장음표시 사용
141쪽
minata a num. qui maximo μUequitur , ex producto a summa AO linearum iu potestatem mInoris Da, seu Bo indicatam per δε-fectum unitatis ab hoc num. , O ex productis a potestatibus ma- si is linea A B indicatis per subsequentes numeros, unitati lup xiores, tu potestates minoris linea Bo res λυe denominatus a defectibus horum numero um a praedicto num. qui maximo stibe
quitur. Scilicet . si ι . . Dum datam seriem componant tres numeri t. Σ. 3 ἡ ΑΒ DE' aequabis produllam ab AD in ΑΒ - AO M BOV . μι dura eries contineat quatuor numeros I. Σ. 3. Φὲ AP DB' aequa9it productam ab AD in aggregorum ex ΑΒ , ex Λo m
Dum data Ieries componatur ex quinque numeris l. a. 3. 4. Γῆ AB -DB aequabit productum ab AD in auratum ex AB'; ex
Ubi sex numeri l. a. 3. 4. s.. 6. datam striem compo ut IABq- DBq aequabit productum ab AD in aggregaIum ex AB ; ex
Num. r. ln primo casu, in quo data series constat lex tribus numeriS L. 1. 3. , jam patui numerum 3 aequare 1 -- t; ideo- ,. Que AB'-DB' aequabit se productum ab AD in Asy, cum pros ...... ducto ab D B in A B'- D B' , seu a, D B in rect rum o A D , live ab AD in Aos , vel in Ao M OB : patet igitur ΑΒ - DB' aequare productum ab A D in aggregatum ex AB', dc ex Α Ο Μ ΟΒ rut primo loco, Sic. Et hinc est quod productum a Da , seu O B in Α Β -D B aequari debet producto ab A D in aggregatum ex A B o B , & ex A O. OB', nempe in aggregatum ex Λae M oe , & ex Ao M OB . Num. 2. In secundo casu, in quo data series quatuor nume- turan . . 3. 4. Continet, numerus aequabit 3 --i, Scidcirco in Mee . AB'-DB aequabi 2 productum ab AD in Αω cum producto a BD, seu B m AB Dat , nempe num, L) cum pmducto ab
142쪽
Proindeque productum a Bo in AB - DB aequabitur producto ab A D in aggregatum ex AB M OB ' ex Α o M OB ἱ A B3 m
Num. 4. Ubi sint sex numeri L. a. 3. Φ. 6. datae seis riei, maximus 6. aequat 3 - , & ideo AP Da i ιὶ productum ab AD in AB cum producto a DR in AB - DB sive snum. 3.
eadem basie A D eonsituto, O cujus reliqua basis E H comeentrita sis in o , eidem conoidi, se habet ad Ocindrum N E H M in hae disse existens , ct cujus axissis Jemilatus tran verνum B Ο , ut defectus euti v o a cubo Co ad sesquialterum producti ab Og in quadrvium C . , Eito a x integrum latus transversurn, & vs sit radius circiti ordinati per punctum medium P axis CB : ia quia cylindrum AE H D es ad cylindrum AN Mo ut altitudo oc ad altitudinem BC. Vel ut sextuplam rectrin xco ast iuxtuplum rectrair XCR.& hoC eylindrum AN Mo ad connides Aso εαὶ est ut seri Plum quadrati AC ad quadratum AC cum quadruplo quadrati F , sive ut lexmplum rectruli xcis ob hyperbolam ) ad rect Irin
143쪽
ct lum x CB cum quadruplo rectis ii x Fa, nempe ad rect iurix BC cum duplo rect li x CB: erit ex aequo cylindrym AE HOad conoides ABD ut sextuplum rectrali xco ad rectangulum xBc cum duplo redimii xc B. Et comparando terminorum differentias ad antecedentes . desectus eo idis Aa D a cylindro AEN D se habebit ad hoc
C D'- 4. B Ο - C o a ad 6. xco . vel potius f su ruptis subquadruplisi ut quadratum Co cum quadrato Bo , & cum rect loCOB, vel ut q: Co cum rectrulo Cxo ad sesquialterum rect m. li
Atqui cylindrum Arrio est ad cylindrum NEHM ut Co ad UB, seu ad Ox, vel ut sesquialterum rect tali x Co ad sesquialterum rectrali cxo; rursus igitur ex aequo praedictus defectus conoidis ABD acyIindro AEHo ad cylindrum NEHM eandem h/bebit proportionem quam quadratum DC cum rect m l O Cxo ad sesquialterum rect m ti cxo, sive quam productum a CB in quadratum Co cum rectinio cxo nempei inclefectus cubi on a cubo Co)ad sesquialterum producti a CB .in rect α lum CLO, seu ad sesquialterum producti ab o x in rectangulum xc B, seu in quadratum CD. Quod,&c.
Proportio, quam habet solidum genitum circa rectam CB aquadruineo hyperbolico DaoΗ ad solidum similite progeni tum a quadrilineo da o h consimilis erit rationi , in qua est defectus cubi o B a cubo D H ad defectum cubi on a cubo db. Iam defectus cones dis Aa D a cylindro ΑΕHD ad cylindrum NEHM est ut defectus cubi os a cubo oc ad sesquialterum producti ab o a in quadratum c D; & cylindrum NEΗM ad cylindrum ne hvs est ut quadratum DC ad quadratum d c, velut sesquialterum producti ab Oa in quadratum CD ad sesqui alterum producti ab o B in quadratum d c, atque cylindrum uelm ad defectum conoidis a ad a cylindro a ebd est ut sesquialterum producti ab . oa in quadratum d c ad .defcctum
cubi os a cuborac : patet ex aequo proportionem, quam hahet defectus conoidis Aso a cylindro AEHD ad Mefectum
144쪽
eonoidis and a cylindro a ebd, nempe quam habet solidum genitum circa oc a quadri lineo DB OH ad solidum similitet progenitum a quadrilineo dBob, consimilem ella rationi deia fictus cubi o B a cubo co, vel a cubo D H ad defectum cubi BO a Cubo o e , vel a cubo db - Quod,&c
Annulus genitus circa rectam eo a quadrilineo hyperbolico D db H ad annulum similiter factum a redimici MAbm se ha-hebit ut defeetus eubi db a cubo D H ad sesquialterum producti ab cia in dimetentiam quadratorum HO. bo. Quoa facile ex supradictis innotescit.
. . . . . . . . . . . . . . r. . i.
Proportio quadrilinei hyperbolici DBois ad redimium Borieonsimilis est relationi derectus cubi os a cubo D H ad sesquialterum producti a re trito fori in duplam distantiam ipsius Os a centro gravitatis ejusdem quadrilinei DBoH. Proportio solidi geniti circa Co a quadrilineo DBoΗ ad ex lindrum similiter genitum a rech lo BoHM l l componitur ex ratione quadri Iinei DROM ad redi m Iuni BoH , & ex relatione duplae distanti, ipsius os a centro gravitatis ejusdem quadrilinea. DB OH ad o Hi az propterea proportio quadrilinei DB OH adtes ratum Bori compolita erit ex relatione, quam habet praeditium solidum quadrilinei DB OH ad cylindrum re- et ii BoM nempe per hanc pros ) quam habet defectus cubios a cubo D H ad sesquialterum producti ab os in quadratum H D, & ex relatione in qua est ori ad supradictam duplam diis flantiam rectae OB a centro gravitatis quadrilinei DB OH , vel relatione in qua in sesquialterum producti ab OB in quadratum OH ad sesquialterum producti areet lo Bo H in praefatam duplam distantiain & per conloquens assimilabitur rationi quam ad hujus producti sesquialterum habet desectus. euhi ci α
145쪽
Simili modo . per praecedens secundum scholium. reperi tur, quod quadrilineum Dd bH se habet ad tectis tum M mbunt desectus cubi dh a cubo D H ad sesquialterum producti a dupla distantia axis io B a centro gravitatis ejusdem quadrilinei Dahu in duo simul rectrula BOH. BOb.
Conoidis parabolici Epu curva superficies se habet ad basem
E H ut defectus cuti semiparometri P L a cubo rectae lineaporemis quadratum ejusdem semiparametri P L eum quadrato femidiametri Eo basis E M ad Iesquialthrum producti as mi rametro P L in quadratam ejusdem Iemidiametri Eo. Et Semiparabola rectae H po arcus M p fe habet ad basim ori uodefectus cubi se parametri P L a cubo recta potentis quadratum ejusde emi rametri pL eum quadrato ipsius hasis o H ad sesquialterum producti a d anι iis axis opa centro gravitatis praedicti arcus H p in rectis tum sub hasim o H, ct sub parametrum LL, in plano alicujus sectionis Ε pH per axim o P conoidis squam scimus esse parabolam) delaribatur circa eundem axim POChyperbola aequi latera ABD, basi EH conoidis concentrica in D.& cujus latus transversum Ex sequetur parabole parametro LL,εc quae secetur in A, D a rectis EA . HD ordinatis ad secundum axim ab extremitatibus basis EH parabolae EPH. & per verticalem ordinatam compleatur rectratum NEHMe atque per rectam A D compleatur quadrilaterum AE H D, quod erit parallelogranunum rectangulum , Ob ordinatas A E . D H aequaliter te cedentes a centro o, proindeque inter se aequales, & ipsa recta A D ordinata erit ad axim o C. Hac peracta constructione, constat ex ε. secundi element. quadratum O c posse quadratum O B cum rect lo x C a , seu cum
quadrato D c, ideoque posse quadratum semiparametri P L cum quadrato basis ori semiparabolae H PO.
146쪽
Et quia parabolicus arcus H p quadrilineo hyperbolico DaoΗ est analogus in gravitate; atque recta ori rectangulo B H est quidem analoga. in gravit te., δc se habet idem iamus H P ad iii .. . rectam bu ut quadrilineum DB ori ad 'rect m Iam Bri': ' curva ro 3s. superficies conoidis EPH genita circa axim CP ab arcu H P ad circulunt Eu progenim masen diametro OH se habebit inuiso sit .. 3lidum descriptum quidem circa CP a quadrilineo DB OH ad cy ' op lindrum procreatum a Iectrato B H, Se per consequens ut de . . . eius cubi οδ. seu PC a cubo rectae oc potentis , quadritam ut pL . OH ad sesquialterum producti a semiparametro Pis Wori quod in imo loco,inta mi r - Denique proportio, qua mi habet amus AP ad rectam o M. & quae ccn limitis is rationi quadrilinei DB OH ad retavium nas .i allos labitur quoque rationi is in quae est defectus Cubi os, seu PL a cubo D H, seu Co ad sesquialterum producti a rectis llo EUHκ seu rect lo P LM o Hiin duplam distantiam axis pC ει. a ccntro gravitati&. quadrilinei DB Hi, nempe arcus H P, velli us ad tesquialierum producti ab hac distantia, & a rectis-
. Hinc profluit, quod ubi dati eon dis EPH axis' OP quadran. liparametri adaequetur, ipsius conoidis curva superficies se habebit ad basim EA ut desectus cubi ex latere alicujus quadrati, a cuba da ametri ad sesquialterum prioris Cubi . . . . ia q. Quandoquidem , in hac hypotheli; balis ΕΗ radius o E seu
Et ab erudito Geometra invenietur, quod cujuslibeti conoi ldisi EpH eurva superficies ad curvam superficiem cylindri con-lstituti in eadem base EH altitudineque o P, eandem Proportionem habet, quam defectus cubi ex semiparametro P Lacu rociae potuntis quadratum iptius semipara metri Pu , quadratuma . . que Iemlaiametri Eo balis Eri ad sesquialterum cubi ex hoc
147쪽
fra, ita ut ipsi axes Du db partibus Ha . Bb lint proporti nates, & ab extrimeatibos L mi ordinatarum . & terminis halium CD . cd ordinentur rectae FPR. CN, 1 pr . cu ad secundos axes DC ι do hyperbolarum MN . mn. dc complean
. Et L mi , db proportionentur, ex hypothesi, semi- parametris B L . bι parabolarum . & consequentcr lemitransve sis D M. 4m hyperbtaurum MN . Mu, & per constructionem, Proportionales sint partibus B H .hb: quadrata semiOrduratarum DC. dc tam quadra Is D M .dm, quam quadratis H F .hf. seu quadratis DP .dpproportionabuntur, dc idcirco q: D M ad duo simul quadrata DM . DC, vel ob hyperbolam aequilateram MIN) ad q: c Nis habebit ut dm ad duo simul qq: dm. d c, sise ad U cn: Afi- militer quadratum D M ad q: PR ut q: dm ad q: pre atque rectaen M . dm proportiouales erunt cidinatis CN . cn, homo mgi ique Ordiuatis PE . pr quadrilineorum MN CD . mucd tunde proportio quadrilinei MN CD ad rect-Ium DT vel ipii aequalis correlatin Parabolici arcus BC ad ordinatam D c)conlinulis erit rationi quadrilinei mn dc ad rectrulum di , vel . , AUL, rationi Disi tiroo by Cc oste
148쪽
rationi paraboliet artus be ad ordinatam de . Et hi arcus p
rabolici ac . bc, qui ordinatis DC . de sunt proportionales. proportionati debent & semipatametris B L . bt: sed iplis semi- parametris proportionantur quoque arcus BF . Use etenim axessu . , B proportionales sunt, per eonstructionem, axibus DB. d b, & per eonsequens, semiparametris a L . bli patet igitur arcus, es .. c b arcubus FB ἡ besse proportionales, & inter se esse analogos in gravitate, quae primo loco,&C. Praeterea, cum supra Ostensum sit, quadrata C D . e d quaadratis D M . dm esse proportionalia, cubus MD ad productum ab Mo in q: Dc se habebit ut cubus md , ad productum ab md in q: det atqui ob supra ostensam similitudinem relationum N C . M D ; n c . m d proportio defectius cubi D M aeubo C N ad cubum D M consimilis est proportioni in qua est defetius euhi aem a cubo e n ad' cubum d m : ex aequo igitur proportio defectus cubi D M a cubo C N ad sesquialaturum produc i a D M in q: D C nempe Proportio cur- ii pis'. vae superficiei conoidis A a C ad circulum ACὶ aequabitur 34. proportioni quam habet defectus cubi dm a cubo eu ad ses.
qui alierum producti a d m in q: d c, vel potius quam habet
concit dis ab e curva superficies ad Circulum.ac . Est a utent, circulus AC ad circulum ac ut quadratum D c ad quadratum d c, & per consequens ut q:. sc parametri BL ad quadrarum. semiparametri bI, & ur quadratum arcus CB ad q: arcus eb ; patet ergo curvas supersicies cono idium ΑΗ c . ab e proportionales esse non modo hasibus AC , ac, sed etiam quadratis semipara metrorum B L. . bι, quadrat isque arcum CB .
Denique, cunx iisdem quadratis semipara metrorum B L . bl proportionentur etiam curvae superlicies cono idium EBF . ebs quorum axes HB . hb axibus DB. d b, ideoque ipsis semiparametris Rc.. bl sunt proportionales) necella est. his curvis su perficiebus proportionales esse curvas corioidium ABC . ab M
149쪽
M. 161 ε wrVo se perficies asterius A. Boiex daobus conoidibus para a sis. Pλicis au curvam superficiem res qui ab C proportionem habet compositam ex relatiove, in qua eli desectus cubi semiparametri BL a subo rectae KD potentis quadratum ipsius se nctar ametri nL ctim μadrato se diametri A D bagis AC ud δε-fectum cubi semipa ametri b I a cubo rectae L d potentis quadr tum hujus se paramrari b l cum quadrato radij a d basis a C. Ure relaIione, quam reciproce babreposerior paὸ ameter bl ad pri
Proportio in qua est curva superficies conoidis A DC ad cur-l3Iρ,. vana superficiem conoidis abc, δι quae conlponitur ex relatio no '' prioris curvae luperficiei ad circulum Ac seu tas ratione dili , rentiae cuborum ΚD . BL ad sesqui a iterum produeri a quaq; drato AD in B L ex relatione circuli AC ad circulum ast, seu quadrati AD ad quadratum ad stive ratioue quam habet tesquialterum Droducti a B L inq: Λo ad sesquialterum producti ablb in q: a δ) Sc en relatione circuli ae ad posteriorem curvam superficiem ves ratione quam habet sesquialterum producit ab Ib in q: ad ad differentiam cuborum tb h d) componetur quoque ex ratione disicrentiae cuborum L B. . Κ.R ad disserentiam cubinum Ib . Ed, & ex relatione in qua est sesquial terum producti ali Ib iv qi AD ad sesquialterum producti abi a in q: AD, seu tu qua est semiparatu ter lo ad semipar metrum L B. Quod, &
Dum igitur inter se adaequontur semiparametsi BL . bi, cu τὸ supersicies couoidi& Anc ad curvam superlicienv eoavii disabo te habebit ut uitierentia cubvium B L . Ico ad dilicseuciam suborum bI. hae. '
150쪽
Atis duobus numeris inaequalibus, quorum disserentia sit
u sttas, dati Ne duabus lineis inaequalibus AB. ab δερ- menti Re paribus D B . d b diminutis, quarum major sit AB. Dico diserentiam potesatum AB . D a denominatarum a majori xumero ad homogemarum poteritum a b. d b disserentiam, se habere in majori proportione, quam isserentia potestatim A B . D Bindicatartim per me rem numerum ad homogeneariun potestatum ab . d b d erevirum. Producant ut lineae AB. . ab ad o, quatenus partes OB . ob aequalibus diua nautionibus DB .db adaequentur , ela quatenus Α Ο aequet AB -- DR& a ci aequet ab --bdia Et ubi dati numeri iunt a. i, jam manifestum est relationem AB'-DB' ad ab db' , nempe lil relationem rectrali o AD ad re- ti Eaci lum o ad, compositam ex rationibus AD . ad , Ao . ao, ma- α ιμ- 1 aiorem uile ratione AD. ad, scilicet ratione AB DB ad ab d h. 'ν θ' Dum dati numeri sint 3. a. Cum AB)-DBΤ aequet suprod, ta Delum ab Aia in As - A o M EO; & pariter a P - aequet pro duci uin ab ad in ab' - - aoMbo ; & AB' acl a ι' majorem habeat rationem quam AB ad ab , & eo majorem quam AO adsio, seu quam Α o M O B ad Ao ob; permutando, componendo, &ruri us permutando, se habebit AB - Ao OB ad ab -go ob in majori relatione quam A o O B ad Go Mob. se' quam AD ad ao: atque propor vlo compotita ex ratione Ao ad, & cx ratione in qua elt A ς' -- A o m B o ad a b - . a o A b o, scilicet proportio producti ab AD in AB Aori Bo ad produ.elum ab ad in ab' --asM bo, vel potius proportio AB)-DΕΤ . b)-d , marjor erit prop ne composita ex rationi bas AD,-ad; ΑΟ . ao, seu piopis ne recim Ii O AD ad reci α lum o ad, aut Psoportione AE - D B . ab - bd . Dum dati numeti lint ψ. 3. quia Avi ad aby majorem habet rationem non modo quam Ar iaci ab , sea quam AB uo ad ab κbo, sed etiam quam Ao ad Ao. vel quam Ao M BO' ad aoHbo' necestu eli A Et ad a b maiorem habere relationem , quam A B B γ