장음표시 사용
151쪽
B o' ad a b M b o-- aom dio Sc permutando:componendo,& iterum. Permutando efficietur relatio quam habet A B - Α Β -B Ο --A o AB o ad a by - ab H bo --ao M bor major ratione , in qua est A B M B Ο -- Α Ο - BO' ad aby bo -- a o bo': unde proportio composita ex priori harum relationum, & ex ratione AD ad ad
major qui lem erit proportione composita ex hac ipsa AD. ad, A ex posteriori illarum, scilicet proportio quam habet productum
ctum ab ad in ah --ν in bo- a o M bo' seu ad a M-d b major erit ratione producti ab ΑD in AB MOB- Ao o B ad productum ah ad in a b M ob -- ao M o P seu producti ah AD in ΑΒ -- Ao Moa ad productum ab ad in a b' -- a o M o b sciliCet ratione quam habet AB)- D E aequans prius proda- Ouin) ad ab - ab quantem posterius productum. Si dati numeri sints. 4. proportio AM . a se, quae major est
σου, & ex priorii illarum proportIonum , major quidem erit proportione composita ex posteriori, & ex ipsa relatione AD . ad& per consequens produc uia, ab AD in ΑΒ -Ao Mao3 AB DB - AB Mon nempe AB -Dn aa productum ab ad in
Simili modo, ubi numeri sint s. 6. ostendentur ABq-DP actgy-db' majorem habere relationem quam AB -DE' ad ab' -dλ α sic ita itamsum ..
152쪽
THEOREM A XLIII. Propossis 38.
m axis Da alterius Aacm duobus datis comidibus ad Iemiparametrum B L ina rem proportionem labeat quam sis 36s ax s bd reliqui comissis abc ad om/parametrum bu δ'' cur νa,verficies prioris couoidis Ancissuam basim A c majarem relationem habebit, q*m Iupersules loverioras conoidis be ad sisam banm Rc. ues Au aiae BD abici adatur segmentum H a se habens ad Gueb d ad bl. Sc a puncto H Ordinato circulo EHF. Curva super sicius cono diani EBF . abc hatthus EF . ac proportio stlan tur tu D. mdci ii recta MD polsit quadrata AD. BL, ac recta v H lil prop. polIit quadrata EH- EL patet κD majorem esse . quam VHὼ a propterea differentia etinorum ΚD . BL ad differentiam cub rum v H . BL majorem.proportionem l in habebit. quam dis i l Dis. fere ut a quadratorum KD . BL . ad dister tiam quadratorum PH . R L, uel quam quadratum AD ad quadratum his, seu quam μ' sesquialteram producti ab Lis in q: AD ad tesquialierum producti ab LB- in τοῦ EH: & permutando essicietur proportio differentiae cuborum xv B L ad sesqu alterum producti ab Luintq; A D s nempe proportis curvae superficiei conoidis An sil . ad basim Ae major relatione disterentiae cuborum v H ,πL Qx 4. sesqujalterum producti a B L in q*,SH. seu relatione cur gae s perficiei cono is a BF ad balim BF live relatione cutuae sumis letet conori ab c ad basim a Quod . i l . . . I '
153쪽
a) in o , & hine ducatur normalis op ad BI , potensque triplum
quadrati os,&circa axim OF describatur parabolica curva HKF. verticem habens in F, & cujus parameter fir o F 1 deinde a pun
. Ulterius cum quadratum so trisum sit quadrati os, per
duo limul quadrata Ao , OF ad duo simul quadrata Do . DF,& quam AH ad D vi atque propotato quam habet productum ab A E in qήsdrata ΑΗ . fg cum tectἀlo ABE scilicet diste-
Io .... quadrarorum Da . o F, rectangulique os E nenipe ad diti e finiam . ' tiam cuborum Dis i vis 3 a limitabitur rationi rectanguli MAE ad rectilum L DE ,'seu curvam hyperbolicam i K adrect α lum i AE, seu rationi AH . AI, vel denique datae rationi,
154쪽
AD axim so dati comidis ABC circulum ordinare, ut cur- - vo Iuperficies, per ibum abscisa se haberi ad ipsus conbi '''dis curvam Iupersciem in isma raiione. - In plano ABC per axim BD dati conoidis. & ad basis diametrum Ac aplicetur rect m tum C ΚΑ aquale quadrato semipara- metri BL , excedensque figura quadrata Ax; & reperiaturi ita. l/S recta PD ut defectus cubi BL a cubo DP ad defectum cubi a L. cubo x D se habeat in data ratione: & ad rectam ap duplam ipsius DP applicetur rectritum RNP aequale quadrato a L. deficiensque quadrato PN: deinde a puncto N ducatur recta NE pa- rallela ad axim Da, & ab ipsius concursu E cum parabolica Curva ordinetur circuIus EHE. Dico solutum esse problema. Jam recta Ro potest quadratum semiparametri BL cum quadrato se diametri AD circuli AC, & pariter recta PD potest quadratum semidiametri EM circuli EF cum quadrato semistara- metri a L. ut constat ex constructione; unde curva superficies conordis Eas ad curvam superficiem conoldis A ac se ha- sal Gber ut defectus cubi a L a cubo P D ad defectum cubi BL a cubo σε a KD, videlicie in data ratione. Quod, &c. ' D DI
DA tom rectam lineam so ita producere in c, ut defectus
tuti o a a ense oo ad sesquiasterum producti ab .s tu Irtiri. isserev:iam qq: o a. GC datam habem rationem a b . b d majoris is qumitatis. Fiat Bx dupla ipsius os , dc b e subsesquialtera ad bd, nempe dupla ad ed: statque ut eb ad ea nempe in proportione minori, quam dupla) ita o X ad rectam DR, ad quam applicando rect α tum DPE aequale rect mlO ΟΣ D E , , excedenSque quadrato EF, se habebit ox ad EF ut DF ad ED, deficietque EF ab o x, seu ab OB: unde facta o N aequali ad EF,& Ne aequali ad ED: dico rectam OB productam esse In C ut quaeritur.
155쪽
Cum, Ox ad EF, seu ad ON sit ut FO ad DE, sive ut oc ad N lu tres rect v x ς . u C . NC erunt continue proporpionales. quo posito, si NC non concederetur major quam Na relatioox . CN quae aequat relationem OX . DE minorem quam duplam non minor esset ratione o C . CN, seu ratione Xq . Co,ti subsequenter non minor dupla ratione, quod est absurdum rquamobrem recta os utique producta est in C. , i 3 I Et quia proportio rect-li Cxo ad q: co. quam componunt relatio Ou . OC, atquς relatio XC . Co , vel Co , CNi, eo similis est relationi Ox. CN compositae ex iisdem rationibus vel f obeonstructionem J rationi Ox . DE, seu be. ea ἔ Coavet tendo, & componenda erit q: Co cum rect lo cxo ad rect tum cxo, sive product9m a CB in q: co cum rect-lo ς x o ad productum a cu in rectra tum C xo, scilitet in desectus cubio a a euho o C ad inoductum ab Ox, seu B. inrect luro X Cn.
idest in disterentiam qq: co. Bout ab ad bo: ac denique idem defectus cubi Oa a cubo Co ad sesquialterum producti ah o a in dissetentiam qq: co: Bo se habebit in data ratione ab . bd.
Hic animadvertere non erit inutile, quod ubi data recta osita sit protracta in c, ut defectus cubi OB a cubo eo se habeat ad productum ab Oa in disserentiam ql o B . OC in propas ne ab . be, quae sit tripla quadratum ον ditarentia cB rectarum Bo . Co triplum erit quadrati ipsius rectae B o. Nam ubi relatio ab . be iit tripla; rςlatia be .leo. vel him aequalis sper construtionem j x o . E D erit subdupla ; rectra lumque DFE quod per construtionem aequat rect lum o x M DE duplum erit q: o x, seu ψ o B: at dimidiata BD in V. quadratum v E sequat q: Ox, seu q: OB; rect tum igixur DFg cum q:Ε v. nempe unicum q: VF, triplum erit ejusdem qr o a. & ob paritatem tam rectarum: co . DF, quam rectarum D ου . ras. necesse est, CB sequare ν F, quadratumque C B quadrato v P, idest triplo q: o B aequiparari, bc
156쪽
D aarim Og dati eonfidis parabolici Ao M indefinite longiordinare circulum, ita uι turis supersicies ab ipso rarii Ie habeat ad idem tirculum in data ratione ab . b d mmjoris' inquantaιDι . Abscindatur ab axe o E pars OB semiparametro aequalis, quae per Praecedens lemma producatur ita in C, ut defectus cubio B a cubo Co ad sesquialterum producti ab on in distirentiam quadratorum co . Bo datam habeat rationem ab . bd: postea ut integia parameter ad cs ita fiat C Oa ad DR, & perpun- m M ordinetur circulus K M ad axim OE . Dico curvamstperficium donoidis RoM esse ad circulum κM in data ratione
Cuni parameter ad cn se habeat, per constructionem. ut eo os ad ON; rectrulum sub HO in parametrum, nemperuadratum M M aquabitur rect mici sub ca In CG --so, seu disiurentiae quodratorum no . Co runde retia Co poterit quadratum semiparametri os eum quadrato semidiametri N M circulikM, atque cuiva superficies ecinoidis κο M se habebit sil ad circulum ut defectus cubi os a cubo oo ad sesquialterum ploducti a lami rametro Eo in quadratum H M , seu in diis rentiam quadratorum eo . Eo, videlicet in data ratione a b.
Notandum est, quod in conoide parabolico EoM, cujus curis va superficie, tripla sit basis κM, axis Ho quarto loco Propomtionalis est post paramettum B x, post rectam CB, quae potest subinsquia lutum quadrati ex apto parametro B x, di poli re- Oam cx compositam ex ipla Be, & ex apia paramerio B X. Cum defectus euhi os a cubo oc ad sesquialterum productia semiparametro Bo in differentiam quadratorum Co . Bo sittit curva superficies conoidis xo M ad halim x M, scilicet, in hoc casu in proportione tripla ; idem desectus cubi O B a C O a ho O C
157쪽
bo oc triplus erit producti ab Oa in disterentiam quadratorum Co . ΒΟ, ac quadratum CB triplum erit sper schol: praecedentis propolitionis) quadrati o B, proindeque subsesquitertium quadrati s x. Et quia quadratum H M ut supra vidimus aequat ditarcntiam quadratorum Co . BO, & Ob parabolam, sequat etiam rect m tum sub Mo in parametrum B x; hoc rectinium aequa-hitur dillarentiae quadratorum Co . Bo, seu rectis io x CR, ac propterea ut Bx ad BC ita se habebit cx ad oH. Quod,&c.
DAM redis terminata sol deseribere conoides par Molicum. axim habens in ipsa recta Bo, O cujus focos Ois in M.tera extremitale o, basisque centrum in reliqua extremi are η, ω eujus curva supersicies ' habeat ad basim is data ratione n . s om reis incquacitatis. r Sit aliqua recta AH, Fc ita producatur x ad punctum M ut desectivi cubi A N a cubo Eri te habeat ad sesquialterum producti ab An in diiserentiam quadratorum AH . RH in data ratio. ne R . st & inventa media proportionali PH inter Α κ, & inter AH --κΗ quae poterit diiserentiam quadratorum ΑΗ:. xΗJ reperiatur tertia proportionalis TH post a AH, & postpH: deinde ut T M ad AH ita fiat BE ad a Fos & circa axim BF, & cum parametro quadruplo Tectae o F describ3tur conoides parabolicum D F E , verticem habens in F : dico solutum elle Pioble.
Jam eonoidis socia est in puncto quandoquidem dista tia op subquadrupla est parametri) balisque D E centrum est in
Praeterea esto I B dupla ad .ro, nempe subdup Ir parametri, ac recta C a possit: quadpata simul DB . t B; quatenu4 quadratum Da aequetur ditarentiae quadratorum CB . t B. Et quia ob p raholam DFE , quadratum Ps duplum eli rect in ii psi . &quadratum PH, per constructionem, duplum est rectrili Ti A , , amplias Fa ad ΣΟΙ/ seu IB, cst . ut TH ad ΑΗ. innotescet, quadratum DB, nempe diri nitam quadratorum C Bi . B elle ad q: isi ut quadratum PH, leu altarcutiam qu dratorum ΚH. ' : , ' AH Disit iroo by Cc oste
158쪽
AH ad q: AH r innotescet, inquam, proportionem differentiae Cutarum CB . IB ad sesquialterum producti ab la in distere tiam quadratorum CR . BI, vel in q: DB scilicet Proportio- si φ .p. nem curvae supcificiei conoidis DPE ad basim DE conlinii lem s*esse rationi, in qua est differentia cuborum ΚΗΓ . AH ad se quialterum producti ab ΑΗ in disserentiam quadratorum KH . A H, videlicet datae rationi R. S . Qu , M. .
SCHOLIUM. Consimilis vel saltem parum diversa consstuctione describetur cum dato me conoides parabolicum, cujus curva superficies se habeat ad basim in data ratione majoris disparitatis .
data ratione si . s. majoris inaequalitaιis. Semidiameter BD circuli DE δὶ producatur ita in N ut des ctus cubi BD a cubo BN ad sesquialterum producti a Du in k, ' 'differentiam quadratorum DB . N B iit in data ratione R. s:& ut dupla ED ad mediam proportionalem sputa.v nin intexDN, & inter NB- DB ita fiu BD ad rectam BF squae noxa,atis sit ex centro B ad circulum DEJ & circa axim.DF. & ordinatam o E describatur parabola DFE: , t o - . iDico quod curva superficies conoidis geniti ab hac parab Ia se habebit ad circulum D E in data ratione R. s. Si ut dupla Da ad Eu, scilicet ut BD ad DF. ita fiat duAlum rectae E i, ad D a , ipsa recta B I semiparameteri erit Parabolae
i Applicetur ad recyam Eo rect Ium Sic ni aequale quadrato B, excedensque quadrato CD. qt tenus recta CR possit quadra-xa simul Dis . t B: & qaia Per constructionem, ut va in aenuita est up ad BD, seu BD ad aRI , erit v a ad D B ut D R ad B , ia quadratum B v ad l DB ut quadra um D B ad q: B I, &
159쪽
componendo, erit summa quadratorum . DR nempe unucum q: NB ob v B mediam proportiona lem inter DN, & in, ter Na -- DBJ ad q: DB ut summa quadratorum DB . l B, siVa' unicum q: ca ad q: Bl : atque cubus Na ad cubum DB ut mishus CB aci cubum Bl: defectusque cubi is a euho es ad cubum v l ut defectus cuhi DB a evbo Na ad cubum DB. Atqui ob similitud mem relationis quadrati 4a ad qt DB retaritioniique quadrati DB ad quadratum B v, cubus t B au i quid-terum producti ab ill in 'di DB fidest in disterentiam quadra torum C B . t B J est ut cubus D a ad sesquialterum producti aD B in q: B V:li Ex aequo igitur proportio desectus euhi si a euho Ca ad se qui alterum producti ad la in differentiam quadratorum L . Ibὶ ν o. Videlicet proportios Ucurvae superficiei eo noidis Dp E ad talitas 4. DE, mniimilis erit rationi defeetus cubi Da a cubo a N ad se quialterum producti a DB in q: Bu, seu in disterentiam qu oratorum N B . DB, scilicet datae rationi R. s. Qaω, dcc.
merentiam euhorum duarum rectarum i eqsalium o C. Bi Ie h.ibet is proportione de*iente, majorique qaam βινι sesquialtera σου sesquialterum producti a majori o C in
disserentiam quadratorum inarum rectarum: Si fiat O x aequalis o a , defeetus cubi B o a cubo o C aequabitur tu producto a differentia CB rectarum os . oc in quadratumo C cum rectαlo ex . sive in quadratum ox cuin reet lo X co. Iri super productum ab oc in disterentiam quadratorum C O . BO, seu in recti lum x cs idem erit cum producto a ca in rect m Ium XCo: quamobrem defectus cubi os a cubo oc ad productum aco in disterentiam quadratorum o c. o a te habebit ut productu in a CB in q; ox cum rect α lo xco ad productum a ca in rect αlum xco, scilieet vi q: ox cum rectrato x Co ad rectra lum c. . & per consequens in proportione majoris ad minus ridemque defectus cubi Oa a cubo oc se habebit ad sesquialte rum producti a cci in disterentiam quadratorum Bo. Co in pro portione majori quam subsesquialtera. Praeterea quadratum x
160쪽
x CO, quadratum xo cum recimio xco deficiet a sesquialtero rectanguli xco: productumque a CB inq: Xo cum rect lo x Co scilicet differentia cuborum on . oc deficiet a sesquialtero producti a cB in rectralum xc o, seu producti a CD in rectis lum xca, aut in differentiam quadratorum C O . B .
c 'Onaidis parabolici Asc euris superficies ad curvam supera
; Ariem cini ANu is eadem base Ac circumscripti ,δε ba es n. m. A in pro parti e majora quamsubsesquialtera , seu aequauterelationem. ωam habes desectus cubi G semipa metro a cubo recta potentis quadratum ejusdem semiparametri, cum quadrator ii dam pommunis ad besquialterum producti ab huyus rati quadrato in predictam rectam: Dummodo praefata superficies se mutuo con;ingavi tu communis
basis per maria. l . . . . 7Secando. solida Aso . ANC aliqua plano per axim No e*Cietuo Parabola Rac, triangulumque ANC, cujus latera ΑN. LN ipsam parabolis contingent in extremitatibus basis io; aquarum altera A ducatur recta AE normalis, ad tangentem ON & per consequens ad curvam AB: &quia ex conicis elementis. subnormalis D s semiparametro aequatur, normalis A E quae potest duo simul quadrata AD . x o, i poterit quadratum semi- parametri DE cum quadrato A D. Quamobrem curva superficies cono idis ABC ad circuIum Aceandem proportionem c habebit, quam desectus cubi DL 3 sit Dis. cubo A E ad sesquialterum produsti ab E D in quadratum AD: s est autem circulus Acad curvam staperficiem coni ANCI in ut .i, ab AD ad AN, sive iob triangulorum ADN. EDA similitudinem J Xut DR ad A A, vel ut sesquialterum Producti ab ED in quadra- M. . retum an ad sesquisicrum producti ab A E in quadratum A D . ex aequo igitur curva superficies conoidis ABC ad curvam super- ficietu coni AKc se habebit ut defectus cubi ex semiparametro DT a ecto rectae AE potentis quadrata AD. DE ad sesquialterum Producti ab AE in quadratum aD. isu in dacteremiam quadra.