장음표시 사용
41쪽
Liber L 27 se ponetur ex ijsdem rationibus; quoniam ductis inuicem
ne cxponentibus possunt considerari quindecim rationes in 'um silmiles, ex quibus constet tam ratio dictorum cubo-e ' rui a quam huic similis altera quadratocuborum, tunc ris GF ad IH erit triplicata, et F ad MLquintuplicata eiusdem subquindecuplae rationis, quae sit A ad B ergo simul additis ijsdem rationibus, quintuplicata scilicet,la triplicata ut exiliet ratio octuplicata ipsius A ad B proptereaque pa- ut , rabola GF ad HaΚ,seum consideremus figuram & BAELica. auuersam parabola GFς, ita ut AE ad ED sitit para- tua bola GFK ad parabola HlΚ AE ad EDerit pariter octu-M FG plicata eiusclem A ad B: cum sit ob naturam auuersaruibu FG ad HI, DC ad AB; erit DC ad A triplicata eiusdemi rationis A ad B qnare ut cubus AE adcubum DE, ita iam i quadratocubocubus DC ad quadratocubocubum κne, AB rectangulum igitur ABME ad spatium hyperbolicum ira infinite longum i Min erit ut quinque ad tria,& ad uni. uersum spatium SAE&ito ad 8, in qua nempe ratio R -- μέ
ne debet esse parabola FI ad rectangulum GF in FK.
ad Corollarium. II Constat si fuerit ratio A ad Beo submultiplicata rationisum vocatarum, quoties est numerus exponentis potesatis a , , . sessurum e/usdem paraboia esse uamparabolam a Dipomen tionem in tam multiplicata ratione ad B, a es numerus V regati exponentium ambarum potesatum parabolae . Nam HI cum esset quadratocubus ex FG ad quadratocubum ex IH μin cut cubus ex FK ad cubum ex IV, propos ita insuper e ei A adre t Iubquindecupla alterius dictarum similium rationum ex IK l potesatibus paraboia, ostensum fuit rationem A ad subiria ad pi/catam ipsius G ad H, subquintuplicatam alterius FKim ε VI, o tandem sendimus parab iam GFK ad portionem
42쪽
L Geometria Motus eius m esse is octvluata ratione eiusdem A ad B quod
idem omnino diceretur gura GFK trilineum effici. Ratio autem A ad B dicetur imposterum Carithmica potesatum paraboia, seu trilinei, aut hyperbo .
REliquum est ut ostendamus , parabolam GF ad
portionem HIΚesta trectangulum G ad rectan-sulum HI m IK, scilicet esse in ratione composita basium,&altitudinum parabolarum, quod nempe sic ostendetur, Sit, supra FG parabola eiusque portio IHK existentiabus vero applicatis FG, H, fiat EG ad I Eit Fi ad I sit. 3.3 re basis et oertex parabolςIE similis ipsi GFK:patet propter similitudinem figurarum, esse parabolam GFic ad parabolam Exin eadem duplicata ratione FG ad IE, in qua nempe est rectangulum GF in F ad sibi simile rectangulum EI in IK ob idque rectangulum Fin K ad rectangulum EI in IK,cum sitit interse ut parabola F ad parabolam EIK, haec vero parabola ad ipsam Iid habeat eandem rationem,ac IE ad IH seu ob eandem altitudinem I ut rectangulum FI in IK ad rectangulum H in IX, erit ex aequali parabola GF ad parabolam HI ut rectangulum GF in F ad rectangulum HI in IX. Quodoc
4. A.3. N quacunque hyperbola excepta semper conica cu I. ius asymptoti EA, EM,si sit potestas applicatarum DC AB altior potestate abscissarum AE, ED sic enim finita eii magnitudine secundum eam asymptoton, quae applicatis parallela est y spatium ipsum hyperbolae BAE ad sui portionem GDE habebit eandem rationem,ac
rectangulum BAE ad rectangulum CDE, seu passumpta
43쪽
Liber 29 ratione Iogarithmica A ad B potestatum hyperbolae' qua
potestas exin, cuius exponens est differentia exponentiu potestatum hyperbolae ad similem potestatem ex B.
Vam rationem habet rectangulum AE ad spatium&BAE&, eandem habet rectangulum CD ad Pr. 11.h--. spatium CDE,- permutando erit rectangu Ium B AE ad CDE, sicut spatium 'AE ad spatium, CDE si igitur in eadem proposita hyperbola sitio testas applicatarum DC AB quintuplicata ipsius A ad B,
AE ad Eo septuplicata sit eiusdem erit septuplicata applicatarum in eadem ratione ac quintuplicata abscissarum; scilicet quadratoquadratocubus ex DC ad similem potestatem ex AB erit ut quadratocubus ex AE ad quadratocubum ex DE, eritque sic maior potestas applicatarum, atque adeo componetur rectangulum EAB ad EDC
ex septuplicata ipsius A ad B qualis est AE ad ED,ωsu, quintuplicata eiusdem A ad B, quae est AB ad DC, nimbrum erit rectangulum E Bad EDC in duplicata tantum ratione ipsius A ad B quare spatium BAE ad id CDE , quae sunt inter se, ut ipsa rectangula ierit ut potestas ex A,cuius exponens est differentia exponentium S potestatum hyperbolae ad similam potestatem ex B. Quod c.
PROP. XU. THEOR. XU. SI ab exponente potestatis applicatarum hyperbolide
trahatur exponens minoris potestatis abscissarum,p testas reliqui exponetis erit applicatarum auuersae figurae, in abscissis vero adest utrobique eadem potestas. Itaque cum in superior hyperbola residui exponentis potesta.
44쪽
io Geometria Motuy. quadratum esset,porro in eius au uersa es et potestas applicatarum quadratica,& abscissarum quadratocubica.
τη--3tig 3. Urito rursus hyperbola et AE&, et sicut dii tum est M. AE ad Eo sit in septuplicata ratione togarithmica rationis A ad B, a DC ad AB in quintuplicata, videlicet quadratocubus ex AE ad quadratocubum ex D Leandem habeat rationem, ac quadratoquadratocubus ex DC ad similem potestatem ex AB; Dico in auuersa figura potestatem aplicatarum esse quadratum, cuius expones a est differentia exponentium potestatum hyperbolae potestatem vero abscissarum eandem esse, absciitarum eiusdem hyperbolae. Sit ut supra Mad KIut hyperbola BAE&ad i. h. is, C DE&, hoc est, si ut potestas exin, cuius exponens est differentia exponentium potestatum hyperbolae ad similem potestatem ex B, ideo F ad Perit duplicata ipsius A ad . sed DC ad AB eiusdem illius Iogarithmicae quintuplicata; estque in hac eadem ratione etiam GF ad IH: ergo cum duplicata huius sit similis quintuplicatae KF ad KL iam utraque ratio continet decies A ad Bypatet, quadratum ex FG ad quadratum ex IH esse eam potesta tem,quam proposuimus euenire in applicatis au uersae,cum alias in abscissis sit utrobique potestas eadem, nempe quadratocubi Quod&c.
Patet ex noto trilineo, vel parabola FG esse in auuersa, scilicet ini perbola se BAEor quae tune essemper magnitudine nita iuxta asymptoton EMG potesatem Usticataru, qua pro exponente habe ummam exponentium potestatum parabeia, aut trilinei nam cum esset in trilineo praecedenti
45쪽
adratum ex FG ad quadratum ex mist quadratocubus ex FK ad quadratocubum ex minuit equidem in hyperbolatio quadratθquadratocubus ex DC ad quadratoquadratocubum ex AB sicut quadratoctibus ex AE ad similem potestatem ex DE scilicet inuariata potesate abscisarum in ambabus au-μes . Guare ex ore fatibus notis unius auuersarum fa- se notescent potestates alterius, atque etiam illius magnitu G. Uc redeamus ad motus, novamque adhuc methodβm, quam hoc loco reseruauimus, auferamus.
SI quaedam Genesis ACBH, cuius imago temporis DCB: item sit FCBK genesis alterius motus ab eodem C in Bi laeta recta OIGE ipsi AFCD parallel, '' ponantur CD, E loco minimorum temporum, ita ut te pore CD, dum mobile ex C affectum velocitate A, currat minimum spatiolum indicatum per C,cui est aequale spatiolum aliud indicatum per G, quodque transigitur tempor GE velocitate GD nam ut essent illa spatia in C, G aequalia, effectum fuit ut velocitas AC ad GD eandem reciproce rationem haberet, ac tempus E ad CD, id quod patet ex natura genesis ACBH,is imaginis DCB et hic rursus notatu dignisssimum est nulli errori obnoxium esse, quod aequabiles in illis minimis spatiolis
intellexerimus motus, quamuis potius deberet videri, in ijsdem interuallis reperiri innumeras, ac inaequales velocitates, queis nempe essicerentur motus inaequabiles, quod
geneses inaequabiles sint. Cur ista se ita habeant, hic non est nobis disputandum, ego enim puto, non e indivisibili velocitates alijs succedere, sed reuera minutulum temporis considerari debere antequam motus diuersimode pro cedat, nempe ac si velocitas, quae succedere debet priori,nQR ita sit in promptu,aut non ita statim mobile afficiat ad
46쪽
motum sibi proportionatum. Sed linquamus haec alijs dis. putanda satis nobis sit, methodum nostram, quoad nostria est, demonstrare. Ij igitur ut supra propositis, concipiatur adhuc tempore D velocitate FC spatiu exigi quoddam, item aliud tempore EG, velocitateque GI,4 sic per
omnes quascunque applicatas: quaeritur, quod spatium .
vltimo exactum esset,hoc est quam rationem id haberet ad illud alterum spatium, quod eodem tempore transigitur tu ta genesim HACB, cuius imago temporis D&B. Isti duo motus in exemplo essent, si in quodam plano moueretur formica, dum ipsum planum una eius extremitate immobili et ircumduceretur, Sic formica dissicilius asced rei prout ipsum planum magis ad hori Zontem erigeretur. Iam motus extremitatis plani circumactae habet genesim ACBH, cuius temporis imago &DCB&, et altera genesis FCBΚ tribueretur motui formicae, nam ut dictu est varius motus formica pendet ex latione plani, ideo velocitates eiusdem iam in plano immobili ponimus aequabiliter ferri durant i)sdem temporibus, quibus velocitates praecipuae genesis ACBH. Si denique 34S imago velocitatum
iu ta genesim ACBH, cuius temporis imago CD&B; patet si sit Pad PS sicut imago temporis CD EG ad imaginem&BGE&, fore LM ad PQ ut AC ad OG, concepta etiam figura NOTS inter parallelas LMN, RSTita ut sit semper MN ad O sicuti ad GI, nec non LM ad N ut AC ad F sunt enim initio motuum in C,aut instanti M velocitates genesium AC, F,scilicet L M,M
&in G, hoc est instanti sunt velocitat OC, GI; nimirum P, PO) vocetur proinde genesis CB spuria, ac adstricta imagini temporis DCL&, cuius imago velocitatum MNTS pariter spuria, homogenea tamen ipsi legiti
47쪽
SI sint duo motus iuxta geneses legitimam,' spuriam, erunt mobilium exacta spatia , ut imagines interlahomogenea velocitatum,legitima ad spuriam Esto genesis legitima ACBH, cuius imago temporis M. 3.Fis .&DCA&,4 imago velocitatum MLRS. Sit etiam gene sis altera illi homogenea, sed spuria, & adstricta imagini temporis &DCB&, cuius imago velocitatum spuria primrique legitimae homogenea NMST. Dico, spatia iuxta has imagines transacta esse vicipis imagines legitima LMSRad spuriam NMST. Cum temporis momenta M, P intelligantur ex minimis temporibus, quae proponi possunt, interse aequalibus, quibus aequabiliter perdurant eis locitates, quas mobile sortitur in aduentu suo in punctis C, G, erit, velocitas FC ad velocitatem I sic interse spatia, quae istis velocitatibus, temporibusque illis aequa libus percurrerentur, in qua ratione est etiam NM ad OP. Deinde momento M peragerentur spatia proportionalia velocitatibus FC, AC, seu rectis NM, ML momento autem P spatia proportionalia velocitatibus I, GD, in qua ratione est etiam OP ad PQ sic deinceps procedendo per singula temporis, momenta, adeo ut, cum spatium velocitate C exactum ad id velocitate CA, sit vim ad ML, spatium velocitate Ic ad id exactum velocitate GD sit ut 9 P ad PQ' sint praeterea primae interse, hoc est spatia velocitatibus C, I transacta, proportionalia tertijs , spatijs videlicet transactis velocitatibus L, PQ ergo ut omnes primae ad omnes tertias quantitates, hoc est omnia spatia transacta iuxta
genesim FCBΚ ad omnia spatia iuxta genesim ACB, ita erit summa secundarum ad omnes quartas, scilicet ista erit imago MST ad imaginem LMSR. Quod c.
48쪽
Otum appellamus compositum, ubi dum se tur mobile, consideratur habere plures in diuersas partes, vel etia in eandem partem conatus, eg quibus oriatur tertia vis distincta ab illis. Hunc librum, cum expleueri mus, non pauca una cum priori, dicta erunt de motu, eritque ea methodus, qua simul geometrica quaedam, difficillima scitu satis breuiter ostendemus. Nam vibrationes Pendulorum exigi temporibus quae sint in subduplicata ratione longitudinum eorundem, plane tandem constabit alias nobis dissentientibus aperiemus etiam, qua arte i telligi queant anguli rectilinei curvilineis aequales;nec non exponemus parabolas quibusdam spiralibus aequales, ut est vulgata spirali Archimedeae, cum videlicet basis para. bolae radio circuli spiralem continentis,4 dimidium huius circumferentiae circuli altitudini eiusdem parabolae,aequales sint.
g. r. I in eadem recta linea currantur spatia temporibyrso aequalibus, sint motus simplices, ac ad easdem pa res tendentes, eadem illa spatia simul motu composito, ab eodemque mobili duabus illisgenesibus affecto, unicoque ex dictis temporibus aequalibus eΣcurrentur. Cur
49쪽
Curratur LI iuxta imaginem velocitatum HAERet Miuxta aliam dictae homogeneam BAED. Dico in sum mam dictorum spatiorum LI, IO exactum iri unico tempore AE, si nempe mobile feratur secudum tranquerim ginem. Per quodlibet punctum, seu temporis momentum Magatur recta GMC parallela HB, vel FD. Habebit mobile momento A, du scilicet mouetur niotu composito duas simul velocitates AH, AB,idest unicam HB. Similiter mO mento M habebit C, momentora ipsam FD. Itaque erit HBDF imago velocitatum compositi motus, qui fiet' f 3 prse tempore AE iuxta imaginem,quae aggregatum est dictaruHAEF, ABDE. Est vero LI ad I ut imago HAEF ad imaginem ABDE ergo conuertendo, componendoquo erit ut LI adio, sic imago HAEF ad imaginem HBDF et propterea quemadmodum spatium L currebatur iuxta a
imaginem H AEF, siclo percurretur imagine HBDF solo, eodemque tempore AE. Quod&c.
Hlac patetgraue perpendicuiariter olenterque deiectum
minime adterram venturum aggregato virium,quarum est ab impellente impressa, altera vero grauitate dependes. Nam ex impartita vi celerior sit casus, quam vigraue n. c roseo possit ex acceleratione naturali eum gradum acqui rere,quem certe oonte si tantum descendensis ne eiusdem altitudinis adeptum esset. Hoc ita verum est, ut aliquandon inimum intersiit, inter impetum ab ambabus causis prouenientem,cteum, qui sola oritur grauitate, quamobrem parum is proficeret, qui conaretur maIorem impetum componere
in casu grauis, ilii nempe adiecta vi, mobile idem in decursu impellente,vltra natiuam grauitatem, quod tamen eri hau
Gbie posset, casu obliquus esset. a Illud
50쪽
Illud quoque hac occasione aperiendum est, graue naturatiate descendens eo concitatius ferri, quoad potentia re entis aeris idior namque i sit, A mobilis casus est celerior)migrauitatis mobili inhaerenti exaequatur, tune enim causa ulterioris accelerationis adempta e consumiturque in luctatione aeris contranitentis: quare tunc graue progrederetur aquabiti motu, id quod citius euenire deberet graue intra quam descendat.
S in eadem recta duos motus sibi contrarios, simplices, ac eodem tempore peractos intelligamus, mobile di- ferentiam illorum spatiorum, si utroque motu esset ata' ' Currat ut a puncto L spatium Lo imagine velocitatum ABFG, eodem tempore curratur etiam recta OM expuncto altero O, scilicet contrario motu,&iuxta imagine AHI praedictς homogeneam. Dico mobile, coposito ex utrisque motu, tempore ipso AG cursurum differentiam LM dictorum spatiorum LO, M. Tia..ur i, Primum intra parallelas AB, F non se secent inex ' BF HI,4 ducatur quaelibet DC arquidistans AB,vel GF, quae secet Hl in E. Manifestum est, mobile, composito motu feratur habere duplicem velocitatem, unam AB alteram illi oppositam AH, ob idque moueri versus o sola velocitatem differentia dictarum interse pugnantium Velocitatum: pariter momento feretur mobile velocLDU ,1 ἱmis. R CEC differentia duarum DE, DC,& instantis habebit differentialem IF; ex quo sequitur figuram BHEIFCn,disserendam imaginum ABFG, HAGI,aptatam tempori AC, ;- 'm3ginem esse Velocitatum compositi motus. Hoc pois habebit L ad in eandem rationem, ac BHIF ad