장음표시 사용
61쪽
nibus propositis, quae merint majores rationibus datis respectivo dico, rati nem compositam ex rationibus datis esse limitem rationis decrescentis compo. stae ex rationibus mutabilibus.
x MEt si proposita fuerit quarta ratio tam mutabilis, quam limes hujus rationis decrescentis eodem modo demonstrabitur, rationem ex quatuor rationibus datis eompositam limitem esse rationi decrescentis compositae ex quatuor rationibus mutabilibus & sic deinceps, quicunque sit numerus fatilinum propositarum. φ. Sit ratio A limes rationis crescentis BQ C limes rationis decrescentis ci in D limes rationis crescentis V.
62쪽
Proinde ratio II: V fieri potest ζζζ quacunque ratione proposita ' ζ ,
quam ratio AB DE. Proinde g. 13. ratio AB iE est limes rationis XLV Methodum denisnstrandi reliquos, qui hei obtinere possunt casus, abunde hoc exemplo liquere existimo. Observatio Casus, ubi una aut plures rationes constantes occurrunt componendae cum rationibus mutabilibus limitum capacibus , ita facilio eviden est ex praecedentibus, ut uno exemplo eum sufficiat illustrare. Sit ratio Aci . limes rationis mutabilis decrescentis Q T. Sit ratio mei, aequalis semper rationi TQ . Dico, rationem Acii esse limitem rationis decrescentis Z. Etenim quoniam et Te CErit semper X: CSit ratio data A C major ratione data A C AE M. Fiat quod possibile per hyp. in Q Εst semper CErgo QAE BProinde ratio A C composita ex rationibus P i limes est rationis decrescentis Q . Corosiarium 1. Nominatim, sit aliqua ratio data limes rationis mutabilis,
crescentis vel decrescentis ratio duplicata, triplicata, quadruplicata, prioris pariter erit limes rationis crescentis aut decrescentis, quae est duplicata, triplicata, quadruplicata ----- rationis mutabilis. Hinc specialita, si ratio quaepiam data limes est rationis mutabilis crescentis vel decrescentis diisensionum homologarum duarum figurarum similium, superficialium vel solidarum prior ratio duplicata limes est rationis superficierum figurarum; eademque ratio triplicata est limes rationis capacitatum figurarum solidarum. Oroia
63쪽
Corollarium a. Si rationes, quae sunt limites duarum pluriumve rationum mutabilium, respectivo aequales sint rationibus, quae sunt limites totidem ali rum rationum mutabilium dico rationem, quae est limes rationis ex prioribus rationibus compositae, aequalem esse rationi, quae est. lime rationis ex posteri ribus compositae.
64쪽
Dico, rationem X X' posse fieri quacunque ratione data
Corollarium. Si rationum quotcunque X T, ' T', 'LT :r limes sit ratio data erit etiam rationis Φά-X'Φ X . . . . .:T 1 ε 'ε ' limes ratio a b. g. 6. Theorema Sitis quantitas mutabilis, quae potest reddi minor quacunque quantitate proposita. Sint A, B, C, D . . . . , Μ, cosissicientes magnitudine dati Sint etiam a. I, eXponentes
positivi dati non minores unitate, & successive crescentes Sit Q unctio qua titatis
65쪽
astitatis mutabilis , qualis sequitur: - - D cd - . . . . taxi dux - Λ, . Dico, unctionem Q posse fieri minorem quacunque quantitate proposita. Construmo. Determinetur quantitas , sic, ut quilibet terminus seriei propositae inde a primo in major sit termino qui illum inmediate sequitur bis sumto Scilicet, si duo termini quicunque contigui, sint Lxi, -m fiat Lx , area: n seu sem-im at x minor quolibet horum valorum ita
Primus Casus Omnes cogssicientes A, B, C, D . . L, Μ, sint postivi. Quoniam unusquisque terminus major est termino qui illum immediate sequitui bis sumto, quilibet terminu major est summa omnium terminorum subsequentium, & nominatim, primus terminus ει major est summa omnium reliquorum. Proinde QMaAM . Atqui cum X fieri possit minor quacunque quantitate data, a sortiori x potest reddi minor quacunque quantitate data Metiam g. 6. aista potest reddi minor quacunque quantitate proposita Cproinde Rpotest reddi minor quacunque quantitate proposita. Grandas CUM COEssicientes dat B, C, D, E tu, g, qui primum sequuntur, non sint onmes positivi. Omnibus ut ante factis, tanto magis hoc eas erit Qq a- undes potest
reddi minor quacunque quantitate proposita. Quod si A sit quantitas negativa omnia pariter vera erunt, signis mutatis.
Nominatim. F,ponentes a b c d . . . . , , , sequantur progressionem
arithmeticam numerorum naturalium ita ut sit - - Lxη - - 2 n- - Λ,n. Factori mari poterit inesse minor quacunque quantitate proposita. Et quoniam hic casus est omnium requentissimus P ad illum observationes sequentes earumque demonstrationes applicare lassiciet obseriatio 1 Quaecunque dicta sunt de ratione dupla potuissent etiam dici de quavis alia ratione majoris ad minorem. Scilicet, existente numero majore unitate, si ratio cujuslibet termini serie si ad terminum, qui illum immediates sequitur. facta uerit major ratione numeri 1 ad unitatem, erit
66쪽
ως -- ωproinde per hyp. l. 6. Q potest reddi minor quacunque
quantitate proposita. Observatio a. Quae dicta suerunt de casu, quo numerus termin0rum serieis datus est, applicari etiam, sub datis conditionibus, possunt ad casum, quo numerus terminorum est illimitatus. Quod accurate evolvi meretur, ciniissertatione jam memorata Expostis eismentoire de Principes de Castuli superieur haud congrue fuerat omissum. 1'. Cosissicientes A, B, C, D . . . . . sequantur legem aliquam decresce
Ergo a sortiori Lxin amy- . Proinde facto ζαέ, omnes te mini functionis Q sequuntur progressionem decrescentem, quidem velociusquam progressio geometrica, cujus quilibet terminus est subduplus termini praecedentis. Proinde Ax major est summa progressionis, quicunque sit numerus terminorum, Q potest reddi minor quacunque quantitate data.
α'. COEfficientes A, B, C, D . . . . crescant juxta progressionem geometricam quamcunque Sit ideo pLsacto Uaperit in 1 α xi apet mi 1 'La i seu Lxi, anaei 1. Ideo te minus quilibet minor erit duplo praecedentis unde ut prius concludetur.3φ. Cosifficientes A, B, C, D crescant quidem, sed lentius quam juxta aliquam progressionem geometricam. Ita omnes termini, qui priores duos subsequuntur, minores erunt, quam si cosissicientes dati crescerent juxta progressionem geometricam, cujus Xp nens esset exponens rationis secundi termini ad primum. Unde praecedens conclusio valet a sortiori. q. Cogfficientes A, B, C, D crescant quidem a primo inde usque ad cosissicientem datum L, velocius quam in progressione geometrica, sed ab hoc .inde si crescere pergant lentius quam in progressione geometrica crescant.
67쪽
Fiat ut 3'. terminus, cujus cogssiciens L major summa omnium temminorum sequentium. Tum per constructionem hujus theorematis fiat primus terminus major summa omnium terminorum usque ad terminum, cujus cosissiciens L. Erit a sortiori primus terminus major summa omium terminorum sequentium. Quod attinet ad casus, quibus coEffcientes non sunt omnes positivi, aut quibus alterne crescunt decrescunt juxta legem datam, & quod ad incrementa illorum attinet, modo conditionibus praecedentibus consentaneo conclusiones illis casibus a fortiori nectuntur. Ceteris vero casibus, quibus coemcientes ultra omnem limitem crescentes alis quam legum incrementi praecedentium sequi non constat hactenus dubito the rem posse seriebus, quarum numerus terminorum est indeterminatus, applicar, g. 7. Ut necessitas praecedentium distinctionum luculentius pateat, e emplum evolvam, quod in sequentibus magni erit momenti. Exemplum. Sit x potentia quaecunque quantitatis variabilis , quae mutata x in x εχx; fit x ε naen ΙΔ Φ' mxn-adix '. . . An 3Δx . . . mxnra Proinde potenti xn mutata in x εἰ x, accipit mutationem, inben-1Δx '.' laenistae .st... 4n 3 ea ε'. . . moenΜΔx
Iam vero ponatur, mutationem Δ posse fieri minorem quacunque quantitate proposita dico, mutationem simul factam potentiae x etiam quacunque qua titate proposita fieri posse minorem. 1'. Sitis numerus integer positivus. Prior series abrumpitur, & proinde assertum verum est per g 16. a'. Sitis numerus positivus non- intege major unitate Series praecedens non abrumpitur quidem, sed facile demonstratur cosissicientes terminorum, in quibus exponens mutationis Δx sit major quam I, continue decrescere. Etenim sit m numerus integer positivus immediate minor quam n o Cosissiciens termini R Qx , erit COEffciens inlius
68쪽
cuius cum certe unusquisque actor, inde a factor sit fractio vera, prae
dicti cosissicientes continue decrescunt praeterea idem alterne fiunt positivi negativi. Proinde g. 16. series proposita potest fieri minor quacunque quam litate proposita. 3'. Sitis numerus negativus quicunque major unitate. Series praecedens non abrumpitur quidem, sed exponens rationis duorum cosissicientium sese proxime sequentium continue decrescit Etenim coefflicte te trium terminorum sese proxime sequentium, sint
proinde cosissicientes continue decrescunt Quare tanto magis applicari potest demonstratio S. I 6xi.
In omni igitur casu mutatio ult', potest reddi minor quacunque
69쪽
g. 18 Theorema omnibus ut in theoremat g. 16 positis, sit in P ε Ax his Cac Lx - - Dico, rationem aequalitatis esse limitem rationis in P decrescentis aut crescentis, prout A est quantitas positiva aut negativa. Etenim per theorema g. 16. fiat priore casum in altero Ax Ratio aequalitatis est limes rationis decrescentis με Maea P& limes rationis crescentis a gis go, a sertimi, ratio aequalitatis limes est rationi decrescentis aut crescentis P, prout A est quantitas positiva aut negativa. Observatio. Quae de casu, quo numerus terminorum functionis Q in illis, latus, praecepta sumant g. 6 obserV. a. huc pariter valent.
f. o. Theor ma. Sit x quantitas mutabilis, quae maior reddi potest qu eunque quantitate proposita. Stu A, B, C. D . . . . , flicientes magnitudine dati. Sin a, b, c, d. . . . I, m n, Xpo nentes etiam dati continue decrescentes.
70쪽
Quoniam autem a major potest fieri quacunque quantitate proposita, potest fieri minor quacunque quantitate proposita; quoniam a b c d . . . , non,
tinue crescunt; proinde, quantitate mutabili a posita majore unitate, termini