장음표시 사용
31쪽
. Imagines velocitatum similium motuum sint BCDE .r .s. 6MMidi iuxta eas percurrantur spatia A, F.Dico ista componi ex rationibus temporum BE ad GI, ex ea velocitatem extremarum E ad lK. Fiat ut BE ad GI, ita Cad GH,intelligatuique GHLI figura similis ipsi BDE Quo his is . niam spatium A ad F, hoc est imago BCD ad imaginem GMSI compunitur e ratione imaginis BCDE adfiguram sibi similem GHLI, ex ratione huius ad imaginessGMΚI prior ratio est duplicata homologorum laterum. BE ad GI, seu est composita ex BE ad GI, ex huic simili ratione ED ad IL,in ratio altera, imaginis scilicet GHLI ad imaginem GMΚI est, ut LI ad IK ergo ex aequali imago BCDE ad imaginem GMNI, hoc est spatium A ad spatium F, componetur ex ratione temporum BE ad Gl, ex rationibus E ad I IL ad IK, scilicet nectetur ex ratione BE ad GI, i ad IK, quae postrema cum sit ratio velocitatum extremarum E ad lΚ; constat, quod proposuimus, spatia similium Riotuum componi ex ratione te porum,d ex ratione homologarum velocitatum, hoc est
Corollarium Si tempora erint aequalia, ilium motuum spatia erat ut extremae, vel summae velocitates, o contra, si is aequale sint e ran patia et itempora Coroliarium II. Cum spatia similium motuum nectantur ex ratione tem p frumis velocitatum summarum,su ara , quae sis ad instasii Imiliter sumpta in rectis BE GI, confiat πlem infra cor. I. pr. 3 huius tompora cimponi ex rationibus cipatiorum similium motuum, se ex re proca dictarum
32쪽
mesochatam. Ex eadem ratione patet esse velocitates suammas, vel homorias uti diximus in ratione composita dia o patioram ct usorum temporum.
ares altera de durbus componextibus aequatis fuerit, reliqua tantum computanda eris Scholii ne emergit omni ere doctrina grauium eum descendurprorsus libera, autoper planis inclinatis ad horiadntenorare accidit veritates iam patefactas huc rursus lectoris taedio asserre, sed libeat potius, rationem metiendarum imaginum, quamuis longitudine immensarum,nostra methodo exponere .
SInt inter binas parallelas AB, GH, et IΚ, PQ planae fulgurae ABHG, Κ ,& in altera earum ducta altitudine RV, sint inter se ipsae figura talis naturae, ut cum sit GABH ad segmentum EA BF factum per equidistantem ipsi GH sicut VR ad RT, verificetur semper ducta aequi- distanti NTO ipsi PQ esse GH ad EF ut reciproce O ad PQ tunc huiusmodi figuras vocabimus inter se auuersas. Corollarium.
Sequitur ex inunc alia ae dess, , lineam IK tunc esse in- initam, cum afuerispunctum, se ideo mul consat Auram IPo immensam esse longitudine versus K aut , aut utrinque, si nempe producerentur nunquam cortura tinea
33쪽
REctangulum sub altitudine, & basi unius auuersarunt
ad ipsam auuersam figuram, eandem habet ratione, Rc altera auuersa figura ad rectangulum ex basi in altitudi V si 'A.7.nem eiusdem huius figurae. Sin auuersae figurae ACB, GFDEG. Dico rectangulum DF in DE ad figuram FDEG, eandem habere rationem ac figura ACB ad rectangulum AB in BC. Sint pri-naum ABC, FDE anguli recti, ducta qualibet HI para, lela BC, sit BAC ad HIA ut DF ad ΚF, erit ob naturam V - -
auuersarum KL ad DEit BC ad HI; itaque si ponatur esse quidam motus abi in D iuxta imaginem velocitatu BAC, erit GFDEG imago temporis eiusdem motus; nam imago
BAC ad imaginem Hl est ut spatium DF ad spatium Κωvelocitas BC ad velocitate HI ut reciproce KL ad DE. Sit etiam alius motus, sed aequabilis,cuius imago velocitatum aequalis sit,& homogenea ipsi AC, rectangulum ne-
concipiaturque rectangulum D in DN, erit hoc imago D.f., i temporis dicti motus aequabilis, homogenea, aequalis imagini GFDEG nam tepora, scilicet imagines FDEG, r. r.huiscrDin DN rectangulum componuntur ex rationibus spa./- ---.tiorum, hoc est imaginum velocitatum interse aequalium, ABM ACB reciproca aequatricum pariter aequalium BM, BM. Cum igitur rectangulum Di DNaequale sit Gr/r.3.bucimagini, seu figurae FDEG, habebit eadem figura με GFDEG ad rectangulum D in D eandem rationem,
quam DNad DE, hoc est quam BC ad B M, seu quam rectangulum AB in BC ad rectangulum AB UBM, aut ad ei aequalem figuram ABC; conuertendo, manifestum est quod proposuimus, nempe rectangulum FDini Ead Gguram FDEG habere eandem ratione ac figura ACBAC a ad
34쪽
lo Geometria motus. ad rectangulum AB inita quod erat demonstrandum
primo loco. a. Si vero propositae figurae sint quaecunque auueris T. b. .Fig. . DAE,QPLMQ poterunt hae reuocari ad quasdam alias FKG. RAZX, quae sint inter easdem parallelas queis commprehenduntur propositae figurae, adeo ut existentibus rectis angulis ΚFG, R XL sint ipsae bina figurae ab ijsdem parallelis interceptor inter se aequaliter analogae hoc est duactis aequidistantibus, ut visum fuerit HBC, VTNO, sint semper interiectae linea IH BC, NT, O aequales hoc modo non tantum lique figuras LG, DAE, nec non
RSZX, PQML aequales inter se esse, verum etiam FKG ad IKH esse in eadem ratione, in qua QPLMaad PNUO, uamobrem ex prima parte, rectangulum ZX in R adguram SRXZS, hoc est rectangulum LM in altitudinem figurae QPLMci ad hanc ipsam figuram habebit eandem
rationem, quam figura ΚGad rectangulum ΚFin FG, vel quam figura DAE ad rectangulum D in altitudinem
eiusdem huius figurae DAE quo circa constat omne propositum
Patet in prima parte repertum esse rectangulum mi Cor pr. t. ZIN aequale figurae GFDEG, licti haec immens longitudinis feriis G, se ob id manifestum est, quod quamuis aliqη Aura sit sine sine longa, non ideo semper magnatuinem habet infinitam. Et simul illudconstat,ubivna auuersarum, seu
ωb rmago velocitatum, aut temporis sit magnitudine terminata, etiam altera auuersarum, vel imaginum eri huiusmodi sec.
35쪽
IN qtiouis parallelogrammo BD sint deinceps di gon 'r. , si, las A SC, AH C, AIC, AL aliaeque numero infinit', ita ut acta quaelibet recta EF parallela B secas ipsas ia-gonales in punctis G, L H l,si semper D ad AF,ut CD, aut EF ad FG; quadratum ex DA ad quadratum A Vt EF ad FH cubus ex DA adcubum ex Fut EF ad FI;
quadroquadratum ex DA ad quadro quadratum ex Fut EF ad FL; sic continuo procedendo per infinitas eκ ordine potestates Stephanus de Angelis Author subtilis, ac celeberrimus, libro suo in . parabolarum vocat triangulum rectilineum ABC parabolam primam, BAH C secundam; tertiam BAIC, quartam BAL C, cita in infinitum: His definitis docet ex Caualterio paralla logrammum BD ad quancunque dictarum parabolarum sibi inscript rum esse ut numerus, vel exponens parabolae unitate auctus ad ipsum exponentem, siue numerum parabolf, qua re ad primam habebit ipsum parallelogrammum eandem rationem, ac saxi; ad secundam ut 3 ad 2: ad tertiam Vt qad 3, ita deinceps de reliquis itaque per conuersionem rationis habebit ipsum parallelogramalum ad excessum illius supra qua ncunque parabolarum dictarum, scilicet ad trilineum primum A GCD eandem rationem, quam et adci,ad secundum quam 3 ad , sic deinceps quam
numerus trilinei vntrare auctus adipiam unitatem. Sed est etiam admonendum verticem dictarum parabolarum
esse punctum A, ter consequens AB diametrum, di BCordinatim aplicatam, seu basim . PROP.
36쪽
IIsdem adhuc manentibus,idena de Angelis monstrat eodem illo tractatu pr. 3 si quaecunque ex dictis parabo lis secta sit qualibet recta parallela basim esse parabolam ad resectam portionem versus verticem, ut potestas basis, cuius exponens est numerus parabolae unitate auctus ad similem potestatem e basi resectar portionis itaque i prima parabola est ut quadratum ad quadratum, in secunda victibus adcubuin,&sic de caeteris. Similiter sis ec tur quodlibet ex infinitis trilineis linea GF basi CD parablela, erit trilineum ad superius sui segmentum ut potestas ex D A, cuius exponens est numerus trilinei unitate auctus adsimilem potestatem ex AF. quare trilineum primum . CAD ad AF erit ut quadratum ex DA ad quadratum ex FA, secundum CHAD ad segmentum H AF ut cubus ad cubum,4 ita in caeteris eodem ordine.
A. r. Q ACD angulus rectus,dolinea FE talis naturae, ut deductis ad libitum rectis AF, B parallelis ipsi CD,potestas ex CA ad similem potestatem ex CB sit reciproce ut alia quaedam potestas ex BE ad similem huic potestatem ex AF; patet rectas CA, CD nondum iungi cum EF, quamuis in immensum una producerentur . Ab hoc proprietate Vallisius 4ermatius subtilisῆm authores
vocaverunt curuama nouam hyperbolam, eius a Lsymptotos AC, CD. Omnes huiusmodi hyperbolae, quae infinitae numero sunt, terminantur ad unam partem magnitudine, cum hyperbola comunis, seu Apolloniaca sit in v tranque partem magnitudine infinita. Quod ergo extimium es , ostenderunt ipsi authores rectangulum F in
37쪽
Liber L 23 AC ad spatium hyperbolicum qua finitum est, licet sine
sine longum, eandem habere rationem, quam differentia exponentium potestatum hyperbolae ad exponentem po 'dio testatis minoris. Quare scin hyperbola sit ut cubus CB,o cubum A ita quadratum AF ad quadratum BE, eritim praedictum rectangulum C in AF dimidium Spatij sinest, fine producti A TA; at si quadratum CB ad quadratum ad sit, recta AF ad rectam BE, rectangulum ipsum C AM AF aequale erit spatio A TA,quod si potestas A vel m. 'non fuerit altior potestate ex BE, vel AF, tunc ipsum: illud spatium, infinitum quoque erit magnitudine etenim ab nullus excessus exponentis praedicta potestatis ex C Ω- a pra exponentem potestatis BE, habet ad numerum exponentis potestatis BE rationem infinitam.
Vpradictum propositum habetur in commercio epis
stolieo Ioannis Vallisij Epistola quarta,quem libellum una cum alijs doctissimis suis operibus Vincentius Uiuia
nus ingens arui nostri Geometra, antequam summa cum humanitate misisset, eidem ipsi quadraturam unius ex L,si elis hyperbolis ex nostris principij deductam ac excogiri tatam, indicauimus. Cum vero postea nobis euenisseto uniuersaliorem ad alias hyperbola, semper communi ex-m Lepta accomodatam reperijsse,huc debemus afferre pria, Inum V quendam fructuin scientiae huius; deinde cum diae, ' istorum authorum ipsam propositionis demonstrationem
is non habuerimus, demum quia ipsarum hyperbolarum mensura, ac quadratura in aquarum rationibus erunt po-ia tisissimum existi. Sit igitur BCina ex infinitis hyperbolis, in quarum assymptoti AE, EL; Sint etiam quaecunque pli V k Mys et L Latae AB, DC alsymptoto E aequid istantes, 'abeat Ead Exeandem rationem v. g. quam cubua ex AB ad
38쪽
Geometria Motus. Tob. 3Mi cubum DC. Patet si proponeretur illi iuuersa figura D L. - FGΚ, estque AE ad DE v figura GFK ad figuram HKesse etiam FG ad IA ut DC ad AB, est autem cubus ex DC ad cubum ex AB ut AE ad ED. ergo etiam figura FGK ad I HK sunt enim FG, ΙΗ parallelς habebit an dem rationem, ac cubus ex FG ad cubum ex IH ItaquG FK erit comunis parabola, hoc est quadratica, seu secu-δ ' 'ehie infinitarum parabolarum, ob id eadem FK parabola ad rectangulum GF in F erit, et ad 3, in qua
ς '' ' ' ζ habebit quoque rectangulum B in AE ad sp 'rium infinite longum B M, et erit ut et ad ii scilicet ut excessus exponentis maioris potestatis, quae cubica est, super numerum exponentis, qui hoc casu est tantum vilitas radicis, est ad hunc ipsum exponentem, seu unitatem lineae indicantem, quod concordat cum proposita dictorum
In eademsi It etiam cubus e DE ad cubum ex AE, sicut quadra-Iμη - quadratum AB ad quadroquadrat ut DC, jur.
sus proposita GKF auersa huius hyperbolae patet si sit AE ad Ei figura GF ad figuram IKH, esse etiam FG ad Def. 8.bulat m, DC ad AB; cumque sit cubus ex AE ad cubum eri I E sicut quadroquadratum ex DC ad quadroquadratum AB, erit etiam quadroquadratum ex FG ad quadro, quadratum ex IIJ, ut cubus ex AE ad cubum ex DE si igitur intelligatur quaedam ratio quae sit subduodecuplaram rationis quadroquadratorum quam huic similis cuborum praedictorum erit porro FG ad IH triplicata, AE ad ED quadruplicata eiusdem dicta subduodecuplar; quamobrem etiam ratio figurae G FK ad figura I HK, quae esse debet ut AE ad ED, erit quadruplicata eiusdem sub
luodecuplete M ide si ponamus IK ad I in ration p
39쪽
ejusdem subduodecuplae, erit figura GFΚ illius naturae, ut RQ --:it semper cubus exicad cubum ex Κ sicut GF ad H,&noc modo eadem illa figura erit trilineum tertium, seu cu bicum,ex quo ergo sequitur, GFΚ ad Hi sit in eadem ratione, in qua quadroquadratum e .F ad quadroquadratum ex KI, hoc est sit ut AE ad ED sequiturque etiam ob hoc figuram GF subquadruplam esse circumscripti rectanguli GF in FK;est autem, trilineum GFK ad recta' gulum G in F circumscriptum, sic rectangulum ABMEad auuersam eidem trilineo figuram AB EA, ergo rectangulum ABME subquadruplum erit eiusdem figurae AB i longitudinis infinitae, quare ipsum rectangulum
erit subtriplum portionis im& longitudinis pariter immensae. Cum ita sit, constat exemplo hoc quoque, eande illam rationem esse excessum maioris exponentis supra
minorem exponentem ad hoc ipsum, dictarum potestatulisperbolae.
SVperior demonstratio effecta suisset amplissima, si prς.
ponere voluissemus quadratura ut datam omnis .g neris parabolarum, & trilineorum, verum cum ista pars nosit plene tradita, ut videre est quinto libro infinitarum pGrabolarum eiusdem de Angelis, satius ideo duximus qua draturam hyperbolarum a Ualisio, Termatio acutissimis illis viris propositam omnino veram admittere,ut inde eam parabolarum trilineorumvniuersalem,quam adhuc ab alijs non habemus, facillime, compendioseque depromeremus. Hanc igitur ita proponimus ut subinde ostem
Si similes potestates applicatarum suerint in eadem ra tione. ac sunt interse potestates quaedam aliar,4 eiusdem gradus diametrorum ab ipsis applicatis abscissarum usque
40쪽
ad verticem parabolarum, vel trilineorum; erit rectangulum ad parabolam sibi inscriptam ut aggregatum exponetium utriusque potestatis ad exponentem altioris ipsarum potestatum parabolae Mad trilineum ut aggregatum ex ponentium potestatum trilinei ad exponentem inferioris potestatis eiusdemmet trilinei. Sic enim in exposita figura praedicta, si esset quadratum e FG ad quadratum ex IH, sicut cubus ex FK ad cubum ex IH esset rectangulum
GF in F ad figuram GF quae tunc fore trilineum huis ad a nam ubi potestas abscissarum maior est illa applica.tarum est semper GF trilineum.Simili modo, si sit, qua dratum ex FK ad quadratum ex bita cubocubus ex Gad cubocubum ex IH: hoc est si sit cubus ex FG ad cubuex IH, ut linea FK ad KL tolluntur enim utrinque ex simili is similes rationem erit figura GF parabola, ad quam sibi circumscriptum rectangulum eandem habebit ratione, quam ad 3, sic dicendum erit de omnibus alijs parabolis atque trilineis.
VErum ut propositum ostendamus, esto quaelibet ex
parabolis GFΚ, nimirum quadratocubus ex FG ad quadratocubum ex IH habeat eandem rationem, quam . cubus ex FK ad cubum ex IK. Demonstro rectangulum
GF in FK habere eandem rationem ad parabolam GF ,
quam aggregatum exponentium 8 ad maiorem exponentem S. Primum quam rationem habet rectangulum GF in F ad parabolam GFΚ, eandem habebit rectangulum HI in IKad parabolam IK hoc enim demonstrabimus infra 2 permutandoque erit rectangulum GF in FK ad rectangulum HI in lK,ut parabola GFΚ ad parabolam HIK; componuntur vero illa rectangula ex rationibus GF ad