Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris

31쪽

iuxta seriem immerorum naturalium crescentium. Series differentiarum primarum est -asin. In s n. la, in fu, in.Ρ, in.la, in. D, in.Ρ . . . . Series differentiarum secundarum est -a sn.'έa cosaa, co 3a cos cosso, cosos, s. 7a.... Sortes differentiarum tertiarum est εα sin. λέα sin. fu sn.la, sin.lo, sin P, in.Pa. In.Ρ . . . . Series differentiarum quartarum est a 'sin 'la cos3a cos- cosso, s6o cos.7a, s8 . . . . Series disserentiarum quintarum est -a sn. βέα sn.la, sin.la, sin. o. sin.go sin.D. Ain.Ρ .)Series differentiarum sextarum est -ethsn. βέa cos.Αa, ossa, coc6a cos 7o cos. 8a cos9 .... Generatim series differentiarum ordinis paris a est a P sin.am Io cos mΦI a cos. 3nΦa a, cos. v 3 o cos. πνε )o cos mis) . . . cum alterutro signo Φ, prout m est et ... Impar Et series differentiarum ordinis imparis am*i estiam isin.am 13a fin.' 'Ia sn. a sin.' 'va, sin. ' ροα sin. - . . . .

cum alterutro signo , xout m est

Sehosium. Omisso factore a sn. ηἱa series harum differentiarum successivarum. pariter atque ipsae series primitivae, periodice in se redeunt, aut sunt semper diversas; prout arcus Q dimidia circumferentia commensurabiles, aut incommensurabiles sunt. Monenda de eo endiose disserentiarum symbolismo. In sequentibus, compendii Cmajoris impressionis facilitatis causa, differentiae ordinum successivorum potentiarum numerorum at alium, quarum exponensis,

senunque designabuntur, ut sequitur: a Diri

32쪽

Differentiae Designatio collipendiola

Nummu potestatum numerorum equidisserentium quos inter series numerorum naturalium primum tenet locum adeo frequenter calculos superiores ingrediuntur, ut strictim de illis in hac introductione dicere consultum duxerim. Plures mathematici variis modis eas indagarunt atque exposuerunt. Cum autem scopus in hac tractatione mihi praecipue propostus sit illius ad limites dictarum summarum applicatio : nuIIa methodus potioris huic fini melius accommodata se mihi obtulit, quam ea, qua usus est sagacissimus AscA in eleganti opuscul6, cui titulus Potestatum numeriturum summa quod pag. 34 sqq. insertum est libro ipsius 'n- scripto Truis do triangis arithmesique Paris 1665. qua potestatum cujuslibet o dinis summa ad summas potentiarum ordinum inferiorum reducitur. f. n. Lemma Sintis Ἀε duo numeri ad potentiam quamlibet evecti, cujus exponens Disserentia uin Q - harum potestatum per g. e. erit Iaa 13 4 1 a g. . Sit series terminorum equidisserentium, quorum minimus sit a disserentia communis numerus mSit compendii causa seu summa potestatum, quarum exponens' terminorum illorum inde a primo a usque ad 1--ΦΘ-a d. Accipiatur etiam eadem potestas termini v n ultimum sequentis. Sunatis disserentiis potestatum ejusdem exponentis quorumlibet duorum rem, Borum contiguorum, erit g. u.

33쪽

Summa omnium priorum membrorum harum aequatimum est OΦnii r ar. Et summa omnium posteriorum membrorum est

Et se summa potestatum cujuslibet ordinis per legem omnino regularem ad sum mas potestatum omnium ordinum inseriorum reducitur. g. . Exemplum Series numerorum equidisserentium sit series numerorum naturalium ab unitate usque ad n ubi ama, d a. Et sit se summa potestatum ordinis r primorum v numerorum naturalium. Fit sit - 1. Fit sti n i)--I-n m. -IH- a 3 , - n 1 3 - 1- 3: -a ita η -1- ηεἶ

34쪽

. . . . . . . . .

Quod ad reliquos cosissicientes attinet B est constans, nempe 4 Caeteri autem C, D, E ... 'V M pendent ab exponente variabili, Juxta legem quamdam, cujus evoluti ad scopum praesentem non pertinet; de qua videatur inter alio JAc BER NOULLI Ars consectandi pag. Dcipus D.

De Mibus et suibus armum must larum et de fanum in factores

resolutione.

g. m. Ex his duabus formulis deduci possis expressiones sinuum Wcosimum arcuum, qui multipli sunt alicujus arcus propositi Scilicet

35쪽

Exempla haec suffciunt ad in andam legem harum expressionum, qua sit

36쪽

XXIV

'l' cosa sin.ama sim.an' Ia. Demonstratur autem modo mathematicis familiari quod, si haec lex obtineat proeXponente quocunque proposito', eadem etiam valeat pro exponente unitate majori Sed lex locum habet pro exponentibus et 3. . , 6 ergo locum habet pro exponente sequentea inde pro exponente 8 sic deinceps. g. Ob Temses igitur, quibus expressio cosinus arcus pi arcus a constat, sunt termini alterni binomii cos τε sim.a m sed alternis vicibus, a primo inde, signis assecti & termini, quibus constat expressio sinus arcus ejusdem pi sunt reliqui termini alterni ejusdem binomii, alternis vicibus a secundo inde signis pariter affecti. Quoniam autem dimidia summa potentiarum ejusdem exponenti m summae Φώ differentiae α- duarum quantitatum realium a 4 constat terminis alternis in . ii ορο , a primo inde, iisque signo affectis dum dimidia disserentietiarum potestatum continet reliquos terminos alternos etiam positivos ut expressio cosinuum a euum multiplorum reduci possit ad summam potestatum similium summae differentiae cosinusis sinus arcus simplicis: sinus hic affici debet cosissiciente tali, ut potentiae ejus impariter pares signo, afficiantur, potestates vero pariter pare maneant positivae Quod fiet, si loco cos. τ*sin.a substituatur cosa φsin.a; C-I; unde ad hanc d Atiis; is, o in cosa εsin.a W-I) ε cosa sim.zW-1 m

37쪽

Evoluta aurem duarum potestatum cosa Φsimari I cosa - γ.ami indisse rentia, omnes ejus termini afficiuntur coemiente imaginari W-I; unde, ut expressio maneat realis inserimus sin s*Φsn-η - Ι) - cosa -sin.am a)m Quod enim expressiones hae verae sint pro exponente quodam n eaedem etiam

Observatio. Expressiones hae imaginariae quae in calculo inprimis integrali, in serierum summatione frequentissime usurpantur mera sunt signa majoris calculi facilitatis gratia a mathematicis introducta Partes earum cosm sn.a a)m eo sim sumtae omni sensu carent Coperationes his symbolis juxta regulas calculi litteratis ad eas extensa institutae eatenus tantum quantitates reales ultimo exhibent, quatenus termini imaginarii, quos expressiones illae continent, sese mutuo destruunt. Scilicet aequatio a m Ορέ- o-d semper obtinet, quidquid si, ideoquo etiam si involvat signum impossibilitatis, quod utramque expressionem alii, a d pariter impossibilem reddit. g. e. Quoniam oris.-- ές0 -sΠ- Ο - cosa -sn.a a)m

o . . .

Unde

38쪽

XXVI

39쪽

XXVII

Theoremati huic demonstrando quod a variis auctoribus praestitum est non immoror quamvis talis ejus demonstrationis compotem me esse credam, quae simplicitate sua sese commendat. Forgo ideo ad illius applicationem, quae deinceps utilis erit.

an an an an an

an an an an au

a*. Ex secunda formula fit pariter Wa - avsin. Iisin. Iisin. p. . . sin. ipsin. p.

40쪽

XXVIII

4'. Ex quarta formula fit pariter g af Post colesum theorema ipsius duit amplificatum, formula quoquemnia b*cos. νε ba resoluta in factores, ut sequitur, prout numerus est par aut impar: