Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris

51쪽

Ergo Amm- ABSDE AMSB - 4 ABSD. Hoc est dimidium segmentum parabolae, abscissa aris, recta ari ordinatim a plicata, Marcu curvae contentum, aequale est duobus trientibus rectanguli ci cumscripti. Porro sit AB dimidium segmentum parabolicum, quod oratisne Fig. s. circa axem B gignat segmentum paraboloidicum. Jungatur 2 recta Ducta per verticem S, tangente SD, compleatur rectangulum ABSD. Dividatur axis B in partes quotcunque aequales, quarum una sit Spatio parabolico triangul SAB circumscribantur vel inscribantur rectangula aequo alta ad normam g. I. Ex a ). Sint mP PQημduo rectangula sibi invicem respondentia segmento parabolico & triangulo ci cumscripta, rectae PM μm axi ordinatim applicatae, occurrant rem AD in punctis R Per naturam parabolae est SP χν - PΜ AB - PM PH

52쪽

Hoc est parabolades gyratione dimidii segmenti parabolici chaea axem suum genita est subdupla cylindri circumscripti. Scholium. Exempla haec declarant, quomodo cognita ratione duorum eratenserim saepius determinari possit ratio, quam invicem habent duo alia extensa prioribus heterogenea. In priori exemplo, ratio data, quam mutu habent c nus & cylindrus aeque alti super eadem basi, deduxit ad rationem, quae inte cedit inter dimidium segmentum parabolae rectangulum circumscriptum in posteriori, ratio data trianguli, rectanguli aequo altorum super eadem basi idem praestitit pro paraboloide & cylindro liui circumscripto. g. 6. Theorema. Sint duae aut plures quantitates mutabiles, quae simul fieri possint minores quacunque quantitate proposita dico earum summam posse etiam quacunque data quantitate fieri minorem. Sint , , , v quantitates mutabiles, quarum numerus , quae simul fieri possint quacunque quantita e proposita minores dico, summam h rum quantitatum mutabilium posse seri quacunque quantitate data a minorem. Etenim dividatur quantitas, in tot partes aequales, quot sunt quantitates mutabiles. Fiant smul quod possibile per hyp. singulae quantitates mutabiles una illarum partium minores. Proinde summa omnium quantitatum mutabilium minor erit praedicta parte, toties sumpta quot sunt quantitates mutabiles, seu minor quantitate proposita.

Corollarium I. Idem a fortiori valet de disserentia duarum eiusmodi quam litatum mutabilium,is de Messu, quo summa aliquot ejusmodi quantitatum mutabilium superat summam reliquarium

53쪽

I3 Corollarianis et Sit quantitas mutabilis, quae minor fieri potest quacunque quantitate data Cea quantitas multiplicetur per numerim quemcunque is positivum . Dico, productum inde ortum posse etiam minus fieri quacunque quantitate proposita. Sitis numerus integer res patet per Propositionem. Si vero mon sit numerus integer fiat productum ex quantitate mutabili per numerum integrum, ipso n proxime majorem, minus quantitate data erita fortiori productum ex quantitate mutabili per numerum n minus eadem quam litate data.

f. Theoremata varin.

I'. Si rationis mutabilis crescentis v gr. Q limes sit ratio data Aa B. Erit invertendo rationis decrescentis LX limes ratio ν A.

a'. Si rationis mutabilis crescentis v. gr. limes sit ratio data A B: erit convertendo rationis mutabilis decrescentis Q - T, limes ratio data AE A B.

54쪽

g. . Theorema. Duae quantitates mutabiles semper inter se sint in ratione data. Et quantitas data sit limes unius harum quantitatum mutabilium Crescetitis vel decrescentis dico, dari etiam quantitatem, quae sit limes alterius quantitatis, crescentis vel decrescentis, inuantitatem hanc eam esse, ad quam Prior data quantitas habet eandem rationem datam. Fig. 3. Sint X, CT duae quantitates mutabiles datam inter se habentes rationem Sit AB quantitas data, quae sit limes quantitatis mutabilis o crescenti Rar dico, dari alteram quantitatem CD, quae erit limes alterius quantitatis mutabilis crescentis T & quantitatem hanc CD eam esse, ad quam qua titas data AB habet rationem datam Etenim fiat per hyp AX e

Sed per hyp. BX potest fieri minor qualibet quantitate proposita; ergo g. 6. CD simul minor reddi potest quacunque quantitate proposita. Et proinde quantitas CD, semper major mutabili T, limes est magnitudinis hujus quantitatis CrE0demque modo propositum ostenditur de limite decrementi. g. . Theorema. Duae quantitates mutabiles eandem semper habeant rationem ad duas quantitates datas de A. Detur quantitas , quae limes st

55쪽

unius illarum quantitatum sive crescentis sive decrescentis. Dico, dari etiam aliquam quantitatem c quae sit limes posterioris quantitatis mutabilis paritπcrescentis aut decrescentis & quantitatem hanc C eam esse, qua fiat in A,

C : Demonstratur eodem modo quo Theorema praecedens. g. o. Theorema Duae rationes mutabiles sim semper inter se aequales;& fit ratio aliqua data limes unius harum rationum mutabilium crescentis vel decrescentis, dico, eandem rationem datam esse etiam limitem posterioris Milonis crescentis vel decrescentis.

incrementi rationis Q r. Corollarium. Si ratio aliqua data limes est rationis duarum quantitatum mutabilium eadem ratio data limes quoque est rationis quantitatum, quae sunt aequo- multiplae vel aequo- submultiplae posteriorum. g. I. Theorema. Sint duae quantitates datae, quarum una sit limes alia cujus quantitatis mutabilis decrescentis altera vero limes sit alterius quantitatis mutabilis crescentis ita ut magnitudines, quibus duae quantitates ut biles a limitibus suis respectivo disserunt, simul fieri possint minores quibuscunque quantitatibus propositis. Dico rationem, quam prior quantitas data habet ad posteriorem esse limitem rationis decrescentis, quam prior quantitas mut bilis habet ad posteriorem. Sit AB limes quantitatis mutabilis decrescentis HIC; limes quantita Fig. 6.tis mutabilis crescentis Quoniam crinoo, T; A'. D.

Dico: rationem X posse reddi minorem quacunque ratione proposita, quae major sit ratione AB CD.

56쪽

ciquod fieri potest per hyp.

Dico fores AB Quoniam AG AX CF CF AB: Atqui re ergo MX CUM AX CFErgo a sortiori AX CUM AB AERObservatio. Hinc ratio posterioris quantitatis datae ad priorem est limes rationis crescentis posterioris quantitatis mutabilis ad priorem g. I. g. I a Theoremo Sint duae quantitates datae, quae ambae limites sunt duarum quantitatum mutabilium simul decrescentium ita ut excessus, quibus limites suos superant, possint simul fieri minores quibuslibet magnitudinibus datis. Dico, rationem duarum quantitatum mutabilium simul fieri posse maj rem quacunque ratione data. quae sit minor ratione prioris limitis ad posteriorem, minorem vero quacunque ratione data, quae major sit ratione prioris limitis ad posteriorem.

Hor. Sint AB, CD limites duarum quantitatum nrutabilium decrescentium G, . Dico, rationem X CT posse fieri simul majorem quacunque ratione data AB CE, quae sit minor ratione AB CD;- minoroti ratione data AF CD, quae sit major ratione AB L .

Denisnstratio. Etenim fiant simul G quod fieri potest per hyp.

57쪽

II Observatio. Quamvis hisce casibus ratio limitum AB δ m non possit dχi

semper esse major aut semper minor ratione quantitatum mutabilium AX, CT, quod stricto sensu juxta definitiones S. I. requiritur, ut ratio data AB dici possit limes rationis mutabilis o CT attamen, quoniam posterior tio, sive sit major priore, sive ex minor, ad illam ita accedere potest, ut minus ab ea differat, quam duae ratione propositae quaecunque, quarum una majtat altera minor est ratione limitum, ita ut nullus sit exiguitatis quantitatum BR DE limes, quo rationum AB LCE, AF ad rationem AB CD accessus c hiberetur liquet tanto magis, rationis a C a ratione HB CD discrepamiliam intra limites continue arctiores posse contineri. Et proinde ratio data dici quoque potest ea, ad quam ratio X C propius propiusque accedit, quamvis fluxu non aeque continuo & regulari, ut in omnibus exemplis antea propositis cum ratio mutabilis X CT alternis vicibus possit major aut minor fieri ratione data AB CD. Exemplo hoc ducimur ad alteram speciem limitum rationum, paululum ab ea, quam S. I. definivimus, diversam. g. 3. Definitio Ratio mutabilis possit altemis vicibus fieri major aut minor altione data ita tamen ut ad rationem datam propius accedere possit, quam ad eandem accedit quaecunque alia ratio proposita sive major priori r tione data, sive minor prior ratio data dicitur etiam limes rationis mutabilis; hei quidem obtinet limes rationis tam crescentis quam decrescentis. Idem discrinen locum etiam habere potest in limitibus quantitatum, quod sequenti exemplo prorsus iuniliari declaratur. Siti minor uilitate, it progressit ira in 'v' --pn im 'LVera summa hujus progressionis est prout u est numerus p qProinde numero' altem sumto impar pari, summa 1lla etiam alterne fit major minor quantitate Quare sensu stricto definitionis g. i. qua titas dici nequit limes esse summae seriei propositae cum haec summa neque semper major sit, neque semper minor quantitate Cum vero tam exces-

58쪽

Idemque dicatur de plurimis progressionibus decrescentibus, quae alterno excessu laesectu differunt ab aliqua quantitate data ita tamen ut tam excessus quam desectus possint fieri minores quacunque quantitate proposita. Ex gr. situ quadrans circumferentiae, cujus radius

Et quamvis summa hujus seriei alterni si majoris minor eadem quantitate datarip haec tamen absque dubio limes illius esse censetur. Sic clog. hyp. adicitur limes summae a

Conjuncta utraque limitum notione, duo postrema theoremata brevius sic enunciantur: uti limitum duarum quantitatum mutabilivm Iimes es rationis ipsarum quantitatum mutabilium. Exempla Rationes tam pertinetrorum quam superficierum duorum circularum limites sunt rationum perimetrorum & superficierum polygonorum legularium sive similium sive dissimilium, quae circulis circumicribuntur Cinscribuntur; sive polygona cuculla simul circumscribantur, sive ipsis simul inscriba tur sive tandem polygona sint uni circulo lacumscripta, alteri inscripta Pariter si absque Enait imminui possunt quantitates χcis ratio quant, latum a is limes est rationum εx θεν. g. 4. Theorema. Ratio composta ex rationibus, quae limites sunt duarum pluriumve rationum mutabilium, limes est rationis compositae ex iisdem rationibus mutabilibus.1'. Sint duae rationes mutabile semper respectivo is . . duabus rationibus datis; sed quae fieri possint iiii respectivo duabus rationibus quisbuscunque illig. ibu quam praedictae rationes datae. Dico rationem colypomtam ex duabus rationibus mutabilibus quae semper est ratione composita

59쪽

sta ex duabus rationibus datis , posse fieri 2 . .e quacunque ratione data.

quae 'l'ir sit ratione composita ex rationibus datis.

Cum modus demonstrandi idem M pro utraque his ualitatis specte lassi iciat brevitatis cauis de altera illarum propositu e incere. 'Sint igitur duae rationes datae se . co in in rationes mutabiles ain s.

' Sit semper R I GC sed dum rationes simul fieri possint

minores quibuscunque rationibus datis, quae sint rationibus M. co respectivo majores Dico, rationem X quae componitur ex rationibus cita, pariter minorem fieri posse quacunque ratione proposita, quae major est ratione AB quae componitur ex rationihus L . CD Et primo quidem, quoni*m erit semper CD. Iam proponatur quaelibet ratio AB major ratione B &ir inde si CE CD Probandum est fieri posse X: T AB: . Fiat, uti C. . ita BF quoniam erit BC AER Fiat etiam quod possibile per hyp. m BR AB BG BG η'i fiat

Erit ideo N: Z. M AB AERNempe ratio X. Z potuit fieri mitior ratione quacunque proposita BQ CE, quae major est. ratione data re a'. Sint duae rationes mutabiles, quarum una semper majis sit aliqua ratione data, altera vero semper sit minor aliqua altera ratione data ita tamen ut prior ratio mutabilis possit fieri minor quacunque ratione proposita, qumajor sit priore ratione data Mymisi posterior ratio mutabilis possit fieri ma-Jor 3uacunque ratione proposita, quae minor est posteriori ratione data. Dico: rationem compositam ex duabus rationibus mutabilibus posse fieri tum maj rem quacunque ratione proposita, quae minor fiterit ratione composita ex duabus prioribus rationibus datis tum, minorem quacunque ratione proposita, quae major suerit ratione composita ex praedictis rationibus datis. C a Sint

60쪽

Sint f dum rationes mutabiles. In S diu rationes a die ita ut semper in sc . o. Liquet nihil exinde concludi posse,

quod ad ina ualitatem imo 'uod ad aequalitatem rationum, quae ex rati nibus mutabilibus. ωex rationibus datis componuntur. Sit autem ratio AB BC limes rationis decrescentis V 2 i simul sit ratio BC: D limes rationis crescentis Z. Dico, rationem V η 'D 'Π maiorevi

in 'x' ratione AB: CD, utcunque parum ab ea diversae tanto magis ratio I Z, sive major uerit ratione AB, CD, sive eadem in , potest ad illam accedere, ut ab ea minus discrepet, quam alia Mi quaecunque, sive major sive minor ratione AE Hinc ratio AB est limes iuxta f. a. tionis mutabilis a Z. 3'. Sint plures rationes mutabiles semper respectivo majores totidem rationibus datis ita ut priores rationes possint fieri simul minores totidem rati nibus