장음표시 사용
231쪽
ct numero has loquendi formulas usurparunt,ut exEuclide, Archimede, aliisque antiquis cognoscimus In figura igitur pag. net, quoniam quadratum G ta se uualterum esto Mnguli M uxta, sos& hoc octangulum sesquialterum quadrati Muti; rursus hoc quadratum sesquialterum octanguli MLqmrno dc hoc a gulum sesquialterum quadiati I Lmn adeoque qui que hic sunt figurae sesquialtera ratione crescentes,in his numeris,cii. φ 6 2 rario primae ad quintam quadrupla est rationis primae adsecundam seu, quae eadein est,tertiae ad quartam, aut quartae ad quintam ratio a tem primat ad quintam supertersa est rationis secundae ad quintam. Rursus ratio secundae figurae ad quintam sesquialtera est rationis tertiae ad quintam. sic de caeteris rationumrationibusdefiniendo. Atque hinc,quid rationum proportio sit, non dissiculter elicimus nempe
ἀναλογία λογ-- -- δάγγου σοτης. Proportio rationum
inrationis ration apudita . Ut : ad , ita ': ad:,&: ad:. Similiter, ut fidi i ualitatem rationum rationis dico,non similitudinem,' tiamvis hoc vocabuli in proportionis definitione usurparit Euclides Male autem Theo Smyrnaeus simplicem numerorum proportionem ; quod ex subjuncto exemplo videre est definiit his verbis : νομοι-- ες λόγων η προς-ληλους - -- ῶν ἄμ- - ν, ά- μώ--δε
Proportio in ratio m interse eerta retitis noet , ut duo ad metum,sicocto ad tuor Proportio enim, seu analogia, est rationum aequalitas, non autem certa quaedam
inter ipsas relatis,quae vel multis, bosi vel super-
232쪽
D PROPORTIONIBUS particularis, vel superpera quam desinitionem ex ipse analogiae vocabulo additamus. Analogia enim, seu
proportio, est,cum, ut prima ad secundam, ανα λογο τὰν - , -- Vinum, fuerit secunda ad in tum, tertia ad quartam,quarta ad quihiam , se de inceps,quousque proportio exci everit. Itaque omnium optime proportionen Ar,iloteles finivit ration ορ-
Michael Ephesius,commentario inhunclocum, pitat Aristotelem aquat tem dixisse pro semib udrimm dubio procul Euclidis auctoritate motus, qui hoc vocabuli in proportionis definitione actibuit. Contra a
tem Euthymius vocabulum ὀμωτης, simu tudo, inconcinnum in hac definitione arbitratur quod adsimilesi uras reseiciendo,in quibus proprii mGeometricis reperitur,Euclides usurpavit uti enim binario bis
233쪽
tius ae litae, dicitur, non vitem similis, si propor x
fierit, ratio prima rationi secundae,ac tertiae,in caeteris deinceps, aequalis,non autem similis diceturi quod sulmssitudi, plerum minaequidibus considerem Nec movet Euthymium auctoritas Nicomachi Geraseni, ΡΠhagorici celeberrimi, qui libro secundo Arithmeti tam lictionis, inquam oemtim Herona Iambli ichii Aselepius, commentarios ediderunt rationein iscundam primae similem nominat, non autem aequalem
Verba ejus, quae quid rario siti quid proportio, Vmie alias docent, adscribam
Αναλογία κυρίως - λώ, Proponio proprie est duae
σχέσις. μάθε AHA norum inter se relatio, com-ταλ- , ἡ ἀναλογία c, o possitio aut hujusmodi rati is ἐλαχλις ορας τρη- num,proportio. Itaque in pam αμερ-JM. MAHi γε μὴν cissimis tribus terminis haec νωμεν πλειοσι κατὰ τον ἀυτὰν commista est quippe Din plu- λογον προχουρον. ον, τῶ ἐνος ribus secundum eandem rati πρὸς τονδυο λογγεα δυο ο- snem progredi potest. ut, Iad IIυπαρχόντων, - ἡ διπλά- ratio est, duobus terminis exi-
234쪽
φamvis nec aciunde re initas vi I--Α-μα agnitas, ut insectis videri polant , ita additas puto, ut
denotent, proportionem non esse quae timvis duarum rationum conjunctionem, sed illarum, duae numeris, in uno rationum genere, ordine progreaientibus,comprehendimtur. Proportio mitur continua in voculis denotari 'idetur ,γα innumeris, 2. Laue,s. a. dc, 27. 8. r. 8. non autem quae in numeris,a. . a. aut discreta, 27. in 13 8. Hoc igitur Vult,proportionem essequoreis rationum conjunotionem,nempe atquemagnarum, quarum smpla fundana ratio minimis teluminis includitur; sive illa dupla sit, sive sesquialtera,aut quaevis alia. At si aliae quaevis rationes inaequales onjungantur,uti P in terminis 6. 3, proportio iniis
nulla invenietur. Porro Verbum συμμεμυκbus, commi
Quod si idem dici potest, quod ejusti cum alio ma
sim eteneo. Novam dedisse ridetur stitis molianus, Muscae libro III pag uo u γεω- τάς is
235쪽
Quod quidem in proportione Continua veritati est consonum quippe rationisa terminorum quantitas, Iis
eodem excessu superat rinionis Pinini rum quanti,
talem, Io,quo terminus, superat terminum utrobique enim excessus est, Neque vero; quaein Nicom cni, ut&Pappi,altera definitio hociis verbis innuere potuit, primae rationis excessum esse ad excessum rationis secundae, ut primus terminus ad secundum C. terum recte Euclides proportionem in tribus terminis paucissimis consistere dixit, qui potentia quatuor exustunt, quod medius bis nominetur. Vocabulum a tem ἐλπιο ς, hic, uti ininristotele , Nicomacho TheoneSmyrium, aliis,vertendum,' - quod
interpretes non observarunt. Sed ut ad propositum narrandoreVerta rationum proportioraest quam dixi: nempe ejusdem progressionis rationum, rationis equa litas. Diversarum tamen progressionum rationes inter
se comparari possunt, sed absque ullo usu,&contemplationis concinnicae uti enim in duphe rationis larieratio Mupla est rationis aut ripsius P sic in triplae Pationis progressione ratio ' dupla est rationisa,&haec dupla ipsius : in sesquialterae rationis seri ratio dupla inrationis , donaec ipsius . Grandi igimrpares gismo lapsus est Gr*orius a Vincentio, qui Clavii de denominatoribus doctrinam secutus, rationum pro-γγrtionem in hi ius di numeris constituit, ut .m
236쪽
DE PROPOR TIONIBUS: usi ita: ad: aut permutando, ut 'ad , ita: ad i. Neque enim , quod superius demonstraVi 3 quemadmodum rationis i dupla est scam existatia itio: sed longe haec major est quam illius dupla Ru sus xx illus qu'x'or nune lautusimodi rationes, cuiusnodi tres continet ration ut ratio fretata rationem . quod .fantia taminatum tabula connaari. Superat autem ratio Prationem dieadem ratione, quia Παι--Similite ratio sup nat restanem: rationen qua etiam ratio 'perat rati'nem re de disserentiali ratione, qua altera superae alteram , illa ratiocinetitiones vera su it. sed hoc est contra ipsius propositum,qui rationum pro
portionem demonstrare conatur. Dicit enim rationem
fila se hinere, seu emi, herer Honesti ad rationesn , quam rationem habetration ad rationemr: nonautem ita loquituri rationem Peadem disserentiali ratione si perare rationem , qua differentiali ratione ratio superat rationem: hoc enim&verumest,&perceptutante. Nec quidquam ad rem, quod in hac, ut ita loquar, diLserentiali Gregorii rationum proportione, duarum m diarum rationum termini inter se multiplicauit esu antecedentes inter se, uta consequentes oHem nu
meros producant, quos rationum extremarum termini
in in semultiplicati , inrobique erum in proposito ex emplo consurgit ratio et, nempe sextuplaci quoniam,suplex supG demonstratis liquet,hac multiplication
237쪽
pla ratione superat rationem . Attamen, inquiebat Euthymius, ut enormem hanc Gregorii hallucinati nem illustriorem reddam, unum locum, quem in totae Mathematica antiquitate invenire potui, issis PQ-rum, hic exin nostro codice sum produ rus.
LIB. L CAP. VI FINE. 1 -δὶ ποι - ουτ- Is dia pason tonsonantia ἐκ risini δὲ Ictita se habet ad dia pente
1ἀ-U-pent , id est, dupla ratio
238쪽
excessus quadrupli sipra tri ' τραπλασιου pluanta, supertertiani faciens πρὸς ον τριπλάσιον, ' ιτοι rationem, idem erit excessui ποῶσα γον, ' ἀυτελα
quo enim superat quadruplus περεχ ἡ διπλάσιο τῶ vrum triplum, hoc duplus superat o γάρ Assem, εἰς sesquialterum . Etenim du--νήμια , τον τριπλα- plicatus sesquialter facit ira ον ποιῶ G δε διπλάσιο , plum duplus quadru i. τετραπλάσιον τὸν plum. Ideoque eandem άυτον δε λόγον εχ ἡ τετραγtionem habet quadruplus ad . - - τὸ δαπλῶ
239쪽
ME IBO MI DIALOGΠS prima verba Ptolemaei falsa sunt,si voc bula,-τως ἔχε se Liberi vulgari modo accipiantur, nempe pro,
ἀυτονεῖν λογον,eandem habetratamem de disserentialiautem ratione, quemadmodum Gregorius itum locutionem male usurpavit,sunt accipienda. Verum enim est, quod hac ratiociliatione colligit Ptolemaeus, consenam tiana ipsius bis dia pason eo concentus gratioris excessu superare, seu, tanto esse gratiorem consonantia ipsius diapasen dodia pente, quanto gratior est consonantia diapason, consonantia ipsius dia pentera quia eadem ratione, qua rati, superat rationem ratio superat rationem: Sed ipsum nunc catalogum talarum Gregorii propositionum quas ob majorem evidentiam numeris exposuitEuthymius , vobis examinandum,cum lubu
rit, exhibebo. Libro VIII: pagina, haec est definitio II 'tionum denominatores voco quamitates,pM mutua habitudian s. ex munt alui u Hierratisinesproportis intercedat. cui hanc explicationem subjungit. Data sint ratimes A ad B, C ad D, Im totidem linea, EπF, quarum ratio exprimas proportionem Mitioins AB ad rationem CD socci,sii quemad-δι- ea Eadsineam F, ita ratis Al irationem CD hastaneas, Vnimirum rei, data mrationum denominatores appestabimur. Haec ita censuit Euthymius Demonstratum estsuperius,eiusdem dun- progressionis rationes inter se esse ut lineam ad si
neam Cum enim, in duph: rationis progresiioneir tior duplustrationis , erit; ut: ad:, arua adret initi, ut': ad:, ita radi,seu ad a. Ideoque,ut':ad 2ua: ad
240쪽
stu, ut ad a, ita 2 ad . calaod si binarum extremarum, ut, binarum mediarum ,rationum terminos inter multiplicemus bina, extremas rati es addemuMSbs. nas medias Buaae autem extremae rationes compositae, majores sunt quam conjuncta binae naediae: sicuti
mery dii additi, niinores sunt quam additi 144 hoe est, malo quam Similiter, cum in sesquialtei , tionis serie, ration dupla sit rationis: erit ut . adsita et ad i item, ut is ad ., ita radi, seu ada Ei ut ἰad , ita: ad: seu, ut: ad L ita 'ad hoc est, ut Fala, ita et ad i. inarum rationum binae eXtremae comjunctae, simpla ratione superant conjunctasduasmedias. Et cum innumerae sintsimplarum rationum progressio-
INes cinnumerae quoque erunt rationes, quae inter se sint
in ratione dupla,mpha, quadrupla sesquialtera super-- tertia dc in caeteris rationum speciebus it tamen, ut
binae esusdem progressionis rationes inter se comparentur; ex quatuor, saltem potentia, elus den seriei,
sonibus proportio consistat. Grigorius itaque 4n eo peccat, quod quaseunque duas rationes inabilem inter se rationem habere statuit , nempe, rationem resse ad rationem , ut hujus consequens 6 ad illius conssquentem Deinde, quod rationem diad rationem
eam habere rationem putat, quam antecedens malam recedentem Ghoc est, sesquialteram cum, ex omnium quoque veterum vera sententia, illa sit hujus duplata. quemadmodum duo dia pente intervalla unius diabem te intervalli dupla existunt. De excessu autem, seudis