장음표시 사용
41쪽
LM tib subiecto plano; dummodo sectionis linea K in subiecto plano
existere intelligatur. Vnde si parallela linea partim fuerint inter secti ODem , dc Oculum sar-tina ero sectio inter lineas, oculum; X ljS, quae demonsciata sunt constat, lineas, quae in sectione apparent, interse, aptis equidistantes esse. Quod si datarum parallelarum aliqua esses in ii a sectione, liquet hanc insectione se ipsam ostendere, caeteris uti e linei pazallelam csse lineis enim. quae hoc modo sunt in sectione, contingit , t e dem me sint, quae c- presentant, quae repraesentantur quod idem Omnibus alijs, siue sint planista, siue lineae , siue figurae, dummodo e stant in s Chione, contingit: cunet eadem res, iro obiecto,& pro figura inscctione apparente descruiat.
' , THEO REM A TROPOSITIO. XXV.
Si oculus larallesas lineas videat, quae sectionis lineae sint aequi distantes, linea in sectione apparentes erunt interse, de lectionis incae, de ipsis parallelae.
In iisdem enim figuris sit ΚHsiectionis linea in subiecto plano; datae vero Vtcunquc parallelae lineae sint C DE FG, quae sint ipsi H aequi distantes; linc vero iniectione apparentes sint LM NO PQ Dico lineas I ΜNO PQ &interse, ipsiq; HK,&ipsis DC DE FG equidjsantes esse. Eodem enim modo quoniam BC H sunt parallelae, si intelligatur per BC planum plano 1ectionis K aequi distans , erit B ad A, ut M ad MA. quare L ipsi BC est parallela. cita ostendetur di ipsi DE, PQ ipsi FG parallelam esse. Ex quibus colligitur LM NO PQ in tersese, ipsiq; HK,&ipsis BC DE FG parallelas esse . quod demonstra.
sed idem ostendetur in aliis casibus, ut in praecedenti.
Si oculus videat lineas subiecto plano perpendiculares, sitq; sectio eidem plano erecta , linea in sectione apparentes erunt subiecto plano, cicctionis lineae perpen
diculareS. Sit oculus Α, qui videat linea BC DE, quae sint ubiecto plano perpendiculareS. sitq; sectionis linea in subiecto plano IG; sectio autem intelligatur subiecto plano crecta lineaeq; in se ione apparentes sintlΗM L. Dico M KL subiecto pla. no, sectionis lineae G perpendicula- tres esse Ducantur visivales radi i HA lGMA, ΚΛ ELA. Quoniam enim li V
42쪽
ne B est subiecto plano erect a erit planum trian tuli BC cidem subiecto plano erectum quoniani H est in triangulo ABC, eademq; m est in sectione, eriti, sectionis, ac trian tali ABC com nauni sectio sectio autem , itanii ABC sunt subiecto plano erecta ergo linca quoque H M subiecto plano erecta erit. Eodeq; modo ostendetur L elle subiecto plano perpendicularem. At vero producantur UM KL, quae cum linea FG conuenient; cum sint omnes lineae in plano sectioinis, non sint Hul Lipsi FG parallela: si quidem sunt subiecto plano erectae. Quare producantur, occurrantq; ipsi FG in punctis F. quoniam FG est in subiecto plano sunt q HGm subiecto plano erectae erunt HGAE ipsi FG petipendiculates . quod demonstrare oportebat.
I Udem constructis, quoniam BC DE siunt subiecto plano perpendiculares; estq; sectio eidem plano erecta ; erit unaquaeque C DE sectioni aequid istans . quare M KL interse,' ipsis BC DE sint parallel . sed BC DE sunt subiecto plano rectae ergo HMG L sunt subiecto. plano perpendiculares quae propterea ut dictum est erumin ipsi FG rerpendiculares quod demonstrare oportebat.
Si oculus videat datas lineas, quomodocunque sitas , quae tamen exiliant in planis periplaue 5 oculum ductis subie isto plano erectis, sectio uici in tuoque subiecto plano ere-ctaci lineae in sectione apparentes erunt subi et plano , ac sectionis lineae perpendicularcs.
Sit oculus A datae autem tacunque luteae BC DE . si id sectionis linea FG in subiecto plano sectioq; sit subiecto plano erecta plana vero per BC WA, DE in ducta sint subiecto pla
no erecta lineae autem inuectione
apparentes sint K M. Dico has lineas HK M subiecto plano,' ipsi FG perpendicu lares esse sint visuales radi ΒΗΛ CKA, DLA EMA . Quoniam igitur sectio, planumq; ACB sum sit hiecto plano erceia; lineaq; HK horum planorum est conam unis sectio, Criti H iubiecto plano ac per consequens ipsi FG perpendicularis similiterq;ostcndetur
43쪽
ostendetur LM subiecto plano, ac ipsi lineae G perpendicularem esse. quod demonstrare oportebat.
Si oculus quotcunque parallelas lineas in subiecto plano existentes videat , quae sectio itis lineae non sint aequi distantes; sectio autem sit subiecto plano erecti lineae in sectione apparentes in unum , desidem punctum concurrent, supra subiectum planum aequealtum, ut oculuS.
Sit altitudo oculi A supra subicctum planum linea As sitq; in subie cto plano sectionis linea HK. aequid istatares vero lineae in subiecto plano existentes sint C DE FG, quaeipi H non sint parallela: sitq; sectio HLMΚ subiecto plano erecta. In sectione autem lineae apparente lint L MNO P Dico LM NO PQ in unum, Idem punctum concurrer , quod quidem est aequealtum si prasi bicctum planum, Vticulus A. Duae in subiecto plano ducantur puncto S incar, quae secent sectionis lineam, ac datas lineas, sintq; HFDB, SK EG Sint visivales radi BLA DNA, FPA. MA EOA G QA. Iungantutq; H PN L, Q QO M Q H niam enim punctum B in sectione apparet, ubi L. L ubi , ubi P punctum vero H est in sectione linea igitur H FDB in sectione apparebit in PNL. atqui recta est inca Fini: rgo recta etiam est
44쪽
HPNL ut initio diximus . eademq; ratione ostendetur QOM rectam lineam esse . At vero quoniam S cst subiecto plano BC recta erit planum S subiecto plano erectum . scd sectio LM cst eidem quoque plano B erecta, ergo mea si communis ectio planorum ASBHM tibi ecto plano BC recta erit pariq; ratione ostendetur KM esse subiccto plano B erectam unde H MK in interse parallelae Ducatur autem a puncto H linea H ipsit BC DE FG parallela ac per L H HR ducatur planum LIR , quod quidcm propter lineam Herit subiecto plano B erectum . sitq; communis sectio planorum mi. ASC WHI; quae quidem plana sunt subiecto latro B erectari quare 1ς. undecim plano B erecta exist si ac propterea crit I ipsi1 HL M qui distans secent autem visuales radi CA EA GA meam I in punctis I TV . secabunt enim , quoniam vis tales radi , R in eodem sunt plano, trianguli scilicet ASC si igitur H LIR intelligatur sectio; linea utique Iipsam Coeprς sentabit. Itaque iungantur L NT; nimirum ostendet L in iectione I lineam BC: NT vero lineam DE quoniam igitur BC DE sint ipsi HR parallelae erunt L N interie, ipsis BCDE parallelae sed N T lint quoque parallelae; erit igitur LNTI parauelograminum quare QT ipsi L aequalis existit. Qu9niam autem MoIT sunt aequidistantes; siquidein K I ostens aeriunt parallelae ob siet s. huius. q. primi. q. sexti.
militudinem triangulorum AMO AIT , crit A ad AI , ut O ad IT; est autem A maior, quam AI ergo Mo maior est, quam IT:
ac per consequenS maior, quam LN quia vero ijneae M LI sunt quiή distantes; dc O maior en N; lineae LM NO non erunt inter se parallelae, sed ex parte LN intcrse convcnient. Itaque producantur, & concurrant in X . Praetcrca quoniam ostensiim cst IT L interse aequales
45쪽
similittidinem autem triangulorum MO XL N ita est X ad X L, vi Μ ad Ni , M ad N ita est, ad Al erit iguur X ad XL, vim ad AI. Eodemq; prorsus modo dem Oiuriabitur Q ad I ita esse vim ad AI; esseq: IU L interse aequales quod fiet, ii iungeretur U, quae insectionem lineam FG ostenderet quarc sicut Me ad P, ita est M ad Al. Cum itaque sit, ad L. t MAad AI erit O ad LP ut X ad XL sint .vero Q in parallelae; ergo ducta X, erit PS recta linea si igitur producatur PQ ex Ρ, meis O M occurret in X. ita si plures essent datae lineae parallelae, omnes in X secundum apparentiam concurrere ostenderit r. At
vero connectatur X. quoniam igitur ita est, ad AI, ut X ad XL erit diuidcndo I ad A, ut L ad LX . quare linea L est ipsi X parallela; sed L ipsis BC DE FG quid istans ostensa est, erit igitur X ipsis BC DE FG parallelao ac per consequens subiecto plano
SBC aequidistans ex quo patet punctum X aequeastum esse supra tibi e-chum planum, ut oculti A. in punctumq; vapparentes lineas ML N. in sectione concurrere quod demonstrare oportebat. Assumpsimus in demonstratione, punctum It me inter puncta K. quod si acciderit punctum K esse interstincta R; tunc ducatur non a puncto H, sed a puncto, linea datis lineis BC DE FG aequi distans; caeteraq; eodem prorsu modo ad alteram partem euenient eademq; de. monstratione Ostendentur,
'od autem bo tbeoremate demonstrauimus , aliter quoque faci-lmso in sequenti, non solum in sectione subιecto Iano erecta , veri metiam in sectione subiecto plano inclinata idem flariter contingereonPendemus.
Si oculus quotcunque parallelas videat lineas in subiecto plano existentes, quae non sint sectionis lineae parallelae; se ctio autem sit quomodocunque sita s linea in sectione ap
parentes in unum δε idem uia tum conuenient, supra subiectum planum aequealtum, Ut oculuS.
Si oculus Α, cuius astitudo supra subiectum planum sit As lineae vero in subiecto plano parallela sint C DE FG; ii quidem, cum non sint sectionis lineae quae si BD parallelae , cum ipsa concurre Ct, vi in punctis BDF situ sectio F X. line ae autem apparentes, quae sicilicet in sectione ostendunt linea BC DE FG, sint L DO M. Dico primum L DO M in unum,&idem punctum concurrere. Fiant lineae BC DE FG interse aequale iunganturq; CE G crit lique
C ipsi BD aequalis, Maeqvidi stans veluti' ipsi DF quod cum sit
46쪽
BD recta linea erit CE recta linea Sint visua lex radij
qui sectionem sincent in punctis LOM ita ut puncta LOM insectione ostendant pucta CFG is quoniam
sunt sectione, in ijsde, me quoque punctis in sectione apparebuti Iungantur in M.&quoniam punctnm L in sectione ostendit punctum autem ii sum Ε, ipsum G linea Oin sectione ipsam CE, ipsam FG Iz I SAostendet. sed FG est recta linea sectionis lineae BF equidistans; er-a - M MFGgo LOM est recta linea Mipsiis CG BF quidistans. Itaque quoniam L est ipsi CE equidistans erit ob similitudinem triangulorum ACEALO, ad AL ita C ad O. cst autem in ioc casu Amaior , quam L ergo maior est , quam LO. cum autemst BD ipsi CE qualis erit BD maior , quam O.' quoniam DLO sunt interse parallelae incae L DO ex parte O interse conuenient itaque concurrant in X. At vero quoniam BD O sunt paralle
sexti lae, erit ob similitudinem triangulorum BD LOX ut X ad XL, ita 7, Amti, BD ad O. Cumq; si CE ipsi BD aequalis , candem habebit proportionem C ad O quam BD ad O. ut vero C ad O, ita est Exii, quin C ad AL Mut BD ad O, ita X ad XL erit icituri ad XL,iΦ. Vt C ad AL . eademq; ratione Os cndetur ita esse Aad AL , ut Gad Μ . st vero B aequalis ipsi CG erit igitur B ad M, ut CA ad AL sed est C ad AL uti ad XL ergo B erit ad LM, via ad 22. huiμs. XL sintq; BF M parallelae linea agitur MX recta est quare M ex M producta ipsis X DX in idem punctum voc surret ita similiter
ostendetur, omnes alias si extiterint in X concurrere. X quibus primum patet lineas L DO M in unum, idem punictum X concurrere.
Dico autem insuper punctum X aequealtum est supra subiectum pla-lnum , sicut punctum A. connectatur Α . tioniam nim ita st A ad 17. quinti. AL uti ad XL erit diu1dendo CL ad LA, ut BL ad LX permutan-I8. quinti doq; CL ad LB, ut AL ad LX angulus vero BL est ipsi XL equa-II primi lis, cum sint ad Verticem ergo triangulum L C triangulo XL est simio sexti le . ac propterea angulus B angulo X est aequalis quare linea AX cst ipsi BC, pcr cons equens ipsis D FG parallela: Midco subiecto plano a quid istans crgo punctum X supra sibiectum planum est aeqtiealtum, ut oculus A . quod demonstrare oportebat. His demonstratis, quoniam secundum positam propositionem Vari possunt esse castis ut omnia oculis subi j ciantur, primit constat nos inde
monstratione assumpsisse sectionem X inter parallelas lineas BC DEFG, oculum existere; sicuti ut plurimiam fieri solet. At vero si lineae BC DE FG fuerint inter punctum S, sectionem, li- i
47쪽
ne apparentes, infra vero iii biectum planum per S. lectionisq; in eam B transiens.
existentes , ipsasq: BC DEFG repraesentantes in denipunthum X concurrere si, militer ostendetur si enim
ostendetur in sectione ipsam Hostendere, is OMipsam G, csseq; LOM Psi CE parallelam . quare ob similitudinem triangulo
autem x maior quam AC erit igitur ici maior, quam E ac per conse. quens maior, quam BD est
quippe BD ipsi CE aequalis ii quidem parallelograminum est BCED . suntq; L BD parallelae;
ergo lineae BD interse confienient, ut in X. At vero quoniam BD lLO sant parallelati eritio sit militudinem triangatorum LX BAD, vis LX ad a, ita D ad BD. eandem antem Aaoc proportionem Lolad CE, quam ad BD iis autem L ad Ε, ita est A ad AC; ut L quisti. ad BD, ita LX ad XB: erit igitur L A ad A ut LX ad XS. Eadem autem Exu. qui uratione ostendetur LM ad BF ita esse, ut LX ad XI. ergo lancia Me est l. recti linea quare lineae L OD MPm punctam cco iacvrrcnt. Joniam et a burus autem ita est LA ad AC ut LX ad X3: erit diuidendo C ad v, ii cui Rad BX ob id A est ipsi CB, ac per consequens ipsis o FG, nec a. Dxti. non subiecto plano aequi distans exma patet punctam Lesse queat tunsupra subiectam planum, ut oculus A. ime igitur L OD M in idem
punctam X concurrent supra subiectum planum ς quealtuiri, ut Oculu, A. quod etiam demonstrare oportebat. Caeterii in intelligere quoque possumuS aequi distantes linea BC DEFG in subiecto plano esse per Si&BF
ducto verum Oculum Ainfra subiectum planum eximstcre altitudine AS in hoc quo que casu exponantur eade, eodemq. prorsus modo Vt in primo casu osite
ne apparentes in punctum X con
48쪽
currere quod crit aequealtum supra subiectum planum per S, d DF dum ctum, ut est A. adura enim eadem prorsu est, id inuci a. Q sed si lineae BC DE FG fuerint inter lactionem, sunctuia S, idem ut in secundo casu demonstrabitur.
Porro non ua:bu Casibus supra possitis, em per subiectum planum fuit, vel infra oculum vel supra; quod si neque infra, neque supra culum, sed ut oculu aeque altum constituatur, sic
oculus erit 1 subiecto pix gno, in quo etia sectionis linea BF reperitur, in qua nimirum erit punctum , in quod lincae concurrunt ductis enim visualibus radij. CLA OA MA, qui lineam B secabunt ut in LOM constat dici ostea L PM, idem pun
Quod si parallelae incae fuerint inter F, punctum Α, idem proris
Si cro castu euenerit, ut linearum aliqua situm habeat, ut X, quae quidem producta oculo A occurrat id, quod insectione ostendet lineam HX, erit punctum X. Cum enim recta sit linea HXA, a quolibc pumisto in linea X existente ducatur visualis radius, semper pc idem punctum X transibit. Ex quibus omnibus patet, si aequi distantes lineae partim fuerint inter sectionem, oculum, partim vero fuerit sectio inter lineas in culum , lineas i sectione apparentes semper in unum, idem punctum concurrere supra subiectum planum aequealtum, ut est oculus
Si oculus parellelas lineas videat , partim in subiecto plano , partim vero extra existcntes, quae quidem non sint, sectioni parallelae lineae in sectione apparentes in nun , idem punctum concurrent, supra iubiectumat 'num
aequealtum , tocul US. Sit oculus , cuius stupra subiectum planum altitudo si AS in quo sectionis linea sit FH sectioq; sit XHci sint aequidistantes lineae BC DEFG partim in subiecto plano, ut FG, partim vero extra, ut BC DE quae quidem , cum non sint sectioni XI parallelae, cum Psa conueniant in punctis BDF lineae vero, quae in sectione apparent, lint K DL M. Dico has in num, idem punctum concurrere atquealtum supra subiectum planum, ut A . sit primum oculus A supra subiectum planun ab
49쪽
il ibi oleasdem rationes secabutitur ae propterea erit AC ad CN;'Vt md BO l. 7deciquare inest ipsi BC aequidistans. Unde sequitur Nil ipsi FG aequidi m . stantem esse ambasq: uasiabiecto plano existere. QtIoniam tutent OBA e v NK sunt visuales radi , punctum O in sectione apparebit . bi , Nis, deci vero b K sed punct)um H est in ipsi sectione ergo linea No lappa mi. retin lineam BK. quod cui, sit HO recta linea erit 3 m rectarii. nea,.Vt initio diximus Atyero quia lineae H FM in sectioiae ostendtint lineari FG in subiecto pla io existentes, quae nimirtiniurater seia- irallelae sunt concurrent H F 1 in unum punctum, puta 'X, eqviealtum supra subieistum planum, ut As atqui B est pars lineae HK; linea igitur . Jupra subiectum planum, ut As atqui B est pars lineae HK linea igitur Ex praece-bia, quae 'in sectione ostendit ipsam BC , in idem purictithiae cc incur-ή ι .ret similiter ostendetur L in idem punctum X contuenti I rostpter lineae B DL M in unum, cidem punctum X concurrunti quod quidem est quealtum supra subiectum planum,Vt oculus A. quod demon- ,
AHI Moro lium: est iret indusii, quod si ducatur BM ipsi FH equi distans. . imunt BC B: ipsiis FG n aequi distantes quare planum per BC PMductum Icri sti biecto p rio per FG FH transeunti equidistans pla- Is viae- num autem perIRG Rincludium intelligatur productum, ita ut linea AS cinii. se l. in P .rimc intelligi poterat hoc planum per P m ductum esse subiectuan plamma in quo linea ΒΜ ei it sectionis linea punctum autem erit putidium distantiae: AP ves altitudo oculi supra hoc subiectum planum ci itq; punctum X n quo linear concurrunt supra hoc planum atquealium, Ut oculus A. tio idem fieri potest pulici MD 2 alijsquibuscunqtim ex quibus Ostendi potest linea BC DE FG in idem piactum
Ita demonstratione assumpsi sus aequi distantes lineas omnes fise oculum existere quod 1 fuerint etiam supra oeulum, ut in precedenti iri callisimili, intelii geretur subiectum planum esse supra CAlum; cademq; ra . xjP9:- δέη PQq. ψ driua lineas in concurrere, quod est :equcilium, V A. l. I m qi16411 Siru3etii taeelae reo si pararie e meae crint intersecti Onc,&foculum, ac partim supra, partimq; infra extiterint. ita in alijs casibu -
50쪽
Si oculus parallelas lineas videat in aliquoi lanci existen .es, quod per feci ionis lineam transeat, sitq; subiecto plamo inclinatum , lineaeque non sint se istionis line pareiteli, si elio autem fit quomodocunque sita Llinesin sectione apparentes in unum , ridem pun stum concyrrenisqueat . rum supra planum, in quo sunt paralleli, ut oculus. sit oculus A siti
ira subiectiam pla tum per UBF duectu altitudine AS; qui distantes Vero lineae in plano subiecto plano inclinato, a crs ij nis lineant duci se existentes sint BV., DE FG, quae quisdem non sint sectionis clineae BFrequidi ntes. Vn' de clim issa cohue niant in BDF sitq; lectio taxR quo, uiodocunque sita, in qua sint lineae B DOFMayparentes Dico LLO M in unum, idern punctum concurrere atquealtum sepra planum per BC DE FG ductum, veluti est punctum Α, in visuales radi CLAEO A MA. Fiant autem BC DE FG aequales iungaturq; EG Deinde intelligatur planum per BC DE FG ductum, cui ab A perpendicularis ducatur ΑΡ. ii igitur intelligatur planum per P. BF ductum esse subiectum planum in quo lineae BC DE FG reperiunm , porro AP erit Oculi A altitudo supra hoc planum. Quare ex vigesima Octava,&vigo. sima nona huius propositionibus man11estum est BL DO M in idem
punctum X concurrere', esteu punctum X supra planum equealtum, ut A quod demonstrare oportebat Qu.od idem in omnibus alijs casibu contingere ostendetur similiter. Si vero ijsdem positis aequidistantes lineae non fuerint in eodem plano, linere in sectione apparentes tu idem punctum X concurrere, sitniliter ut in praeccdenti Ostendetur.
caeterum ea omnia , quae in bis quatuor proximis herorematibus idemonstrata sunt , aliter , unica 3 de byratione perstringemus in