M. Meibomii ... De proportionibus dialogus. ..

211쪽

tur , pravam hanc Vocabuli πηλι-m1 interpretatio neu invenit , quem secuta sunt Heronas, commen,

o in illius Arithmeticam Introductionem 4 -- ocius commentario in quartam propositionem secundi libri Archimedis de Sphaera cylindro ; sed peL

imum ejus usum primus Theo monstravit, falsum in de dogma Lbricando, nempe rationem duplicari, do

quovis ii umero multiplicari posse, duplicata, aut quo vis numero multiplicata hac rationis quantitate seu dem nominatore, qui est ejusdem rationis antecedens termianus ad unitatem relatus. Cum enim pag. 2F n Onstrare vellet, rationem sextuplam componi, seuadd , ex dis

jact tripla contras Aruplam ex duplicata tripla pro diisse dicies addita generali causa, quod, si triplum alicujus duplicaverimus, exuigat ipsius sextuplum. rum quidem est, ternarium, rationis triplae anteceden . tem, clusicarum fieri senarium , sed salsam, illud quod triplum iliculus est, duplicatum fieri sextuplum est, triphim rationem duplicatam feri sextuplani Deduplicata autem tripla rasone, Sion de antecetinis

termino, nempe de ternario duplicato, istiesIe accipiemda, docent verba relationem significantia, duplum, trisplum, sextuplum isti tota demonstratio quaede ionibus instituitur. Sic deinde ex triplicata dimidia ratione,idest, subdupla, fieri dicit sesquialteram. Quia fiatis illa ratibnisde seu quantita ipsi est minutia es hae tiplicata exurgit rationis selquialtem quantitas, i . adeoque subdulua ratio tersu

212쪽

DE PROPORTIONIBUS Amulum quoque vocavit Theo Smyrnaeus M , - Hanc de rationum quantitatibus, seu denominatoribus , multiplicandisi hi dona ni secuti sunt Cardanus duinhias,olummu leonu disputatione des roportio primorti πφ in toties laudat ut exinthia iu

nolira usque tempora. mi utemuga, in moriri

213쪽

Paulo post : Proportionem autem aliquam tum demum σε alteriis dispiam, vel tripiam, oeci cum s ude maloria denominator uduplurea vestr- ,σα ita in ' protio seculas duci quintupia, oesextupla si tripla dupia, σα ostendemus adflnem libridae tractatumque est hoc a P minium cupisse a Roduίμο φῶ-ο in Distinatisne de proportione proportionum. Ninefatissit, hoc ipsum commmm hominum dici exsensibilibuirebus confirmare . Si igitur agens a uoda patiens proportionem habeat, me irraria, decuplam, ita su agenssa decem, spatiensumvim quis tam mente captu erat, pu non satim intest gat,sidem agensarum tum, ista viginti,pariens autem maneat um- , agensium ἀφώ majorem hasere potentiam respectu eis em patiemtis, quam prius 8 Ouare proportio vigempti, cujus denomia toro, d ιμ- est denominatoris X, dupla est omnisvis decupla , mm autem proportis centupla, ut auctores contraria sententia 26bmi sed tamen hac proportio centupia dicetur duplicata proportioni decupla , propter mustiplicationem dem-n,inato arist,re propter ἀμι proporti me decuplas. 'ainter numeros centupiam proportionem habentes interjiciun-ust, uihic apparet, Ioo M. L Sc etiamsi contrario, ensas

quod adlatio hiareat preponti, em, versurraria, si, eo plam, ita ut agenssit Loepatiens quis tam hebes fuerit, ac ruda non inusi P agens,quias II, duplo esse potentiuWrestem in serim patiemis quam gens Iri Uergoa πιII ad patiet hase, proportisnem subquintupiam, α ιν

denominator , vel consatur ex denominatore usumto,

214쪽

DE PROPORTIONIBUS: ιέν-- - Liram inis r sit quam rim . et ismi

agensui in duci proportio , in ues quam age is ut E ad hi Mem per torum est, nomanti in ignorasse iblos auctores,quid iurationuni compositio 'eddc,quid

duas rationes, quae ex quatuor magnitudinibus,sali a

215쪽

, ME IBO MI DIALOGus medii quantita econjunctae, extremisdua sinagnitu

dinibus continentur quemadmodum duae lineae, quae quatuor terminos habent, compositae dicuntur, cum mnius inserior terminus fictus est alterius terminus sup rior atque ita duae lineae in unam, duabus datis aequa lem,coaluere. Uti autem eandem lineam&allicuicumque lineae, Ssibi ipsi,possum adjungeret sic quoque rationem,&alii cuicunque rationi,&sibi ipsi, quoties, lim, adponere possum. Porro uti, existentibus tribus lineis inter se aequalibus,composita ex duabuslinea res quae dupla est; sic expositis tribin rationibus aeque m gnis composita ex duabus ratio reliquae dupla existit.

Duplum enim communisententia onmeshomines ludi'

cantiquod bis habet simplum triplum,quod tria simpla aequat, centuplum, quod centum Generalem autem quascunque rationes componendi methodum ex quinta definitione libri sexti addiscimus at rationeni sibi adpositam, adeoque duplicatam, cognoscimus,cul Idatis duabus illius rationis magnitudulibus tertia pr portionalis est inventa4 triplicatam , cum tribus datis proportionalibus quarta proportionalis est adjuneta; sic deinceps. Cum enim, inquit quinti libri definitione decima, ἡ τ tud me proporti Missis et mna adtertiam duim habere ratismem duplam ejusquam hasei ad Acundam. At cum quatuor magnitudinesproportionalisμπι, prima adquai tam dis,minhalere ratismemtripla ejusquam

habe adseraridam videli consequitur, primam ad quartam dici habere sesquialteram rationem ejus quam habet ad tertiam. , cum quinque magnitudines prin

216쪽

portionales sunt, primam ad quintam, supertertiam rationem habere ejus quam habet ad quartam. Porro iis ex magnitudines proportionales fuerint, prima adsentam superquartam habet rationem ejus quam habet ad quintam prima autem ad sextam habet rationem si perbitertiam ejus quam habet ad quartam Gna, est ut A rursus prima ad sextam habet rationem duplisu. Ierdimidiam sus quam habet ad tertiam Scholiastes jus definitionis,quem pag. 3o produxi, se eloqui,

tur initio. His enim verbi. Non dicit, Aas rationes unius esse si M, quod etiam verum nota potest fignificare certe non debet , duas rationes Arithimetice addi ias, unius est e duplas ut si rationes 3 radditae, dicantur facere rationem , quae rationis Tit dupla sed hoc voluisse debet, duas rationesinaequales, ut &:, aut . ,

aut hujusmodi duas alias, conjunctim duplas esse posse

unius rationis, nempe ipsius; quaeiplirum est dimidia. Caeterum perinde et iiVeprima proportitam magnitindo major sit, sive minor: quamvis,si de rationum quan

titate,qua alia luperat aliam, quaeratur, octavae quinti sal

sitatem ex Euthymii doctrina evitare debeamus. Qua re ex veterum sententia,utratio quadrupla est duplae, sonis duples hoc est, ratio ad rationem : est ut etali:

sic ratio subquadrupla subduplae est subdupla id est, ratior ad rationemn est ut i ad a. Similiter subcentupla ratio sabdecuplae rationis est subdupla , seu, ut i ad a. sic ad . . in in re admodum se torierunt Euclidis

commentatores Commandinus enim ad definiti nem decimam i quamin binas secans decimam dc md

217쪽

dum, ne es ades quia scilicet in Euclidis verbis,

ἄπλασί- λογον, vertit, dupiam ratinem, ipsa vocabuli perspicuasignificationeadactus mon autem, quod Cl vin W-bat,duplicatam. Probe autem vertit Cominandimus; sed&optimeEuclidis eterumque omnium sitirentiam explicavit, ii, quana ClaVius reprehendit, vere est amplexus quoniam vero plura hac de re non scripsit, potuit idem sensisse, quamvis non iisdem verbis, quod Clavius nemperationem duplam dici rationis , non autem revera eines sicuti parallelograminum, vingulum, a duabus rectis lineis, quae rectumangulumeomprehendunt, contineri dicitur, quamvis revera non

a solis duabus illis,sed insuper abaliis duabus queis gnis, adeoque a quatuor rectis, contineatur. Tantae porro auetoritatis suit haec Clavit opinio, qui λογον δε-

, --, τροπλοιο πια, non, ut verba proprie ruere ,

218쪽

eum Francisco Flussate Candalla, qui Campani versionem ex Arabico idiomate factam, hiC secutus est vem tenda censuit, ut, qui Londini, anno clati CXX, Euaclidis Elementa Graece dc Latine, elegantibus typis&4iguris, S utCunque emendate, adeoque Cum laude, edenda curavit, ubique pro dupti, tripia reponendum cur risi duplicata, triplicata quam deinde loquendi sermu lam omnes Mathematici usurparunt O stupendam GraeCae linguae ignorantiam, atque erroris foeditatem, qua non vulgus MathematiCorium,sed duces atque principes inclaruerunt i Deinde Commandinus a Clavio ob ista verba reprehenditur, quod, dum in excessivis rationibus duplam, triplam admittit, in defeetivis contra statuendum censet , eo quod ex octava quinti prima ad secundam, majorem rationem habet quam ad tertiam. Clavius enim illam definitionem aeque in desectivis rhitionibus veram censet atque in excesivis. Sed magno mentis errore uterque fascinatus in re haud difficili enplicanda coecutiit. Quippe, uti ante dictum est, ratio rationis non est tripla, sed subtripli seu, ratio ' ad

rationem 'est ex Euclidis sententia, quam octava quinti tradidit, ut adῖ, non autem, quod Command mus&Clavius putarunt, ut 3 ad i. Quare, secundum Euclidis doctrinam, prima ad secundana, adri, majorem rati

nem habet quam ad quartam. ad 27 ratio S ad et subtripla est rationi. ad iret at sequendo Euthymii do ctrinam, ratio tripla dicitur rationis ', sed hoc addito, quod ratio sit desectiva. Clavius igitur omnibus locis ad quinti definitionem decimam ad sexti quintam;

219쪽

duplicatam vocat rationis a , corrigendus est, ut proverbis, in plicata, ira ri xx , -- inseri , Carteriam in 'ini planini in, monum inter se esse

rationem, quam propterea Θων λογον Graeci adpella, runt rac quidem speciebus, multiplis aeta pe superpa ticularibu , dccaeimas , aeque 'ariana,atque siti igniti, dinum,dcabselutorum numerorum. Hanc autem itationum ejusdemsteriri, a fundana ratione sciindum natui sesnumerosprogredientis , sec-dum, tionem certa pudam imur ipsarriatis. Duaraim ratio mako,quod ,ut ratio estduarum magpitudinum, secundum magnitudinem, inter se relatio, sic rationum ratio sit duaruna rationum inter se relatio secundum rationem.

ἀem seriti a findana ratione progredientis quae verba oppido sunt notanda. Cuin enirn ratio aliqua alterius dupla,mplassesquialtera,dicitur , ratio sundana&simpla, sepundum naturalem numerorum seriem excrevistiti lioc est, continua sui adpositione major facta, intelligitur. ut epinya, si unitati cuicunque unitatem addam, fati huius rursus si binario eat idem unitatem adponam, fit ternarius,&sic deinceps ita si quamcunque rationen sibi ipsi adponaret,inde fit ratio, prioris, nempelim

220쪽

I, PROPORTIONIBUS. inst fundanam addana, inde si W'tan φ quadrupla Tri sila autem ad duplam est uti est, in nitioneesquialtera quadrupla ad triplam, in ratione superstM

ua. Porro ut v mcunque numerum, parVum,mM .

gnum, unitatis loco ponere 'UCamin iraco quamcunque rationem, sentanae simplia rationis, hoc est, uni tatis loco Collocamus. Unye innumer rati9num pringrestiones exsurgunt quarum septiqm ad Miarii quam litatem duntaxat adstendentes, q*ςmplorum loco in

adjuncto diagrammate exposui. Prima progressio est rationis duplae alter triplae tertia, quadruplae 'Varta, decuplae quinta, set quialteri, quae in minimis num ris ita adlaendit . . . ἰ. ': z. sexta, supertertiae cuius sentanae rationes ita excrescunt l. ': . : :.

septima, supero clavae, quae a mmimis numeris ad majores sic progredituri . z. ol. 22.:m:.:: zz. laudam rem nove hic observandum dicebatEuthymius, cuiusque ex his rationus Ur re onibus rationem cum a