Geometria motus opusculum geometricum, a Ioanne Ceua Mediolanensi in gratiam aquarum excogitatum. Continet duos libros primum de simplici motu, alterum de composito

21쪽

minora sunt temporibus iuxta imagines ALΚB, BKIC,

CIND INGE nam velocitates initio decui suum per dictas rectas diximus esse maximas, quibus consideris tu illi motus aequabiles secundum imagines ipsa illa rectangula inscripta ergo rectanrulum H ad inscripta in figuram BL, CK, DI, EN habebit maiorem rationem, quatζmpus pera, iuxta imaginem H ad tempora simul imaginibus ALKB, BKIC, CIND, DNGE,siue ad tempus iuxta imaginem ALGE ex illis compositam. Ideoque re'ctangulum M H ad ipsam inscriptam figuram habebit maiorem rationem, quam ad magnitudinem ,idcirco quae minor ostensa fuit inscripta figura BL, Κ, DI, EN, nunc

hac alia via maiorem inuenimus; ergo cum rursus hoc sit absurdum, necessi est magnitudinem Y neque minorem, este magnitudine ALGE, propterea aequales inter se erui,

atque adeo tempus per M imagine MN ad tempus perAE imagine ALGEIabebit eandem rationem,quam mogo M H ad imaginem ALGE. Quod c. 3. Imagines propositae sint duae acuminatae. Dico nihilominus, tempora iuxta illas imagines per AE, HI esse ut ipsae imagines ALGE ad HIΚ, quae sint inter se homogeneae ut semper supponetur. 1m si intelligatur alius motus per MF iuxta imaginem rectangulum FN,qui aequa Gr.D.fabilis erit, manifestum est ex secundo casu, tempus per AE iuxta imaginem ALGE ad tempus per F iuxta imaginc rectangulum H, habere eandem rationem, quam imago ALGE ad imaginem rectangulum H; similiter tempus per FMimagine rectangulum MN ad tempus per HI iuxta imaginem HKI habet eandem rationem, quam imago M ad imaginem HKI,ergo ex aequali tempus per AEad tempus per HI secundiam imagines propositas erit ut imago ipsa ALGE ad imaginem HKI. Quod &c.

q. Demum imagmes sint quaecunqu modo sint homogeneae, ADFB, GHKL: Dico rursus riter se esse ut tem

22쪽

8 Jeo1netrices olus pora per AB, AK iuxta ipsa imagines . Vel enim ima

gines iunt simplices, hoc est tantum parallelogramm', aut tantum acuminatae, tunc supra ostendimus propositum, quemadmodum etiam si una acuminata, altera parallelO- gramma vel non sunt huiusmodi componentur ex illis. h i' Sint ergo in imagine ADFB partes ab aequidistantibus distinctae ADEN, OFB acuminatae& NEFO paralellogram DU i inuio, procul dubio inter se, totique imagini homogeneae in pariter in alia imagine partes GHCM, MCKL, per aequid istantem C distinctae inter se acumi-D6 4. huiMi natae, quae itidem inter se, simagini, cuius sunt partes,homogenear erunt. His acceptis, quoniam tempus per AN Ex tertia iuxta imaginem ADEN acuminatam ad tempus per H Cp uq μ με iuxta aliam imaginem item acuminatam HGM C habet eandem rationem, ac imago ADEN ad imagine GHCM. similiter tempus per Haiuxta imaginem GHCM ad tempus per C iuxta imaginem acuminatam CK est ut

illa ad hanc imaginem: componendo, inde per conuersionem rationis, conuertendo, tempus per H secundum

imaginem GHC ad tempora simul per H C, CK, quoruimagines GHCM, CKI hoc est ad tempus per HK iu ta imaginem GHKL habebit eadem rationem, quam imago GHCMad imaginem GHCL: ideo ex aequali te pus per AN, cuius imago ADEN, ad tempus per HK, iurit imaginem GHKL,erit in eadem ratione, in qua est imago ADEN ad imaginem GHKL . Praeterea tempus per

A iuxta imaginem ADEN ad idem ipsum tempus habet

eandem rationem, quam imago ADEN ad eandem ipsam: 1. arto tempus permo iuxta imaginem rectangulum NEPO ad huius tempus praedictum per A est in eadem ratione ima inuNEPO ad ADEN, similiter tempus per B iuxta imaginem OPFB habet ad tempus per A eandem rationem,

23쪽

AN, NO, OB itiYta imagines deinceps ADEN, NEPO,

OPFB,hoc est erit tempus per AB iuxta imaginem ADFB ad simul tria tempora per A iuxta eandem imaginem ADEN, ut imago ADFB ad triplum imaginis ADEN, cum tria aequalia tempora per A ad unicum ex illis sit ut triplum imaginis ADEN ad unicam imaginem sequitur ex aequali tempus per AB ad tempus per AN iuxta imaginem ADEN habere eandem rationem, quam imagQ ADFB ad imaginem ADEN Mostensum fuit tempus perAN iuxta imaginem ADEN ad tempus per HK iuxta

imaginem GHKL habere eandem rationem,quam imago ADEN ad imaginem c HKL, ergo rursus, tandem exaequali tempus per AB iuxta imaginem ADF a lepus per HK iuxta imaginem GHEL habebit eandem ratione,

quam imago ADFB ad imaginem GHUL. Quod c. Corollarium. Hinc colligitur,sprima magnitudo adsecundam fuerit turtia ad quartam, item alia prima ad aliam secundam et talia tertia ad aliam quartam, osculterius quoad visum

fueri sint praeterea omnes primae, item omnes tertiae interseaquales constat, inquam, primarum nam ad omnes secumdas habere eandem rationem, ac una tertiarum ad omnes

quarta .

PROP. II. HEOR. II.

SSpatia, quae curruntur iuxta quascunque homogeneas velocitatu imagines sunt interse, ut eaedem illae imbgines. Sint primum motus aequabiles, curr/turque spa', a ilium AB iuxta imaginem velocitatum quae rectangulum I. erit ILMΚ, spatium vero DE transigatur iuxta imaginem Praedictae homogeneam rectangulum FHNGinam erunt ho

24쪽

ro Geometria Motus.lVimogenear ipsa imagines, si viae Def. .huius I L ad HS erit ut velocitas instanti ad velocitatem mobilis instanti FP Dico spatium AB ad DE esse ut imago rectangulum It VK ad imaginem rectangulum FHNG. Componuntur ipsa illa rectangula ex ratione altitudinuma ad FG, ὰκ ea basium I L ad FH; verum ex ijsdem, ea nempe temporuGit demo u IK ad FG, atque ea velocitatum I Lad FH componitur 2 i etiam ratio spatiorum AB ad DE, ergo ipsa spatia erunt ut propositς imagine S. et Sint nunc motus iuxta imagines,quarum altera acu minata, altera rectangulum sit. Dico rursus spatium AB, quod curritur iuxta imaginem ABCD ad spatium DE, quod curritur iuxta alteram imaginem , esse ut imago ABCD ad imaginem PHNG. Nisi ita sit,erit alia magnitudo maior,vel minor imagine ABCD, quae quidem ad alteram imaginem H PGN habebit eandem rationem,qua spatium AB ad DE . Sit primum maior excesita L. Cir' cum scribaturi, egimus in secunda parte primae huius figura imagini ABCD constans ex rectangulis aeque altis, excedatque imaginem ABCD excessu minora, quam Z sit ergo circumscripta illa AE, H F, G, G, quam primo facile ostendemus minorem magnitudine ;nam haec excessu magis distat ab imagine, quam circumscripta illa Prae tereis intelligantur tot motus aequabiles, quot sunt recta-gula circumscripta , i nempe, qui fierent temporibus AH, HI, IK, KDiuxta deinceps imagines ipsa rectangula AE, H F, G maintei se,& propositis imaginibus homogeneas, Velocitates, quibus ijdem motus considerarentur, forent HE, F ΚG DC, nimirum maximae imaginum ABEH, HEFI, I FGK, KGCD Cumque ita sit longiora spatia eu rerentur iuxta imagines rectangula circumscripta, quam ijsdem temporibus, imaginibusque postremis, hoc est qua tempore AD iuxta imaginem ABCD; ob idque spatium

AB ad DE seu magnitudo I ad imaginem PG habebit

niis

li es

iesciis

inatiu

25쪽

m am

Liber L ir

bit minorem rationem, quam omnes illae simul imagines, ρη pr. I. β' seu quam circumscripta figura F, F, IG, EC ad eandem imaginem H PGN quare V, quae prius ostensa fuit maior, nunc reperitur minor eadem circumscripta, quod cum fieri nequeat, impossibile etiam est magnitudinem maiorem est magnitudine magmi AI CD. Sit ergo mi nor, si etiam fieri potest, & defectus ipsius I supra ABCD sit Zanscribatur imagini figura ex rectangulis aequealtis, ut nempe deficiat ab imagine defectu minoria sic enim ipsa inscripta, quaesit AB IE KF DG erit magnitudine pro 'pinquior intagini ABCD, quam Γ, ideoque imor erit dicta inscripta figura. Deinde, quoniam, si ponantur motus aequabiles, quorum imagines rectangula inscripta HB, IE KF DG quaeque inter se, tropositis imaginibus sint homogenear velocitates, quibus eis cerentur dicti motus, essent AB IE KF DG minima scilicet imaginum AB EI HEFI, I FGK ΚGCD,4 ideo spatia, quae percurrerentur temporibus HA, HI, IK, KDimaginibus illis, maiora es his .isenti quam qua ijsdem temporibus transigerentur iuxta imagines praedici a rectangula circumscripta, hinc fit ut spatium AB ad DE seu magnitudo cad imaginem PGNhabeat maiorem rationem, quam inscripta figura ad eandem imaginem H PGN; quare , quae minor erat inscripta figura, mod resultat maior, non ergo' minor esse potest imagine ABCD, sed neque maior ut Ostendimus,ergo spatium AB ad D erit, ut imago ABCD ad imaginem PHNG. Quod&c. 3. q. Si vero imagines acuminatae sint, aut demum quaecumque,eodem prorsus modo, quo prima propositione, ostendemus hoc etiam propositum ergo patet omne

latentum.

26쪽

Geometria Motus Scholium. Cum prorsἶs geometrichostenderimus superiores duas pr

positiones, utitissimum es obseruare , quomodo liceat uti temporis instantibus, non ut punctis prorsus geometricis,is ut quantitatibus dicam minoribus quibuscunque datis. Hine oritur indivisibilium methodus, quae intelligentiam affert faciliorem,acsi rigorigeometrico penitus insisteremus, quamquam eae tamen disciliores Geometras mihi magis decer

evideantur.

PROP. III THEOR. III.

T l .pire I Patia, quae curruntur iuxta quaslibet homogeneas, o locitatum imagines, nectuntur ex rationibus temporum, ac aequatricum. Velocitates aequatrices duorum motuum, quorum imagines velocitatum sint ABCD, E FH ponantur AG, EL. Dico spatia, seu ipsas imagines componi ex ratione temporum AD ad EI; ex ea aequatricum AE ad EL. Nanas motus, qui est iuxta imaginem ABCD perseueret velocitate AG, esset quidem aequabilis, idemque spatium illa

D f. - . I. velocitate,&tempore AD percurreretur, ac secundum

imaginem ABCD; Itaque existente rectangulo DE, quod J. . V . 3 esset imago velocitatum illius motus aequabilis, foret idemi Thais, aequale imagini ABCD snam imagines ABCD, DG

homogeneae sunt eodem modo imago rectangulum V Laequale esset imagini EFHI. Cum ergo duae imagines rectangula DE I componantur ex rationibus temporum AD ad EI, ex ea aequatricum AG ad EL; e ijsdem prorsus rationibus etiam imagines propositae praedictis, ctangulis aequales nectentur. Et ideo spatia , quae propositis imaginibu transiguntuli quaeque ipsis proportionalia

27쪽

illa

alia Liber I. Illant componentur ex rationibus temporum,d ex ration,

bus arquatricum. Corollarium I. Hine patet si linea, quae in imagine velocitatum tempus exhibet, plicetur rectangulum aequalepropos ita imagini et Iocitatum, fore ut latitudo eiusdem recranguia, si eucitaraquatrix proposita imaginis.

Coroliarium II.

IIem conIrat, ubi tempora, mel aequatrices velocitates o rint aequales, rationem pariorum esse eandem, qua quatricum, e qua cNorum .

Si qualibet ratio campositasit ex quotcumque rationibus, harum qualibet nectetur ex proposita, ct ex reliquis contrario sumptis rationibus . Sit A ad B composita ex rationibus Eaa F, G admo I ad K. Dico quamlibet inarum puta G ad K consare ex rationibus A ad B,or ex reisquis reciproce sum'ptii ad Iad U DEads,ita sit A ad C, ovi Dad R

28쪽

x Geometria uotus PROP. IV. THEOR. ITTEmpora quibus absoluuntur duo motus componum

tur ex racione spatiorum,&ex reciproca aequatricum. Cum enim spatia componatur ex ratione temporum,& ex ea velocitatum arquatricum, sequitur per praedictum Lemma quod tempora nectantur ex rationibus spatiorum, reciproca aequatricum.

Corollarinm. Manifestum es spatia, vel aequatrices velocitates, si sint

aequales, esse tempora in reliqua ratione reciproca aquatriacum, vel patiorum non reciproca.

PROP. V. THEOR. U.

Quatrices velocitates componuntur ex rationibus u spatiorum, reciproca temporum. Cum spatia componantur e rationibus temporum, velocitatum arquatricum, manifestum est ex eodem Lemiamate, velocitates ipsas necti ex rationibus latiorum,&reciproca temporum. Corollarium. Deducitur, aequatrices velocitates esse ut tempora reciprocefumpta, vel tipatia,s altera ratiosuerat aequalitatis.

Tab. 1.Fis.1 CH m genesibus homogeneis AE GF existente ABO ad BC sicut GI ad IA , habeat AE ad BD eandem ro

aias

allem

29쪽

Liber I. I s

tionem, ac GF ad IH motus, qui fiunt iuxta illas geneses, vocentur inter se similes,4 ipsa genes es dicentur similium motuum; quod vero attinet ad rectas AE, BD GF, IH apellabimus applicatas ad homologa puncta A, B, G, I proportionaleS.

PROP. I. THEOR. VI.

SI n imaginibus temporum homogeneis , applicataeis

nius fuerint ad homo toga puncta, proportionale applicatis alterius imaginis, motus, quorum sunt ipsae imagines, similes erunt. Imagines temporum sint MI ABC, ONGIK, quae μι. Ila I sint homogeneae,& cumGI ad I sit ut AB ad BC, habeat quoque A Lad BMeandem rationem, ac Nad IO. Dico,motus, quorum sunt illae imagines temporum inter se si . miles esse.

Sint apud ipsas imagines eorundem motuum geneses, scilicet EAC, FG intei se homogeneae. Vistente AL ad B M ut G N ad Io, erit conuertendo Mad AL ut Ioad IN sedit BM ad AL ita ob genesim Exad DB,&it Io D f i tui. ad N sic FG ad HI ergo EA ad DB est ut FG ad HI,erat

autem ut AB ad BC ita etiam Iad M, ergo motus sunt Def. 7.-μr. similes,4 ipsae imagines similium motuum.

PROR VII. THEOR. VII

S in imaginibus velocitatum unius, applicate fuerint expunctis homologe sumptis proportionales applicatis alterius imaginis, motus iuxta ipsas imagines erunt similes, ideoque ipsa imagines similium motuum. Velocitatum imagines sint ABCD, NPRT, sitque AB ad EF in eadem ratione,in qua 'ad TR Dico existentibus etiam BF ad FC, ut PQ ad QR esse propositas imagi'nc similium motuum. Intelligantur eorundem motuum

30쪽

a Geometria a tus geneses GHKL, YZ a. sit pariter HI ad I it segmentum ABFE ad EFCD Sit similitera H ad OA ut segmentum PQV ad χT, ductisque applicatis IM, QT

manifestum est, ut velocitas AB aequalis est velocitati GH,

sic EF aequalem fore ipsi IM; nam quia spatium trantactu

iuxta imaginem ABFEad spatium transactum imagine'., huius E FCD est ut illa ad hanc imaginem, nempe ut HI ad IIc, erit mobile instantii in puncto I,4 ideo inibi erit velocutas eadem, quam habet mobile instantii, scilicet aequales erunt EF,IM. Eodem modo erunt aequales V, B et, sunt etiam aequales P. YZ ergo sicut se habet AB ad EF,

ita erit GH ad I,4 ut est N ad Qesta erit YZ ad a FPraeterea concipiatur figura OPRSXO similis ipsi ABCD, scilicet sit B ad Pi it AB ad UP, vel cum sint BF ad FCita PQ ad V, ut EF ad homologam Q erit segmentum ABFEad sibi simile segmentum OP Quin duplicata ratione laterum homologorum EF ad XQ, item in eade duplicata ratione erunt interse similia segmeta E FCD ad XQRS, sed cum etiam O PQ X segmentum ad PQV,

XQR ad segmentum QR sint in eadem ratione eiusdem Q ad V, erit ex aequali segmentum ABF ad segmentum PQ V, ut segmentum EF CD ad QRT, permutando,segmentum ABFE ad segmentum EFCD habebit eandem rationem, ac segmentum PQ V ad QRT scilicet erit HI ad Sit Z -- , ob idque constat genesium applicatas unius proportionales esse applicatis ab terius,' itare similes motus erunt, qui fiunt iuxta imagines

velocitatum propositas.

PROP. VIII THEOR. VIII.

SPatia, quae curruntur similibus motibus sunt in ratione composita temporum, homologarum velocitatum