M. Meibomii ... De proportionibus dialogus. ..

221쪽

ὲν ME IBO MI DOLO G usser et Spiog elaonis ratione solum coemparariposse,ita

ut sciatur, quam rationem lim ratio ad illam rationem, vicissim, obtineat. Ratio enim sextupla est rati nis.; superquinta, rationis ' seu, ut 6ias sesquialte ra rati viis et dupla rationis j tripla rationis . qua omnes ejusdem seriei rationes existunt. Similiter ratio' supertertia est rationis ' j dupla rationis , quiar iurationis P sublaperquarta rationis ' ,seu,ut ad 1; ubsesquialtera rationis ' et quae item rationes omnes ej dem seriolo progressionis, triplae nempe, reperiuntur. Eodein mo ratio : : sextupla est rationis I: .; hoc est, in Harmonicis, ut sex toni superOctavi ad unum. atque ita ulterius ratiocinando. Nullo autem modo diveris progressionis rationesime se comparari possunt, ut quam inter se rationem habeant, definiatur , quamvis illarum disserentialis ratio sit notissima cujus camsa rei naturam strutanti obseura esse nequiti pare ratio , quae primae seriei prima est,inessabilem rationem habet non tantum ad rationem , quae prima est serieis cunis,sed Sadomes aliasseriei secundae, tertiae, qua tae,AE careerarum in infinitum, rationes disserentialis autem ratio, qua malor superat minorem ' est ratio . Similiter ratio: seu inessibilem rationem habet ad rationem seud superatautem ration rationem bratione . Hoc autem inde quoque evidens est, quo1 duas diversarum progressionum rationes per quamcumque aluin minorem rationem mensuram innullampu.

ne invenire queamus, quae utramque exacte metiatur.

Sienim proponantur rationes derium ratione: mem

222쪽

DE PROPORTIO IPI surare velimus, inquisitione saeta, ut pag. 77 monstratum est, hoc fieri non post deprehendemus in perati, plus quinquagintaquinque ratione seu commata, continet, minus quinquagintaseis ita ut rationis 'uantita secundum hanc mensuram inquisita, rata aesthaberi nequeat ted inter, commata Vageturi Eadem mensura adhibita rationem l majorem invenimmus 88 commatis , minorem, 89. Harum autem rationum differentialis ratio J,major reperitur a commatis; minor, δὴ qui quoque commarum numerus,inlatis naut 6 ab 88, habetur. Similiter has diversae seriei rati nes, ... inestabilem inter se rationem habere invenie mus , quamvis proxime ad eam accedat, quae est inter antecedentes, u&9, idem ad supertertiam Ratio enim

R.,seu , major esta commati, minor, D; ratio major commatis 6 minor 66. Sed Ruet haec 66 commata. hitur,ut 3 ad O ita si ad 88. Atqui ratio

malor ostensa est commatis 88. Rursus, Contineat rati, tantum 88 commata. Ergo ratio . exam h bebit 66. Atqui pauciora continere monstrata est , cum etiam plura continere deberet, quod ratio : commatis 88 sit maior. Quare ratio ad rationem ἰ magorem rationem habet quam supertertiam. Eadem ratiocinatione Guascunque alias diversae seriei rationes, quacunque alia communi mensam mensuratas, i flabilem interserationein haberem' ostemus. Porro ratio liquae dupla est rationis , bis tot commata habet, quot simpli , serme in. Et ratio 2 quae in i ' : dupla est,

223쪽

inata continet, quae item plusquam tripla sunt comm tum L Planum itaque est onmes diveris series, seu, non ab eadem sentinitatione alcendentes, ratio nes, inter se esse incommensurabiIes. Deinde, rationis alicujus duplam, triplam, sesquialteram rationem in ea dem rationum serievi progressione esse,in qua est sinplaci quae bis composita duplam exhibet cier, triplam; S sic deinceps. Caeterum rationem : non esse rationis: duplam , nec rationem' ejusdem triplam item ras nemn non esse duplam rationis P nec rationem ' quLdem triplam in sic consequenter , duplici insuper demonstratione ostendemus. Primi, hoc adsumto temmate : Duplorum duplos est excessus adeoque t iplorum, triplos sesquialterorum, sesquialteros Osippe uul&et, binario inter sedisserunt; at illorum dupli,

k, , quaternario tripli, iro , senario sesquialteri,

ε&3, ternario, qui sesquialter ei disserentiae simplorum, nempe binarii sic rationes &υ inter se disseruntrati

nec harum dupla, :&'Gratione bis duplisuperquarta, inter se distant triplae in ratione di quae est, rionisa tripla sesquialterae Io:, ratione'. quae rationis est sesquialtera. Cum itaque simplarum rationum, didi disserentialis ratio sita; duplarum, O , seu 'ζω':,

disserentialis ratio, erit simplae disserentialis rationis dupla, nempe Atqui eadem est, quae impiarum, scit, cet :, seu Muodestabsurduim morationum:&bnon iunt duplae rationes 4:. Eodem modo monstrabimus,rationes.&'ἰ,sm . ':, quae eadem disseremissi

224쪽

PROPORTIONIBUS a νrasone, qua simplae,intersedistant,non esse 'amnu: triplas. dc sic de reliquis casibus omnibus ratioci nando. Contat ergo propositum Liquet autem, miriqueeandemrationemineadditam primumduplam,

in his terminis, λ8. 3. deinde triplam, in terminis,2.9 a. ita si qua de causa eadem differentialis, tio manet Altera demonstratione idem ostendemus, hoc sumtolemmate Arithmeticae progressionis num ros, quorum secundus primi duplus est, eodem excessu proximos binos se invicem superare,quo primus superatnihilum. Quippe eodem excessu, quo unitas sup

rat nihilum , binarius superat unitatem, ternarius bina ,rium, S sic deinceps aut bimarium ponam unitatis loco in hac progresilone; o. a. . 6 8 binario proximi bini inter se dillant. sic de caete is progresilonum excelsibus argumentando. Cum loquem hac rationum

progresilone, 'a seu quae in minimis ter minis eadem est ratio impla sit,&unitatis loco ponamr,cujus dupla est: triplai: quadrupla, ;quintupli': continebit dupli seu ' ,bissimplam),seu Atqui duae simplae , additae essiciunt rationem , quae

minor est ratione' ' Quare dupla ratio' malore excessu

superat simplam ,quam simpusuperat rationem nihili

ouod est contra adsumtum I inma. Non ergo ratio dupla est rationis ' Eodem modo monstrabitur ratio: major quam tripla rationis ratio et major quam quadrupla uionis : at nitio ': ---mclesiampla rationis uod est bsurdum. Quare ratio ' non est quintupla rationis i caeterum in Harationis se ub

225쪽

ιθ ME IBO MI DIALOGus iterae progressione. : I ':l. ratio :bquuito loco post eadem ratione superat quarto loco positam

rationem qua haec superat tertio loco positam latio

nem ': ; qua ratio primo loco sita, o superat rati item nihili : Ergo quinto loco posta ratio 'I, quin tusea est ratiotiis L primo loco positae. Quod momstrare oportebat Sedacidem lic conficiemus. Quo , num ratio eadem ratione: se superat rationem: qua ratio superat rationem nihili 2 ratio autem Vimperat rationem latione ., quae major est ratione 4 Lcircoratio' major est quam ut rationisa tantum sit d pla Sel eadem ratiori rationisa ponebatur dupla. Eadem ergo ratio ζ,4 dupla est rationis: mosor quam dupla rationis . laod est absurdum. Porro excessus,seu differentialis ratio, qua ratio secunda ,s perat primam , est ratio malor differentiali ratione ζ,laub qua tertia luperat secundam ; haec maior diis rentiali rationes P, qua quarta ratio superat tertiam;

haec denique nrator disterentiali ratione qua quinta superat quartam ita ut disterentialis ratio niter proximas binas rationec similiter uti ratio inter naturalis progressionis proxim binos numeros , decrescat quod est contra sumtum lemma, quo quinarius non malore

numero quaternarium seperare dicitur quam binarius unitatem. Unde sequitur, ut in salsi rationis sesquialterae progresilone, dupla ' major sit quam vera duplar; contra xem in missa pr 'gressione,

226쪽

D PROPORTIONIBUS. In illorem sententia, est ad ratione ut illius denomina. tor , ad hujus denominatorem sera, quod idem, ut adr; habebit ratim hujusmodi quatuor rationes,c jusnodi duas habetratio: Atratio: habetduas rati nes duplas. Eigorati, habebit duplas rationes qua , tuor inod est fallum. Habet enim duntaxat tres rationes duplas Falsum emo, rationem duplam esser sonis V quippe ejusdem tantum monstratur sesquialte in 'uod hujusmodi tres rationes aequet,cujusmodi duas ratio . Similitere, si rati, ad rationemn esset,ut illius

denominator6ad hujusdenominatorem smintῖadat, haberet ratio 'ululmodi tres riviones, cujusimodi duas

habet ratio 1 Sed ratio lauas aequat rationes duplas. Ergo tres rationes duplas aequabit ratio . molestabia

surdum. Quippe ratio minor est ratione: quam tres rationes duplas aequare monitiavimus. Eodem modo ostendemus rationem : ad rationem uel habere min rem rationem quam antecedens 72 ad antecedentem, ,

seu, ades Cum enim ratio paeque tres rationes se qui itera i ratio : aequabit hujusmodi quatuor. M

jor autem est ratio ζ quam ratio ' Constat igitur propositum. Harum autem demonstrationum, quibus, ram rationum compositionem ostendimus evidentissuma exempla suppedita inrmonice. moniali enim chorda novem palmorum tanta sui parte superat spes- morumchordam,quanta sui partehaecsuperatchordam palmorum quatuor; ratiochordarum 9Α palmorum, composita ex rationibusduabus & inter se aequalibus,

dupla est unius simpurum, sim .,aut . Quod ex di-

227쪽

viso canone Harmonico omnes, qui incorruptum avrium judicium adhibetat, addiscere possunt. Intervabium enim ilia pentes quod quintam vulgo mercii in ratione sesquialtera spectatui & quinque senis in quolibet genere includitur hujus autem duplum intervablum,quod in ratione bissesquialtera dispectatur,novem

sonis continetur. Postquam eni in dia pente intervallum,quinque Ionis a gravi in acumenadscendentes,cecinerimus, iterum dia pente intervallum inacumen enitendo adponimus,aCutissimum prioris diapente sonum,

sequentis diapente intervalli gravissimum faciendo SL militer chordarum in rationes divisarum seni di pa sen, seu octavae, intervallo inter se distant rat bis diapason intervallo inseris distantsentia rationes , ter diapa sin, in ratione . sic de quibuscunque aliis rationum rationibus ex Harmonice definiendo. Eandem autem hanc veritatem in missis obtinere dicimus. Mistum

enim et viribus d plum est mutiet aut quod ipsi vi ibus aequale est, misti Esse autem mistum viribus

aequale muto' aut misto ἰ aut cuicunque alii millo, cujusvinum aquaesesquialterum est, ficillime ita percipietur. Sint enim tres athi,quorum singuli tres comuneant vini mensuras , duas aquae. Quare trium iblorum cyathorum mistaviribus lunt aequalia. Ergo&constiti duorum ex istis cyathorum ista, hoc est,a quantitate quidem unius dupla erunt, at viribus ipsi aequalia. Rursus trium cyathorum illorum milia coim suis,hociniquantitate unius 2 tripla erunt,tavi ihus ipsi aequalia AEqualis ergo est inuo brationi

228쪽

rationit sic de pluribus cyathoriin, qualibus missis

confusis ratiocinando. Cum ergo viriDusduplum semistumarmisti ..,duplo malorum,nwm mistum hau .riet,si quis unam mensuram misti et biberii,quam sibi beret mensuram unam misti: hoc est,si mistumesbiaberit, duplo citius vini viribus juvabitur, quam si bibe rei quantitate quidem aequale, sed viribus subduplum mistum : . Similiter triplo citius quis vini virtutem

sentiet hauriendo mistum': ,quam si hauriat nustum sisquialtero citius,quam si hauriat mistum': . Porro mistum nihili nullam rationem ad quodcunque aliud mistum habet. Neque enim mistum 'duplum est misti l , uamvis duplae rationis Viribus hocab illo superetur. illud autem est rationem, aut missum alterius esse diplum; dc, mistum duplae rationis viribus superare aliud mistum uti enim binarius,licet sui magnitudine superet siphram, non tamen dici potest sphrae duplus; sic ratiosquamvis sui magnitudine superet halionem tamen duplainisus dici nequit. Eodem modo mistumasesquialteraratione seperat mistu sed ii hujus sesqui altera dici nequiti quodex superius demonstratis est perspicuum. inc autem illud planum est, rationem duplameses,ob quantitatem quod antecedens duplo ma

jorsiconsequente rationem autem rationis duplam in mistis vocari, ob vires. Antiquorum autem nullus,

quod Euthymius mirari selet, ad utilissimam hanc demistorum viribus in data ratione augendis, ulminum .dis, contemplationem accesiit, ut quousque in his progressi possimus, deterim leti In magnitudinearum,

229쪽

,δ MEIB MI DIALOGUS&numero has loquendi sermulas usurparunt,ut ex Euclide, Archimede, aliisque antiquis cognoscimus. In figura igitur pag. Ita, quoniam quadriitum D, se uualterum esto Mnguli M uxta, so; hoc anguluin sesquialtei um quadrati Mutis rursus hoc quadratum sesquialterum octanguli MLqmrno dc hoc tangulum sesquialterum quadrati radeoque qui que hic sunt figurae sesquialtera ratione crescentes,in his numeris,si s 46 4 primae ad quintam quadrupla est rationus primae ad secundam seu, quaeeadena est,tertiae ad quartam, aut quartae ad quintam ratio a

tem primae ad quintam supertertia est rationis secundae ad qui tuam. Rursus ratio secundae figurae ad quintam sesquialtera est rationis tertiae ad quintam S sic de caeteris rationumrationibusdefiniendo. Atque hinc,quid rationum proportio sit, non dissiculter elicimus nempe

e rammorationum aquis L Ut': ad Gita': ad ad Osimiliter, ut , ad 2. ita rada AEqualitatem rationum rationis dico, non similitudinem, quamvis hoc vocabuli in proportionis definitione usurparit Euclides Male autem Theo Smyrnaeus simplicem numeronim proportionem ; quod ex subjuncto exemplo videre est

inter ipsa, elatio,quae ves multipla esse positi,vel supem

230쪽

DE PROPORTIONIBus particularis, vel superpers quam desinitionem ex ipso analogiae vocabulo audiscimus Analogia enim, seu

proportio, est,cum, utprima ad secundam, α- λογον τον ψον, se dum e demis Itomm .suerit secunda ad te Ham, tertia ad tu min, F --λdsinceps,quousque proportio excreverit. Itaque omnium optime proportionem Aristoteles finivit ration 'a

chionim adponam .

tuor erunt proportionalia, M'.

MichasEphesius,commentario inhu locum,pitat Aristotelem Uietatem dixisse pro semisitudinem dubio procul Euclidis auctoritate motus,qui hoc vocabuli in proportionis definitione adhibuit. Contra a tem Euthymius vocabulum . ης, istis, incomcinnum in hac definitione arbitratur quod adsimiles

s oras reseiciendo, in quibus proportio in Geometricis maeritur, esides urbis interim binario bui