장음표시 사용
121쪽
Praecipua elementaris Geometriae problemata resolvuntur, α demonstrantur.
ELementaris Geometriae problemata , quae in hoe postremo libro re. solvuntur, & ex tradatis principiis demonstrantur, sunt praecipua, quae in hac Geometriae parte tradi solent. Totum porro librum intres sectiones, majoris . claritatis gratiR, partiti sumus , quarum prima ea Continet problemata, quae ad lineam spectanti seeunda complectitur illa, quae ad figuras planas tertia vero, quae ad ollaas pertinent , comprehendit.
De linea recta, & angulo plano rectilineo.
PROBLEMA I. Rectam lineam finitum bifariam dividere. Fig. 4. I TMo recta AB, quam bifariam dividere oporteat. Tab. 18. n
Ex punctis extremis A, B lubito eluini intervallo, quod dimidiam ip. sus rectae partem excedat , describantur arcus ab , e d, ef, mn se mutuo secantes in punctis x, et, per quae ducatur recta se . Haec bifariam divis det ipsam rectam AB in puncto C.
Quoniam rectae Ax, Bx ex constructione sunt aequales s Lib. VII. I. I o. , triangulum AxB erit i sceles s Lib. V. s. et s. . Rursus eum duo latera fix, Bx sint aequalia,& latus x et sit commune utrique triangulo ΑΥΣ, Βxae, eorumque bases AZ, Bae sint aequales Lib. VII. s. Io. , angulus Axae aequa bit angulum Bxae Lib. V. A. 81. . Ergo recta xC biiariam dividet angulum
122쪽
vertie alem AxB trianguli i stelis AxB. Quamobrem recta a C bifariam quoque dividit rectam ΑΒ cs. 76. , adeoque &α COROLLARIUM.2. Cum ob aequalitatem rectarum ΣΑ, ΑΣ , G, Bx quadrilaterum xALBsit parallelogrammum Lib. VI. g. 28. , &, qua ratione recta a ae bifariam dividit rectam AB, eadem ratione recta xet a recta AB bifariam dividatur. sintque rectae AB, x et diagonales parallelogrammi xΑχB, perspicuum remanet, diagonales parallelogrammi sese mutuo bifariam Δυidere. S c II O L I O3. Si lineae dividendae longitudo maior fuerit, quam superior operatio patiatur, auserantur hinc inde, initio sumto ab extremis, partes numero, ' di magnitudine aequales, donee idoneum segmentum in medio relictum 'fuerit. Ut si dividenda sit recta DE, detractis hine inde aequalibus parti. bus DA, BL, residuum segmentum ΑΒ bifariam, ut supra, secetur. Tota enim recta DE erit hoc ipso bifariam divisa.
Areum circuli bifariam dividere. 4. Dividere oporteat bifariam a reum circuli AIB .
Extrema puncta arcus iungantur recta AB, quae bifariam dividatur ope Fig. φrectae xd cf. I. . Haec bifariam quoque dividet arcum ipsium ΑχB. Tab. iis.
Cum enim , ut I. I. ostensum est, anguli Axae, Baeae sint aequales,& trian. gulum B ex constructione sit i sceles, recta xC erit csordae ΑΒ per. pendicularis cs. I. . Ergo recta ipsa AC, sive x et, arcum AaB bifariam
dividit Lib. VII. s. sso. LPROBLEMA III.
Angulam νectilineum bifariam dividere. 1. Esto angulus rectilineus AxB bifariam dividendus.
123쪽
Ex apiee x, lubito ei rei ni intervallo, seeentur rectae xA,x B in punctis φ q. Α, & ducatur recta AB, quae bifariam dividatur , ut supra , ope rectae. Haee bifariam dividet ipsum angulum Ax B.
Patet ex demonstratione s. I. PROBLEMA IV. Ad datam rectam lineam, datumque in ea punctum, dato anguis rectilineo aequalem angulκm rectilineum constituere. c. Ad datam rectam lineam AB, datumque in ea punctum a construere oporteat angulum rectilineum, qui sit aequalis dato angulo DCE.
Ex dati anniti apiee C, lubito eircini intervallo, describatur areus DEF e. s.6. inter rectas CD, CL comprehensus. Tum eodem intervallo, ex dato puntia δb cto a fiat arcus bd, in quo ex puncto b sumatur portio be arcui DE aequalis, & ducatur recta af . Angulussa B erit angulus quaesitus.
Cum enim arcus be, DE sint aequales, anguli quoque bae , DC E erunt aequales c Lib. III. g. 16. .pROBLEMA U. Ter darum punctum extra datam rectam ducere rectam illi parallelam. . Extra rectam AB habeatur punctum C, per quod restam ipsi ΑΒ parallelam ducere oporteat.
A dato puncto C ad datam Ast ducatur recta Ca angulum acutum con-F g. 7. stituens CaΑ. Tum centro a , intervallo aC describatur arcus Ce, & ex Tu 1. i8. puncto C, eodeni circinι intervallo, arcus ad , in quo sumto arcu ab ar cui Ce aequali, per puncta C, b agatur recta Cb, quae erit parallela quae
124쪽
Quoniam arciis Ce, b a sunt aequales, aequales erunt anguli alterni Cae, ὲCa s Lib. III s. I . . Ergo rectae Cb, ΑΒ erunt parallelae DL IU. s. II 2. .
Secare rectam lilleam, ut altera recta secta est 1. Secare oporteat rectam AC. ut est secta recta AE In puncto D: Iungantur rectae AC, ΑΓ, ut angulum constituant CAE. Tum ab extrecmo C ad extremum E ducta recta CE, per punctum D agatur recta BP rectae CE parallela s. 7. . Recta BD secabit rectam AC in phncto B, ue h. secta est recta AE in D.
s. Hine 'tet artifieium dividendi rectam Iineam secundum datam pro portionem, puta rectam AE secundum rationem rectae ab ad rectam be. Fig. 2 Etenim , ducta recta indefinita AC angulisv constituente CAE cum rectoab. ibia ΑΕ, ponatur AB ab, de BC ube, junctisque punctis C, T recta CE, per punctum B ducam e recta BD ipsi CE parallela is. I. . Erit AD. DE --. be, cum si AD. DL- ΛB. BC Lib. IX. F. Is . COR LLARIuM ILTO. Μanisestum est propterea kquomodo ex data recta AE imperata pareauferri possit, puta una pars tertia. Quandoquidem, si ducta recta indemnita AC, sumamur in ea ex puncto A tres partes aequales lubitae magnitu dinis AD, Bm, - , junctisque punctis extremis C, E rectae CB, per puncctum B ducatur recta BD re parallela , erit ΛD una Pars tertia r cta: ΛΕ. Hinc
125쪽
II. Liquido apparet , quomodo recta linea in quoteunque partes aequa, Ies secari possit. Illarum quippe una inventa , simiaque ope rimisi illitis magnitudine, tota ipsa recta in quaestas partes dividetur.
Da a recta lisea e puncto in illa dato rectam perpendicularem excitare.
In recta AH ditum sit punctum C, ex quo rectam ipsi AH per
pendicularem excitare oporteat.
- ipsam AH sumatur quodvix punctum D, ex qu si dueatur rectarie ἡ Punctum C, angulum acutum constituat. Tum ex ipso puncto D, Intervallo DC desesibatur etreulus x CB seeanx rectam AH in punct B, ex quo dueatur diameter M, & iungantur puncta x, C recta XC, quWem ipsi AH perpendi laris
Rectus enim est angulus mPI Ei UIL utpote In semiela I at CR eonsistens. iCollo l. II. Mani sestum est, quomodo per datum punctum in vita tecto lineae ponte duci recta, quae rectam ipsam ad angulos tectos dividat.
Ad datam rectam Eneam ex p.ucto extra illam posito pectam perpendicularem tarere. Extrae rectam AH datum habeatue punctum x . ex quo rectam di cere oporteat ipsi AH perpendieularem,
126쪽
intervallo DB, seeetur recta AH in C, ad quod ex dato puncto x dueatur recta in , quae erit perpendicularis quaesita.
Constat enIm , deseripto eireulo a CB, angulum a CB in semieireulaeonsistere, atque adeo ipsim esse rectum s Lib. VIL s. 73. .
x s. Cognito artiselo dueendi rectam, quae alteri rectae ad perpendi eulum incumbat, liquido apparet, quomodo norma construi possit. Est enim norata instrumentum Geometricum ex duabus regulis ad angulum rectum simul iunctis compositum, quo explorari solet, an datus angulus rectili. neus sit rectus.
DEFINITIO.is. Recta linea dieitur fecta media, oe extrema ratione, eum ma us illius lamentam est ad 'menrum minus, ut tota ipsa linea est ad 'mentum ma- Fig I. ius. Recta nimirum ΑΒ erit secta media, er extrema ratione in puncto DJG. si fuerit ΛD . DB - ΑΒ . ΑD. COROLLARIUM.t . Itaque recta linea erit secta media, re extrema ratione, si maius illius segmentum fuerit media proportionalis inter totam ipsam lineam, &segmentum minus 3 ae proinde si quadratum segmenti majoris fuerit aequale rectangulo eontento sub tota, M sub minori segmento Lib. IX. s. II 8. .
Rectam lineam finitam media, o extrema ratione dividere. 8. Esto recta ΑΒ media, re extrema ratione dividenda.
Bisariam divisa recta AB in a s s. r. , toti ΑΒ adileiatur pars Ab-Aa Tum ex puncto Α erecta perpendiculari Ada BA c β. Ιχ. , centro bintervallo b d , describatur areus dD secans rectari Λu in D. Recta AB erit secta in D media, oe extrema ratione.
127쪽
In directum producta recta Db in e , sat eb-bΑ ι adeoque eΑ - AB, sique ex rectangulum ex tota e A , sive AB simul cum adlecta AD in ipsamRDi de em sit quadratum rectae eΑ, seu AB. sve Ad. Quoniam igitur recta eΑ divisa est bifariam in b , eique adjecta est pars AD, rectangulum ex, una cum quadrato partis dimidiae bΑ erit aequale quadrato rectae bD Lib. XV. 266. lac proinde etiam quadrato rectar bd ι eum se ilieet sit bd-D. Quadratum autem rectar bd est aequale quadratis laterum bΑ , Ad simul sumtis LibVI. g. 7. . Eigo rectangulum quoque ex una cum quadrato Partis, A erit aequale quadratis rectarum bA , Ad s S mis tr. f. 26 r. ), nempe quadrato em rectae e A una eum quadrato rectar bΛ ex constructione . Sublato Propterea eommuni quadrato rectae bA , rectangulum ex erit aequale quadrato em tibid. s. 266. , sique his dematur commune rectangulum en, reliquum fm erit aequale residuo quadrato Αx ibidem . Est autem fnrita AB, eg e Arar AB, ef AD, adeoque D - DB ι ae proinde s m est rectangulum ex tota ΑΒ in partem DB, & Ax est quadratum partis A D. Ergo recta AB erit secta media, O extrema ratione in D cs. II.
Datis duabus rectis lineis tertiam geometrice propontionalem invenire. s. Post rectas ab , bc invenire oporteat tertiam geometri ce proporti .
Ducta recta indefinita AD, sumatur ΑΒαα ab; erectaque perpendiculari Fig. s. BC be s. ra. , jungantur puncta Α, C recta AC, Ac ex puncto C aga-Tab. 13.tur recta CD, quae ad perpendiculum incumbat rectae C Α, rectaeque BD o currat in puncto D. Recta BD erit tertia proportionalis quaesta.
Cum enim ex constructione angulus ΑCD si rectus , triangulum ACDerit rectangulum. Recta autem CB hypotenti cx AD itidem ex constructi ne ad perpendiculum insilit. Ergo erit ΑΗ . BC . BD Lib. IX. g. 7 7. COROLLARIU M. zo, Hinc apparet, quomodo linearum proportio in infinitum eontinua. ri possit ΡROis
128쪽
Datis tribus rectis lineis quartam geometrice proporιιonalem ιnυeuire. II. Datis tribus ab , be, ad , invenire oporteat quartam , ad quam se habeat tertia ad , ut se habet prima ab ad secundam bc. .
Ex puncto Α dueantur rectae indefinitae AC , AE angulum eonstitilentesCAE . Tum ex puncto A sumatur in recta AC segmentum A II - ab . de segmentum BC inbe, in recta vero ΑΕ segmentum AD ad , itinerisque δ' , 'punctis B, D recta BD , ex puncto C ducatur recta cL parallela tectae BD cf. 7. . Segmentum DE erit quarta Proportionalis quaelita.
Inter duas rectas lineas mediam geometrice proportionalem invenire.
xx. Inter duas rectas AB, BD mediam geometriee proportionalem Im
Diae rectae AB, BD iungantur in directum , ita nimirum ut unam e ctam constituant AD , & ex puncto B educatur recta perpendi laris BC FIDt q. i 2. . Tum binriam divisa tota AD in puncto E cI. I. , centro B, in-Tab, tervallo partis dimidiae ΕΑ , describatur semieireulus A CD secans rectam BC in puncto C. Recta BC et u media proportionalis quaesita.
129쪽
DEFINITIO. s. i. 23. Γ-a Nailinea super datam rectam lineam deseribi dieitar, eum ipsa li. Tib. is nea semitur pro late νe δεμ a dccribenda . sic triangulum ADB dieitur deseriptum super rectam AB, quia unum ex lateribus ipsius Irianguli est ipsa recta AB. . , PROBLEMA L
Ex tribus νectis lineis, quartim duae simul sumta reliqua sinit maiores , triauulum construere. 14. Ex tribus rectis lineis AB, ab , ed, quarum duae quaeeumque simulsum in reliquam excedant, trians tum construere vorteat.
Ex puncto extremo A unius ex illis AB, intervallo alterius ed, deseriis Fig. r. batur arcus mn, arcus vero Ix priorem Deans ex altero extremo B, inleris Tab. Ig.vallo rectae ab . Tum ex puncto sectionis D ad extrema A, B ducantur re.ctae AD, BD, quae constituent triangulum quaesitum Λ DB.
as. Nine patet artificium construendi super datam rectam lineam trianis gulum tam aequilaterum, quam i sceles . Quandoquidem aequilaterum erit triangulum, si tres datae rectae lineae fuerim aequales s erit vero i sceles , si duae tantum aequales fuerint, illae nimirum, quae pro lateribus assumuntur.
Datis duabus rectis lineis, rectauulum ranstruere. 26. Rectangulum construere oporteat , cujus duo latera cirea angulum rectum unt duae datae rectae lineae ab , ad.
130쪽
Post a recta AE eis ab . ex illius extremis Α, fB erigantur perpendieula. res indefinitae AF, BG s. 1.ὶ ι tum fiat AD ad , & BE- AD , iun. ganturque extrema DE recta DE. Quadrilaterum DB erit rectangulum
- Enimvero, Cum rectae AD, BE ad perpes4ieulum in eodem plano inccumbant rectae AB, ei unt parallelae s Lib. IV. g. Io . Sunt autem aequales ex constructione. Ergo duae quoque ΑΒ, DE parallelae erunt inter se cLιλια s. 88. ω & aequales Ibid. 6. s. ι ae proinde quadrilaterum DB erit petratale logrammum c Lib. m. si 8-ὶ ,& quidem rectangulum cadeoque &α COROLLA R I u M. 2 T. Liquido apparet se quomodo super datam rectam quadratum construi possit. Satis namque est ,. ut altera illi aequat s assumatur , atque ex illi rectangulum fiat o
Super datam rectam lineam dato triavato remi ineo tria gulam rectιlineum simile similiterque potum describere . . ' t χτ. Super rectam AB dato triangulo, rectilineo ab e triangulum simile similiterque positum describere Oporteat.
Ad extremum A datae rectae ΑΒ constituatur angulus ΕΑΒ aequalis an luto eab, & ad extremum B ejusdem rectae angulus LBA angulo eis aequa- Fig. η is g. 6. ι rectae autem AE, BE directe producantur,. donec concurrant in Fig. I mpuncto E- Triangulum AEB eri: simile triangulo aeb, de similiter positum, ' δη-
Cum enim anguli EAR, EBA sint aequales ex constructione angulis eaLeba, alter alteri , reliquus itidemi ALB' erit reliquo aeb aequalis c Lib. V. s. 46. . Duo igitur triangulae AEB , ae, sunt aequiangula ι adeoque similiae Lιb. X. s. 66. ι eumque aequales eorum anguli eodem ordine te se e s quantur, erunt etiam similiter post a b adeoque dic.