장음표시 사용
321쪽
Frig. 9r. 539. COROLL. a. Summa angulorum pla. norum unum solidum constituentium minor esse debet quatuor rectis. Si enim angulus soli. dus A versus basim complanari debeat. nece se est aperiri latus aliquod e. g. AD , ut nempe figura anguli solidi abeat in planam. in qua omnes anguli plani solidum constituentes una cum apertura noua DAD faciunt quatuor rectos sapi): quare sine illa apertura, seu nouo angulo accedente quatuor rectis minus Contine.
re debent, id quod ope anguli solidi e charta efformati facilius intelligitur.5 o. Solida superficiebus planis terminata generatim polyecta dicuntur; speciatim vero te-
iraedra , pentaedra, hexaedra set . a numero
Planorum, quibus terminantur. Porro solidorumi olamen aut soliditas est ipsum illud spatium. quod implent, atque superficie sua concludunt. Quodsi solidorum anguli e totidem aequalibus Planis angulis generentur, et plana termina ela sint polygona regularia , et aequalia eiusdem speciei, erunt polyedra ipsa regularia. 54 I. THEOREm A. Quinque tantum possunt
haberi polyedra regulariae tria nimirum terminata triangulis aequalateris, νnum quadratis, Puum pentaςonis.
DE&oNSTR. I Cum quiuis trianguli aequblateri angulus Contineat Go' 37o , tres simul continent I 8o', quatuor a 4o' , quinque goo' rex his ergo generari potest angulus solidus, non item e pluribus, qui jam ad 36o'. et Vl- tra assurgunt 539)r quare tria tantum Polyedra possunt terminari triangulis aequilateris, ub
322쪽
mirum tetraedrum , octaedrum , et icolaedrum, seu viginti angulorum. α) Angulus quadrati rectus est, ac proinde nonnisi tres id genus anguli possunt constar unuin solidum scit. : hinc unicum polyedrum potest terminari quadratis nempe hexaedrum,
seu cubus. fa) Quivis pentagoni regularis angulus Conintinet Io 8': ergo tres tantum eiusmodi anguli possunt constituere solidum scit.): quare uni- eum duntaxat polyedrum potest haberi penta gonis regularibus terminatum, scilicet dodecaedrum, seu Ia angulorum.
Reliquorum polygonorum regularium vel tres anguli quot tamen requiruntur ad efformandum solidum tam a gunt ad 36o', vel ultra; quare ex iis nequit generari angulus so- Edus, adeoque nequit dari polyedrum aliis p lygonis regularibus terminatum r ergo tantum quinque memorata possunt haberi. 54 a. Si polygonum quotcunque ABC C - Fig. 91.cipiatur moueri motu Continuo , et paralleloiuxta rectam quampiam Aa, donee perueniat ad situm abe, generabitur solidum , quod prima adpellatur. Recta Μm basium Centra connEctens axis primatis dicitur, estque aequalis . et parallel lateribus Aa, Bb. Ce ex ipsa pridiatis genesi. Recta quaevis eC ex una basii ad alteram perpendicularis prismatis altitudo est.
543. COROLL. I. Prima ergo rectum est,
si linea directrix Aa ad polygonum generans perpendicularis fuerit; secus obliquum erit.
323쪽
s 44. COROLL. s. In motu polygoni gene. rantis quodvis latus AB, AC, BC describit parallelogrammum Ab, Bc, Ac a) , ea Uero parallelogramma simul constituunt prismatis superficiem demtis basibus, eandemque habent altitudinem. 545. COROLL. 3. Singula plani generantis vestigia, seu pridiatis elementa sunt polygona similia, et aequalia. 546. COROLL. 4. Altitudo prismatis recti
est ipse axis. Altitudo porro generatim ex primit numerum elementorum parallelorum so-Ιidum constituentium; est enim altitudo distantia basium oppositarum, inter quas utique nequeunt plura comprehendi elementa . quam sint puncta in recta distantiam earundem metiente. 547. COROLL. 5. Si in polygono generante numerus Iaterum infinite crescat, ac magnitudo infinite decrescat, polygonum abit in Cir- Culum, et prisma in cylindrum . qui proinde est prisma rotundum , seu infinitorum laterum infinite paruorum. Quae ergo hactenus de pri. Lmate dicta sunt, etiam in Cylindrum Valent. 548. COROLL. 6. Gignitur adeo cylindermotu parallelo circuli genitoris . cuius peripheria generat conuexam eiuSdem superficiem. ScHOLION. Hismatum diuersa sunt genera Pro numero laterum polygoni generantis: alia
nempe dicuntur triangularia, alia quadrangularis , alia pentacona, etc. Quodsi basis sit parat. telogrammum, prima nuncupatur parallelepipcdum sin autem quadratum fuerit, et axis Prismatis
324쪽
GEOMETRIA R. 3 a Ismatis recti eiusdem quadrati lateri aequalis.
549. THBOREM A. Superseies euiusuisprimatis sesulis basibus es factum ex perimetro baseos, seu polygoni generantis in altitudinem. DEA Ossae R. Prismatis enim superficies coa- Iescit e tot aeque altis parallelogrammis, quot sunt baseos , seu polygoni generantis latera 544 ; ea vero parallelogramma sunt facta ex basibus . seu ex Perimetro polygoni generantis in communem altitudinem c 493). iv 55 . COROLL. 1. Cum ergo Cylinder sit prisma infinitorum, ac infinite paruorum laterum 547 . eius quoque superficies est factum ex periphctria baseos in altitudinem. 55 I. COROLL. 2 Ρacet adeo methodus da. ti prismatis. vel Cylindri superficiem metiendi. 55 a. COROLL. 3. Quod si altitudo cylindriaequetur diametro baseos, eius Convexa s. perficies erit quadrupla baseos. Si enim dia meter baseos sit d. peripheria - ρ. erit Cou-
553. THRO RENA. Soliditas cuiusuis prisma iii aequatur Iacto ex basi, seu polygono generaate in altitudinem. DEHONsTR. Prisma enim eoalescit e tot pruinonis basi aequalibus. quot sunt puncta alti. tudinis cs 5. 546 : unde soliditas eius gigniatur, dum basis generaus toties ponitur, quot habet altitudo puucta . seu quum basis in alti
325쪽
554. COROLL. 1. Cum Cylinder sit e gener prismatum 547 . etiam cylindri cuiusuis soliditas aequatur facto ex basi genitrice in alib
555. COROLL. 2. Patet ergo modus primatis, aut cylindri soliditatem inuestigandi. 556. COROLL. 3. Prismata vel cylindri eanis dem basim, et altitudinem habentia aequalia sunt.
557. Si polygonum quodcunque ABC iuxta
rectam quampiam AD motu continuo, et paraIleri ferri concipiatur. ita ut post singulos progressus momentaneos quodvis eius latus decrescat parte mi infinitesima, ac in apice D euadat inmnite paruum , seu abeat in punctum, nascetur solidum. quod adpellatur oramis, cuius basis est illud ipsum polygonum generans, νertex Punctum supremum D, altitudo recta e vertice ad hasim perpendicularis, axis, recta DN centrum haseos cum Vertice coniungens. Quod si motus Inoni sisti concipiatur, priusquam latera in punctum abeant, pyramis erit truncata basibus iupra, et infra parallelis. 558. COROLL. 1. Quando polygonum hune in modum mouetur, singula eiusdem latera AB.M. BC generant totidem triangula MD, ACU. BCD aequo alta . quae simul sumta pyramidis superficiem constituunt demta basi.
mero. ac diminuta quantitate laterum . polygo' num generans abeat in circulum, pyramis abibit in eonum, qui Proinde est Pyramis rotunda, seu instatiorum laterum.
326쪽
56O. COROLL. 3. Pyramis, aut Conus rectus vel obliquus est, prout linea directrix, iuxta quam basis moueri concipitur. fuerit ad planum baseos perpendicularis, Vel obliqua. 56 I. COROLL. 4. Conus Praeterea truncatus gignitur, si trapezium habens latera opposita inaequalia, et ad unum latus perpendicularia cima illud latus conuerti concipiatur. 56a. THEORRMA. Superseres pyramidis resae demta bas, aequatur fuso exsemiperametro baseos in re elam e veriace ad quo is basebs latus perpe
DEMONsTR. Constat enim ea stiperficies toti. dem triangulis aeque altis , quot in basi generante sunt latera 55 8 , haec autem omnia triangula aequantur sacto ex semiperimetro baseos P ramidis in Communem eorundem altitudinem
563. COROLL. I. Quoniam conus est pyramis infinitorum laterum, in quo perpendiculum avertice ad quodvis latus baseos demissum est ipsum latus coni 5 5 se , stiperficies coni recti demta basi aequatur facto ex semiperipheria baseos in
latus Coni. :564. COROLL. s. Perspicua ergo est ratio pyramidis . vel coni recti superficiem metiendi. ScΗOLION. Si pyramis recta non fuerit, singula triangula sta perficiem eius constituentia seorsim erunt metienda. et in Unam summam addenda. Coni obliqui stiperficies ad calculum vocari hactenus non Potuit. 565. THEOREMA. Superseies rani rosi ol ad aream basos, vi latus coni ad ravium baseos.
327쪽
DEHOssTR. Sit enim latus coni in I. peripheria baseos - ρ, radius se r, erit superficies coni ad aream baseos Vt λψ: 1 p --:r - ἰα
566. THEORBm A. Aperseies coni recti aequatur circula, cuius ratus est medius proportιonatis- inter latias coni, et radium baseos.
DEΜoNsTR. Sit enim superficies coni s. area dicti circuli - a, radius eiuldem - m, Peripheria - n, latus coni I. radius baseos mar, peripheria - ρ, erit de a - - : -fmnum rmur est vero ex hypothesi I: m am me r- ne p 44a : ergo * - ma sos), et hinc s - a. 567. THBOREM A. Superscies pyramidis reflae truncarae bases parallelas habentis seclum basibus aequatur facto ex semifumma perimetrorum basium in perpendiculum inter duo bωium latera opposita in
DEAEONsTR. Nam ea superficies eoalescit e tot trapeziis bases parallelas. et eandem altitudinem habentibus, quot sunt basium pyramidis latera; atqui area omnium horum trapeziorum aequatur laeto ex semisumma laterum parallelorum , seu perimetrorum basium in communem altitudinem. siue in perpendiculum inter duo quaevis basium latera interceptum 495 . 568. COROLL. 1. Cum ergo Conus truneatus ad pyramidem truncatam reseratur, Coni truncati recti superficies demtis basibus aequatur semisummae peripheriarum basium ductae 'in latus coni eiusdem. 569. COROLL. a. Quoniam semisumma perimetrorum basium oppositarum aequatur Perim
328쪽
tro, quae sit media arithmetice proportionaris inter perimetros basiun aor . superficies id genus pyramidis, vel coni aequatur facto e perpendiculo inter duo quaevis basium oppositarum latera intercepto. aut e latere coni truncati in perimetrum, quae sit media arithmetice proportionalis inter periminos basium. 57O. THEOREMA. Soliditas eviusvis pyramidis es tertia pars fani ex basi in altitudinem. DEMONSTR. Quaevis enim pyramis constat infinitis polygonis similibus. quorum latera inchoando a vertice continenter Vna parte infinitEsima Crescunt. ac proinde numerorum naturalium pringressionem constituunt sfr); ipsia autem illa polygona, cum sint ut quadrata laterum homologorum cs Io), constituunt seriem quadratorum num rorum naturalium: hine eorum summa, seu Prramidis soliditas rite exhibetur per summam seriei dictorum quadratorum; est vero ea summa aequalis tertiae parti facti ex quadrato ultimo in numerum terminorum sa67 r quare cum in serie hae polygonorum terminus ultimus sit ipsa basis, numerus Polygonorum ipsa altitudo 546 , soliditas pyramidis cuiusuis est tertia pars facti ex ha- si in altitudinem. 57I. COROLL. I. Cum ergo Conus sit pyramis infinitorum laterum, eius quoque soliditas est tertia pars facti ex basi in altitudinem. 572. COROLL. a. unda pyramis est tertia pars prismatis; conus cylindri eandem basim, et altitudinem habentis 553, 554 - 57 3. COROLL. 3. In promtu ergo est modus soliditatem datae pyramidis , vel coni inueniendi.
329쪽
Quodsi pyramis. aut conus truncatus sit, tollenda est ex integri soliditate partis resectae soliditas
et restabit soliditas trunci. 574. COROLL. 4. Pyramides, aut Coni aequa. 1em habentes basim et altitudinem aequales sunt.
Fig. 94, 575. Duplex potest esse globi genesis. x Si
semicirculus Alm spectetur tanquam dimidium polygonum infinitorum laterum Am, m b. b e et .ae e singulis angulis m. b. e et . demittantur ad diametrum perpendiculares mA , m , eN etet area semicirculi abibit in infinita traperia mb . beNN etc. quae in ea reuolutione gignent totidem Conos truncatos 56IJ. quorum axes erunt poditiones diametri AN, NN. ΝΟ etc. quique itidem tanquam totidem elemEnta generabunt solidum. quod sphaera. seu globus nominatur, cuius axis est diameter AG. a) Si intra genitorem semicirculum ABDoconcipiantur tot duci semiperipheriae concentricae, quot lant puncta in radio AO. facta reuolutione haε semiperipheriae gignent totidem superficies sphaericas, leu Crustas infinite tenues. e quibus tota sphaeras soliditas coalescet . et quarum radii a centro inchoando erunt in progressione numerorum naturalium.
576. THEOREMA. Si sphaera plano quopiam utcunque Ireetur, planum semonrs semper erit esse
9s, Damousen. Si enim sectio transeat par centrum C. patet rectas CA. . CD, CE sere radios sphaerae . atque adeo inter se aequales: quare sectio per puncta A, B, D, E transiens' erit circulus. Ei uero sectio abde per centrum
330쪽
Non transeat. erigatur ad eius planum e centro sphaerae perpendicularis C e. occurrens eidem in c. et ducantur e centro C ad peripheriam sectionis rectae quotcunque Ca . Cb, Cd, Ce etc. aceX puncto e rectae ea, eb, cd, ce etc. erit re cta Ce ad has postremas omnes perpendicularis 517 . Iam in triangulis rectangulis C e a, C e b. Ce d. Ce e est aCyam ae*--eCy, ἷCy - b e --eC 'ru' - de -- cC eCy - ee -- c Cy 433 ς
eiuSdem sphaerae et ergo etiam aCy - wῖ - dC - eC'. et hinC etiam ae -- cC- - be -eC - δε- - - eC - eC' -- cCy . seu tollendo ab aequalibus idem eC'. erit a e* - be' dira de- ee'. et hinc ae-b e: - dc ed, ergo puncta a. h .d. e aequaliter distant a puncto e , ac proinde planum sectionis abde est Circulus. 577. COROLL. Facita adparet circulum spham rae maximum esse, cuius planum per centrum sphaerae transit: ceteros eo minores, quo magis recedunt ab eodem; decrescunt enim eorum diametri. quae sunt Chordae circuli maximi aa o). 578. THEOREMA. Superscies curusiars sphaerae aequatur facto ex peripherra eirculi maxima in dia.
DEMONsTR. Sphaerae superficies coalescit e perficiebus infinitorum Conorum truncatorum, quorum omnium axes simul aequales sunt diam
tro sphaerae 57s . Sit ergo unus eiusmodi Cinnus BDdb in Fig. 96. lit ΜΝ radius sectionis, cuius peripheria sit media arithmetice proportionalis inter peripherias basium Coni; erit superfi