장음표시 사용
41쪽
De Limitibus Quamlitatum et Rationum, seu de Methodo Exhavstionis.
Definitiones. 1'. quantitas mutabilis semper minor fuerit quantitate data mutabili scilicet homogenea, quod deinceps semper subintelligatuo; sed ita augeri poterit, ut major fiat quacunque quantitate data, quae minor est prima quantitate data & tam cum hac quam cum mutabili homogenea, quod pariter deinceps semper subintelligatur : haec prima quantitas data, dicitur
L es Quantitatis mutabilis resentis. a'. Et si quantitas mutabilis semper major fuerit quantitate data, sed ita minui poterit, ut minor fiat quacunque quantitate data, quae major est prima quantitate data: haec prima quantitas data dicitur Limes Quantitati mutabilis deerescentis. 3'. Si ratio mutabilis semper minor fuerit quam ratio data; sed ita augeri poterit, ut major fiat ratione quacunque data, quae minor est ratione prima data haec prima ratio data dicitur Limes Rationis mutabilis rescentis. q. Si ratio mutabilis semper major fuerit quam ratio data; sed ita minui poterit, ut minor fiat ratione quacunque data, quae major est ratione primadath haec prima ratio data dicitur Limes Rationis mutabilis decrescentis. HE re esse censeo definitiones has nonnullis exemplis illustrare. Sit progressio geometrica decrescens: a p, py, py, ' p 'r in qua proinde est minor unitate. Summa n primorum terminorum hujus progresi a Desinitiones hae pariter ac propositiones nonnullae hoc capite expositae, delamptae sunt X pusculo R. S1Μsoru inscripto De Liniatibus Quantitatum, RationMns Fragmentum; quod reperitur inter opera posthuma insignis illius Geometrae, impens Viri eruditissimi, scientiarum mathematirarum fautoria generosissimi comitis STANHot E in lucem edita: Glasguae 1776.
42쪽
gressionis est: -- Ideo summa quotcunque terminorum huius progressionis minor est quantitate Atqui aucto, quantitas pn, ideo etiam quantitas a , potest fieri minor quacunque quantitate data;
ideo uuantitas potest fieri major quacunque quantitate data,
ouae minor est quantitate data Hinc quantitas dicitur limes v loris cum numero terminorum continue crescentis, quem summa progressionis illius geometricae obtinet. Idem valet de summis nonnullarum aliarum progressionum, quales sunt series numerorum figuratorum reciprocorum, aut aequimultiplorum sive submultiplorum eorundem.
Auctbis; quantitas a potest reddi minor quacunque quantitate proposita. Ideo 1 limes est summae crescentis progressionis illius. Distinctio inter valorem Climitem quantitatis per incrementa continuo minora mutabilis apte illustratur exemplo spatiorum asymptoticorum qu rum magnitudo saepe limitatur, quamvis aliqua dimensionum eorundem sine fine crescere possit. Sic spatium inter duas lineas ordinatim applicatas curvae toga
43쪽
logarithmicae ad Asymptotum tanquam Axem relatae comprehensum, accurate aequale est rectangulo facto ex subtangenteis disserentia illarum applia
catarum. Atqui minor harum ordinatarum potest reddi minor sine quacumque magnitudine data proinde major harum ordinatarum limes est differenistiae crescentis earundem. Et rectangulum factum ex subtangente, majori ordinata, est litae spatii logarithmici crescentis, quem spatium hoc nunquam attingit, sed ad quem accedere potest propius quam spatium quodcunque
dato praedicto rectangulo minus. Exemplum adum. Demonstrante RcΗIΜEDE . de Sphaera re Cylindro
licet circulo inscribereis circumscribere polygona ordinata cognomina seu similia, quorum ambitu superficies ab ambituis superficie circuli disserunt minus quam ulla line aut uti superficie assignata. Jam vero inhilusis superficies circuli majores sunt perimetri .superficiebus polygonorum inscriptorum minores vero perimetrisis superficiebus polygonorumclacumscriptorum. de ambitus, superficies circuli sunt respectivo limites perimetrorum superficierum crescentium aut decrescentium polygon rum ordinatorum, quae circulo inscribuntur, aut eidem circumscribuntur. Eodem modo se habent superficies .capacitates cylindrorum, conorum, spha Tarum, ad superficies ac solida prismatum, pyramidum, polyhedrorum, illis inscriptorum aut circumscriptorum Item : Ratio aequalitatis limes est rationum crescentium aut decrescentium, quas perimetri aut superficies polygonorum regularium circulo inscriptorum aut circumscriptorum habent ad ambitum & superficiem circuli. Idem valet de rationibus, quas cylindri, coni, sphaerae habent ad prismata pyram, des, polyhedra, ipsis inscripta aut circumscripta.
Exemplum 3 φη . Sit curva quaecunque ad axem aliquem relata. Rectae huic axi ordinatim applicatae continuo crescant a gero usque ad maximam
ipsarum, quae sumatur pro basi. Axis dividatur in partes quotcunque inter se aequales Per omnia puncta divisionis ducantur ad curvam rectae axi ordinatim applicatae. Super basi Comnibus rectis ordinatim applicatis construantur versu verticem parallelogramma, quorum altera latera sint parte aequa-
44쪽
las axis. Haec parallelogramma dicantur curvae circumscripta Pariter super omnibus rectis ordinatim applicatis basi parallelis constituantur parallelogramma ad partes basis, quorum altera latera sint partes aequales axis. Haeci rallelogramma dicantur curvae inscripta. Vide Fig 1 m. Excessus quo summa parallogramnorum circumscriptorum superat summam parallelogrammorum inscriptorum; aequali est parallelogrammo circumscripto omnium maximo. Atqui basis hujus parallelogrammi datur magnit dine : ergo, imminuta altitudine, parallelogrammum hoc potest fieri minus quocunque spatio dato. Ide differentia praedictarum summarum potest fieri
minor quocunque spatio dato. Jam vero superficies curvae ma)or est summa parallelogrammorum inscriptorum, sed eadem minor est summa paralleloe grammorum cucumscriptorum; lauantitas, qua ab alterutra harum summarum differt, minor est differentia mutua praedictarum summarum. Ergo figura curvilinea lime est, tam summae crescentis parallelogrammorum ipsi i scriptorum, quam summae decrescentis parallelogrammorum eidem circum, scriptorum. Rectae axi Ordinatim applicatae ponantur eidem perpendiculares Solis dum rotatione praedictae figurae circa axem genitum limes erit tam summae decrescentis cylindrorum simul genitorum rotatione rectangulorum curvae ei cumscriptorum, quam summae crescentis cylindrorum simul genitoriun rot tione rectangulorum curvae inscriptorum. g. a. Soholium. Si quantitas aliqua data limes quantitatis mutabilis crescentis vel decrescentis. Utrique illarum addatur, aut ab utraque subtrali tur eadem aliqua quantitas. Prior summa, aut prior differentia limes etiam erit posterioris summae, aut differentiae, crescentis vel decrescentis. Si emutraque quantita ab aliqua eadem quantitate subtrahatur prius residuum limes erit posterioris decrescentis aut crescentis. Fie. a. Nempe denotet AB quantitatem datam, suae limes sit quantitatis, tabilis v. gr. crescentis Ax. Utrique illarum addatur, aut ab utraque subtrahatur eadem quantita AC aut α' prior summa B, aut prior disserentia
A, limes quoque est crescentis posterioris summae CX, aut posterioris dise
45쪽
serentiae A. Si vero utraque illarum subtrahatur ab eadem quantitate P : prius residuum B limes est posterioris residui decrescentis C X. Quod per se
f. 3. Theorema. Si quantitas data limes quantitatis mutabilis cresce tis vel decrescentis. Dico rationem aequalitatis limitem esse rationis dere stentis vel crescentis, prioris quantitatis ad posteriorem. Nempe. Si quantitas data AB limes quantitatis crescentis v. gr. X. Dico rationem AB AX posse accedere ad rationem aequalitatis, propius qu- ad eam accedit data quaecunque ratio majoris ad minorem. Dmonstratio. Quaecunque detur ratio majoris ad minorem fiat ipsi aequalis ratio AB ad D, quae minor erit quam AB. Et fiat AX AD quod possibile est per hyp EAE AB - α AD. MEodem modo demonstratur de altero Limite. Viciaim si ratio aequalitatis fuerit limes rationis decrescentis aut crescentis alicujus quantitatis datae ad quantitalcm mutabilem Dico quantitatem datam limitem esse quantitatis mutabilis ercscentis aut decrescentis. Sit ex gr. ratio aequalitatis limes rationis decrescentis quantitatis datae AB ad quantitatem mutabilem Ax Dico quantitatem mutabilem X posse fieri majorem quacunque quantitate data D, quae minor est quam AB. Etenim per hyp ratio AB o potest fieri minor ratione data AB AD majoris ad minorem. Factum sit et cum Aa in Am: AD
Eodem modo demonstratur de altero limite. Exempla. Cum perimeter superficies circuIi limites sint perimetrorum& superficierum crescentium aut decrescentium polygonorum ordinatorum, quae circulo inscribunturis circumscribuntur: ratio aequalitatis est limes rationum 3 decre-
α Quoniam demonstrationes serrarumque proposit num oe capite evoIutam ina qualium rationum proprietatibus nituntur: si cui non fuerint fatis notae ille deat eximiam Dissertationem inseriptam pro ositionunt de Ratio bus inter se diυerris Demo-rationes ex solis Libri P. Element. innitionibtis firmostionibus d ductae quam Praeside celeb. Pro . PFLErDERER publice proposuit di defendit ornaticandid. ΗMBER. Tubing. 793.Dj0jtj70d by
46쪽
decrescentium aut crescentium crimetri Iuperficiei circuli, ad perimetros superficies polygonorum regularium ipsi inscriptorum aut circumscriptorum. Idem valet de superficiebus .capacitatibus cylindrorum, conorum, sphaerarum, respectu prismatum, pyramidum, polyhedrorum, quae ipsis inscribuntur circumscribuntur. Item: cum area figurae . . Ex. 3. Fig. I. limes sit summarum crescentium aut decrescentium parallelogrammorum, quae ipsi inscribuntur aut circumscribuntur ratio aequalitati est limes rationis decrescentis aut crescentis ejusdem figurae ad summas praedictas. Idemque valet de solidis ibidem commemoratis & de summis cylindrorum, qui ipsis inscribuntur circumscribuntur. g. Theorema Sint duae quantitates homogeneae limitum capaces ad quos vel utraque quantitas crescendo, Vel utraque quantitas decrescendo, continue propius accediti Sitque rati harum quantitatum mutabilium semper eadem seu aequalis rationi datae: dic rationem limitum ipsarum aequalem esse eidem rationi datae. Fig. s. Sint AB, CD, limites duarum quantitatum mutabilium Ax, Sit ratio G semper aequalis rationi datae dico rationem limitum
iam CD aequalem esse eidem rationi datae n. xo. 1'. Sint AB, CD unites quantitatum mutabilium crescentium X, CT Si ratio AB non sit aequalis rationi datae crit ea major aut minor Tum vero, priore quidem casu, ratio m is aequalis erit rationi alicujus quantitatis minoris ipsa AB ad CD altero autem casu, ratio m is aequalis erit rationi AB ad aliquam quantitatem minorem quam Proinde utroque casu unus ex limitibus minui deberet, ut ratio limitis ita imminuti ad alterum limitem fieret aequalis rationi n.
Sit itaque, si fieri possit - - AB CD MCD Sumatur quod fieri potest per hyp )
47쪽
αφ. Sint AB, CD limites quantitatum nautabilium decrescentium G, CT Fig. 3. Si ratio AB non sit aequalis rationi datae rursus erit ea ma ' 'ior aut minor. Tum priore casu ratio m aequalis erit rationi ipsius mad aliquam quantitatem majorem ipsa CD altero casu ratio m is aequalis erit rationi alicujus quantitatis majoris ipsa AB ad CD. Ideo utroque casu unus ex limitibus augeri deberet, ut ratio hujus limitis ita aucti ad alterum limitem fieret aequalis rationi
sit limes quantitatis decrescentis X. Ratio igitur m neque major est neque minor ratione limitum. Proinde ratio limitum aequalis est rationi φ n. Observatio. Haec propositio unum est ex praecipuis undamentis methodi exhaustionis, qualis sedulo sui ab Antiquis exculta, atque ab UcLIDE ARcΗ-EDE nobis transmissa. En aliquot exempla illam illustrantia. Perimetri polygonorum ordinatorum milium, circulis diversis inscriptorum, sunt in ratione data radiorum circulorum, intra vel circa quos describuntur. Sed perimetri circulorum sunt limites perimetrorum crescentium po ιygonorum ipsis inscriptorum, Climites perimetrorum docrescentium polygonorum circumscriptorum. Itaque perimetri circulorum sunt inter se in eadem ratione data scilicet in ratione horum radiorum. Item superficies circuli limes est superficierum crescentium aut decrescentium polygonorum ordinatorum, quae ipsi inscribuntur aut circumscribuntur Sed superficies polygonorum similium diversis circulis inscriptorum aut circumscriptorum Iunt in ratione duplicata radiorum praedictorum circulorum Proinde aperficies circulorum sunt etiam in ratione duplicata radi rum suorum.
48쪽
Sint duae pyramides aeque altae, quarum bases in eodem plano, Qquaesitae sint ad easdem partes hujus plani Altitudo communis harum pyramidum secetur in quotcunque partes aequales per puncta divisionis agantur plana basi parallela;- utrique pyramidi inscribantur & circumscribantur prismata, ad normam eorum, quae de parallelogrammis inscriptii circumscriptis f. I. Ex. 3. dicta fuerunt. Utraque pyramis litae est summarum reis tium aut decrescentium prismatum, quae ipsi inscribimtur recumscribunturi Proinde demonstrato, praedictas primatum correspondentium summas inter se esse in rationei data basium pyramidum licebit conchidere rationem thnitum harum simmarum se ipsarum pyramidum, aequalem esse eidem rationi datae
hasium Eodem modo demonstratur tam cylindros quam conos aequo- altos esse
inter se ut bases cum solida haec limites sint prismatum aut pyramidum, quae ipsis inscribuntur Melacumscribuntur. Hinc etiam si cylinde & conus aequo alti eidem basi insistant cylinderest triplus coni
Hinc rursus superficies tam cylindrorum quam conorum similium sunt in duplicata ratione dimensionum suarum homologarum soliditates autem in e dem ratione triplicata. Ηhic tand- fluunt nunquam satis laudat AncΗΙΜEDI inventa de super, scies soliditate sphaerarum. Super diametro circuli tanquam axe describatur ellipsis quaecunque. Diameter haec secetur in partes quotcunque aequales Cutrique figurae inscribantur, lacumscribantur rectangula ad normam eorum, quaeri. I. EX. 3. constructa suerunt. Circulus, ellipsis limites respectivo sunt tam summarum crescentium parallelogrammorum, quae Us inscribuntur, quam summarum decrescentium parallelogrammorum, quae ipsis lacumscribuntur. Sed summae rectangulorum circulo Cellipsi inscriptorum aut clacumscriptorum sunt inter se in ratione constanti prioris axis ellipsis ad axem ei conjugatum. Ergo etiam laculus Cellipsis sunt inter se in ratione data horum axium. Similiter comparatio instituitur sphaerae Cellipseidis, rotatione circuli
49쪽
ellipsis circa eundem axem genitarum. Nempe solida haec respectivi linutes sunt summarum cylindrorum, qui ipsi inscribuntur & circumseribuntur. Atqui summae istae sunt inter se in ratione constanti, quae est duplicata ratio nis hujus axis ad axem ipsi conjugatum ergo etiam sphaera illipsola sunt i ter se in eadem ratione duplicata. Utilitas praesentis propositionis plurimis aliis applicationibus illustrari posset Sed haec abunde sufficiant.
g. 5. Theorema. Duae quantitates mutabiles heterogeneae, sive cresce te ambae, sive ambae decrescentes, sint limitum capaces et rationes harum quantitatum ad duas quantitates datas sint semper inter se aequales. Dieo: rationes limitum harum quantitatum mutabilium, ad easdem quantitates datas, esse etiam inter se aequales.
Sint duae quantitates mutabiles. Sint limites harum quantitatum simul crescentium, aut simul decrescentium. Sint σε c duae quantitates constantes Sit semper C - cDico esse C. Primus usuc iterque limes L in sit limes quantitatum Q cr
scentium. Si non est V C in L C; alterutra rationum L: C, ' o major erit altera; proinde minuendus erit antecedens majoris rationis, ut alteri fiat aequalis. Sit igitur, si fieri possit: -q:σ- L C
crescentium. Si non est L C-ici et alterutra rationum L C, L c' minor erit alterii; proinde augendus erit antecedens minoris rationis, ut alteri fiat
50쪽
et idem contra hyp. Neutra ideo rationum L ae, C', major aut minor est altera. Proinde haeduae ratione sunt inter se aequales seu L ' C'. Observati'. Haec propositi pariter est unum ex undamentis methodi exhaustionis Veterum. . Illius 'pe mensuram obtinere licet plurimorum extens rum, data mensura aliarum quarundam magnitudinum uti paucis ostendam exemplis, desumptis a quadratura parabola conicae, cubatura paraboloidis rotatione parabolae hujus circa axem genitae. Fig. . . . . Sit 'empe SILL dimidium segnientum parabo, conicae, cujus vertex S, abscissis axis B, basis axi ordin tim applicata AE. Et quaeratur area hujus spatii. Per vertice S, ducta tangente SD, compleatur rectangulum ABSD, atingatur vi recta. Dividatur tangen SD in parte quotcunque inter se aequales, quarum una sit Spatio parabolico exteriori SDAM, triangulo A circumscribantur aut inscribantur rectangula aequo- alta ad normam ' eorum, quaeri. 1. Ex 3 sunt descripta . Sint MmP PQqP duo recta gula sibi mutu respondentia, spati illi Qtriangulo v. gr. circumscripta. O dinatae Μ, 'M occurrant basi AB in punctis B ut'. Concipiatur triangulum AD, rectangulum BAD; gyrari circa tangentem SD tanquam axem Triangulum AD gignet conum, cui circumscribe tur cylindri rectangulis ' geniti; rectangulum SBAD gignet cylindrum. naturam parabolae MPQ - - SP SD