장음표시 사용
551쪽
Quoniam Α Η, AF, AD lineae proportionales sint, rectae quoque I H, E F, C D, adeoque figurae conia cauae AHIA. AFEA, ADC A in continua sunt analogia. igitur ut AHIA figura ad figuram AFER,. sie Iv miltilineum est admistilineum ED: sed AHIA figura ad figuram ApE A, sextunlicatam habet rationem B H ad GF , igitur & IF misti lineum ad mistilineum ED sextuplicatam habet rationem B H ad GF. Rursum, quia ΑΗ, AR AD proportionales sunt, triangula quoque Α Κ H, Α L F, A C D in continua sunt analogia. adeoque ut AKH triangulum in ad triangulum ΑLF , sic KF traperium est ad trapeatum L D r sed ΑΚΗ triangulum ad triangulum ALF, duplicatam habet rationem lineae AH ad AF, hoc est quadruplicatam rationis HB ad FGrigitur de KF trapezium ad trapezium L D quadruplicatam habet rationem linea II B ad FG, cuius I p mistilineum ad mistilineum BD habet sextuplicatam. Quod
PROPOSITIO CCXLIX. IN parabola A C B sit A B pars axeos aequalis lateri recto,ductaq; A p ad
axem normali, ponatur quaevis FC parallela A B, secans parabolam in C,&ducantur AC, BF. Dico has duas sese orthogonaliter intersecare dc CG, FG , GA, G Beontinue esse proportionales.
Cum ΒΑ aequalis sit lateri recto,erit brectansu Ium B Α F C aequale quadrato F Α. Igitur sunt
tres in continua analogia F C, F A, A Br ergo cum anguli CF A BAF aequales sintdimilia sunt triania gula φ C F Α, F AB.unde angulus FAC aequalis angulo ABF. est aute angulus FAC una cum C AB, recto aequalis; igitur etiam angulus FBA una cum angulo C A B recto est aequalis, S consequCntcr an gulus AGB rectus est. vlterius cum tam angulus AF C quam A GF rectus est, tres CG, GF, GAd proportionales sunt:quia vero anguli A G B, F Α Β recti sunt,lineae quoque F G, G A. GL proportio nates sentieandem igitur continuant rationem C; FG, G Α, G B. Quod erat demonstrandum.
INter duas datas, duas medias exhibere organice. construem 2r demonstratis.
UInt duae datae HI, IK inter quas duas medias oporteat exhibere. constituamur hae ad angulos rectos fic conficiant triangulum orthogonum H IK. deinde describatur parabola ΑCB cuius latus rectum sit AB pars axeos, super quo segmentum circuli constituatur capiens angulum ACB aequalem IH Κ, occurrens parabolς in C deducantur CF, F Α ad angulos rectos, ita ut CF sit aequidistans axi&iunga tur Α C, BF. Dico factum quod requiritur. nam ostensum est angulos ad G rectos esse
552쪽
HAbeant duae paraSolae AB C , AFB communem axem ι sitq; AB
linea lateri recto aequalia parabolae ABC, ductisque ordinatim
, rectangulum B AE aequatur 'quadratost Oi irrivoniam
ACB ED. igitur ut BA ad ED , sic ED MAE: Dein ici, mi quia parabolae aequales sunt, aequantur etiam b rectan- gula AED.-DP. Ergo ut ΒΑ ad ED, sic reciproc dat ΑΕ ad BF. sed cum ostendi ve B Α est E D, sic ED sesse ad ΑΓ, ergo ut ED ad AE , se AE ad BF. limo igitur quatu'r rectas 3 A,ED,AR BFesse incontinua analogia: & proinde inter B A, B F, medias esse ED, AE. Quod erat demonstrandum.
Nter duas datas, duas medias exhibere., construeno indemnaratio. . DAtae sine AB, EF, quibus ad angulum rectum di positis describe p ta Iam
AC circa axem AB, cuius rectum latus aequale ut ipsi AB. occurrat deinde BF, parabola AC in C, & circa communem axem AB aliam describe parabo- Iam per A Ac F. Demum e ducatur ordinatim DE, faciens segmenta parabolicat AD E, AFB aequalia. Dico DE, A A esidi medias inter A B, BFi gemonstratia
553쪽
ngmenta primum 2'parabolas inter si conferat, dei re maximassectioni inscribis.. i ' : a PROPOSITIO. , CC LIN. IS Ecent ABC parabolam parallelae quaeuis duae AD. B, C, slu Mur
que lineae AB, CD. . I . Dico illas segmenta auferre aequalia. .
Egmentis AB, CD 4risngulam. 'clibantur maxima AEB, CGI,
p Ropos ΙΤ Io CCLIV-EAdem manete figura, πο tet ex dato in peripheria puncto C, rectam ducere, quae segmentum auferat aequale dato A B.
Cauctruttioisdemnarario. ni l. lz - . IVncta BC ducatur AD paralleIa BC, iunganturque C D: manifestum est per prccedentem DC ex dato puncto eductam, sigmentum auferre aequale dato A B. Quod erat requisitum.
applicare lineam, quae segmentum auferat dam aequale. Constri Atio re demonstratio. DIvisa AB bifariam in F, erigatur diameter FE, cui fiat aequalis G Hr 3 per Hordinatim ponatur C D, dico factum esse quod petitur: iungantur enim AEB, CGD. Quoniam EF,GH diametti aequales sunt, ς triangula quoque AE B, C GD- aequalia sunt: quae cum maxima sint illorum quς segmentis A B, C D inscribi pos- η o. - sunt,e segmenta quoque A B,C D aequalia suntlapplicuimus igitur ad datam diame-- trum,&c. Quod erat faciendum.
554쪽
aequidistantem ducere, quae segmentum auferat dato aequate. onstructior, demonstratio.
uisis AC, DE bifariam in II & Κ, se erigantur diametri HBIR: Belati: I L aequali H B, ponatur per L , FG aequid istans DE, patet per praecedentem e FIG segmentum dato Atakquale esset 'igitur lineam duximus aequidi tante DE I
quae segmentum FIG auferat aequale da - eo. Quod erat postulatum.
PROPOsITIO CCLVII. Sit ad ABC parabolae axem BD cuius latus rectum Bl, ordinatim
posita AC: sit autem& EFG parabola, cuius axis FH, dc latus rem FK; oportet ex EFG parabola segmentum auferre, quod ad segmentum ABC, rationem haebeat quam Bl ad FK.
r. I: constructis es monstratio. Flatis 1 B ad FK. sie FH ad B D, &per M ordinatim ponatur E G. dico δε- ctum esse quod petitur: cum enim sit ut IB aa FK, se FH ad BD, rectanguis tum super IBB O idest quadrarum AD, aequale est rectangulo super FK,F Η id a ras... ea quacitato EH. unde AC, B G. inter se aequales: sunt triangulum igitur maximum degmenti EF G. ad trianguIum maximum segmenti ABC est ut FH ad B D , id est per constri1ctionem BI ad FK: ergo de segmentum. Ε vG ad segmentum α' AB C. H. IB ad FK , abstulimus igitur ex EF G parabola segmentum EFG, quod ad segmentum A BC eam rationem continet quam latus rectum BI, ad latus rectum FΚ. Quod exhibendum erat.
PROPOSITIO CCLVIII. SIt ad ABCparabota diametrum BE ordinatim posita AC et du
ctaque A D normali. ad diametrum ex C demissam, fiant B E, FG lineae aequales; &per AG D, parabola describatur, cuius axis GRDico AG segmentum aequari segmento ABC.
555쪽
Cum enim segmenta ABC, FGH ponantur aequalia,triangula quoque illoruma maxima inter se aequalia sunt, unde ut BE ad G Κ, fieb FH ad AC. Quia
PROPOSITIO CCLXU. PArabolae ABC segmento ABC , triangula duo inscripta sint, &
ΑBC quidem illorum maximum, quae segmento inscribi possunt, alterum vero A E C quodcunque. Dico segmenta AE,EC simul sumpta, maiora esse segmentis ΑΒ, B C sitnul lumptis. Demonstratis.
e 'um triangulum AEC minus sit triangulo ABC, -- residua AREC segmenta, maiora lunt residuissetinentis ΑΒ, BC : eodem etenim excessu superat triangulum ABC triangulum A E C, quo segmenta super lineis AE,EC excedui segmenta super AB,B C. A.
PROPOSITIO CCLXVI. PArabolam ΑΒ C subtendat tecta AC, qua diuisa in quotuis parte
aequales, in punctis D,Et erigantur diametri D B, E F, iunganturque AB, BF, FG. iDico segmenta AB, h F, FC aequalia esse. Demoinratio.
ΡOnantur AF, BC & AF quidem cie. currat BD in G: BC vero rectae FE in H: ut AD ad DE, sic AG ad GF. sed AD. DE per hypothesim aequales sunt; igitur Et AG, GF quoque inter se
aequantur. quare ΑΒ C triangulum maximum est eorum qu ABF segmen. Z V A X ε iir.ώ to inscribi possunt, Sc A B, B F segmenta n ... sunt aequalia. similiter aequalia ostenduntur segmenta B F, F C : segmenta igitur-x3ε. AB, BR F C, ae alia sulit. a M. .
556쪽
PArabolam ABC cuius diameter AD, contingat in Α linea A Es, qua diuisa in partes aequales, punctis E, F, G , demittantur diametri EC, FH, G B, occurrentes parabolae in B, H, C; iunganturque AB, B H, H GDico segmenta A B, B H, H C esse inter se aequalia. Demon ratio.
Veantur Α H, B C, & A H quidem occurrat G B lineae productae in I; B C vero ipsi FH in K. Qi1oniam I G , PH aequidistant& AG, GF ponuntur aequales,rectae AI,IHinter se aequales sunt quare AH ordinatim posita est ad diametrum I B, 8c ABH triangulum maximum . est eorum quae segmento ABH inseribi possunt: adeoque de segmenta, A B, B H aequalia sunt. eodem modo ostenduntur segmenta B II, H C inter se aequari; segmenta igitur AB, B H, H C aequalia sunt. Quod erat demonstrandum. Graiaraum. Ropositio quoque vera est si ex A ducta. Ω- A eans AN aiuidatur in partes aequales punctis D, M: ex quibus in parabolam rectae emittantur LB,ΜH,NC parallelet diame. tro A D. demonstratio patet ex praecedenti.
PROPOSITIO C C L X VIII. SIt ad ABC parabolet axem B D ordinatim posita recta EF ι actaq;
per B contingente B H, sumatur in illa, portio HI aequalis BF: de ea H& I, diametri demittantur H A, IK, occurrentes parabolae in A dc
Dico segmentum Α Κ, aequari segmento E B F. Demonstratio.
i ad segmentum EBF composta est a ex ratione MN ad BG, S: AL ad EMegmentum igitur AK aequale est segmento EB F. Qilod erat demonstrandum, meter NM.Quoniam AL, EF lineae P ni turae suales le MN ad BG in duplicata est r tione ς AL ast EF,rectet M N.B G inter se ςquales suntlsed ratio sesmenti ΑΚ
557쪽
PROPOSITIO CCLXLPArabolam ABC, secent duae quaevis lineae AB, AC r demissaque ex
Α diametro A in ponantur ad illam ex B& C normales BE, CD: dein ΑΒ, A C lineis bifariam diuisis in F& G, erigantur diametri F H, G I. Dico segmentum Λ H C ad segmentum AIB,rationem habere com, positam, ex ratione F H ad I G, & C D ad B E.
DemonstratIo. Iulia EB, CD lineis bisatiom in L de N, erigantur normales LM NM.' ML Κ quidem aequalis I Gi N M vero aequalis H Fr de per Ε, K, B, item C, M,
D puncta,parabolae describantur, quarum axes sint L Κ, MN: iunganturque E LB, C M D. Q uoniam L Κ aequalis est I G,segmenta Ex B, AI B aeqvalia sunt reade de 'causa aequalin fiunt segmenta AH C, D MC ; segmentum igitur AH C est ad '' .segmentum AIB ut D MC segmentum, est ad segmentum E 3. sed DHC s smentum est ad segmentum ΕΚΒ.. v IDM C triangulum ad triangulum E KR, 1 o. -- igitur & ΑHC segmentum , ad segmentum AIB. in ve DM C triangulum Q - 1riangulum E B. ω in uerten ut triangulum D MC ad triangulum ΕΚΒ, sic AH Crimentum est ad segmentum ΑΙΒ i sed ratio trianguli DΜC ad triangulum EΚB est composita ex ratione N Μ, ad L Κ, id est FH ad I G, de ex DC ad EB; ratio igitur segmen ei AHC ad segmentum AIB, composita est ex rati ne H F ad I G, & DC ad EB. Quod erat demonstrandum.
Auserant AB, BC lineae segmenta quaecunque, demissa ex B di
metro BD, ponatur ΑC occurrens BD lineae in Di dein AB, BC diuisis bifariam in F & H, ponantur per F de H, diametri E F, G H. Ooo a Pico Diuiligod by Coos
558쪽
PARABOLAp Ropo SITIO CCLXIX. 3 Atabolam A B C euius diameter A MA linea A E r in qua as- i L conting*x'. sumpto quovis pucto E, ponatur diameter
EC, quς in F, G, H punctis secetur in par tes aequales, ductis , ARA. H, AG, AF li neis quς parabolae occurrant λn B, I, K o
inter se aequalia. o Demonstratuo.
PArabolam A B C subtendat quaevis Hi AC normalis ad axem parabolae, Arn qua diuisa in D, E, F,Grvi AD,AE, AF, QΑ G, A C proportionales sint, ponantur diametri DB, E H,FI, G Κ: iungantu εue ΑΒ, Α Η, Ai, A K. Dico segmenta Α Β, Α Β H, A HI, AI A Κ C in continua esse an i Demonstratio.
CEgmentum AB ad ABH segmen- tum , rationem habet triplicatam e lineae AD ad A E lineam i de AH segmentum ad segmentum AI triplicatam 4 habet rationem A E ad AF, M sicde est elis; igitur eum AD,AE, AF,AG, AC continue simi proportionales egmenta quoque in continua sunt analogia. Quod erat demo strandum. I
559쪽
PROPOSITIO CCLXXI. SIx ABC parabolae diameter Ata diui
ta in E, F, G punctis ut A AF, AGAD lineae sint continue proportionales positisque ordinatim EB, FH, GI, Coiungantur AB, AH, A l, A C. Dico segmenta AB, ABH, ABI, AB
D Atio segmenti ΑΒ ad segmentum AH tri-m plieata est eius uuam habet BE ad H F. rursum ABH segmentum ad segmentum ABI triplicatam habet rationem H F ad I G, Ac sie de caeteris, sed EB, FH, GI, CD laneae continueh sunt proportionales,quoniam A E, A F, A G, A D' in continua ponuntur analogiat igitur di segmenta Α B, A B H. A HI, AIC sone iuration e continuata.Quod erat demonstrandum.
Sit ABC parabolae diameter A D, diuisa in E & F, ut A E, A F, A D
unt proportionales, & ordinatim ponantur EB, FG, DC : iunganturque B G, GC. Dico segmentum B G ad segmentum GC rationem habere triplicatam eius, quam habet E B linea ad lineam F G. DemonstratIo.
Vcant ut FB, DG. Quoniam AE, AF, AD linea: - ' proportionales sunt, EF est ad FD,ς ut Α E ad AF, id est ut quadratum EB ad quadratum FG. sed ratio trianguli FEB ad triangulum DFG d composita est ex ratione E F ad F D. & ex E B ad FG: triangulum igitur FEB ad DFG triangulum, triplicatam habet rationem EB ad FG. eodem modo triangulum F B Gad D GC, triangulum triplicatam habet rationem FGe ad DC, cum rationem habeant compositam ex EF ad X FD, altitudine ad altitudinem, de ex FG ad DC, id est EB ad FG, scum EB.FG, D C proportionales sint igitur totum rectilineum EB GF est ad totum rectilianeum FGCD in triplicata ratione EB ad F G; Ied aemixtilineum EB GF est admixtilineum DFG C in triplicata ratione EB ad FG, nam cum EB , FG, D C proportionales sint, parabolae quoque E AB, FAG. DAC in continua sunt analogia r adeoque ut ABE parabola est ad parabolam FAG. si e EB GF mixtilineum est admixti lineum FGCD. igitur & reliquum s segmentum BG est ad reliquum GC. in triplicata ratione EB ad FG. Quod
560쪽
PROPOSITIO CCLXXIII. C Ini denuo proportionales AE, AF, AD,&AF aequalis lateri recto, diametti AD , & iunganrur AB, AC. Dieo segmentum AB esse ad segmentum AC ut quadratum AB ad
CEgmentum ΑΒ est ad segmentum AC . in triplica- . ratione EB ad D C, id est sextuplicata EB adFG, secum EB, FG, DC proportionales sint: sed ΑΒ, qua- dratum ad quadratum AC rationem habet b sextuplica- tam lineae E B ad F G, igitur vi quadratum A B ad qua- -. Pdratum AC, sic AB segmentum ad segmentum A C. Quod erat demonstrandum.
PArabolam ABC cuius diameter AD, eontingat in Α linea A F. dein per A describatur parabola F Α G cuius A F ssit diameter &eontingens AD, ducaturque in ABC parabola ordinatim linea G C , oecurrens F A G parabolae in G, iunganturq; AC, Α G. Dico segmentum A G esse ad segmentum A B C, ut G o linea ad ii
u Rigatur ex G linea G F parallela contingenti A D. erie Igitur segmentum G A. ad . segmentum ABC, ut PAG triangulum id est triangulum GDA,ad trian-ori . pulum D AC; sed GDest ad DC, ut GDA triangulum ad triangulum D AC ctiacis a segmentum igitur A Gest ad segmentum AC, ut G D linea ad liniam DC. Quod sε,