Compendiaria matheseos institutio quam in vsum auditorum philosophiae elucubratus est Paulus Mako ..

31쪽

De Multiplicatione, et Diuisione quantita

tum inigrarum. o. tibi isatio est unius quantitatis posia 'A tio toties facta, quoties continetur unitas in altera. Hinc a per b multiplicare. seua in b ducere idem sit. ae quantitatem a toties Ponere, quoties continetur unitas in quantitate di Quantitas, quae toties ponitur, multipli eanda; quae suis unitatibus indicat, quoties ponenda st , multiplicator: quae demum ea DPeratione consurgit , fanum. vel productum adpellatur, unde multiplicanda, et multiplicator solent etiam communi vocabulo fictore; dici. 4 I. COROLL. I. Vitur quantitas multipliCanda toties continetur in facto, quoties unitas in multiplicatore . seu factum coalescit pra ise ex

multiplicando toties posito, quoties est unitas in multiplicatore, siquidem legitima sit multipli.

catio. 42. CGROLL. a. Quum ergo inquiritur. an

multiplicatio rite peracta sit. illud quaeritur, an . factum praecise coaluarit e multiplicando toties posito, quoties est unitas in multiplicatore. 43. COROLL. 3. Atqui an factum sic coaluerit. repetita subtractio ostendit e si enim ita Coaluit. toties sublato multiplicando, quoties est unitas in multiplicatore. factum penitus tolli. atque in nihilum redigi debet: nam quibus PQ

32쪽

sitis totum aliquod coaluit, iisdem ablatis deis

strui necesse est. 44. Μultiplicatio quantitatum maRime Com. plexarum saepe indicatur tantum . reapse non peragitur. Signa autem indicatas multiplicatio nis sunt crux decussata N. aut punctum inter factores interiectum: eg. 2κ3. Vel 2. 3 6. Factores Complexi plerumque parenthesi includuntur signo N, Vel nullo interposito: e. g.

steriorem esse multiplicatam. 45. THEOREMA. Cum duae quantitates a et binuicem multiplicantur. Idem factum nascitur , Ilaea ducatur in h. sive b in a. DAmoNSTR. Sint enim in recta AB tot pun- Fig. 1.cta. quot sunt in quantitato a Vnitates, e. g. χX. et in recta AC tot, quot b continet unitates. e. g. quatuor. Ducere quantitatem a in b idem

est. ac seriem punctorum ΑΒ quater sumere; et ducere quantitatem , in a idem est, ac seriem punctorum AC sexies sumere o) r atqui utroqua in casu idem prodit numerus punctorum scilicet spatio MDC contentorum, in quo quutuor sunt series AB, aut sex series AC r ergoaκb - b Na.

46. COROLL. .I. Eodem modo patet veritas

theorematis, etsiamsi fuerint plures factores a, b, e etc. Nam per demonstrata a κ b N a.

quare siue illud, siue hoc multiplices per e, idem plane est, seu a κ b κ e - b κ a κ e. Similitera X e - e X ar quare siue illud, siue hoc ducas

33쪽

go si factores diuersa signa habeant. factum debet esse negativum. Si vero factores ambo idem signum habeant, lactum debet Else positivum. DEMONSTR. Nam imprimis si factor uterque positiuus est, patet factum debere esse positivum. Cum e positivo aliquoties posito iactum enapcatur positiuum: sin autem ambo factores negativi sint, regula sic demonstratur. Quivis factor negativus unus repraesentari potest per - a. alter Per - b; ergo si demonitratum fuerit quod a κ- b det factum positiuum, id erit generatim Uerum; hoc autem sie demonstratur. Sit a- a multiplicandum per - b, erit prima pars facti ex ante demonstratis - - ab; altera pars facti litin ratis rursus erit ab , at dubium est. an debeat esse. - ab , an - abr dico debere esse -- ab , et sic ostendor a - α - o ; ergo hic

nihilum debet per - b multiplicari, seu toties poni, quoties est unitas in b ; sed nihilum quotiescunque ponatur, semper factum inde genitum debet esse nihilum, ac proinde etiam hienostrum factum debet esse nihilum; sed nisi in secunda facti parte poneretur -- ab . nostrum factum non esset nihilum, . sed esset - - a abrergo in secunda parte debet poni M- ab e ergo - α κ - , - - obr ergo si factores ambo idem signum habeant. factum debet esse possitiuum. a Coeificientes terminorum more aliorum numerorum inter se multiplicentur, et sacto literati Praefigatur eorundem factum.

3 Literae diuersae multiplicatoris, et multiplicandi seruato alphabeti ordine iungantur, uti

34쪽

ELEMENTA

sunt nullo signo interposito. Sic aYb-ab; 3a Y ae 6ac. Si in factoribus eadem occurrat litera, haec in facto semel scribatur, et exponentes eius addantur. E. g. a'κ a bina luDEnoNsTR. Sit enim a. multiplicandum pera , dico factum esse in a . Nam a) est acta. et α' - aa I 6 r ergo idem est, siue aJ multiplicetur per a'. siue ana peraa; sed si a a a multiplicetur per a a coniungendo literas , factum est a a aa a. seu a r ergo etiam si a. multiplicetur pera', factum est a . Eadem demonstratio cuiuis casui speciali accommodari potest. 5 Denique peracta multiplieatione facta Paditicularia addantur in unam summam iuxta leges additionis au 2 , et summa erit totum Prinductum.

35쪽

ALGEBRAE.

Fusores.

Sc HotroN. Ut modum ipsum operandi tirones facilius pervideant, iuvabit postremum exemplum paulo diffusius persequi. Itaque I per a a multiplicetur terminus primus multiplicandi arierit fictum iuxta regulas superiores se a a' quod proinde infra lineam scribatus. Deinde per eundem multiplicatoris terminum multiplicetur - b , erit factum - - - aara . Denique multiplicetur etiam - ae , erit factum - - 4a eraa Transeatur ad secundum multiplicatoris te minum- 3b, ac per eum multiplicetur imprimis a , erit factum -- sara scribendum in secunda seris. Deinde per eundem etiam multiplicetur ἡ- b , erit factum ab - ad. dendo scilicet exponentes. Demum per eundem multiplicetur- ae . erit factum - - - 6be .s Quoniam facta haec particularia meris heterogeneis terminis constant, addi, seu ad simpliciorem expressionem reduci nequeunt; ac proindo sine ulla ulterjOre operatione retiaquuntur.

36쪽

49. Numerorum simplicium multiplicatio nullas habet regulas, sed necesse eli aut memoria tenere, aut in promtu habere tabellam. Ut vocant, Pythagoraeam, quam iliuic adiecimus. ope huius tabellas multiplicatio numerorum simplicium facile peragitur. Sit e. g. numeruS Imultiplicandus per o. Quaeratur in serie ABnumerus 7, et in serie AC numerus 6 , aut Contra ἔ tum a 7 procedatur per seriem DE, et a GPer seriem FG. dum perueniatur ad quadratulum. in quo concurrunt duae illae series: numerus 4s

illi

37쪽

illi quadratulo insertus est factum quaesitum. ED

5o. PROBLEMA. Numeros quosvis multiplicare. REsoLuae. Ρro multiplicandis numeris Coi,

positis hae regulae seruient.

r) Μutiplicator subscribatur multiplicando ea prorsus lege. quam in additione constituimus so), ducaturque transuersa linea factum a factoribus separans.

a) Si multiplicator unica nota constet, Peream a dextris iuchoando multiplicentur unitates. decades, centenarii etc. multiplicandi, et facta particularia scribantur infra lineam, quae sieubi Vltra 9 excrescant. fiat retemo ad factum se . quens, quemadmodum dictum est in additione so).3 Si multiplicator pluribus notis Constet. imprimis per eius Unitates multipli et ur totus multiplicandus, ut ante. Tum per eius derades rursus eodem modo multiplicetur totus multiplicandus, at initium productorum particularium fiat sub docadibus multiplicatoris; denique transeatur eadem lege ad centenarios, millenarios et et scribendi initium semper fiat sub ea nota multiplicatoris , per quam fit multiplicatio. DEMONSTR. Imprimis euidens Est ope huius regulae partes omnes multiplicandi, adeoque totum multiplicandum toties poni, quot sunt in

omnibus notis multiplicatoris , seu in toto multiplicatore unitates. Deinde cum unitates multiplicandi ducuntur in decades multiplicatoris. idem est, ac si decades multiplicarentur per Unitates

45 , ac proinde factum significat decades se- R. P. Maho Mathes C

38쪽

ELEMENTAcundo a dextris loco scribendas. Eodem modo patet factum ex Unitatibus multiplicandi in Centeis narios multiplicatoris continere centenarios tertio Ioco scribendos. et sic deinceps. 4) Facta omnia particularia peracta multiplicatione addantur in Unum totum, quod Continebit integrum factum. s Si in fine unius, vel utriusque factoris occurrant Zeri, iis interea omissis sat multiplicatio per reliquas notas. et a dextris totius facti adiungantur tot Zeri, quot erant in sine factorum. Cons eXempl. 3.6) Si in loco intermedio multiplicatoris ociscurrant Zeri, iis omissis multiplicatio fiat per reliquas notas, seruato tamen ordine . quo Perregulam tertiam facta particularia scribenda sunt. Cone eXempl. 4. str) Denique si multiplicandus constet numeris heterogeneis reducibilibus, vel singulae species a minima inchoando multiplicesntur seruata lege quarta, quam Pro additione praescripsimus 3 o): vel reducantur omnes ad infimam speciem, e. g. florent, et grossi ad crucigeros, ac deinde multiplicentur. Cons eXempl. s.

pari. 37aa 3987J GA. integr. III.

39쪽

ALGEBRAE.

II 6, O, Fus. integr. II Go Fani 58o I parti 696o GA. integri ScΗoLION. Ut omnem operandi rationem perspiciant tirones, resumemus exemplum secundum. Igitur 1 per 3 multiplicetur totus multiplicandus dicendor ter 9 sunt a7. et scriptis 7 Vnitatibus retineantur a decades; tum dicatur e teret seu tes 7o sunt ax seu a Io), et additis prioribus a decadibus sunt a 3; scribantur ergos de ades, et retineantur a Centenarii. Porro dicatur ter o est o. ac additis a illis centenariis scribatur a. Rursus dicatur: ter 8 sunt a 4. et scriptis 4 millenariis retineantur a decemmille. narii. Denique dicatur: ter 6 sunt I 8, ae duobus ilis additis sunt ao; scribantur ergo a .a Similiter per 5 multiplicetur totus multiplicandus, et productum initium sumat a loco se-Cundo , quem occupat 5 in multiplicatore. s Eodem pacto per a fiat multiplicati'. et productum initium capiat a loco tertio, quem C a

40쪽

tenell a in multiplicatore. 4 Absoluta muli, plicatione tria haec facta particularia addantur, et obtinebitur factuni integrum. 5 I. Diuisio est unius quantitatis ab altera ablatio toties facta. quoties tertia quaepiam quantitas Continet vilitatem: e. g. 6 diuidere per aest numerum a a numero 6 ter tollare , quoties nimirum in eo continetur. Quanti as, quae hunc in modum tollitur, ditiiser adpellatur: quantitas, ex qua diuisor tollitur. ividendus dicitur e quantitas demum, quae suis unitatibus indicat, quoties tollendus sit diuisor e diuidendo, quotus, Vel quotIeas Vocatur. In allato exemplo diuisor esta, diuidendus 6, quotus 3. 52. COROLL. I. Cum ergo diui mr toties tol. Iatur e diuidendo. quoties in eodem Continetur. diuisor toties est in diuidendo, quoties Unitas in quois. 53. COROLL. a. Hac diuisoris ablationes diuidendus penitus destruitur, cum diuisio accurata est: si ergo diuisor iterum toties reponatur. QUO

ties fuit ablatus, seu quoties est unitas in quoto, restitui in integrum debet diuidendus; atqui diuisorem toties reponere, est illum per quotum multiplicare o ergo diuisor ductus in quo tum restituere debet diuidendum. Eadem hae Cvera sunt de parte diuidendi per diuisionem destructa, cum diuisio absque reliduo fieri nequit. 54. COROLL. 3. Cumque idem factum prodeat siue diuisor ducatur in quotum, siue quotus in

diuisorem s , pathm est quotum toties Contineri in illo facto, seu in diuidenda, quoties est unitas iu diuisore.