Compendiaria matheseos institutio quam in vsum auditorum philosophiae elucubratus est Paulus Mako ..

61쪽

ScΗotros. Additio fractionum comprobatur 'btractione, et subtractio additione eo plana modo quo solent explorari additiones . et subtractiones quantitatum integrarum 28, 362.

SI. PROBLEMA. Framonem νnam per alteram multiplicare. REsoLui. Μultiplicentur numeratores fractionum inter se, et denominatores inter se. factoquo priori posterius subscribatur. Tres possunt casus CCurrere : vel enim Imo in fractione multiplicatore numerator minor est denominatore, vel adoaequalis, Vel alio maior. DEΜONSTR. Pro Casu Tmo. Μultiplicandus est

ad factum ut unitas ad multiplicatorem i); sed in hoc casu unitas maior est multiplicatore fracto 64J: ergo etiam multiplicandus maior est factor ergo ut ex multiplicando fiat factum, debet ille minui ; ut autem minuatur fractio. debet eius numerator minius crescere quam denominator 67, 7o . seu debet eius numerator per aliquid minus . et denominator per aliquid maius multiplicari ; atqui ex hypothesi in multiplicatore numerator minor est denominatore et ergo numerator multiplicandi debet multiplicari per numeratorem multiplicatoris , et denominator per denominatorem.

62쪽

Pro casu a D. ΜultiplicandRs est ad factum ut unitas ad multiplicatorom ; sed in hoc casti unitas aequatur multiplicatori 84 r ergo etiam multiplicandus aequatur facto : ergo ut ex multipli- eando fiat factum, is non debet mutari; ut autem fractio non mutetur, debet eius tam numerator quam denominator aequalj ter crescere 7 a , seu per idem multiplicari; atqui ex hypothesi in multiplicatore numerator idem est Cum denominatorer ergo numerator multiplicandi et . Vt supra. Pro casu alio. Μultiplicandus est ad factum ut unitas ad multiplicatorem; sed in hoc casu unbias minor est multiplicatore fracto 64 Fergo etiam multiplicandus minor est facto : ergo ut ex multiplicando fiat factum. debet ille augeri a vi autem augeatur iraetio, debet eius numerator magis crescere quam denominator 67 7o . seu debet eius numerator per aliquid maius, denominator per aliquid minus multiplicari; atqui ex hyp

thosii in multiplicatore numerator maior Est denominatore : ergo numerator multiplicandi et . ut supra.

82. Quod si quantitas integra sit cum fractions multiplicanda . Potest integrae valore retentombscribi unitas pro denominatote 78), Et multiplicatio iuxta iuperius dicta peragi. E. g. a re a sela diu se

83. COROLL. Imo in hoc eodem casu potasteompendii caussa per quantitatem integram solus numerator fractionis multiplicari , Cum unitas quantitati integrae subscribenda nihil multiplicet a b 6irbE. g. 3aκ I

63쪽

--- l - 33T ScΗoOON. Μirum videri tironibus non debet. quod in multiplicatione per fractionem genuinam lacta generetur factum minus ipso multiplicando. Si enim quantitas aliqua per integram Vnitatem multiplicetur . ea utique tota semel ponitur: si ergo multiplicetur per quantitatem unitate mi norem . seu per genuinam fractionem. ne semel quidem ponitur. Rd pars duntaxat eius , et quidem talis . qualem designat multiplicator: quare necesse est . Ut factum minus sit multiplicando. E. g. dum fractio ε multiplicatur per l, reapse duae partes tertiae ponuntur quatuod quintarum e hinc data fractio ε primum in tres partes diuidenda est, quod fit, ut dicemus, multiplicando 5 per 3; et pars tertia bis accipienda. seu numerator 4 per a multiplicandus. 84. THEOREMA. Frasio nasioxis es fanum a duabus fractionibus in se sinis enatum. DEMONsTR. Nam fractio fractionis est pars fractionis instar totius consideratae 6 a); atqui

64쪽

factum e duabus fractionibus enarum eandem partem multiplicandi exprimit . quam partem unitatis denotat multiplicator r cum enim sit mulistiplicandus ad factum ut Vnitas ad multiplicatorem I), qualis pars unitatis est multiplic tor, talis pars multiplicandi est factum. 8s. COROLL. Quare multiplicationis ope se ctiones fractionum ad simplices fractiones reduci

llet

a 2 a Q. 2 ac possunt. E. g. - - - κ - --ἔ

86. PROBLEMA. Franionem unam per alteram diuidere.

RBSOLui. Num orator diuidendi ducatur in deis nominatorem diuisoris, denominator diuidendi in numeratorem di isoris . et facto priori posterius subscribatur; aut, quod eodem redit. diuisor imuertatur . et fiat fractionum multiplicatio. ut supra 81 . Tres possunt Castas occurrere; Veienta I mo in fractione diuisore numerator minor est denominatore. vel alio aequalis, Vel 3tio

maior. κDENONI TR. Pro casu Imo. Quotus est ad diuidendum ut unitas ad diuisorem s ): sed in hoc casu diuisor minor est unitate 64); ergo etiam diuidendus minor est quotor Vt ergo e G

65쪽

uidendo fiat quotus . debet diuidendus augeri; ut autem fractio augeatur, debet eius numerator magis Crescere quam denominator 67 . 7O adeoque debet numerator per aliquid maius, denominator per aliquid minus multiplicari; atqui ex hypothesi in diuisore denominator maior est numeratore r ergo debet numerator diuidendi , multiplicari per denominatorem diuisoris . et denominator diuidendi per numeratorem diuisoris. Pro casu a L. Quotus est' ad diuidendum ut unitas ad diuisorem ; sed in hoc casu diuisor aequatur unitati: ergo et diuidendus quotor ergo ut ex diuidendo fiat quotus, debet diuidendus nihil mutari; ut autem fractio non mutetur, debet tam numerator eius, quam denominator aequaliter crescere 7s . seu per idem muli, Plicari; atqui ex hypothesi in diuisore denominator idem est cum numeratore: ergo debet numerator diuidendi multiplicari ete. Vt supra. Pro casu alio. Quotus est ad diuidendum vetvnitas ad diuisorem ; sed in hoc casu diuisor maior est unitater ergo etiam diuidendus maior est quotor ergo ut ex diuidendo fiat quotus. a debet diuidendus minui; ut autem fractio minuatur , debet eius numerator minus crescere, quam denominator 67 . 7o , adeoque debet numerator per aliquid minus, denominator per aliquid maius multiplicari; atqui ex hypothesi in diuisore denominator minor est numeratorer ergo de hei numerator diuidendi multiplicari etc. ut supra 87. Si diuisor vel diuidendus fuerit quantitas integra, ei pro denominatore subscribatur unitas, tum stat operatio uti supra dictum est

66쪽

qq. Imo lassiciet quantitatem integram ducere in denominatorem fractionis, et producto numeratorem subscribere, si quantitas integra sit per stactionem diuidenda; aut productum sub scribere numeratori , si fractio sit per quantitatem integram diuidenda. E. g. a ae 'σl- Vs'. Similiteri: aaamir -

67쪽

ScΗOLIGN. Quemadmodum multiplicatio exploratur diuisione ficti per unum factorem, ut in his exemplis secimus, in quibus superiora multiplicationum exempla diuidendo comprobauimus; ita bonitatem diuisionis patefaciet multiplicatio, si nempe diuisor ductus in quotum restituat diuidendum 53 . 89. PROBLEMA. Quamlibet fractionem ope diuisolus inseriem inmitam resoluere. RESOLUT. Quoniam fractio est quotus, qui oritur e numerators per denominatoreon diuiso 65). euidens est stactionem aequalem fore seriei. quae iacta reapse diuisione pro quoto enascitur. Igitur Cum fractionis cuiusuis denominator possit exhiberi per quantitatem complexam a --b. fractio quaeuis reuocari potest ad hanc expressionem : --- . quae sit in seriem infinitam re-

soluenda. Diuidatur ergo e per a , erit quotus

- , qui ductus in totum diuisorem a -- b dat

a a a

assi

68쪽

, abe bla be bla,ctum-- - , quo Obladiuidendo sublato remanet -. Hoc denuo diuidatur

Per a, erit tertius quotus - , qui ductus in totum

ab e Me bladiuisorem dat factum

- - . quo e diuidendo sublato remanet

bae , - Si rurius et hoc residuum' per a diu,

μdatur, erit quartus quotus . Quotis hisco

idiligenter inspectis iam patet lex, iuxta quam eorum series Pro editur, ira Vt stti m sine cit Culo ulteriore continuari possit in infinitum. Eu calculi praecedentis typum re be bla b e blaa --b0 - . ,

70쪽

SECTIO IL

DE COMPOSITIONE, ET RESOLUTIONE POTENTIARUΜ.

De natura, et genesi Potentiarum.

oo. otentia vel dignitas quantitatis cuiuspiam A est factum. quod oritur, si ea quantitas in unitatem semel. aut saepius ducaturr ipsa vero illa quantitas, quae hac multiplicatione potentiam gignit. rad. x adpellatur. E. g. a ' est potentia, cuius radix est quantitas a, quae toties ducta est in unitatem , quot in m sunt Unitates.

9 I. COROLL. Cum ergo exponentes indipent. quoties sit quantitas aliqua in unitatem ducta 16J, patet indicari ab e Xponentibus, quoti gradus quaeuis potentia sit. E. g. a est potentia prima; a est potentia secunda , seu quadratum; a est potentia tertia. seu eubus ς a '' est potentia infiniti gradus; a est potentia quaevis indeterminata.