem a e Polymdri ABC est major ea leto b x polyedri DEF g. Is P. Ergo parallelepipedum quoque a mn erit majus parallelepipedo brae Lib. I s. os . . Manise. num porro est, polyedrum ΛCB esse aequale parallelepidedo amn, dc p Iyedrum DEF parallelepipedo byx Lib. XIV s. Ioo. . Ergo polyedrum ACB majus itidem eriti polyedro DEF Syn. Ag. q. 16o. . PolIedrorum ergo regularium &α quod erat ostendendum.
119쪽
COROLLAR DUM I. res polredrorum νegularium sibi mutuo isoperimetrorum sunt d.recte inter se, ut ipsorum cateti. et O. Ostensum squidem est, parallelepipeda a m n , by et, quibus Polyedra ACB, DEF sunt aequalia, esse directe inter se, ut ipsorum altitudines ae , b x, quae ab ipsorum polyedrorum caletis non sunt diversae. COROLLARIUM II.
22. Ex quinque eo oribus regularibus eubus est major tetraedro illi i pe-νimetro, octaedrum cubo, clodecaedrum octaedra, ct icofaebum dodecaedro , ac proinde icUaedrum est quinque corporum regularium tibi mutuo ι operuncir
rum m imum, tetraedrum vero omnium minimum.
rea obarae excedit aream euiuslibet polredri regularis i illi Voperimetri. 11. Ut si sphaerae ACB i perimetrum fuerit polyedrum regulare Ae C, p;e is erit major Polyedr Ae C. Etenim numero plura sunt plana , quia Fig. ii bus terminatur sphaera ACB , quam illa, quibus polyedrum AeC compre-Τab. in henditur; cum illa sint numero in sinita Lib. XIII. s. ii 'a , haec vero finita. Adde, caletum DC sphaerae esse majorem catelo ae polyedri MC g. x Ergo spliaera ACB major itidem erit polyedro AeC s. 21. . Cono LLΛRIUM IV
et . Spectetur sphaera ACB. Dico primo , ipsam esse maiorem quocun: que cylindroe illi Goperimetro ' i
120쪽
Sphaera ACB adaequat cylindrum , eujus baseos ei reuius si aequalis toti superficiei ipsius sphaerae, altitudo vero tertiae parti radii DC Lib. XIV. . IOP. , ac proinde est aequalis cylindro, cujus tota superficies est maior superficie ipsus sphaerae. Ergo sphaera est major eγlindro, cujus superficies ipsius sphaerae superficiem adaequat.
21. Dieo 2, sphaeram ACB esse majorem eono, qui sit ipsi sphaerii perimeter.
Coineidit tum praecedenti . Sphaera enim est aequ&lis cono, enius haseos cireulus sit aequalis toti superficiei ipsius sphaerae , altitudo vero ejusdem radio s. Iol. 1. Itaque sphaera dic. quod erat ostendendum.