장음표시 사용
51쪽
Si oeulus qui distantes videat lineas, quae cum sectione conuenire possint, line in sectione apparentes in unum punctum concurrent quealtum supra planum lineis parat telis qui distans, ut oculus.
sit A oculusumius A sit altitudo supra planum lineis parallelis C DE FG parata
telum, que quidem lineae sint primum in eodem plano, quae cum sectione x conueniant in punctis BDF. Dico lineas in sectione
apparentes in unum punctum concurrere aequealtum supra planum, in quo sunt a. rallelae, ut oculus A.
Ducatur a punctori linea X aequidistans ipsis BCDEFG. sitq; punctum X insectione .connectanturq B DXIX, MAC A AG.
Qu'niam enim AX BC sunt parallelae crunt lineae XB AC ipsas coniun. sentes in eode plano, in quo sunt AX BC quare visualis radius A secat ipsam BX . itaque secet in L similiter ostendetur Exipiam X dispe, scere, ut in , G vero ipsam vini. Qit Oniam igitur puncta X sunt in sectione, erit etiam linea Bum sectione unde BC in sectione apparebit in BL pariq; rationem apparebit in O GF vero in F M. Scquoniam L DO FM sunt in lineis X DX FX; erunt BL DO M in lineis, quae in unum punctum concurrunt quia vero A ei ipsis BC DEFG parallela eritin plano per parallelas transeunti aequidistans quare punctum X est supra planuni, in quo sim parallelae , aequealtum , t oculus A linea igitur B DO FM in unum punctum concurruntrique atrum supra planum, in quo sint parallelae, ut oculus A. quod demonstrare oportebat. Qiis si parallelae lineae sint N QR FG, quae quidem non sint omnes in eodem plano lineas in sectione apparente in idem punctum X concurrere similiter demonstrabitur. Apparentes enim linea sunt NL Oaw, citiae in X concurrunt. Eadem quoque omnibus alijs casibus similiter contingere Ostendetur.
Oaniam autem sepe in sequeno us punctum nominare oportet, in quo lineae in sectione concurrunt, propterea huiusmodi unctum A
52쪽
put X, nuncupabιtur punctum concursus . quod e quis intel-Igendum esse punctum concurseus linearum TC DE G, o aliarun ipsis equidistantium P am quamuis lineae L DO M in comurrant a paralleia tgmen liveae DE FG sunt, qua in ione in X concurrere oculo Upirent a od idem dicendum ea de ina duntaxat linea ita. ut si data suerit in iura sila linea, ut acu erit utique a punctum concursus lini BC qui BC in Ρ-ctione in X tendere videtur . o si ipsi Bς aliae ducerentur Γ-neae paralleia , idem punctum X erit similiter Ludarum ommum quoque punctum concursus.
Ex his perspicuum est, in sectione puniaum , in quod ab oculo parallelis lineis ducitur quid istans esse puncturi
concursus In omnibus enim hucusq; demonstratis, nempe a vigesima octaua pro positione, linea AS ipsis B DE FG quidistans existit.
Ex his quoque manifestum est, lineas , quae in sectioni
parallelar, , quae cum sectione conuenire possint Iepr sentant, omnes in unum, idem punctoum concurrere.
In eadem sectione infinita possunt esse puneta concursus supra subiectum planum a quealta- .
Sit oculus Α, cuius altitudo supra sibiectum planum sit S. st sectionis linea BF sectio autem sit quomodocunque sita, hoc est siue subiecto plano erecta , siue minus . sintq; in subiecto plano paralicia lineae BC DF FG deinde in eodem plano aliae H DK PL; denique aliae adhuc BM N O in eodem existant subiecto plano, quae quidem Omnes cum sectionis linea conueniant in BD punctis in sectione autem punctum concursus linearum BCDEFG sit X itidemq; concursus linearum BH D F sit punctum P linearum vero M N Fo
53쪽
dictis .m . CD FG in s ctione rappa: renc in lineis
Cumq; parallelae lineae sint omnes in subiecto plano, erit numquodque punctu PT in punctum eonciarsis Iaprasu biectum planum quealium, ut oculus, ut ex antea demonstratis perspiacuum est. At vero quoniam infinitis modis esse possim in subiccto plano lineae parallelae diuersimodaecollocate ergo in eadem sectione infinita quoque possunt esse puncta concursis supra subiectum planum aequealta. quod demonstrare oportebat.
Ex hoc patet, si iungantur puncta XV primum ess in recta lineam atque hanc sectionis line BF parallelam
Cum enim sint puncta PXQ supra subiectum planum aequealta, Vt dierunt puncta X Q. In uno, eodem plano, quod quidem erit subiecto plano equidistans unde linea X erit communis sectio plani per A, TX transeuntis in sectionis . ergo recta linea est ῬX . 3. - ei Cumq; sit B sectionis, subiectiq; plani communis sectio, erit linea PXQ. u. ipsi B aequidistans. 16. nd
Ex his quoque manifestum est, omnes parallelas lineas in subiecto plano existentes, malia in subiecto plano non existentes, ipsisque parallelas, habere punctum concursus in linea sectionis linee parallela, 5 ab ipsa ita distante, ut oculi alii tudo supri subiectum distat planunia.
54쪽
Omnia enim puncta concursis in linea X cxistunt, producta scilicet, si opus fuerit, ex antea demonstratis.
THEO REMM PROPOSITIO. XXXIIII.
In eadem sectione infinita possunt esse puncta concursus,
quae supra subiectu planum inaequales habeant alii tudines.
Sit oculus Α, eum ius altitudo supra stibiectum s lanum sit AS sectionis vero linea sit Fisectio aute sit quoamodocunque sita isint in uno plano aequidistantes di
quod quidem planum ad sibiectum planum sit inclinatum in angulo R;
similiter in DKF sint in altero plano equidistan. tes, quod adsilbiectum planum inclinationem habeat anguli T; paralleiae vero linea: Μ DN O sint in subiecto plano: omnesq: praelat lineae cum sectionis linea conueniant. Praeterea H BC M non sint in uno,&eodem plano, veluti D DE N FG FO in sectione autem sit punctum X concursus ipsarum BC DE FG; linearum vero BH D F punctum concursus iit des linearum autem M N FOsit punctum P si igitur iungantur X X X, BQ D ainta PD FP parallelae lineae BC DE FG insectione apparebunt in X XFv lineae vero Hi F apparebunt in Q Dinam linea denique M N FO apparebunt in B DP P. Si igitur iungantur AXAQ AP, erit ex antea demonstratis X ipsis BC DE FG aequidistans, Ainyero ipsis H DK L, in ipsis B DN F parallela. qui-
distantes vero lineae in diuersis sunt plani diu crsas subiecto plano inclinationes habentibus; ergo puncta QP in quales habebunt supra subiectum planum altitudines. At vero quoniam infinitis modis meae dari possunt parallelae in planis diuersimode collocat , quae quidcni plana magis miminusve sint subiecto plano inclinata; infinita igitur possunt esse puncta conucursiis, quς supra subiectum planum inς quales habeant altitudines quod dempnstrare oportebat.
55쪽
In eadem sectione infinita esse possunt puncta concursus in eadem rei talinea existentia, quae supra subiectum planuminet quales altitudines habeanta.
sit Moeulus, euius altitudo supra subiectam planum sit As sitq; λέtionis linea BF. Prima inq; sint parallelae lineae in subiecto plano BC DEFG aliae deinde sint lineae parallelae BF DK L . quae in uno sint plano, quod tamen sit sabiubiecto plano inclinatu irim angulo R. praeterea aliae adnu sint parallelae lineae Bri DN O vno plano existentes, quod quidem planum sit iupra stabiectam planum inclinatam in angulo 4 hae autem omnes lineae Cum sectionis linea conueniant in BD punctis e sint praeterea BC IH B in uno, eo templano vnde MD DK D in uno, dcFG FLFO in altero plano existet eruntq, tria haec plana intecsessa Exas aruarallela Sit punctum X punctum concursius , linearum scilicet BC DE decisai FG, quae sane ita sectione in B DX X appareant. Sit autem punctum l punctum.concursus linearum B H D FL: atque punctum V sit pun
56쪽
M ioniam autem puncta XV sunt in sectione, iunt in plano TV, licris ducia T V com Hunis lac plMai-ATV ec stationis ex quibuSi patet 'inc a T contursus in eadem osse ecta linea TX tritu Tiu-l3I, huius. pra planum H D FL aequealtum ut est oculus A X vero crit siu-ὶ pra subiectiam planum aequealtum, tra; eritq; V supra planum cr Mi Di, lino ducitdiataequealtum, V Ad cui quibi sequi .puncta TXVIQ- D;a iubi oum planuxta diuersas haberstabitu'snss. At Ver quoniam inriai dem pignis Per parallelas lineas 1 M HIC T , D DE DR FO II trans antibus intinitae possuntduci linear parallathi trae cum subieci iplano diuersas semper inclinationcs emciant infinita ergo possunt es quo que puncta concursus nequales altitudines habentia, quae quidem in e dem semier erunt linea recta quod est id, quod demonstrare oportebat.
In eadem recta linea infinita possunt esse uncta, in qui-ibus, si collocetur oculus aequi distantes lineae, quae cum, se stione conueniant, insectione iiij sdemmet lineis semper
appareanta. Data sit sectio RXU; qui distates vero clineae stat BC DE FG, quae cum sectiope in puctis BDE
S c parte A si infinitum Dico parallelas linea BC DE G, ubi
ciui queri I aikJr Oculus in linta Α, in sicctione semper apparere in ijs-
57쪽
possunt esse puncta, in quibus oculus esse potest, ita ut ducta linea ab oculo ad X semper sit ipsit BC DE FG qui distans ergo in infinitis punctis lineae X potest collocar oculus,&idem punctum X in sectione uir ctum concursus semper existet mare insinita puncta in eadem linea exi stunt in quibus oculus collocari potest, lineaeq; C DE FG in sectionei ijsdemmet lineis X X X semper apparent quod demonstrare
Taradoxum fortasse veribitur problema propositum Pen tamen me rissimum , in demonstratione confirmatum . quamuis fieri non posse
videatur, mi oculus modo sectioni propinquiὰ , modo a sectione non solum remotius, verum etiam remotissimus, collocatus sit, in tamen
eaedem paralleia lineae in iisdemmet lineis semper appareant. Nam
si culus situm mutat, id quoque, quod in sectistne apparet nBanente obιecto, manenteque sectione situm apparitionis infectione mutare oportet. Atta me demonstratione permicuum II lineam B etiam infinite productam , Vbicunque fuerit oculus in linea, A seu rio 3X apparere. Huiusmodi autem Varens repugnantia Iacile hoe facto conciliari poterit .
Ijsdem namque positis, sumatur in linea BC quodvis punctum Ducanturque CH A CK, quae lineam B secenti LON. secabunt
enim , quia ostensum est , lineam BC in X semper D parere . praetc
rea qui x coniungit parallelas lineas X BC erunt K X BC in 7- 'vicci uno, eodem plano quare CH A CK lineam X disipeticent. Ita 'que existente oculo in , linea BC apparebit in L existente vero oculo in , apparebit BC in O; oculo vero in K, C apparebit in Ne Quare dum oculus situm mutat, id etiam , quod in sectione apparet, situm quoque mutat cum BC, modo in L modo in BO, modo in B , prout oculus vel in Id , vel in A, vel irim reperitur, appareat. Punctum autem B situm non mutat , quia in ipsi existit se.ctione. At vero problema quoque propositum vetissimum est; nam BC cut dictum est ubicunque sit oculus in linea K, semper apparet in linea X. Quocirca ad apparentis repugnantiae concilium , bneam BC , dum apparet in sectione , tum mutare, itum non mutare intclligi potest , primum quidem si linea ex C infinita intelligatur , situm non mutet, ipsius. vero parte mutent ; etenim ut infinita semper apparet in X partes vero non semper apparent in eodem situ. Nam punctum C insectione situm mutat, cum modo in , modo in O, OdOm N appareat quod idem accidet, sumpto quouis alio
puncto, vim, quod in P, in Q. Min' apparere potest; dum scilicet oculus vel mi, vel in A, velum exstiterit. Vnde linea MC, quae
58쪽
quae est portio lineae, modo in I Ρ, modo in Od, modo in NRapparebit. dc hoc non solum cuilibet portioni contingit, Verum etiam cuilibet puctoa quod quidem, dum culus situm mutat, dc ipsum quoque mutabit situm cum punctum
iii QR appa reat. ita in Omnibus aliis, praeter B, quod insectior, reperi tur. Deinde dici quoque poterit, quod terminata linea BC, quamuis dum oculus, vel in Η, vel in reperitur, situm mutat, cum modo appareat in I., modo in O N, tamen Verum est quoque asserere terrumatam uncam BC semper apparere in X.
59쪽
VONI 1 ex ijs, quae dicta si int, litatis fallor perspicuum est potest ,'qHain Odo da,
tae lineae in data lectione ah paream Ipria in ad praxim proxime accedere poteritnui tam prς csertim ex dicis rematibus4η opositis, tanquam ab exuberanti'; faecunda propagine-Osinitae, ac vacia speci, bilium ira, e gemit narc , ac pi odira facile possinu. in .quo negotio absoluendo non mediocri opus est,ndustila, dum in uno eodemq; plaalici ducu o uagunt describendae figuris . quatrum altera Gobiectpm ostendat, aliciae vero in itactione obiectum reptaesentet Priae t. aliquando planum no bis pro subiecto planci, alui uando autern IVt contingettalidem planum nobis Pro sectione deseruiat exemptu gratia .l Sit obteia tam , siue s gura is Dici, quo A intelligatur in
subieci o plano in quo fit s ecticenis linea DE; in eodemq; plano sit punishum Lipunes unIdistantiae in quod nempta cadit perpendicularis ab oculo in abiectum planum; oculi vero avitudo supra pimachum: sit quantitas A. intelligatur autem super DE sectionem subiecto plano erectam ei se debere . His ita constitutis, oportet in hoc eodem plano delcribere figuram, quae sit aequalis ei immo sit eadem quae in sectione apparet, veluti FG; ita scilicet, visissee hic, fuerit DH; eadem H in subiecto plano prostrata, Ni in eodemmet subiecto plano esse intelligatur, in qua describenda est figura G, quae ipsam BC tali artificio reprae
60쪽
sentet, ac si sectio es.set subiecto plano erecta. Vt nimirum. si manente DE, intelligatur GH in acum FG conuerti, donec fiat subiecho plano erecta; intelli
puncto S linea Asimiliter subiei hoplano erecta & in A intelligatur ocu '
lus in aspiciens figuram BC, ipsa BCfigura in sectione appareat, Vt FG . atque ita in eodenia plano M obiectum, iugura in se stione apparens descripta et ita; ut in sequentibus praxibus multis modis possessio.
ri perspicuum erit , Caeterum hic animaduertendum occurrit, quod in pra-xibus conficiendis multas , ac pene infinitas quandoqι lineas ducere oportet, ita ut lineae quodammodo interse implicari videantur; unde ad aliquas huiusmodi tricas euitandas, praxes quandoq; altero modo construere non erit inviatile nempe , ut obiectum , figuraque apparens in diuersas tartes descripta proueniant Veluti hoc modo; mutato sci-icet situ obiecti ut in altera figura , in qua sit similiter FG figura in sectione apparens, obiectum ero sit BC, ita ut sectionis lineam habeat obiectum ad unam partem, figuram ero apparentem ad aliam. Vbi considerandum est, quando sectio una cum figura FG intelligitur subiecto plano erecta , veluti etiam S eidem plano perpendicularis, quod tunc figura FG non ostendit, neque reprςsen rata obiectum BC oculo in A supra S existenti, hoc en in essicere non potest, ut perspicuum est. Quare, ut concipiamus, quomodo FG obietium repraesentat, intelligendum est obiectum C in altera sectionis parte esse , ut in HL