장음표시 사용
131쪽
i 19 Super rectam AB describere oporteat pentagonum simile pentagoncteiba, de similiter positum.
Pentagonum esi resolvatur in tria triangula aeb, aee, bdes tum superrectam AR fiat triangulum R. B lima te triangulo aeb, se per latus AE tr angulum ACE simile mangulo aee, di super latux EB ttiangulum BDE siώmile triangulo bde g. 28. . Pentagonum CAD erit simile dato pentagon rad, oe similiter positum.
Utrumque pentagonum C AD, ead in totidem ex Fquo triangula similla re lux potest. Id autem nonnisi fimilabus polygonis convenit . Ergo duo ipsa pentagona CAD, cad sunt similia.
Dati eiseuli rentrum inυenire. 3o. Esto circulus XC B, cujus centrum invenire oporteae.
Ducta chorda CB, ex altero ipsus extremo C erigatur perpendiculari vCat Oeeurrens peripheriae ipsius ei reuli in puncto x ι duoque exis trema Puncta X , R iungantur recta x B, quae bifariam dividatur in D I. I. . Punctum D erit tentrum ipsus circuli.
Cum enim angulus xCB sit rectus ex constructione , segmentum HB circuli erit semiei reuius t Lib. VII. g. 78. . Ergo recta is erit diameter ci culi mis 3 ac proinde punctum D illius centrum.
Ducta uteunque e horda CB, eaque bifariam divisa in puncto b g. r. ,τrig tur Perpendicul aris ea s. I x. , oecurrens peripheriae ipsus eireuli in
132쪽
punctis a , e, ipsaque ae bifariam dividatur in puncto D s. I. , q.od
erit centrum circuli quaesitum.
Paret manifeste ex s. r. lib. VII.
PROBLEMA ULPer tria data puam , qua non sint in directum Posita , circulum describere. 3r. Circulum describere oporteat, cujus peripheria simul transeat pet tria puncta A, B, C non in directum posita.
Puncta Α , B B, C iungantur rectis AB, BC , quibus bifariam divis
in a, e a. , ex ipsis punctis a , e er,gantur Perpendiculares aE, eGFig. I s. g. Ιχ. , sese mutuo secantes in puncto x, quod erit centrum quaesiti eis TR, ι .culi, nempe eirculus descriptus ex puncto x , intervallo XΛ, transibit per
Ex puncto x ad tria ipsa puncta A, B, C ductae intelligantur rectaex Α, xB, xC. Quoniam igitur recta AB secta est bifariam in a & recta daeest communis utrique triangulo Aax, Bax, duo hujusmodi triangula habe hunt duci latera duobus lateribus aequalia, alterum alteri. Est autem etiam angulus Aax aequalis angulo B.ixι eum uterque si rectus LibErgo basis Αx aequabit basim Bx Lib. V. A 3. . Eodem modo ostendam, rectam xC esse aequalem redi. e Bx . Igitur rectae XΑ,xB, XC sunt aequalesiae proinde peripheria circuli descripti ex puncto X, Intervallo unius exit lis rectis lineis, transibit per tria puncta A, B, C.
COROLLARIuM I. 32. Itaque per tria quaecunque puncta non in directum posita transire potest Peripheria circuli ι atque hinc COROLLARIuM II. 3I. Circa quodcunque triangulum planum rectilineum circulus describi potest. Elcm. Matb. T. IV. 1 3 Co-
133쪽
arcus perscitur. Satis namque .est , ut determinatis tribus punctis in ipso ar'cu, inveniatur centrum circuli, cujus peripheria per tria illa puncta incedat. L E M M A IOmnis figina re ctilinea aquilatera cirrato inscripta , est regularis. 33. Circulo ABCD inscripta si figura rectilinea aequi latera ABCD. Di-xo, Ruram rectilineam ABCD esse regularem.
Quoniam ex hypothesi latera AB, BC, CD sunt aequalia, arcus quoque Ad B, B C, Cm D erunt aequales c Lib VIII. s. 38. ι ac proinde totus arcus iis 'a ABC aequabit rotum arcum Bm D S . .ast A. 1 ε . . Igitur duo itidem 'U' 'anguli R BC, BCD sunt aequales Lib. VIII. . 3. . Eodem modo ostenden tur aequales etiam duo BCD, CDΑ , atque ita deinceps. Rectilineum ergo ABCD est aequiangulum. Est autem etiam aequi laterum ex hypothesi. Ergo est regulare Lib.V. . 1 o. . Omnis itaque figura &e. quod erat ostendendum. PROBLE ΜΛ VII. Teripheriam eirculi unico eircini intervallo in duodecim aquales partes dividere. 3 6. Esto peripheria circuli ABCD unico ore inj intervallo in duodecima quales paries dividenda.
Dueantur diametri AC, BD sese ad angulos rectos seeantes in centro a F. Is . . tum intervallo radii Ba . ex puncto A secetur peripheria in pu Π- Fig. 7. ctis d, ara ex puncto B in punctis b, f ι ex puncto C in punctis e , n, dcT ex puncto D in punctis m, Σ, eritque tota ipsa peripheria divisa in duo decim partes aequales, prout quaesitum suerat.
Enimvero, eum ex constructione aretis BA, AD sint aequales Lib. III. s. i . , scuti etiam arcus Bb, Dae s Lib. VII. I. 38. , etiam reliquus b Areliquo A et erit aequalis SI . Alg. g. 166. . Totus autem b et est tertia pars semiis
134쪽
simi peripherle BAD 3 eum uterque Bb, Det. st itidem una pars tertia eiu cdem Lib VII. s. 97. . Ergo uterque arcus bA, A et erit una sexta pars semi- peripheriae RAD, atque adeo una pars duodecima totius peripheriae ABCD. Eodem modci id ipsum demonstrabitur de arcubus dB, Be , fC, Cm, n D, D cIgitur quilibet itidem teliquorum bd, ef, mn, xe erit una pars duodecima totius peripheriae 3 quippe si aequalibus Ad, ed demantur aequales M, Ab reliquus Bd reliquo db erit aequalis SIn. v. f. 266. .
38. Per spieuum quoque est , quomodo tria gulum aquilaterum , quadra. tum , hexagonum , octogonum, aliaque potnona regulaνia circulo inseribi pos-fint. Satis enim est, ut divisa peri Pheriae circuli in tot partes aequales, quot fi int latera polygoni inscribendi, horum arcuum ehordae dueantur. Ex prae. misso squidem Lemmate manifestum est, polygonum hine factum esse regulare .
ia datum punctum in peripheria eirculi tangentem dueere ..3s. In peripheria circuli AD datum sit punctum Α, ad quod rectam latra
Ducto radio CA, ex illius extremo, sive ex dato puncto A erigatur pera Figi τ pendicularis ΑΒ cs. Ia. , quae erit tangens quaesita. Tab. II.
Cum enim, angulus BQ ex constructione sit rectus, tota ipsa recta Απextra circuli peripheriam eadit Lib. VII A. 3. . PROBLEMA IX.
Ex dato puncto extra cireulam duceνe νectum, qua circulam ipsum tangat. o. Ex puncto D posto exire eirculum Deitculum ipsum tangat.
135쪽
Ex eentro C ad datum punctum D ducatur recta CD, qua bifariam duvisa in a g. I. , centro a. intervallo partis dimidiae a D, deseribatur se F .ig. micirculus D AC secans peripheriam circuli in puncto A. Recta DA ducta Tab is a puncto D ad punctum sectio ais Α, erit tangens circulum.
Rectus enim est angulus D AC Lib. VIL 7s. 7, utpote in semicirculo eons stens. L E M M A II. si recta linea Dcta fuerit extrema, ct media ratione, triangulumi sceles , cuius basis si aequalis ma)οri segmento ipsius recta , utrumque autem latus totam ipsam rectam adaequet, habebit angulum ad basim duplum anguli verticalis. r. Recta AB secta sit media, ct extrema ratione in D. Maius autem ipsius segmentum AD sit aequale basi BC trianguli ita elis BAC, cujus utrum. Hy- 2, que latus ΑΒ, Α C rectam ipsam ΑΒ adaequet. Dico, utrumque angulum Tδb. r. ABC id basim duplum esse anguli verticalis BRC.
Ducta ex puncto sectionis D ad extremum C recta DC , per tria puncta A, D, C transeat peripheria circuli ADCE, quam tangat recta BC in puncto C. Quoniam igitur angulus BCD ad aequat angulum C AB, seu CAl Lib. VII. g. 83. , si utrique adjiriatur angulus A CD, angulus BCA aequalis erit ducibus angulis CAD , DC A simul sumtis S n. Alr g 26 3. Hos autem itidem adaequat angulus BDC Lib. V. g. 1 o. . Ergo duo anguli ACB, BDC sunt aequales S m. cela. g. 2s9. 7ι cum qua angulus ABC st aequalis an gulo ACB Lib. V. 9 6o. , etiam angulus ADC angulci BDC aequalis erit Dm A g. g. 26x. 3 3 duoque idcirco latera DC, BC erunt aequalia Lib. V. S. 6s . . Posuimus autem rectam BC aequalem rectae A D. Igitur recta AD aequabit rectam DC SIn. g. g. 26 t. s & ideo duo, anguli DAC, DC Rerunt aequales Lib. V. g. 63. . Constat porro, angulum BCR aequare duos angulos DCA, DAC, ut modo demonstravimus. Ergo angulus BC A est duplus anguli BAC, atque adeo etiam angulus ABC, utpote ipsi BCA aequa lis, duplus est anguli.BΑC. Itaque si recta linea M. quod erat ostendendum.
136쪽
a. Cum tres anguli trianguli BAC valeant duos rectos sibidem β. o. . angulus B AC erit quinta pars duorum rectorum , atque adeo una pars decim .r quatuor rectorum. Quamobrem arcus GC descriptus ex puncto Α, in. tervallo totius rectae ΑΛ , erit una pars decima peripheriae circuli , cujus radius sit ipsa recta AB Lib. VII. g. 28. . COROLLARIUM II. 3. Hi ne, se radius eire uli media, oe extrema ratione fetetur, majus ψ sius segmentum erit chorda arcus, qui est pars decima periphaeria totius cir lip ROBLEMA X. super datam rectam lineam pentagonum regulare describere
A. Pentagonum regulare construendum si super datam rectam ΑΒ
Divisa recta ΑΒ extrema, & media ratione in C g. 18. , ipsi AB hin rinde in directum adjiciantur partes A G, BH aequales majori segmento AC. Fig. Tr: Tum ex punctis G, Α, intervallo totius rectae AB, describantur duo a reusTarii sese mutuo secantes in puncto D, scuti etiam cx punctis B, H, eodem tri4, tervallo, duo arcus sese mutuo secantes in F, & ex punctis D, F, codem intervallo , duo arcus, qui se mutuo dividant in puncto L. Haec porro puncta A, D, E, F, B jungantur rectis AD, DE, EF, FB, eritque supcrrectam AR descriptum pentagonum regulare EA B.
Cum enim singula latera ipsitis pentagoni ex constructione adaequent ra-dium circuli, omnia erunt inter se aequatia Syn. 9. s. 2 9. 3. Igitur Pentagonum EAR erit aequi laterum. Rursus quoniam ex hypotlie si recta AD secta est m da, ct extrema ratione in C, sitque DA AB,& GA AC,. ducta recta DG, quae rectae DA erit aequalis s Lili Io. , angulus D AG aequabit duas qmnias partev duorum rectorum g. 61.3; ac proinde, Cur duo anguli DAG, DAB valeant duos rectos rb. III. g qo. , angulus D AB tribus quintis partibus duorum rectorum aequalis erit. Eodem modo ostendam, angulum quoque FBΑ tres quintas partes duorum rectorum aequare Igitur duo anguli DAL , FBA sunt inter se aequales S n. a. s 1 9. -- Praeterea , cum triangula i scelia GDA. BFH sint aequalis , & habeant: aequales bases GA, BH, eorum altitudines Da, I b erunt aequales Lib. IXI. I O 'F. ,
137쪽
quia sunt parallelae Lib. IV. g. 9 recta DF ducta a puncto D ad punctum F, erit parallela rectae GH Lib. V. 688 Q. Anguli ergo alterni FDA, DAG erunt aequales Lib. IV. I. is.); eumque angulus D AG adaequet duas quintas partes )uorum rectorum Ax. , iisdem itidem partibus angulus FDA aequalis erit. In triangulo autem iso ele DAB ducta nimirum re eta DB duo anguli ADR. ABD sint aequales Lib. V. s. G. ', tresque I p. sius anguli valent duos rectos i Ibid. 9 o. . Ergo, cum angulus D AB, . ut modo vidimus , sit aequalis tribus quintis partibus duorum rectorum , an gulus ADB, seu ti etiam angulus ABD, unam quintam Partem duorum reis chorum aeqirabit; rectaque ideirco DR angulum ADF bifariam dividet, &angulus DBF erit aequalis duabus quintis partibus duorum rectorum 3 cum totus ABF tres eorundem quintas partes contineat. Igitur anguli DBF, FBHsunt aequales sS3n. Ax s. asy. . Constat autem, angulum DFB aequalem esse angulo alterno FBH Lib. IV. A. Is . . Ergo angulus DFB aequabit angulum DBF Dn. Alg. . 16 r. in , ae proinde latus DF erit lateri DB aequa. te cLι b. V. g. 6s . . Duo itaque triangula DEF, DAB sunt sibi mutuo aequi. latera, adeoque aequi angula s Ibid. s. 8 s. eritque propterea angulus DEFaequalis angulo DAR ; & angulus EDF angulo ADA'. Angulus autem ADBest aequalis uni quInta parti duorum rectorum. Ergo eandem Partem angulus quoque E DF aequabit. Eidem porro parti aequalis est etiam anguis lus FDB , utpote aequalis alterno DR . Igitur angulus L DΑ continet tνes quintas partes duorum rectorum ν estque ideirco angulo DAB aequalis. Manifestum quoque es , angulum EF B aequare angulum FBA, eum anguis lus EFD, adaequet angulum DBR,.& angulus DFB angulum FBD, ut supra demonstravimus. Ergo pentagonum Ε ΑΒ non tantum aequilaterum est;
verum etiam aequiangulum , adeoque &c.
Pentagonum regulare eirculo inscribere. I. Pentagonum regulare circuloe ABD inscribere oporteat
Radius AF dati ei reuli secetur media, ct extrema ratione in puncto x F g. a. I 8. ι sumptoque maiori segmento Αx, secetur peripheria ipsius circu- Ἐδν δ' li ex puncto A in b ; de sumatur arcus ΑΒ duplus arcus Ab, chordaque. du catur ΑΒ, quae erit latus pentagoni regularis ABCDF quaesiti.
Cum enim arcus Ab sit una paνs decima peripheriae ei reuli ABDis. I. Lareus AB erri una pars quinta eiusdem. Quamobrem chordae AB, BC, CD, DF, FΛ, utpote aequalibus arcubus subtensae, erunt aequales Lib. VILL 37. Igi.
138쪽
Igitur pentagonum ACF erit aequi laterum ι ac proinde regulare g. 31. . COROLLARIU M.
aequales dividi possit , atque Iunc in paries Io, 2o, εο, 8o &c. sola arcus bisectione. PROBLEM A XII. Quin easonum regulare circulo inscribere.
Aptetur ei reulo latus AD trianguli regularis s. 38. , & latus ΑΕ pentagoni itidem regularis c g. 6s. , ita nimirum ut idem punctum A sit utrique μι ieommune. Tum arcus ED bifariam in puncto e dividatur g. . . Chorda Tah. is. dimidii arcus De erit latus quindecagoni regularis eirculo ACD inscribendi.
t ut illius pars dimidia De erit --. integrae periphetiae ipsius cireulis 1 adeoque & . COROLLARIUM.
aequales ι & hinc in partes Io, 6o, axo &c., arcus singulos bisecando.
. Figurae res ι linea regulari circulum inscribere.
Bisariam divisis duobui lateribus AB, BD in punctis b, e t g. r. , erigantur ex illis punctis rectae perpendiculares ba, ea s. II. . Punctum a , in quo illae concurrunt, erit centrum quaesiti circuli.
139쪽
Ex puncto a ad apices angulorum A, B, D ipsus feturae dueantur rectaea A , a B , a D. Quoniam igitur latera Ab, b II triangulorum Aab, Bub exconstructione sunt aequalia, re latus ab est utrique triangulo commune, ari-gulique Aba , Bba, utpote recti, sunt aequales, bases quoque a A, a B erunt aequales. Lib. V. s. 7 r. . Eadem ratione aequales erunt rectae a B, aDι ac proinde tres tectae ali, a D, a A erunt inter se aequales. AEqii alia sunt autem etiam latera AB, BD , nempe bases triangulorum Α aB, B.iD Ibid. g. ro. γIgitur duo triangula A aB Da D, utpote sibi mutuo aequi latera, erunt aeqtuanis
gula cn.d. g. 8s. adeoque smilia Lib IX g. 66. eorumque idcirco altitu. dines ab , ae erunt directe inter se, ut bases AB, BD, quae sunt latera ipsorum homologa Ibi d. s. 8. 3 ac proinde erit a b -ae, quemadmodum est AB BD Lib. I. L s. . Fodem modo ostendam esse ac ad , atque ita de ceteris, si quae fuerint. Circulus ergo descriptus ex puncto a , intervallo ab , t ngit omnia latera figurae ABD, adeoque &c. COROLLARIUM T. so. centrum itaque figurae regularis rectilineae diversum non est a tentro inscripti circus ι. Demonstravimus , cujus, rectas a Α, aB, a D ductas a centro a in seripti circuli bed ad apices angulorum A, B, D figurae rectili. Deae regularis ABD, esse inter se aequales. COROLLARIUM II. uer. Cum plinctum a , in quo concurrunt rectae ab , ae bifariam atque ad angulos rectos dividentes latera AB, BD figurae ABD, sit ejusdem λgurae centrum, manifeste a I paret, quomodo centrum figurae rectilineae resularis inveniri possit. COROLLARIuM III.
r. Invento centro figurae rectilineae regularis, habetur, quod requiritur,tit circulus ipsi figulae circumscribi possit, atque hinc patet, centrum figurae rectilinea regataras Id. m esse eum tentio circumscripti eιrculι.
PROBLEMA XIV. 'Firtiram rectilineam regularem eirctilo circumscribere. 13. Circulo crur quadratum circumscribere oporteat.
140쪽
Peripheria dati ei reuli divititur in quatitor partes aequales o , Tu, in i re , In tot nempe, quot sunt latera suurae ei reum seribendae, atque ad singula Fig. r . puncta divisionis ducantur radia ae , π, a M. a , per quorum extrema agan-Tab 13.
t ut tangentes BC, CD, DA, AB cs 39 ), quae constituent quadratum quaesitum ABCD.
Ductis a eent in a ad apices angulorum et reum scriptae figurae radiis a A. aB, a C, a D, Cum duae tangentes e B, Bν sint aequales inter se Lib. UIR s. 8 3. , seu ti etiam duae N, Cu, nee non duae a e . ar Ibid. g. ro. in , & la tus Ba sit commune utrique triangulo ei B' Ru , duo hujusmodi triangula, utpote aequi latera, erunt aequi angim Lιb V. . ys. , angulus nempe casaequabit angulum B. . di angulus a Re angulum a I. Quamobrem angulus eas erit duplus angula go, Ae angulux eR, an rufi aBν. Eadem autem rati ne et 1am angulus I. e duplus anguli Ia , Ad angulus 3Cia anguli 3Ca. E EO, Cum duπ anetuli es. It . . tirpore aeq libu artubus ex constructione Insistentes, sint aequale Lb VII ε 1τ. . dum itidem anguli BD, yaC erunt aequales Lib. I. g. Os. J. Sint autem aequales etiam duci aIB , C, utpote recti. Ergo duo qu que a m . a K mqualeν erunr c Lib. V. s q6. 3 atque adeo etiam duo AuC, BCD erunt aequales c Liῆ. I. .. tox. eum, ut m Od dena onst ravimus, i ne in ratione dupla ad aequales am, a CB, seu aBI, IC a. Eodem ratiocinio ostendam , angulum BCD aequare angulum CDA , 8c angulum CDA esse aequalem anetulo DAB ι atque adeo figuram ABCD eta aequi angulam Rursus . cum duci anguli a BC, a CR ostensi sint aequales, tria gulum C erit 1soseeles Lib. se 13. ι eumque recta ar basi BC ad perispendiculum ex eo structione insistat . basim ipsim BC bisariam dividet. Nempe erit Paet*IC cIbιd. g. 8. λ. Est autem eadem ratione etiam Curam BD, S W-Cu L:b Ut L. fi 83. Eretri erit etiam BC CD s Lib. I. s 32 .ὶ ι ear demque ob causam CD DA, atque ita de ceteris. Figura itaque ABCD est aequi angula .& aeqvi latera , ae proinde regulari quod erat&
Dato rectangulo aquale rectangulam super datam rectam construere. η Super rectant ud rectangulum construero oporteat , quod si aequale dato rectangulo as ne
Lateri fis dati rectanguli adii elatur data recta ad in directum. Tum directe producto latere ae in b, fiat eburand , ductaque recta M, eonstr ctu