M. Meibomii ... De proportionibus dialogus. ..

241쪽

ME IBO MI DIALOGUS citior superat ramonem', rationen in ratio: Misit rationem , rationes: HaecEuthymi doctrina,vides monstrationibus, dc exemplis supra est confirmata PFalsa igitur est haec in orti destinuo secunda quod aut

nune quantitates, hoc est, denominatores,in mum ii, tura reperiantur,quae rationem inter datas rationes exprimant aut non hujusmodi,cujusmodi censet G orius.

dus assignari pote'componendi rationes, qvi uterque usitatur in in Geometricis. Primus,quo sima trium,exempligraitia, palm--m duitur composita ex iri palmis sci--ινιο quadratum, quod aream novem palmorum compsectitur,pem

hibetur compostam ex multiplicatione longitudois trium pasm--istres Emos latitudinis atque hi duo modi ita inter se disserimi,quemadmodum discrepantisterse additio sinu ti catis uterqueborum modorum etiam ratiombus com Namsiptas tres rarismo in messium adducat duplam ἡ--m, triplam, quadruplum aliam requirarqua histribu aqualis existat, ortam exsolaciaditione inter se datarum ration ιm illis ti ero trium harum, tionum demmium fores in jam summam addantur quo acto ratis rancupla emerget. uodsi autem rationem reqιιtra resultantem ex multiplicatione harum rationum, inveniet longe diversam ab ea qua peradditionem producitur denominator enim prima rationιι harum trium qui en duo, ductus in denominatorem secunda cilicet tria,producet sextuplam rationem Loviud nuo denominatorse ductivi dein amorem quatuor mi.

harum trium, exhibebit rationem vigesis quadruplam qualo ge alia Hiab ea quater solam adau ramdem trita,

242쪽

uerbis rubi auctor a P r, rem quantitates rationum imurse debere musti ri, erram em ex hac mi isipiscationere ntem ομαι - μ- ex rationibu tu,scilicet, eundum quas multi Dario facta est. Pag. 873 Significaum autem haso uti loquendi, ut ex ess nomini imanifestumen, ratisines has,scilicet novem adtri duodecim adp-- , iri is ad iacem, rimis a umrum, perse mutuo misi Dcari non autem ad se invicem addi, ut nera a virgatio seu na usicata igiturratio non in ratios pociter re pia,sed musti cata per triplam , s ratio triplicata significar

lege ter facta atque ita deinceps. Haec ita centuit Emthymius. Primum, dum dicis, duos rationes componendi modos adsignari posses quoi una alterum deinde additionem vocat alterum, multiplicationem quid vocabulum compositio significet ignoravit Antiquis

autem omnibus compositio, σωουσις, id signifiCat, quod junioribus Lasinis additio συνἶειν , componere illius idem,

uod nunc vulgo addere . Nec hic disputabo, quantolia mihi concinnius vocabulum videatur id solum

dicam, antiquorum nullum dixisse, quadratum, aut rectangulum,compositum esse ex duobus lateribus nam verbum constituere, συς σαωθ' , usurpassent quemadmodum Euclides ex tribus re stis lineis triangulum commissi,non autem componi, dicit. Una igitui est rationis

compositio,quam ludefinitio iactitistiadis

243쪽

citio Psuperet rationenia, ratione j dc ratior perremonem . ratione: MEuthymi doctrina, ditis

monstrationibus,4 exemplis, supra est confirmata . Falsa igitur est haec Gregorii definitio secunda; quodaut nullae quantitates, hoc est,denomimitore initi uestura maeriantur,quὰrationia intes Arusratibnes mant , aut non hujusmodi,cujusmodi censet Gregorius. Pagina Da salsa sunt sequentiata suom vis m dus assignari potvi commmeia rationes, p. iurequeusa remm Geometricis. Prιmin, quo linea trium, exempligratia, primori dicitur compo ex tribuspalimis. Seci uoquo quadratum,quod aream novem --- ο ὐmetui per hibetur compossum ex multiplicatione longitudinis trium morum intres pia os latitud nis atque hi duo modi ita inter

se disserunt,4 'emadmodum ascrepani interse additis nisi steatis. Asterque horum modorum etiam rationibus com it. Namsi quis tres rationes in medium adducari, dupla mnimirumirisam S quia viam, Mamre' 'iratqu/his MLiu quasi existat, ortam exsola adHtione intres datarum ration ιm Absatisfietis trium harum rationum denomini. tores in sinam summam adiumetur quo pacto ratis nonopia emerget uia si autem rationem requirat resutantem ex multiplicatione harum rationum, inveniet longe diversam ab ea qua per adiutionem producitur denominator enim prima rationis harum trium qui en duo, ductivis denominatrarem

pecunia,scilicet tria, producet sextuplam ratione G c uid utio denominatorsex,ductus m denominatorem quatuo tertia

harum uiam, exhibebit rationem Sigesies quadrup- qua longe alia en ab ea quale suum additionem earundem trita,

244쪽

verbis quibus auctor utitur, asserens quantitates rationum ιn

terser debere musti tori, σν--- ex hac mustipiscatione summinis a pedis ι - fit nobis omisin iis,scilicet se cundum quas multiplicatio facta en Pag. 873 Significam aruum ha formula loquenae, ut ex i s nominib- manifestum εα--οή ι, stillae novem ad tri duodecim adpuatuor, 3rdinia ad decem , intrium ad unum, perse mutuo multip&cam; mn autem adse invicem addi, ut mera fiat aggregatis rati-- --cata igiturratio non es ratios piaueriri pia sed nuusti cata per triplam, alio tripodata significas

rationem qM nascitur ex denominatorum mustiplicatione bis

lege ter facta atque ita deinceps. Lec ita censuit Emthymius. Primum, dum dicit, duos rationes componendi modos adsignari posses quorum alterum deinde additionem vocat alterum, multiplicationem quid vocabulum compositio significet ignoravit Antiquis

autem Omnibus compositio, τυ Θεσις, id signi Cati quod junioribus Latinis additio. συνἶΘενα , componere illis idem,

uod nunc vulgo addere . Nec hic di putabo, quanto

lud mihi concinnius vocabulum videatur : id solum dicam,antiquorum nullum dixisse,quadratum, aut rectare ulum,compositum esse ex duobus lateribus nam Verbum constituere συις σαδ α , usurpassent quemad- inodum Euclides ex tribus re stis lineis triangulum constitui,non autem componi, dicit. Una igitui est rationis

Veia compositis,quam illidefinitionen litisi

245쪽

Huic autem juniores, quod rerum naturam in Canoniscis nunquam considerassent, adeoque, quis ratio iis , ignorarem, monstrosam cicontra naturaedmeta tam, rationis compositionem djunxerunt. Nulli in enim in natuta, aut Geometricis, sundamentum velusum illa rationis compositio habet,qua ratio mi upla ex dupla, tripla quadrupla composita dicitur, quod

non rationes illae conjungantur, sed illarum termini a recedentes. Caeterum quam ob causam in Euclidea,

tionum compositione multiplicatio adhibeatur, exiis, quae supra multis disserui, liquere potest. Illud quoque ex iis planum est, ex quatuor Arithmeticis operationibus duas tantum in rationum doeti in adhiberi posse additionem nimirum dc subtractionem. Multiplicatio enim S divisi, quas serme ut compendiariam additi nemvis inustionem absolutorum numerorum scis tu contemseaturi naturae invidia, non parvo nostro incommodo, in rationum doctrina ignorantur. Itaque ratio per rationem multiplicari nequit , multo minus per numerum,aut magnitudinem multiplicabitur. N que enim, si ratio quae dia pason intervallum in Canonicis essicit, per numerum imultiplicetur, inde prindit in dis pasen intervallum, .sed intervallum bis diapasona diapente, in rationes spectatum Denique dc hoc de rationum compositione adnotabimus, do ruti ita nostra deductum ue positis quotcunque magnitudinibus, aut numeris, ut rationem primi ad ultimum, S ad 6, compositam esse ex ratrinibus m G

246쪽

DE PROPORTIONIBUS. υχnumerus 3 componitur ex numeris Φ si Sed eadem quoque rati, ad 6 ex innumeris aliis interm diis rationibus composita esse potest sicut ex innum ris aliis numeri ex sivis&desectivis conjunctim sumtis, numerus 3 Constituetur. Unde Clavi algumentis quae IN libri adpendice exposuit, facile respondetur. His autembreviter ita repetis falsa est ii

Propositio I tuaru-- ratio mwm μέ mimitores exhibere AEque enim possibile censet Emthymius, supra demonstravit, quarumvis , adeoque diveris progressionis, rationum denominatores oni. bere, quae secundum Gregorii definitionem secundam ostendant, quam rationem habeat ratio ad rationem atque ficile est numeris explicare, quam rationem ii beat quadrati diameter ad suum latus. In hujus autem propositionis demonstratione inconsiderate posuit haec verba ita et irin re exhiberinsint, q-ομ--α

quantos proportis majorsit vel nor quam asterac quae, contra ipsius mentem,quam ad definitionem secundam,

pag. 868. v. V. in omnium propositionum verbis en pressit, de disserentiali ratione loquuntur, quam nulla haesitatione ubique exhibemus. Cum enim dicit, a tionem, esse ad rationem i ut inlineas ad lineam seu,rationemn esse ad rationem , ut ad 3s hoc significat, rationem rhujusmodi duas rationes continere, cinjusmodi unam ratio . non autem vult, rationem ' superare rationem Graiione numeri a d 3,hoc, dupla. Similiter,cum rationem ad rationem esse dicit ut 9 ad h

247쪽

υδ MEI BOMI DIALOGus rationenia hujusmodi tres aequare rationes, cujusmodi

duas aequat ration non autem intelliget, rationem superare rationein , ratione . de quo nullus unquam dubitavit. Ve igitur sunt omnesillius propositiones, quibus rationum proportionem demonstrare conatur, de disterentiali ratione, qua una superat alteram quod proposito ipsius adversatur. propositio Thia ratames habentesm----nm

quem, ea re tur rationem qua inter antecedotes term

nos reperitur. Ut ration ad rationem ita prioris rationis antecedensa, ad posterioris rationis antecede tem falsa est sed de differentiali ratione, vera Exhacautem propositione quodadmodum absurdum eli, etiam quaevis ratio ad rationem nihili , habebit rationem, quam antecedens ad antecedentem Q in .. Quod idem ess ac si numerum rationem habere dic rem ad nihilum, seu siphram; o. Superat autem ratio rationem latione , quemadmodum numerus 3 superat nullum ipso Propositio lil falsa. Utt: ad ζ: ita: adu: vera

autena de differentiali ratione qua latio superatis tionem h& ratio rationem

Propositio IV falli est, quod hujusmodi rationum

proportio in rerum natura nobis ignoretur . . . . . n.

248쪽

V Elementorii convenientianti habet vera essetis, sonum illa proportio in natura fundamentum haberet

Propositio XI, Bisa. I: t de differentiali

autem ratione, vera quippe rationem superat ratior

ratione';.qua etiam rationem superat ratio

denominatores, leu quantitates, rationum' a. Superat

autem rationem e ration, ratione . Propc sui XIV, falsa. pl. Rationum denominatores sunt εἰ buperat autem rario brationemr, ratione: Piopositio XV alis. ζ : .:: ' Propositio XVI, falli. Ex nova autem Euthymi doctrina alio defeetiva ima jor est ratione desediivan uti igitur ratio excesilva sua perat rationem nihili: sui quantitate, nempe ratione j ita ratio desectiva ,eademratione superat rationem

Propositio XVII alis. ζ:. ,: V Propositio XVIL Llsa Neque enim rati,4 ad rationem : est in dupla ratione ipsius ad , id est, ut

Vad sed superat ratio rationem: ratione.

Superat ratio . rationem , seu oratione Propositio XX est vera i quinhvemEues

249쪽

Propositio XXIL est, cum excessiva ratio comparatur cum desectiva utcum ratio excesilva e major dicitur, ex Euclidis elementis, quam ratio desectiva I ruamvis nevera haec in genere desectivo major sit quam lain exceLivo. Propositio li . falsa. Disserum hae Iaue rationes ratione ζ .

ut , II ... M l maestae rationes sunt G: quae e deri rati me: inter se differunt, qua rationes: Propositio XXV, falsi. Ea ratione inter se distanc Belle autem I S VII ' hic coniunguntur. Similiter sequentes septem propositiones silia sunt dedde disserentialiratione vera Exempla tamenadscribam.

Propositio XXVI, salis. a.' '. Propositio XXVII, sita Propositio XXVIII, falsa. I:: Propositio XXIX, sita

Propositio XXX, sata. t oi. H

Propositio XXXIII,silia est, quod ratio rationis odo initionem , diiunatura noretur. Italoquidebuisset eratio differentialis , qua ratio P superat rationem composita est rationen: ,&rationes, Ratio autem composita in potest ex aliis rationibus , in insevium

250쪽

pa OpORTIONIBUS orvari Sinnumeris , quemadmodum quivis simplex

numerus ex infinitis diversis partibus. Propositio XXXlUeade est,&falsa: non ob rationis coli politionem,qrim hac,utct praecedentrivera est; sed Propositio XXX Ufalsa est, quiculta: uni rationum denomina res,quo ille putat modo, duabus lineis en

biberi nequeunt i . . ,

Propositio XXXVIaalsa differunt au

LXI. LXII. LXIII. LXIV. LXV. vI. LXVII. LXVIII. LXIX. LXX LX

Lxxii. quarum exempla non disticulter quivis adponec

vis Si vel rationum illa ratio in natura fundamentum

haberet alsium ellet ex Eut nati doctrina,quod ratio radiationem I , majorem trabeat rationem isim ratio sic ad rationem , . malore en in ratione inter se distant rationes quina rationes et Italia quique est propositio LXXIV. Rationum multiplicationem, divisionem, uirum natura a nobis ignorari, supra est ostensum. Nquent autem proposition de rationum cunne, additione quaestitimilia; hi sese mulli sunt intelligendae inare propositio LXXV his verbis, isBME. Diri . at es ;)ζι- ρε-- rarium t Sintiliter sequentes sunt reformandata '