장음표시 사용
31쪽
lis appareat oculo tam in D, quam in K existenti; appliceturq a puncto G linea GE, quae occurrat ipsi A sitq; G aequalis G patet lineam BC aequalem apparere oculo tam in F, quam in E collocato quod la
Eadem contingere in s similiter ostendetur. Hucusq; circa datae rectae liveae visionem nonnum tantum de an. gu quantitate attigimus , prout diuersa oculi politio in tinea altitudinas oculi contingit nunc vero pauca qu/edam circa eadem, prout di
uersa iuueniri potest sectionis flositio, simul a feremus .
Oculo dato , dataq; linea terminata in subiecto plano existente , planum autem per lineam in oculum transiens sit subiecto plano erectum uesectionem subiecto plano erectam inuenire, in qua apparens linea datae lineae aequalis appareat, aequalis existata.
Datux sit oeulus R. dataq; linea BC inflahiecho plano, ita ut planum per BC,in Aducturn sirQbiecto plano erectum. Oportet sectionem subiecto plano erectam inuenire, in qua linea apparens videatur ' sit ipsi BC aequabis. Ducantur visuales radi C BA,&a puncto B erigatur BD subiecto plano erecta, quae ipsam A secet in in erit utique BD in fano ABC. Deinde sicut est BD ad nae et uno
catur EF ipsi BD parallela. Intelligaturq; si Mic m. Otio per lineam EF transiens . Dico sectionem per EF ductam subiecto plano erectam esse, lineamq; EF in sectione ipsi BC , αqualem apparer ας qualem esse. Primum quidem EF ipsi BC aequalem apparere, ex seconitat, cum utraque linea sub eodem angulo BACspectetur. Quoniam autem EF est ipsi BD aequidistans, erit F subiecto's. undetis plano erecta. Vnde sectio per EF ducta subiecto plano erecta erit. At ve- mi. ro quoniam EF est ipsi BD aequidistans; ob similitudinem triangulorum I S. vnd. AB AEF, erit B ad AE, ut BD ad F. sed ut Aia AE ita est rati. BD ad BC: ergo ut BD ad EF, ita est BD ad BC. Quapropter EF ipsi Q. quinta. BC aequalis existit. Inuenta est igitur EF in sectione subiecto plano ere-s quintacta , quae ipsi BC aequalis apparet, aequalis existit quod facere O
portebat. Oportet autem in hoc problemate, ut perpendicularis, quae a puncto
32쪽
Dato oculo, dataque linea, sectionem inuenire, in qua sit linea apparens, quae data lineae aequalis appareat, isquali, existat visualesque radi interse sint aequales.
Si oeulus Α, data vero linea C. Ducantur visuales radi BA CA , qui vel
sunt aequales, vel in squales si sunt equales, iam habetur intentum intelligatur enim per Boseistio, erito eadem BC, Sobiectum, S linea in sectione appa, rens . quae obiecto aequalis esse debet. Sed sint BA C inaequales; sectionem inuentis oportet, in qua sit linea, quae ipsi BC non solum videatur aequalis; verum etiam aequalis existat, sintq; bsuales radii interse aequales . Fiat AD aequalis AB; iungarii rq BD. quam
proportionem habet BD ad BC, ita fiat B ad aliam AE ducaturq,ab ipsi BD aequidistans Intelligaturq; sectio per EF ducta. Dico EF ipsi BC aequalem apparere, d aequalem essae radiosq; visuales EA A interse aequales esse. Quuniam enim BD est aequia diffansa F; erit ob similitudinem ttiangulorum ABD AEF, sicut AB ad ΑΕ ita BD ad Ε . ut autem AB ad AZ, ita est BD ad BC, eandem igitur habet proportionem BD ad BC quam ad EF unde BC QEF in ter se sunt aequales.' quoniam ΑΒ est aequalis AD; erit angulus MDangulo ADB iequalis est autem EF ipsi BD equidistans erit igitur an- gulus ABD angulo AEF, MADB angulo AF aequalis. Quare angulus AE angulo AF aequalis existit ac propterea EA FAinterse sunt aequa. les. quoniam BC EF ubiodem angulo spectanrur,nem pDEAF lbnea EF ipsi BC aequalis apparebit. Ubinuenta est sectio per EF transiens. in qua est linea EF, quae aequalis apparet, ut BC, est eadem EF ipsi BC aequalis visualcis radiiE4IA sunt interse aequales quod fieri oportebat
Oculo dato dataq; linea, sectionem inuenire , in qua sit linea apparens , quae data lineae aequalis appareat, nec
non sit pu quoque aequalis; alteri vero datae linex equidi
stans exiliatis. Pam sit oculus Α, dataq; linea C. sintqi visuales radi BA CA.stq; auera data lineam oportet sectionem inuenire, in quasi linea, quae
ipsi BC appareat,&sit aequalis sitq; datae linea: D equidistans . Duca tur i
33쪽
tu a punc o B inea BF pquis distans ipsi D. ut BE ad BC,
lem apparere in aequalem Dis . sin ut iter enim quoniam
B G sunt parallelae, o sium ilitudinem trianguloru ABEACF, erit B ad AG ut BE ad GF; est A ad G ut BE ad BC: erit igitur BE ad ' 'Mnti. BC, ut ad GF qua rea CF siant aequales quia vero G est aequi di qμιηι istans ipsi BE, AE est ipsi inaequidistans, erit& GF ipsi Daequidistans 'ndech& quoniam GF BC sub Magulo BAC videntur, lineam ipsi BC aequa lint. lis apparebit . ergo inuenta est sectio per GF transiens , in qua st linea GF ipsi inaequi distans, eadeniq; linea apparens G aequalis appatet, ut BC. est ipsi BC aequalis. quod fieri oportebat.
Dato oculo , dataq; lineari sectionem inuenire , in qu sit linea , quae datae lineae aequalis appareat, ipsique equid i stet data vero linea ad ipsam datam habeat proportionem.
Rursus sit datus oculus A. dataq; linea BC radi jq; visuales sint A CA data vero sit proportio , quam habet D ad E sectionem inuenire oportet, in qua sit linea, quae datae lineae BC aequalis appareat, ipsiq; BC sit aequidistans at vero BC ad ipsam pro portionem habeat, quam mada. Fiat, test D ad C, ita B ad aliam AF ipsiq; BC aequidistans ducatur FG. intelligaturq; se 1io per FG ducta simili modo quoniam FG est ipsi BC aequi distans , ob triangulo. rum AB AFG similitudinem, ita erit B ad AF, ut B ad FG. v autem B ad AF, ita est D ad F; ergo B ad FG est, vim ad F. -υoniam BC FG sint sub eodem angulo BAC, linea FG ipsi s aequalis apparebit. Quare inuenta est sectio per FG transiens in qua est linea FG, quae ipsi BC aequalis apparet ipsiq; est parallela, habetq; BC ad FG datam proportionem, qu. e scilicet est D ad E. quod fieri oportebat.
34쪽
Oculo dato , dataq; linea ; sectionem inuenire, in qua sit linea , quae datae lineaesqualis appareat, dataq; linea ad ipsiam datam habeat proportionem, apparensq; linea alteri data lineae aequi distans exilia ,
Si datus oculus A. dataq; lionea BG sintq; visuales radi BACA data vero proportio sit, ut c ad . alteraq; sit data linea F. oportet sectionem inuenire , in
qua sit linea ipsi F aequidistans, ipsiq; C videatur aequalis , Cvero ad ipsiam eandem habeat proportionem , quam habet D ad E. Fiat B ad AG ut est D ad F. Ducatura GH ipsi BC aequidistans Deinde inueniatur sectio, in qua sit linea KL, quaesit ipsi is quidistans,&sit ipsi GH aequalis . Intelligaturq; sectio per KL ducta. Qtioniam enim GH est equidistans ipsi BC, ob similitudinem triangulorum AB AGH, erit BA a,AG, ut si ad GH est autem BA ad AG vim ad K. eriti igitur BC ad GH, vim ad .' quoniam KL est ipsi GH aequalis habe, bit BC ad K eandem proportionem, quam habet ad GH sicut autem BC ad GH, ita est D ad . ergo B ad K est, ut ad E. quoniam BC L sub eodem angulo cernuntur, apparebit L aequalis ipsi BC. factaq; est KL ipsi F aequid istans ergo inuenta est sectio an qua est linea L, quae datae linem aequidistat, eademq; Κ datae lineae Capparet aequalis, linea vero BC ad ipsam L datam habet proportionem,
quam scilicet habet D ad E. qu0d fieri oportebat.
Data linea visa dataque distantia linea ipsi lineae visae in
directum, dataq; sit in communi termino erecta se stio; inuenire oculi altitudinem, ita ut in continua sint proportione linea visa ad apparentem, ut apparens ad lineam distantiae, ac distantiae linea ad excessum, quo altitudo oculi lineam superat apparente .
Data sit linea vita ΑΕ, cui in directumst data distantiae linea FB ducanturq; EF BD ipsi A perpendiculares sitq; sectio EF. portet in linea BD oculi situm inuenire, ut propositum est. Fiat super A semicirculus AFB, qui sectionem EF secet in F lineaq; ducatur AFD, quae siccet BD in D. iungaturq; DE denique ducatur C ipsa aequidistans. tio
35쪽
niam igitur triangulum DAB triansulo DF simile existit erit AB ad FC, ut BD ad CD, est autem FB aequalis FC est enim BF parallelogrammum hergo AB ad B est, ut BD ad DC ωdiuidendo AE ad EB, ut BC ad CD permutandoque AE ad BC, hoc est ad EF, ita EB ad CD. Cum autem sit AE ad EF, ita EF ad EB, it AE ad EF, ita
FB ad CD in continua erunt proportione quatuor lineae , nempe AE EF EB CD. ex quibus sequitur inuentum esse oculi punctum D cuius altitudo est BD, ita ut sicut se habet linea visa AE ad lineam apparentem EF, ita sit apparens EF ad distantiae lineam , ωhaec EB ad CD, nempe ad excessiim, quo oculi altitudo B lincam superat apparentem EF quod facere oportebat. iq. sexti.
Data vero sit oculi altitudo D, dataq; sit AB , quae li
neam visam , distantiamque Contineat inuenire punctum n, in quo sit sectio, ita ut similiter quatuor lineae in conti nua sint proportion .
Duo describantur semicirculi super ABBD, nempe AFB, BFD,&a puncto , ubi sicilicet se uritice secant, ad AB perpendicularis ducatur FE. erit fandiunctum E inuentum erunt namque similiterquatuor lineae ΛΕE EB CD continua proportione quod facere Oportebar.
Hinc quomodo duae datae lineae secari possint, ut quatuor partes in continua sint proportione, manifestum est.
Datae sint enim lineae AB D, quae inuicem ad rectos angulo p eonstituantur ductis eodem modo semicirculis ac lineis FE FC ad AB Dperpendicularibus, perspicuum est, cum sit BC aequalis EF ita esse AE ad BC, ut BC ad EB MEB ad CD.
Duabus datis rectis incis, alteram ita diuidere, ut ipsius partes una cum hera data in continua sint proportione.
Datae sint lineae AB C, quae ita inter si apicntur, ut anguliam con tineant rectum ABC. oporteatq; diuidere BC, ut propositum est fiant
36쪽
super AB BC quadrata AP CD non ad easdem partes compIeaturq; rectans'him BE; iungaturq; AF, quae bifariam diuidatur in H; centro Η , anteruallou HA, circulus describatur AFE , Dico AB ad BF ita eL se, uti ad C. Primum quiden circulum AF lineam BC dispescere ostendendum est. Nam quoniam linea BC ipsi BA minor cta potest, ut in prima figura, vel ipsi BA aequalis, vim secunda, vel maior, ut in tertia. tunc si BC minor est BA, iungantur in prima figura HB D; quoniam ΑD rectus est angulus, circunferentia AF per punctum D transibit; Vnde H circuli semidiameter existit. Ducatur deinde per H ipsi AD equi distans KHL; erit utique Haequalis HL, quandoquidem est AH adHE,Fx sex vi KHad HL sed quoniam A naaior est, quam BC, ac per consequens
quam BD, erit K ipsi AB aequalis, maior, quam L, quae est aequalis BD. punctum crgo H medium lineae KL in linea K existit. Quoniam autem OBD est angulus rectus erit HB obtusius, quare in triangulo HBD linea
δ' primi. UD, hoc est semidiameter circuli maior erit HB. praeterea iungatur H C,
ducaturq; in quadrato AP diameter BM secctq; B M ipsam K in N. Qt niam igitur KL transit per H quod quidem est in medio rectanguli AE ataque KL est ipsi AD aequidistans, diuidet L rectangulum AE in duo aequalia, nempe rectangulum Κ ipsi LM cru aequale ac per consequens Uipsi P aequale quare B ipsi OP aequalis existit ut autem B ad O', ita est B ad NM, atque ut BN ad Μ, ita ON ad NK. unde sequitur K ipsi N aequalemcisse. Cum autem maior sit KL, quam O, horum dimidia, scilicet ΚΗ maior erit Ni ex quo perspicuum est punctum H uterpuncta No reperiri lineamq; HB in triangulo B existere; ob id angulum OB maiorum esse angulo OBH. Cum vero sit ΒΜ diameter qua- urat AP erit angulus ABMangulo OB M aequalis quare ABN maior est OBH, ac propterea multo maiorcst ABHipso HBO, quibus si addantur
squales anguli ABC OBD i nempe recti erit CBH major BD. Qu9α .ν iri nian ita qu tio latera H BC duobus lateribus B BD sunt qualia,
erit basis CH maior Hincirculi semidiametro ac propterea, cum sit citaculissemidiameter minor H C, maior vero HB, necesse est circunferentiam
AFD interpuncta B transire, lineamq; BC secare. In secunda figura quoniam AB est aequalis BC, hoc est BD, MAH est equalis HE erit centrum H in linea BP. Cum itaque sit angulus ABHre- I9. primi.'ctu S, erit in triangulo ABH linea HA, circuli nempe semidiametc majorao prini. HB sed quoniam H minor est quam duae simul HB BA, hoc est HC, circunferentia AFDE interpnncta BC transibit lineam igitur B secabit. In tertia Velo figura quoniam BC, hoc est BD maior est AB ducta KHLipsi AD equidistans simili ratione, ut in prima figura ostendetur centrum H esse in linea OL iuncta igitur HB, erit HBA angulus obtusuS . ergo HAI9. primi. emidiameter circuli maior erit HB. Ductis deinde H H CD lineis.
37쪽
s primi. I9. primi. 3 o tertii. 8 sexti. II primi. 26. primi,
quoniam BC est qualis BD, erit angulus D angulo DC aequalis, sed CDH maior est CDB, CH vero minor DCs maior igitur erit CDH ipso DCH. propterea in triangulo CDH lineam semidia. meter circuli minor est HC. ex quibus constat, circunferentiam AFDE lineam BC dispescere. Hoc itaque demonstrato secet circunferentia AFD lineam BC in . iunganturq; AF E secetq; F lineam BD iam in Oniam enim angulus AF est rectus, FB est perpendiculari ipsi AG, erit triangulum ABF triangulo FB simile &angulus AF angulo G aequa lis sed FG est ipsi DG aequalis; angustis ergo AFB angulo G est aequalis. Qu9niam autem AB rectus recto D est aequalis, atque latus D ipsi AB aequale , cum utraque AB D sint ipsi P aequalia: erit triangulum D triangulo AB aequale quare latus B erit lateri DG aequale cum itaque C sit aequalis DB, erit reliqua creliquae BG aequalis: Qusniam igitur in triangulo rectangulo A FG ab angulo recto ad basim ducta est perpendicularis B; erit AB ad BF, ut B ad BG hoc est ad C. Diuisa est igitur B in purino , Ut propositum fuit.
quod facere oportebat. In secundo casu diuidi etiam potest linea C extrema, ac media ratione in F, factum erit, quod proponebatur nam cum sit AB aequalis BC,
erit BC ad F, hoc est AB ad F, ut B ad C.
Vnde etiam colligi potest ex constructione huius secundi propositi, datam lineam extrema, ac media ratione secari posita.
Ex ea enim apparet esse AB ad F, hoc est BC ad PF, ut BF ad FC
Data linea visa, cui adiaceat sectio erecta, dataq; sit oculi altitudo; oculi situm inuenire, ita ut linea visa ad apparentem sit, ut apparens ad excessum , quo altitudo oculi superat apparentemis. Data sit A linea visa, sitq; erecta sectio in oculi vero altitudo data sit BD. Ducatur DF ipsi AB aequi- distans oportet oculi situm in D inuenire, diuidereq; BD, Vt propositum est . Diuidatur igitur BD in Q ita ut tres line: AB UCD in continua sint prae proportione ducaturq; ACF iunga denti. turq; B; intelligaturq; oculus in F, sintq; radii A BF constat ita se habere lineam visam AB ad apparen
38쪽
hae tun ranturq; C EA . Dico CE rectam lineam esse.
Non sit quidem, sed si seri potest, si AF recta linea, que lineam D secet ita F. erit utique triangu- . um ABC triangulo ADF imi- iti io quare ut A ad D, it BC ad DF. est autem A ad AD , ut BC ad Ei ergo B eandem si quinti . laabet proportionem 1DE, quana habet ad DF. quod fieri non potest . recta igitur est mea CEF. quod demonstraresportebat.
Item si fuerit BC ad BG, vim adiri, linea BD GH
CE in idem punctum A conuenient Qusniam erit B ad AD ut G ad AH, MC ad A .
itidem si fuerit AD ad BC, ut D ad EB, fueritq; DEBre , linea , B vero ipsi AD parallelia. Dico similiter ALC rectam lineam ess
Si enim non est recta sit AFC recta linea, primiamq; sit Uinter ED, unde propter sit- . sexti lini litudine virianasilorum AF BF erit AD ad BC, ut DF ad B, sed ut AD ad BC, ita est D ad EB crgo DF ad FB est, 16. quinti. V DE ad EB. permutando DF ad Dp ut FB ad BE quod cum si DF minor DE, crit&FB minor BE quod esse non potest. Pataq; ratione si F fuerit inter EB, similiter ostendetur ita esse io ad FK, vim ad EB permutandoq; DF ad DE, vi FB ad BE; sed est DF maior, quam DE, erit igitur FB maior, quam BE. quod fieri non potest . recta ergo est linea AEG. quod demonstrare
Data inca visa, cui in directum sit linea distantiae, min
39쪽
communi terminosi tere ita sectio, dataq; sit oculi altitudo; distantiae punctum terminare, ita ut distantia sit lineae pia parenti aequalis.
Data sit AB linea visa, cui in directusit distantiae linea ΒΕ, atq; sectio crecta BD. oculi vero altitudo data sit ipsi BD equalis Distantiae punctum
terminare oportet, ita ut distantiae liunea sit apparenti lineae equalis . Duc turi aequi distans AE. deinde se
cetur BD in C, ita ut sit AB ad BC, a lao burui. sicut BC ad CD . Fiatq; BE aequalis BC ducatiarq, EF aequi distan BD, nimirum crit EF aequalis BD Latque DF corimi aequalis ipsi BE quare erit DF ipsi BC qualis Q iomana igitur est AB ad
BC, t BC ad CD, cum si DF ipsi E aequali Petit AB ad DF. v BC ad CD, est autem DF ipsi AB aequi distans est igitur ducta linea AC Frecta mea. Itaque iungatur BF oculusq; intelligatur in F erit tinue Ex Mee. BC in sectione linea apparen ergo existente linea visa AB, oculi ut alti de tudine EF datae altitudini aequali inuenta est distantiae linea BE que oua lis est lineae apparenti BE quod facere oportebat
His ita prviatis, iam quando datus est oculus dataq; est linea, siue VMet Aura dataq; ea sectio, quomodo in ipsa sectione obιectum Nareat, quomodoj inuenienda , defcνώendaque sit apparens f gura est aggredieudum haec enim es praecipua nostra intentio. Sed
antequam ad has repraesentauri in sectione figura deuentamus theoremata nonnusia priὐs in medium asseremus in quibus , quomodo nempe datae lineae praecipue s paralleia in sectione apparent , δε- monstrabimus. Φο quidem ad cognoscendam multarum praxium rationem valde utile, ac necessarium existis in quibus tota scenographice ratio constituta miritur
Si oculus parallelas lineas videat, sitq; sectio parallelis lineis aequi distans; lineae in sectione apparentes erunt interseparallelae.
Si oculus Λ, qui videat aequidistantes linea BC DE FG , quomodo curique, de ubicunque sitas, hoc est siue in uno, siue in pluribus existant planis situ sectio' quomodocunque sita, dummodo sit ipsis BC DEFG parallela sint autem visuales radii A CA, DA EA FAMA Misectionem
40쪽
deo iosectionem in punctis LM N PQ siccent iunganturq; LM NOPQ , quae nimirum inscctione istendunt
ubi BC D FG in sectione apparent , ita scilicet ut B in M, DE vero in O , FG in PQ appareat. Dico lineas LM NOi PQ interse parallelas lege . Intelligatur per BC planu plano R, hoc est sectioni qui
'si BC parallela eodemq; modo si intelligitur planuari per Dp aequidistans plano x ostendetur Oipsi DF parallelam esse.&ita in aliis. At vero lineae BC D FG inter se sunt parallelς ergo&LM NO PQ interse sunt parallelae quod demonstrareoportebat.
Euenire aute potest secundiam propositionem uniuersalem propositam,
ut sectio, non sit semper inter linea BC DE FG oculum at lineas BC DE Gesse inter sectione,&oculum A ut in hac secunda figura. quare ductis visivalibus radiis BADA
qui producatur, donec similiter secent sectionem in NΡMO eode prorsus modo ostendetur lineas LM NO
PQ nterse, ipsis BC DE FG parallelas esse eruntq; lineae PQ No